زاوية
الاسناد والنسب المثلثيةReference Angle
تعريف :
زاوية
الاسناد (المرجع) هي الزاوية الحادة والمحصورة بين محور السينات وضلع انتهاء
الزاوية .
وسنبحث في
هذا البند العلاقة بين النسب المثلثية لأي زاوية مع النسب المثلثية لزاوية الاسناد.
أولا :
اذا كان ضلع انتهاء الزاوية يقع في الربع الثاني ، فإن الزاوية تكافئ
زاوية على الصورة ( ∏ - ﮬ
) حيث ﮬ زاوية الاسناد والرسم ادناه يوضح النسب المثلثية الاساسية لها مقارنة بنسب
الزاوية ﮬ .
جتا (∏ - ﮬ ) = - س =
120 60
جا (∏ - ﮬ ) = ص = جا ﮬ
ظا (∏ - ﮬ ) = ص = - ظا ﮬ ( بفرض ان ظا ﮬ
معرف)
- س√
2
495 تكافئ
495 – 1× 360 = 13 اذن جتا 495 =
جتا = -جتا 45 =- 1
2 √
ثانيا :
اذا كان ضلع انتهاء الزاوية يقع في الربع
الثالث ، فإن الزاوية تكافئ زاوية على الصورة ( ∏ + ﮬ )حيث ﮬ
زاوية اسنادها .
والرسم ادناه يبين النسب المثلثية الاساسية
لها مقارنة بنسب الزاوية ﮬ .
جا(
∏ + ﮬ ) = - ص = - جاﮬ
جتا(
∏ + ﮬ ) = - س= - جتاﮬ
ظا (
∏ + ﮬ ) = - ص = - ظاﮬ
- س
ﮬ
مثال :اوجد قيمة كل من النسب المثلثية :
أ) جتا
225 ب) ظا 600
الحل : أ) جتا 225 =( 180 +45) = -جتا 45 = -1 45
2
ب) لاحظ ان 600 = 360 + 240 وتكافئ 240
اذن ظا 600 = ظا 240 = (180+60) = ظا 60 = 3
ثالثا :
اذا كانت
الزاوية تقع في الربع الرابع ، فانها تكافئ زاوية على الصورة
(2∏- ﮬ ) أو (-ﮬ) حيث ﮬ زاوية اسنادها .
والرسم ادناه يوضح النسب المثلثية لها مقارنة بنسب
الزاوية ﮬ
جا( 2∏- ﮬ ) = - ص = - جا ﮬ = جا(-ﮬ)
جا( 2∏- ﮬ ) = - س= -
جتاﮬ = جتا(-ﮬ)
جا( 2∏- ﮬ ) = - ص
= - ظاﮬ = ظا(-ﮬ)
- س
ملاحظة : جا(-ﮬ) = -جاﮬ ، جتا (-ﮬ) = جتاﮬ ،
ظا ( -ﮬ) =- ظا (ﮬ )
ملاحظة : مما سبق نلاحظ ان النسب المثلثية
لأي تساوي نظائرها لزاوية الاسناد مع مراعاة الاشارة
مثال: اوجد قيمة النسب المثلثية الاتية :
أ) جا 330 ب) جتا -60
الحل : أ)جا 330 = 360 – 30 = -جا 30 = -1
2
30
ب) جتا -60 = جتا 60 = 1
2
اسئلة :
1) ارسم كل من الزوايا
الاتية محددا الربع الذي يقع فيه ضلع انتهائها وزاوية اسنادها:
أ) 800 ب) 1280 ج)
- 610
2) اوجد
قيمة كل من النسب المثلثية الاتية :
أ)
240 ب) جتا
610
3) اذا كان
جا 50 = 75‚0 اوجد قيمة :
أ) جا
130 ب) جتا 230 ج) ظا -50
4) اوجد
قيمة كل من النسب المثلثية الثانوية للزاوية 150.
المتطابقات المثلثية Trigonometric Identities
لقد اثبتنا سابقا القاعدة : جا2ﮬ
+ جتا 2 ﮬ = 1 . . . (1) حيث
انها صحيحة مهما يكن قياس الزاوية ﮬ ، مثل هذه العلاقات تسمى متطابقات ، ومن
الامثلة المشهورة الاخرى على هذه المتطابقات،
اولا : المتطابقة ظا 2ﮬ+ 1 = قا2
ﮬ . . .(2)
والتي يمكن الحصول عليها بقسمة طرفي
المتطابقة (1) اعلاه على جتا2ﮬ ،
حيث جتا ﮬ ≠ 0
ثانيا : المتطابقة 1+ ظتا2ﮬ = قتا2ﮬ . . . (3)
والتي يمكن الحصول عليها بقسمة طرفي
المتطابقة (1) اعلاه بقسمة طرفي المتطابقة (1) اعلاه على جا 2ﮬ ، حيث
جاﮬ ≠ 0
ملاحظة : يمكن استخدام المتطابقات الثلاث
اعلاه وغيرها من الحقائق الرياضية في اثبات صحة متطابقات اخرى:
مثال : اثبت ان جتا2ﮬ - جا2ﮬ
= 2جتا2ﮬ - 1
الحل: الطرف الايمن = جتا 2ﮬ - جا 2ﮬ
، لكن من المتطابقة (1) اعلاه ينتج ان : جا2ﮬ = 1- جتا 2ﮬ
= 2جتا2ﮬ -1
=الطرف الايسر ، وهو المطلوب
مثال : اثبت ان 1 + ظا2ﮬ = ظا2ﮬ ( لكن 1+ظا2ﮬ =قا2ﮬ
،1+ظتا2ﮬ =قتا2ﮬ)
1 + ظتا 2ﮬ
الحل : الطرف الايمن = 1 + ظا2ﮬ ( لكن 1+ظا2ﮬ =قا2ﮬ
،1+ظتا2ﮬ =قتا2ﮬ)
1 + ظتا 2ﮬ
1
جتا2ﮬ
= قا2ﮬ = 1
قتا2ﮬ جا2ﮬ
=جا2ﮬ =
ظا 2ﮬ = الطرف الايسر ، وهوالمطلوب
جتا2ﮬ
مثال : اثبت صحة المتطابقة 1 - جتا2ﮬ
= 1 - جتاﮬ
1 + جتاﮬ
الحل: الطرف الايمن = 1 - جتا2ﮬ = (
1-جتاﮬ )(1+جتاﮬ) = 1-جتاﮬ
1 + جتاﮬ ( 1+جتاﮬ )
= الطرف الايسر
مثال : اثبت صحة المتطابقة جتاﮬ = 1 - جاﮬ
1 + جاﮬ جتا ﮬ
الحل: الطرف الايمن = جتاﮬ = ( جتاﮬ )(1-جا ﮬ)=(جتاﮬ
)(1-جاﮬ)
1 + جاﮬ (1 + جاﮬ )( 1-جا ﮬ ) 1 – جا 2ﮬ
=(جتاﮬ )(1-جا ﮬ )
من المتطابقة (1)
(جتا ﮬ )2
= 1 – جا ﮬ = الطرف الايسر
جتا ﮬ
لاحظ اننا اثبتنا صحة المتطابقات في الامثلة
السابقة اعلاه وذلك بالبدء بأحد الطرفين والحصول على الطرف الآخر ، ويمكن استخدام
طرق اخرى لاثبات المتطابقات بأن نأخذ كل طرف على حدة ونبين أنهما يساويان كمية
واحدة:
اسئلة :
اثبت صحة المتطابقات الاتية :
أ) جتا 2ﮬ - جا2ﮬ
= 1 -2جا2ﮬ
ب) قا4 س - قا2
س = ظا 2س+ظا4 س
ت) ظتا س قاس = قتا س
ث) ظا ﮬ + ظتا ﮬ = قاﮬ ×
قتا ﮬ
ج)
(جاﮬ+جتاﮬ) 2
= 1+ 2 جاﮬ جتاﮬ
إرسال تعليق