المئينات

المئيناتPercentiles :

مقاييس النزعة المركزية ومنها الوسيط الذي يعرف بانه القيمة التي يقل عناه أو يساويها نصف

القيم ويزيد عنها أو يساويها نصف القيم الآخر وذلك بعد ترتيب تلك القيم تصاعديا أو تنازليا . واذا استخدمت

النسبة المئوية في تعريف الوسيط فهو القيمة التي يقل عنها أو يساويها 50 % من القيم ويزيد عنها أو يساويها

 50% من القيم ( بعد الترتيب تصاعديا او تنازليا) وفي هذه الحالة يسمى الوسط ايضا المئين 50 ويرمز له

بالرمز م ₅₀ والعدد 50 يسمى الرتبة المئينية .

المئين:

اذا تم ترتيب مجموعة من المشاهدات تصاعديا فان القيمة التي يكون اقل منها أو يساويها

س% من المشاهدات وأعلى منها أو يساويها ( 100 – س) % من تلك المشاهدات تسمى

المئين س ويرمز له بالرمز م _س حيث تأخذ س القيم 1، 2، 3 ....99 .

ان حساب المئينات مفيد في كثير من التطبيقات العملية فقد يقر معلم اعطاء أحسن 10 % من الطلبة في امتحان الرياضيات جوائز تقديرية ويحتاج بذلك معرفة العلامة الفاصلة التي تحد من يستحق هذه الجائزة أي أنه بحاجة لمعرفة العلامة التي تقل عنها أو يساويها 90% من الطلبة . اذن فهو بحاجة لمعرفة المئين 90 .

سيتم شرح كيفية حساب بعض المئينات المشهورة مثل م ₂₅ ، م ₅₀ ، م ₇₅  لجداول التوزيع التكرارية حسابيا وبيانيا ، وسيستحسن حساب المئينات عندما يكون عدد القيم كبيرا نسبيا حتى لا يشترك أكثر من مئين بنفس القيمة.

المئينات للبيانات المبوبة في جداول توزيع تكرارية :

يمكن استخدام التناسب لحساب قيم تقريبية لهذه المئينات كما هو مبين في المثال الآتي :

مثال: الجدول التكراري المجاور يمثل علامات 40 طالبا في امتحان

الاحصاء : احسب لهذا التوزيع التكراري :

الفئات	التكرار
30-39	1
40-49	2
50-59	5
60-69	11
70-79	14
80-89	5
90-99	2

أ‌-       م ₂₅            

_ب‌-      م ₅₀

ت‌-  م ₇₅

ث‌-  الرتبة المئينية  للعلامة  86 .

                     

الحل:  

لارتباط المئينات بالتكرار التراكمي ، فاننا نكون جدولا بالتكرارت التراكمية للحدود الفعلية للفئات كما يأتي :

الحدود الفعلية للفئات	التكرار التراكمي
أقل من 5,39	1
أقل من 5,49	3
أقل من 5,59 م 25	8                   10
أقل من 5,69	19
أقل من 5,79	33
أقل من 5,89	38
أقل من5,99	40

أ‌-      المئين 25 ( م ₂₅)Lower (first)  Quartile  

حيث أن الرتبة المئينة تساوي 25 فان عدد القيم التي تقل عن م ₂₅ يساوي 25   × 40 = 10 قيم

                                                                                            10

بما أن عدد القيم التي تقل عن 5,59 يساوي 8 قيم وعدد القيم التي تقل عن أقل من 5,69 يساوي 19 قيمة ، اذن القيمة العاشرة تقع بين 5,59 و  5,69 وباستخدام التناسب نجد أن :

م 25 -  5,59 = 10 - 8                                     

      5,69- 5,59         19 -8

م 25 -  5,59   =  2

 

         10        11

11(م 25 -  5,59) = 2× 10

       م 25 -  5,59        =    20   

                                        11

م 25 = 5,59 + 8,1= 3,61

أي 25% من العلامات تقل عن العلامة 3,61 .

ب‌-  م ₅₀ الوسيط : Median (second Quartile) 50^th percentile

عدد القيم التي تقل عن م ₅₀ يساوي    50  × 40 = 20 قيمة .

                                             100

                         

الحدود الفعلية للفئات	التكرار التراكمي
أقل من 5,39	1
أقل من 5,49	3
أقل من 5,59	8
م50  أقل من 5,69	19
أقل من 5,79	33
أقل من 5,89	38
أقل من5,99	40

20

كما سبق في حساب م ₂₅  فان عدد القيم هي أقل من 5,69 يساوي 19 قيمة وعدد القيم التي هي   أقل من 5,  79  هو 33 قيمة اذن القيمة العشرون تقع بينهما وباستخدام التناسب نجد أن :

م₅₀ - 5,69    =      20- 19 

   

5,79 - 5,69       32- 19

م₅₀ -  5,69      =       1

 

      10              14

م₅₀ -  5,69      = 10

                     14

م₅₀    = 5,69   +   10 

                           14

                          

م₅₀    = 5,69   + 7,0

م₅₀    = 2,70

أي أن 50 % من العلامات تقل عن العلامة 2,70

ج-    م ₇₅  عدد القيم التي تقل عن م ₇₅ يساوي  75 × 40 = 30 قيمة

                                                            100

الحدود الفعلية للفئات	التكرار التراكمي
أقل من 5,39	1
أقل من 5,49	3
أقل من 5,59	8
م50  أقل من 5,69	19
أقل من 5,79	33
أقل من 5,89	38

30

 

باستخدام التناسب كما سبق فان: م _{75 -}    5,69 = 30 – 19 =   11  

 

                               5,79 -  5,69          33- 19         14

14 (م _{75 -}    5,69) = 10× 11

م _{75 -}    5,69 =   10 × 11

             

                        14

م ₇₅ = 5,69  +     10 × 11

                       14

      = 5,69+ 9,7 = 4,77

أي 75% من العلامات تقل عن العلامة  4,77 .

د- الرتبة المئينية للقيمة 86 :  القيمة 86 تقع بين 5,79 ، 5,89 وباستخدام التناسب فان:

الحدود الفعلية للفئات	التكرار التراكمي
أقل من 5,39	1
أقل من 5,49	3
أقل من 5,59	8
أقل من 5,69	19
أقل من 5,79	33
أقل من 5,89	38

ك

 

5,89 - 5,79    =   38   - 33

   86- 5,79       ك - 33

10      =         5 

5,6         ك -33

ك – 33 = 5 × 5,6

                10

ك = 33 + 25,3 = 25,36 عدد القيم التي تقل عن 86 وعليه فان نسبة القيم التي تقل عن 86 تساوي :

25,36    × 100% = 6,90 % أي ان رتبة المئينة للعلامة 86 هي 91% تقريبا .

   40

تمارين ومسائل :

1- كانت درجات الحرارة في احدى المدن في اسبوع من شهر شباط مقدرة بالدرجات المئوية كما يلي:

3 ، 2 ،5 ، 2 ، 7 ، 0، 2 أحسب كلا من :

أ) المدى

ب) التباين

ج) الانحراف المعياري

2- اذا كان المدى والتباين لدرجات الحرارة المئوية في مدينة ما خلال اسبوع 10 و 5 على الترتيب واذا حولت درجات الحرارة من مئوية الى فهرنهايتية فما قيمة كل من المدى والتباين بعد التحويل ؟

( ف = 9 م + 32) .

         5

3- الجدول الآتي يمثل التوزيع التكراري للزمن ( لاقرب دقيقة ) والذي استغرقه 36 طالبا للاجابة عن أسئلة

امتحان ما :

فئات الزمن	20-24	25-29	30-34	35-39	40-44
التكرار	3	5	10	12	6

جد :

1- المدى

2- التباين والانحراف المعياري

3- المئين 25 حسابيا

4- المئين 75 بيانيا

5- الرتبة المئينية للزمن 36 دقيقة .