القطاع
الدائري والقطعة الدائرية Sector
and Segment
اولا : طول
قوس في الدائرة :Arc length
سبق وان تعلمت ان طول القوس في
دائرة يقابل زاوية مركزية قياسها س ، ونصف قطرها نق يعطي بالعلاقة :
طول القوس = س × 2 ∏ نق = س
∏ نق (1)
360 180
ولكن عند تحويل س الى تقدير
الدائرة فان الزاوية بالتقدير الدائري المكافئة
لها ﮬ = س × ∏
180
وبتعويض هذه القيمة في المعادلة
(1) اعلاه يصبح طول القوس =
ﮬ نق
اي ان ل = ﮬ نق
حيث ل هي طول القوس ، ﮬ الزاوية
المركزية المقابلة للقوس بالتقدير الدائري، نق نصف قطر الدائرة .
مثال : اوجد
طول قوس في دائرة نصف قطرها 21 سم والذي يقابل زاوية مركزية
∏ د
3
الحل
: ل ﮬ نق اذن ل = ∏ × 21 = 7∏سم
3
ثانيا
: القطاع الدائري :
مساحة القطاع الدائري : انت تعلم
ان الدورة الكاملة 360 تقابل دائرة مساحتها
∏نق2، وعليه اذا كانت
الزاوية المركزية لقطاع دائري س ، ونصف القطر نق فإن : مساحة القطاع = س × ∏
نق2
360
وبما أن الزاوية س بالدرجات تعادل
ﮬ = س ×∏ بالتقدير الدائري ، وبتعويض هذه
180
القيمة في مساحة القطاع اعلاه
ينتج :
مساحة القطاع م = 1 ﮬ نق2 ( حيث ﮬ الزاوية
المركزية بالتقدير الدائري)
2
وبما
ان طول القوس ل =ﮬ نق
فإن مساحة القطاع م = ل نق قطاع قطاع
2 اصغر
اكبر
محيط القطاع الدائري = 2نق + ل
حيث نق : نصف قطر الدائرة ، ل : طول قوس القطاع
مثال : اوجد مساحة قطاع دائري نصف قطر دائرته 8سم
ومحيطه 25سم.
الحل : محيط القطاع = 2نق + ل
محيط القطاع = 2× 8 + ل
25
=16 + ل
ل = 9سم
مساحة القطاع = ل نق = 9× 8
= 36سم3
2 2
مثال : قطاع دائري طول نصف قطر دائرته 15سم
ومساحته 270سم2 اوجد:
أ) الزاوية المركزية للقطاع.
ب) طول القوس
الحل
: أ) م = 1 ﮬ نق2
2
اذن 270 =1 ﮬ × 15 2
2
270 =225ﮬ
2
540 = 225 ﮬ
540 = ﮬ
ﮬ
= 4‚2
ب) ل = ﮬ نق
ل = 4‚ 2
×15 = 36سم.
اسئلة :
1)
اوجد طول القوس في دائرة نصف قطرها 32سم وزاويته المركزية 36.
2)
اوجد مساحة قطاع دائري قياس زاويته 120 ونصف قطر دائرته 10 سم
3)
قطاع دائري قياس زاويته المركزية 2‚2 وطول
11سم . احسب مساحته.
4)
اوجد طول القوس في دائرة نصف قطرها 9 وحدة ، وزاويته المركزية
∏
∏
3
ثالثا : القطعة الدائريةSegment
in a circle
القطعة الدائرية : اذا رسمنا في الدائرة التي
مركزها (م) الوتر أب فإن سطح الدائرة ينقسم بهذا الوتر الى جزأين كل منهما يسمى
قطعة الكبرى الآخر يسمى القطعة الصغرى كما في الشكل المقابل .
 |
نق نق
قطعة صغيرة
تعريف :
القطعة الدائرية : هي جزء من مساحة دائرة محدد
بقوس فيها ووتر يمر بنهايتي ذلك القوس .
والزاوية
المركزية التي تقابل قوس القطعة الصغرى تسمى زاوية القطعة الصغرى ، بينما
الزاوية المنعكسة في زاوية الكبرى .
والقطعة الصغرى أ ى ب = القطاع م أ ى ب - ∆ م
ا ب
بينما القطعة الكبرى أ د ب = القطاع م أ د ب +
∆ م أ ب
مساحة القطعة الدائرية :
مساحة القطعة الدائرية أدب= مساحة القطاع
الدائري م أي ب– مساحة ∆ م ا ب
بما ان مساحة القطاع الدائري م أ ي ب = 1ﮬد نق2( نق هو نصف قطر
الدائرة )
2
مساحة المثلث = 1 حاصل ضرب اي ضلعين في جا الزاوية المحصورة بينهما
2
ومساحة ∆أ م ب = 1
ق× نق ، جا ﮬ = 1 نق 2 جا ﮬ
2 2
اذن مساحة القطعة الدائرية أ ي ب = 1 ﮬ نق2 - 1 نق 2 جا ﮬ
د 2 2
= 1
نق 2 ( ﮬ د - جا ﮬ )
2 
أ ع ب
مثال : اوجد مساحة القطعة الدائرية التي طول نصف قطر دائرتها 8سم وقياس
زاويتها المركزية ( اعتبر ان ∏ =3)
الحل : ﮬد( التقدير الدائري لقياس زاوية القطعة 120)
= 120× ∏ = 2 ∏ = 2 × 3 = 2
180 3
3  |
مساحة القطعة الدائرية = 1 نق 2 ( ﮬ د
- جا ﮬ )
2 
= 1 × 64 ( 2 - 3
) 
2 2 = 32 ( 2 - 3 )
2 
= 16 ( 4
- 3
) سم 2
أسئلة :
1)
دائرة ومساحتها6 ‚53سم2, اوجد مساحة قطاع من هذه
الدائرة زاويته 67
2)
قطاع دائري طول محيطه 12سم ومساحته 8سم2 . احسب طول نصف
قطر
دائرته وقياس زاويته المركزية بالتقديرين
الدائري والستيني
3)
أ نقطة خارج دائرة مركزها م ونصف قطرها 6سم بحيث كان م أ = 12سم ،
رسم من أ مماسان للدائرة يمسانها في ب ، ج اوجد لأقرب سم2 مساحة
الجزء
المحصور بين المماسين والقوس الاصغر ب ج .
4)
قطعة دائرية ارتفاعها 3سم ، وطول نصف قطر دائرتها 5 سم فما
مساحتها لأقرب
سم2 ؟
إرسال تعليق