الرياضيات

نشاط: 2 ( البرهان على الخاصية 2

مثال: الهرم

ونسبة التكبير هي ، (P تكبير لهرم ( 1 (P نعتبر هرم ( 2

. k

. P2 (SB ',h ') و P1 (S B ,h ) نضع

2 3

2

' 1 ' ' 1 1

3 3 3

'

B B B V S h k S k h k S h

V k v

= × × = × × × × = × ×

= ×

-5 الهندسة الفضائية: تكبير  تصغير.

1. تعريف:

k إذا حصلنا على مجسم فضائي بضرب أبعاد مجسم فضائي آخر في عدد حقيقي

أآبر

قطعا من 1 ( أصعر قطعا من 1) نقول أننا قمنا بتكبير ( بتغير ) هذا الأخير.

سمى نسبة التكبير ( نسبة التصغير ). k

: 2. خاصية 1

مساحته بعد التكبير أو S' و k هي مساحة مجسم قبل تكبير أو تصغير نسبته S إذا آانت

S'= k 2S : التصغير فإن

: 3. خاصية 2

حجمه بعد التكبير أو V ' و k هو حجم مجسم قبل تكبير أو تصغير نسبته V إذا آان

V '= k 3V : التصغير فإن

تمرين 22 ص 222

•

• ( ) 1 ( ) P 2 P الهرم

الهرم

) 2 P

) 1 P

(

) تصغير للهرم

(P تكبير للهرم ( 1

) 2 P

.

(

.

: مرين تطبيقي 1

( تمرين تطبيقي 3: ( تمرين 22 ص 222

AB = 35cm SABCD

[SH]

25725cm

(P)

HH'= 27cm

هرم قاعدته المربع حيث:

وارتف طوله .

ABCD منتصف I و AB = مكعبا بحيث 4 ABCDEFGH ليكن

63cm اعه .[DC] القطعة

. 1. بين أن حجم هذا الهرم هو 3

1. أحسب المسافة .

2. نقطع هذا الهرم بالمستو الموازي لقاعدته ويبعد عن هذه

القا ( ).

ى

27cm عدة ب

FC

CIF 2. حدد طبيعة المثلث

. IF 3. أحسب المسافة

: تمرين تطبيقي 2

. SA'B'C'D' أحسب حجم الهرم المصغر

ABCDA'B'C'D

متوازي مستطيلات قائم بحيث: 3. ما هو حجم المجسم ' . ABCDEFGH ليكن

. AB = 6cm و AD = 2cm و DH = 3cm

• أحسب حجم الهرم الذي قاعدته ورأسه

( تمرين : ( الامتحان الموحد دورة يونيو 2008

.AB = مكعب بحيث 6 ABCDEFGH

. H ADC

.HB 1) احسب

.HABD 2) احسب حجم الهرم

.HI = بحيث 2 [HD] نقطة من القطعة I 3) لتكن

I والمار من (ABD ) المستوى الموازي للمستوى

.K في [HA ] ويقطع القطعة J في [HB ] يقطع

. IJK احسب مساحة المثلث

حساب الحجوم

S ومساحته الكلية V الجسم تعريفه حجمه

الموشور القائم

مجسم أوجهه الجانبية مستطيلات

وقاعدتاه مضلعان متقايسان.

2

V B h

S B p

= ×

= + h

محيط p حيث

القاعدة

مساحة القاعدة B

متوازي

المستطيلات

موشور قائم قاعدتاه مستطيلان

(متقايسان).

S =2(ab +bc +ca)

V =abc

المكعب

موشور قائم آل وجه من أوجهه

عبارة عن مربع.

الهرم

مجسم أوجهه الجانبية مثلثات لها

رأس مشترك وقاعدته مضلع.

الأسطوانة القائمة

مجسم دوراني "يولده"دوران

مستقيم حول مستقيم يوازيه،

قاعدتاه قرصان متقايسان.

السطح الجانبي "بعد النشر "

عبارة عن مستطيل.

B

3

V = B h

( )

( )

2

2 2

2

V Bh r h

S r rh

S rr h

π

π π

π

= =

= +

= +

V = a3

S = 6a2

مساحة القاعدة B

مساحة القاعدة B

الدالة الخ طي ة  الدالة التآلفية

المستوى: السنة الثالثة ثانوي إعدادي.

المراجع:  آتاب التلميذ " المفيد  المحيط "  التوجيهات التربوية.

الأستاذ: عمر بن ايكو.

الكفايات الأهداف

x 􀀶ax +b و x 􀀶ax : • التعرف على الكتابة

(x )

واستعمال

. y = f : الكتابة

• إنشاء وتأويل التمثيل المبياني لدالة خطية ودالة تآلفية.

• التعامل مع المبيان وقراءة صورة عدد وتحديد عدد صورته

معلومة من خلال التمثيل المبياني لدالة خطية أو دالة تآلفية.

• تعرف دالة خطية وتمثيلها المبياني.

• قراءة التمثيل المبياني.

• تعرف دالة تآلفية وتمثيلها المبياني.

• تحديد معامل دالة تآلفية.

• استعمال الدوال الخطية التآلفية في حل مسائل.

المكتسبات _________القبلية الامتدادات

• التناسبية وخصائصها.

• التمثيل المبياني لدالة خطية وربطها بالتناسبية والنسب

المئوية.

. f (a) • صورة عدد بدالة خطية والكتابة

• الدوال العددية.

• النظمات.

• الإحصاء.

• مسائل عددية وهندسية.

ملاحظات

• الاعتماد على دراسة وضعيات في التناسب تعرض لها التلاميذ في الأقسام السابقة لتحديد معامل التناسب وإبراز

وتناول بعض المفردات الخاصة بالدوال. x 􀀶ax علاقة خطية بين متغيرين ثم تقديم الدالة الخطية وإدخال الكتابة

• يجب توظيف الدالة التآلفية في حل مسائل متنوعة.

• اقتراح أمثلة يكون فيها التمثيل المبياني ليس مستقيما(علاقة مساحة شكل مربع بضلع متغير).

• عدم الإفراط في تحديد صيغة دالة خطية أو تآلفية انطلاقا من إعطاء أعداد وصورها أو نقطتين من تمثيلها.

تصميم الدرس

الدالة الخطية -I

-1 الدوال الخطية

تعريف 􀂃

أمثلة. 􀂃

-2 معامل دالة خطية

. خاصية 1 􀂃

تطيق. 􀂃

-3 التمثيل المبياني لدالة خطية.

. خاصية 2 􀂃

مثال. 􀂃

ملاحظة. 􀂃

الدالة التآلفية -II

-1 الدوال التآلفية

-2 معامل دالة تآلفية

-3 التمثيل المبياني لدالة تآلفية

تطبيق -III

الأنشطة

: نشاط 1

هل محيط مربع متناسب مع طول أحد أضلاعه؟ . x مربع طول ضلعه ABCD

املأ الجدول التالي:

13 5 1 x

محيط المربع

.1

لأحد أضلاع المربع بمحيطه هي علاقة خطية نرمز لها ب: x التي تربط الطول f 2. العلاقة

. y = f (x ) = 4x : ونكتب x 􀀶 4x

. f بالدالة الخطية x تسمى صورة العدد f (x )

2 ؛1.5 ؛ أ- حدد صورة الأعداد التالية: 1

4

. f بالدالة

. f ب- ما هو العدد الذي صورته هي 6 بالدالة

( ص 150 II نشاط 2: ( نشاط

g (x ) = 2x : بحيث g نعتبر الدالة الخطية

g (− و ( 3 g (1)

.

أ- احسب .

. الذي صورته 3 x ب- حدد العدد

ج- انقل وأتمم الجدول جانبه، ثم أنشئ

في B و A و F و E و O النقط

. (O, I ,J ) معلم

د- ما ذا تستنتج؟

x y = g (x ) M (x , y )

0 O (0,...)

1 E (1,...)

3 F (3,...)

-2 A (−2,...)

-5 B (−5,...)

: نشاط 3

تقترح خزانة لكراء الكتب على القراء التعريفة التالية: ( )

دفع مبلغ ثابت قدره 40 درهما للانخراط وأداء 5 دراهم عن آل آتاب.

-1

أ- املأ الجدول التالي:

عدد الكتب 2 3 4 10

المبلغ الواجب أداؤه

ب- هل الجدول جدول متناسب؟

g x بالمبلغ x العلاقة التي تربط عدد الكتب g -2

g (x ) = 5x + أن 40

g : x 􀀶5x + ها ب: 40 g

g (x ) = 5x + 40 :

g (13) g (7)

الواجب أداؤه.

أ- بين .

العلاقة ____________تسمى دالة تآلفية نرمز ل

ونكتب

ب- احسب و .

ج- ما هو المبلغ الواجب أداؤه عند آراء 140 آتاب؟

: نشاط 4

. f (x ) = −2x + الدالة التآلفية المعرفة بما يلي: 5 f لتكن

1. أتمم الجدول التالي:

x -3 2 4 9

f (x ) -5

.2

(9) ( أ- احسب ( 4

9 4

f − f

−

(4) ( و 3

4 ( 3)

f − f − )

− −

( 3) ( و ( 2

3 2

f − − f

− −

.

(2009) ( ب- تضنن قيمة العدد ( 2008

2009 2008

f − f

.

−

b

f (a) f (b ) : و عددين حقيقيين مختلفين. احسب a ج- ليكن

a b

− .

−

. f 3. أنشئ التمثيل المبياني للدالة التآلفية

الدرس تقويم مرحلي  ملاحظات

الدالة الخطية: -I

-1 الدوال الخطية:

تمرين 3 ص 157

أمثلة:

: مثال 1

: دالة خطية معاملها 3 f

x 􀀶f (x ) = 3x

f (2) = 3× 2 = صورة 2 هي: 6 􀂃

f ( 3) = صورة 3 هي: 3 3 􀂃

f (0) = 3×0 = صورة 0 هي: 0 􀂃

( )

صورة 1- هي: 􀂃

f −1 = 3×(−1) = −3

: مثال 2

. 15 cm هو قياس ارتفاع هرم قاعدته مربع طول ضلعه x ليكن

لهذا الهرم هي دالة خطية V (x ) بالحجم x العلاقة التي تربط

معرفة

( ) = 1 ×x × ب: 2

( )

15

3

V x

( )

1 225

3

75

x

V x x

= × ×

=

V x

V (2) = 75×2 = صورة العدد 2 هي: 150

-2 معامل دالة خطية:

تطبيق:

. f (2) = − إدا علمت أن 3 f ( دالة خطية. احسب ( 5 f لتكن

-3 التمثيل المبياني لدالة خطية:

مثال

f (x ) = 3x : بحيث f نعتبر الدالة الخطية

نا:

.

. f (1) = و 3 f (0) = لدي 0

x 0 1

f (x ) 0 3

(O, I ,J ) في معلم f التمثيل المبياني للدالة

( تين ( 0,0

هو

O المستقيم المار من النقط

.M ( و ( 1,3

ملاحظة :

تمرين 4 ص 157

تمرين 7 ص 157

تمرين 8 ص 157

عددا حقيقيا معلوما. a ليكن

a ax بالجداء x التي تربط آل عدد حقيقي f العلاقة

:

تسمى دالة خطية معاملها ونكتب:

. f بواسطة الدالة x هي صورة ax ونقول إن f x 􀀶ax

. f (x ) = ax : ونرمز لذلك بما يلي

تعريف:

: خاصية 1

f (x )

. f عددا حقيقيا غير منعدم. فإن هو معامل الدالة x دالة خطية و f إذا آانت

x

O هو مستقيم يمر من أصل المعلم f التمثيل المبياني لدالة خطية ، (O, I , J ) في معلم

ونقطة

: خاصية 2

.M (x ,f (x ))

. f (x ) = y : تعني f تنتمي إلى التمثيل المبياني لدالة خطية A (x , y )

الدالة التآلفية: -II

-1 الدوال التآلفية:

تمرين 13 ص 158

مثال:

: مثال 1

x 􀀶f (x ) = 2x + دالة تآلفية 3 f

f (2) = 2×2 + 3 = صورة 2 هي: 7 􀂃

f ( 3) = 2 3 + صورة 3 هي: 3 􀂃

f (0) = 2×0 + 3 = صورة 0 هي: 3 􀂃

f (−1) = 2×(−1) + 3 = صورة 1- هي: 1 􀂃

-2 معامل دالة تآلفية:

تطبيق:

. f (5) = و 6 f (2) = − إدا علمت أن 3 f ( دالة تآلفية. احسب ( 7 f لتكن

-3 التمثيل المبياني لدالة تآلفية:

مثال

f (x ) = 3x + بحيث: 1 f نعتبر الدالة الخطية

نا:

.

. f (1) = و 4 f (0) = لدي 1

x 0 1

f (x ) 1 4

(O, I ,J ) في معلم f التمثيل المبياني للدالة

J ( هو المستقيم المار من النقطتين ( 0,1

.M ( و ( 1,4

ملاحظة:

. f (x ) = y : تعني f تنتمي إلى التمثيل المبياني لدالة تآلفية M (x , y )

تمرين 19 ص 159

تمرين 23 ص 159

تمرين 24 ص 159

عددان حقيقيان معلومان. b و a ليكن

a تسمى دالة خطية معاملها ax +b بالعدد x التي تربط آل عدد حقيقي f العلاقة

:

ونكتب:

. f بواسطة الدالة x هي صورة ax +b ونقول إن f x 􀀶ax +b

. f (x ) = ax +b : ونرمز لذلك بما يلي

تعريف:

: خاصية 1

f ( ) ( )

عددين حقيقيين مختلفين. فإن x ' و x دالة تآلفية و f إذا آانت

'

'

x f x

x x

−

−

هو معامل

التمثيل المبياني لدالة ، (O, I ,J ) في معلم

: خاصية 2

.M (x , f (x )) تآلفية هو مستقيم يمر من النقط

تطبيق: ( مسألة هندسية ) تمرين 12 ص 158 -III

2 ( أنظر الشكل ) تمرين 47 ص 162 x مربعا طول ضلعه ABCD ليكن

[BC ] و [AD] و [DC ] منتصفات القطع K و J و I ليكن

على التوالي.

. x بدلالة f (x ) محيط الجزء الملون. أحسب f (x ) -1 ليكن

دالة خطية. x 􀀶f (x ) -2 هل العلاقة

. 6π : لكي يكون محيط الجزء الملون يساوي x -3 حدد قيمة العدد

المستوى: السنة الثالثة ثانوي إعدادي.

المراجع:  آتاب التلميذ " المفيد  المحيط "  التوجيهات التربوية.

الأستاذ: عمر بن ايكو.

الكفايات الأهداف

• التعرف على وسيطات الوضع لمتسلسلة إحصائية.

• توظيف التمثيلات المبيانية الاعتيادية.

• تقريب مفهوم التشتت.

• تعرف وسيطات الوضع لمتسلسلة إحصائية: المعدل الحسابي

القيمة الوسطية  المنوال.

• التمييز بين المعدل الحسابي والقيمة الوسطية واستعمالها في

تأويل نتائج دراسة إحصائية وتحديدها مبيانيا.

• تعرف مفهوم التشتت بمقارنة جدولين أو تمثيلين لمتسلسلة

إحصائية.

المكتسبات القبلية الامتدادات

• الساآنة الإحصائية  الميزة  الحصيص  الحصيص المتراآم

الحصيص الإجمالي  التردد  التردد المتراآم  المعدل الحسابي

 النسبة المئوية .

• المبيانات الإحصائية: مخطط بالقطبان  مخطط بالأشرطة

مخطط دائري أو نصف دائري  خط منكسر.

• دروس الإحصاء بالمستويات الدراسية اللاحقة.

• الجغرافيا.

• علوم الحيات والأرض.

• العلوم الفيزيائية والكيمياء.

ملاحظات

• ينبغي الحرص على أن تكون المعطيات الإحصائية، موضوع الدراسة، حقيقية ومستقاة من مجالات متنوعة، اجتماعية أو اقتصادية أو

علمية، ذات صلة بالحياة العامة للتلميذ و من مواد دراسية أخرى يتعود التلاميذ من خلالها على جمع المعطيات وتنظيمها في جداول

ومبيانات.

• يتم حساب الوسيطات الإحصائية وتأويلها بدف الإجابة على تساؤلات مرتبة بدراسة الظواهر والقيام باستنتاجات.

• تتم مقارنة متسلسلتين إحصائيتين من خلال آشفين أو جدولين أو تمثيلين مبيانيين.

• يمكن استغلال البرانم المعلوماتية المندمجة في الحواسب في حدود المتوفر بالمؤسسات التعليمية.

واسطات الوضع لمتسلسلة إحصائية متقطعة. .I

-1 المعدل الحسابي أو القيمة المتوسطة.

تعريف. 􀂃

مثال. 􀂃

-2 القيمة الوسطية.

تعريف. 􀂃

أمثلة. 􀂃

طريقة تحديد القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية ممثلة بجدول الحصيصات. 􀂃

-3 المنوال.

تعريف. 􀂃

مثال. 􀂃

واسطات الوضع لمتسلسلة إحصائية بأصناف. .II

-1 المعدل الحسابي أو القيمة المتوسطة.

-2 القيمة الوسطية.

-3 المنوال.

الإحصاء

تصميم الدرس

واسطات الوضع لمتسلسلة إحصائية متقطعة : المعدل الحسابي (القيمة المتوسطة) - القيمة الوسطية – المنوال. (I

1) المعدل الحسابي أو القيمة المتوسطة:

نعتبر المتسلسلة الإحصائية الممثلة بالجدول التالي:

10 11 4 7 عدد الأطفال ( قيم الميزة) 2

25 12 0 2 عدد الأسر ( الحصيصات) 3

N = • الحصيص الإجمالي هو : 42

(3 2) (7 2) (4 0) (11 12) (10 25) • المعدل الحسابي أو القيمة المتوسطة هو : 9,6

42

M × + × + × + × + ×

= 􀀑

2) القيمة الوسطية :

• متسلسلة إحصائية ، حصيصها الإجمالي فردي : • متسلسلة إحصائية ، حصيصها الإجمالي زوجي :

1􀀈−􀀋1􀀋−􀀉2 −􀀋3􀀋−􀀊4 − 5􀀈−􀀋6􀀋−􀀉6 −􀀋7􀀋−􀀊8 4􀀈−􀀋5􀀉− 5􀀋−􀀊6 − 7 −8􀀈−􀀋9􀀉− 9􀀋−􀀊10

4 قيم 4قيم 5 قيم 5 قيم

طريقة تحديد القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية ممثلة بجدول الحصيصات: ♣

نعتبر المتسلسلة الإحصائية الممثلة بالجدول التالي:

13 12 11 10 8 نقط الفرض ( قيم الميزة) 6

1 2 1 5 4 عدد التلاميذ (الحصيصات) 2

15 14 12 11 6 الحصيصات المتراآمة 2

N = • الحصيص الإجمالي هو : 15

• نصف الحصيص الإجمالي هو : 15 7,5

2 2

N = =

• نحدد في سطر الحصيصات المتراآمة قيمة الميزة الموافقة ل 7,5 نجد أنها 10

إذن 10 هي القيمة الوسطية لهذه المتسلسلة.

3) المنوال:

مثال:

15 13 11 عدد حوادث السير (قيم الميزة) 10

1 2 12 عدد الضحايا ( الحصيصات) 3

المعدل الحسابي أو القيمة المتوسطة لمتسلسلة إحصائية هو خارج مجموع جداءات قيم الميزة و الحصيصات الموافقة

لها على الحصيص الإجمالي.

تعريف:

مثال:

نعتبر متسلسلة إحصائية بحيث قيم ميزتها مرتبة ترتيبا تزايديا ، القيمة الوسطية هي قيمة الميزة التي تقسم هذه

المتسلسلة الإحصائية إلى جزأين متساويين.

تعريف:

القيمة الوسطية

القيمة الوسطية في هذه الحالة هي آل عدد يوجد

(5+ 4) ÷ 2 = بين 5 و 4 .نأخذ مثلا : 4,5

أمثلة:

ملاحظة هامة:

دها 􀑧 م تحدي 􀑧 ي ت 􀑧 لاحظ أن القيمة الوسطية الت

غر 􀑧􀑧􀑧􀑧􀑧􀑧 ة لأص 􀑧􀑧􀑧􀑧􀑧􀑧 زة الموافق 􀑧􀑧􀑧􀑧􀑧􀑧 ة المي 􀑧􀑧􀑧􀑧􀑧􀑧 ي قيم 􀑧􀑧􀑧􀑧􀑧􀑧 ه

الحصيصات المتراآمة، الأآبر من أو

تساوي نصف الحصيص الإجمالي .

تعريف منوال متسلسلة إحصائية هو قيمة الميزة التي لها أآبر حصيص.

قيمة الميزة التي لها أآبر حصيص هي 11 و هي المنوال.

واسطات الوضع لمتسلسلة إحصائية بأصناف: المعدل الحسابي (القيمة المتوسطة) - القيمة الوسطية – المنوال. ( II

1) المعدل الحسابي أو القيمة المتوسطة:

نعتبر المتسلسلة الإحصائية الممثلة بالجدول أسفله :

50 ≤ x < 60 40 ≤ x < 50 30 ≤ x < 40 20 ≤ x < أوزان التلاميذ (أصناف) 30

11 16 13 عدد التلاميذ ( الحصيصات) 10

• إذا آانت النتائج ممثلة آما هي في الجدول أعلاه، فان المتسلسلة تسمى : متسلسلة إحصائية بأصناف.

• لحساب المعدل الحسابي لهذه المتسلسلة الإحصائية نحدد مراآز الأصناف ، ثم نحسب المعدل:

50 ≤ x < 60 40 ≤ x < 50 30 ≤ x < 40 20 ≤ x < أوزان التلاميذ (أصناف ) 30

55 45 35 مراآز الأصناف (قيم الميزة) 25

11 16 13 عدد التلاميذ ( الحصيصات) 10

N = • الحصيص الإجمالي هو : 50

(25 10) (35 13) (45 16) (55 11) • المعدل الحسابي أو القيمة المتوسطة هو : 40,6

50

M × + × + × + ×

= 􀀑

2 ) القيمة الوسطية:

نعتبر المتسلسلة الإحصائية بأصناف السابقة، الممثلة بالجدول التالي:

50 ≤ x < 60 40 ≤ x < 50 30 ≤ x < 40 20 ≤ x < أوزان التلاميذ (أصناف) 30

11 16 13 عدد التلاميذ ( الحصيصات) 10

50 39 23 الحصيصات المتراآمة 10

N = • الحصيص الإجمالي هو : 50

• نصف الحصيص الإجمالي هو : 50 25

2 2

N = =

( 40 ≤ x < • القيمة الوسطية توجد في الصنف الموافق لنصف الحصيص الإجمالي : 25 أي الصنف ( 50

3 ) المنوال:

نعتبر المتسلسلة الإحصائية بأصناف السابقة:

50 ≤ x < 60 40 ≤ x < 50 30 ≤ x < 40 20 ≤ x < أوزان ____________التلاميذ (أصناف) 30

11 16 13 عدد التلاميذ ( الحصيصات) 10

40 و يسمى صنف منوال. ونختار مرآز الصنف آمنوال. ≤ x < • الصنف الذي له أآبر حصيص هو : 50

إذن منوال هذه المتسلسلة هو : 45

تمرين:

تمثل النتائج التالية عدد ساعات الغياب خلال أسبوع واحد ، لمجموعة مكونة من 21 تلميذا.

3 4 5 2 1 7 4 6 1 3 1

1 2 3 2 3 5 2 1 5 1

− − − − − − − − − − − −

− − − − − − − − − − −

1. أحسب معدل الساعات التي تغيبتها هذه المجموعة من التلاميذ.(القيمة المتوسطة).

.2

أ- رتب ترتيبا تزايديا جميع ساعات الغياب.

ب- حدد قيمة " عدد ساعات الغياب " التي توجد في وسط هذه المتسلسلة.

( أي التي تقسم هذه المتسلسلة الإحصائية إلى جزأين متساويان). نسميها " القيمة الوسطية".

ج- ماذا يمكن أن نقول عن المعدل المحصل عليه في السؤال 1) ونتيجة السؤال –ب-؟

3. حدد عدد ساعات التي تغيبها أآبر عدد من التلاميذ خلال الأسبوع.(المنوال).

4. أعطي جدول الحصيصات .(أي جدول ينظم النتائج أعلاه).

5. أعد حساب المعدل انطلاقا من الجدول.

6. أحسب الحصيصات المتراآمة.

7. ما هو نصف الحصيص الإجمالي ؟ حدد قيمة الميزة الموافقة له.

ثم قارنها بنتيجة سؤال 2)-ب-__