المعادلات المثلثيةTrigonometric equations
سبق وان درست المعادلات وطرق حلها ، وسندرس بشيء من
التفصيل كيفية حل المعادلات المثلثية ايجاد قياس الزاوية التي تجعل الطرفين
متساويين ( تجعل الجملة المفتوحة عبارة صائبة)
مثال : اوجد مجموعة الحل للمعادلة المثلثية 1 – جتا ﮬ = صفر
اذا
كانت 0 ≤
ﮬ ≤ 360
الحل : بما ان 1 – 2جتا ﮬ = صفر فان جتا ﮬ = 1 زاوية
الاسناد = 60
2
وبما ان 1 – 2جتا ﮬ يكون موجبا في الربعين
الاول والرابع فان ﮬ 60 او 300
اذن مجموعة الحل {60 ، 300 }
مثال : حل المعادلة المثلثية : جا2 ﮬ + 2جاﮬ - 3
=صفر (1)
الحل : جا2 ﮬ + 2جاﮬ -3 = صفر على صورة أس2
+ ب س + ج = صفر (2) ، حيث س = جا ﮬ ( فتكون المعادلة (1) هي معادلة
مثلثية من الدرجة الثانية ينطبق عليها ما ينطبق على معادلة (2) اي ينطبق عليها
التحليل الى العوامل واكمال المربع وتطبيق القانون لايجاد جذور المعادلة )
جا2 ﮬ + جا ﮬ - 3 =
صفر ( جا ﮬ + 3)(جاﮬ - 1) =
صفر
جاﮬ
+ 3 = صفر
أو جاﮬ = 0
اذن جا ﮬ = -3 ( غير مقبول ) . . . ( لماذا ) جاﮬ = 1 ﮬ =∏
2
اسئلة :
اوجد مجموعة
الحل للمعادلات المثلثية الاتية:
أ) 2 جتا 2ﮬ - 5جتا ﮬ - 3 =
0 0 ≤ ﮬ ≤ 2∏
ب) ظا2ﮬ - 2ظاﮬ + 1 = 0 0 ≤
ﮬ ≤ 360
ج) جتا 2ﮬ + 2جتا ﮬ = 3 0 ≤ ﮬ ≤ 2∏
د) ظا 2 س – 1 = 2 0 ≤ س ≤ 2∏
التمثيل البياني للاقترانات المثلثيةGraphs of trig Functions
ستحاول في
هذا البند رسم منحنى كل من الاقترانات المثلثية جاس ،جتاس ،ظاس
اولا :
اقتران الجيب y=
sinx
ارسم منحنى
الاقتران ص = جا س ، حيث عبرنا عن قياس الزاوية
ﮬ بالرمز س ، نكون جدولا لبعض قيم س ، ص كما هو ادناه :
|
س
|
0
|
∏
4
|
∏
2
|
3∏
4
|
∏
|
5∏
4
|
3∏
2
|
7∏
4
|
2∏
|
|
ص
|
0
|
7‚
|
1
|
7 ‚
|
0
|
-7 ‚
|
-1
|
7‚
|
0
|
نعين
النقاط اعلاه على المستوى الديكارتي ونرسم منحنى الاقتران كما هو في الشكل ادناه:
ملاحظات 1)
بما ان الزوايا المتكافئة لها نفس النسب المثلثية المناظرة فان منحنى ص = جاس يكرر
نفسه في فترات متساوية طول كل منها 2 ∏ . ومثل هذه الاقترانات تسمى الاقترانات
دوريةPeriodic ، ومقدار الدورة لهذا الاقتران = 2∏
1) القيمة العظمى لهذا
الاقتران هي 1 والقيمة الصغرى هي -1 ، مثل هذه الاقترانات
الدورية لها سعةAltitude
وتعرف سعة الاقتران كما
يلي :
السعة = القيمة العظمى – القيمة
الصغرى
2
وعليه فان
سعة الاقتران اعلاه = 1 –(-1) = 1
2
3) مجال
الاقتران هو ح
4) ان
منحنى الاقتران ص = جا س متماثل حول نقطة الاصل لذا فهو اقتران فردي.
ثانيا :
اقتران جيب التمام Y=
cosx
لرسم
الاقتران ص = جتا س تكون جدولا مناسبا لبعض قيم س ، ص المناظرة كما هو ادناه
|
س
|
0
|
∏
4
|
∏
2
|
3∏
4
|
∏
|
5∏
4
|
3∏
2
|
7∏
4
|
2∏
|
|
ص
|
1
|
7‚
|
0
|
-7 ‚
|
-1
|
-7 ‚
|
0
|
7‚
|
1
|
نعين هذه
النقاط على المستوى الديكارتي
1)
الاقتران دوري ومقدار دورته 2∏
2) القيمة العظمى لهذا الاقتران هي 1
والقيمة الصغرى هي -1
3) سعة الاقتران = 1 (لماذا)
4) مجال الاقتران هو ح
5) منحنى الاقتران ص = جتا س متماثل حول
محور الصادات ولذا فهو
اقتران زوجي .
6)ان منحنى الاقتران ص = جتا س هو نفس
منحنى ص = جاس بانسحاب
قدره ∏ الى اليسار
2
7) ان منحنى الاقتران ص = جتا س هو نفس
منحنى الاقتران
ص = جتا – س لأن جتاس = جتا – س
ثالثا :
اقتران الظل y= tanx
لرسم منحنى الاقتران ص = ظا س
نكون جدول كما هو ادناه :
|
س
|
0
|
∏
4
|
∏
2
|
3∏
4
|
∏
|
5∏
4
|
3∏
2
|
7∏
4
|
2∏
|
|
ص
|
0
|
1
|
غير
معرف
|
-1
|
0
|
1
|
غير
معرف
|
-1
|
0
|
نعين هذه النقاط ونرسم منحنى
الاقتران كما هو ادناه:
ملاحظات :1) الاقتران دوري ومقدار
دورته ∏
2) مجال الاقتران هو ح –{∏
+ ن∏ ، ن ينتمي الى ص }
2
3)الاقتران غير معرف عند ∏ + ن ∏ ، ن ينتمي الى ص ، ونسمي
الخط تقاربيا ، اذ ان منحنى الاقتران
يقترب منه ولا يقطعه كما في الشكل
اعلاه.
4) مدى الاقتران هو ح
5) ان منحنى الاقتران ص = ظاس ،
متماثل حول نقطة الاصل ولذا فهو
اقتران فردي.
مثال : ارسم منحنى الاقتران ص = جا2س ، ما العلاقة
بين منحنى ق(س) = جاس ومنحنى الاقتران ص = جا 2س
.
الحل
:
لرسم منحنى الاقتران ص = جا2س نكون جدولا مناسبا كما هو ادناه:
|
س
|
0
|
∏
8
|
∏
4
|
3∏
8
|
∏
2
|
5∏
8
|
3∏
4
|
7∏
8
|
2∏
|
|
ص
|
0
|
7‚
|
1
|
7 ‚
|
0
|
-7 ‚
|
-1
|
-7‚
|
0
|
نعين هذه النقاط على المستوى
الديكارتي ، ونرسم المنحنى كما هو ادناه
ويمكن ملاحظة الخواص التالية على
هذا المنحنى دورة الاقتران = 2∏ = ∏
2
سعة الاقتران = 1
القيمة العظمى = 1
القيمة الصغرى = -1
اسئلة
:
1) ارسم
منحنى الاقترانات التالية على الفترة [ -∏ ، ∏]:
ا) ص = جا س -1
ب) ص = 2 جتا س
ج) ص = ظاس + 3
د) ص = جاس + 1
ﮬ) ص = جا( – س)
و) ص = جتا 2س
2) في السؤال الاول اذكر الدورة ،
السعة ، القيمة العظمى ، القيمة الصغرى للفروع أ،ب،د ،و
إرسال تعليق