الاشكال الهندسية

د- صور بعض الأشكال الهندسية:

صورة قطعة– نصف مستقيم: .a

AB بالإزاحة ذات المتجهة [MN] - صورة القطعة

􀁊􀁊􀁊􀁇

هي القطعة

MN = M 'N ' .[M 'N ']

)

AB بالإزاحة ذات المتجهة [MN - صورة نصف مستقيم

􀁊􀁊􀁊􀁇

' ')

هو

.[M N نصف المستقيم

صورة مستقيم: .b

AB (D قيم ( 1

􀁊􀁊􀁊􀁇 ( ) 2 D صورة المست بالإزاحة ذات المتجهة هي المستقيم

صورة مستقيم بإزاحة هو مستقيم يوازيه.

صورة زاوية: صورة دائرة: .c

و بالإزاحة M و N على التوالي صور النقط P' وM ' و N '

ذات المتجهة

P

AB

􀁊􀁊��􀁇

. N 'M􀁭'P' هي الزاوية NM􀁭P . صورة الزاوية

صورة زاوية بإزاحة هي زاوية تقايسها.

.d

على M ' و O' ، (C) نقطة من M و O دائرة مرآزها (C)

AB بالإزاحة ذات المتجهة M و O التوالي صورتي

􀁊􀁊􀁊􀁇

.

.O’M’ و شعاعها O’ هي دائرة التي مرآزها (C ')

AB C (C ')

􀁊􀁊􀁊􀁇

هي صورة ( ) بالإزاحة ذات المتجهة .

صورة دائرة بإزاحة هي دائرة لها نفس الشعاع.

المستوى: السنة الثالثة ثانوي إعدادي.

المراجع:  آتاب التلميذ " المفيد  المحيط "  التوجيهات التربوية.

الأستاذ: عمر بن ايكو.

الكفايات الأهداف

• تحديد إحداثيتي متجهة.

• تحديد إحداثيتي منتصف قطعة.

• تحديد إحداثيتي مجموع متجهتين.

• تحديد المسافة بين نقطتين معرفتين بإحداثيتيهما.

• تعرف معلم متعامد وأفصول وأرتوب نقطة أو متجهة

للاستعمال والتمثيل.

• تعرف واستعمال إحداثيتي منتصف قطعة ومجموع

متجهتين وضرب متجهة في عدد حقيقي.

• حساب المسافة بين نقطتين وتوظيفها في وضعيات مختلفة.

• حل مسائل هندسية باستعمال المعلم والإحداثيات.

المكتسبات القبلية الامتدادات

• المستقيم المدرج.

• متوازي الأضلاع.

• الإزاحة والمتجهات.

• مبرهنة فيتاغورس.

• الدوال الخطية- الدوال

التآلفية.

• معادلة مستقيم.

• النظمات.

• الدوال العددية.

• الإحصاء.

• مواد أخرى " الفيزياء –

الجغرافيا - طبيعيات ".

ملاحظات

• التذآير بأفصول وأرتوب نقطة وتثبيت المصطلحات ثم الاستعمال والتمثيل.

• ينبغي ربط إحداثيتا نقطة بإحداثيتي متجهة.

-1 المعلم  إحداثيتا نقطة.

. أ- تعريف 1

. ب- تعريف 2

ج- ملاحظة.

-2 إحداثيتا متجهة.

أ- تعريف .

ب- مثال.

-3 تساوي متجهتين.

أ- خاصية.

ب- تطبيق.

-4 إحداثيتا مجموع متجهتين.

أ- خاصية.

ب- مثال.

-5 إحداثيتا منتصف قطعة.

أ- خاصية.

ب- مثال.

-6 المسافة بين نقطتين.

أ- خاصية.

مثال.

المعلم في المستوى

تصميم الدرس

ب-

1. المعلم  إحداثيتا نقطة:

: أ- تعريف 1

. (O, I ,J ) يكونان معلما للمستوى O متقاطعان لهما نفس الأصل (OJ ) و (OI ) مستقيمان مدرجان

. (O, I ,J ) نقول أن المستوى منسوب إلى المعلم

معلم غير متعامد وغير ممنظم معلم متعامد وغير ممنظم معلم متعامد ممنظم

غير متعامدان. (OJ ) و (OI ) 􀂃

OI ≠OJ 􀂃

متعامدان. (OJ ) و (OI ) 􀂃 . متعامدان (OJ ) و (OI ) 􀂃

OI =OJ 􀂃 OI ≠OJ 􀂃

: ب- تعريف 2

نقطة من المستوى. M معلما متعامدا و (O, I ,J ) ليكن

يسمى (OJ ) بتواز مع (OI ) على M مسقط النقطة 􀀢

. x M : ونرمز له ب M أفصول النقطة

يسمى (OI ) بتواز مع (OJ ) على M مسقط النقطة 􀀢

. y M : ونرمز له ب M أرتوب النقطة

.M يسمى إحداثيتي النقطة (x M ; y M ) الزوج 􀀢

M M (x M ; y M ) نكتب 􀀢

M

x

M

y

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

أو .

ج- ملاحظة:

0 M . (M (x M ;0)) y = : نقطة تنتمي إلى محور الأفاصيل، فإن M إذا آانت 􀀢

. (M (0; y M )) x M = نقطة تنتمي إلى محور الأراتيب، فإن: 0 M إذا آانت 􀀢

2. إحداثيتا متجهة:

أ- تعريف:

. (O, I ,J ) نقطتان من المستوى المنسوب إلى معلم متعامد B (x B ; y B ) و A (x A ; y A ) لتكن

AB

􀁊􀁊􀁊􀁇

AB (x B − x A ; y B − y A ) : نكتب . y B − y A و x B − x A : إحداثيتا المتجهة هما

􀁊􀁊􀁊􀁇

ب- مثال:

. B ( و ( 5;3 A ( لدينا: ( 2;1

⎩ − = −

إذا آانت متجهتان متقايستان فإن لهما نفس

الإحداثيات.

إذا آانت متجهتان لهما نفس الإحداثيات فإنهما

متقايستان.

ب- تطبيق:

M (1;−3) ( نعتبر المتجهتين. ( 4 (O, I ,J ) في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد

AB = MN

AB −1;

􀁊􀁊􀁊􀁇

و .

بحيث N حدد إحداثيات النقطة

􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇

.

4. إحداثيتا مجموع متجهتين:

أ- خاصية:

نعتبر المتجهتين (O, I , J ) في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد

AB (a;b )

􀁊􀁊􀁊􀁇

(c;d ) و

􀁇

CD

إحداثيتا منتصف قطعة:

نعتبر النقطتين (O, I , J ) في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد

( ; ) A A . B (x B ; y B ) و A x y

. [AB ] منتصف القطعة M (x M ; y M ) لتكن

. [AB ] منتصف القطعة M

􀁊A􀁊􀁊M􀁊 = MB : يعني أن

􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇

MB يعني أن: للمتجهتين

􀁇

AM و

􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇

نفس الإحداثيات.

يعني أن:

B M M A

A B A B ⎛ x + x y + y ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

M

أ- خاصية:

نقطتين من المستوى B (x B ; y B ) و A (x A ; y A ) إذا آانت

فإن: . (O, I ,J ) المنسوب إلى معلم متعامد

2

A B x + x

و

2

A B y + y

. [AB ] هما إحداثيتا منتصف القطعة

ب- مثال:

[AB ] منتصف M و B (4;− و ( 1 A (− لتكن ( 3;1

.

 المسافة بين نقطتين:

نعتبر (O, I ,J ) في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم

. B (x B ; y B ) و A (x A ; y A ) النقطتين

.C قائم الزاوية في ABC المثلث

. AB 2 =CA 2 +CB إذن حسب مبرهنة فيتاغورس فإن: 2

AB = CA 2 +CB إذن: 2

A C : لدينا

A B

 y

أ- خاصية ب- مثال:

نقطتين من المستوى ) B (x B ; y B ) و A (x A ; y A ) إذا آانت

فإن: . (O, I ,J ) المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم

( )2 ( )2

A B A B AB = y − y + x − x

B − و ( 4;1 A (− لتكن ( 3;3

(O, I ,J ) ممنظم

( ( )) ( )

في معلم متعامد

.

لدينا:

تمرين تمرين

A (− نعتبر النقط ( 2;1 (O, I ,J ) في معلم متعامد ممنظم

.C ( و ( 2;2 B (1;− و ( 2

.C و B و A -1 أنشئ النقط

[AB ] منتصف القطعة E -2 حدد إحداثيتي النقطة

D

.

AB بالإزاحة ذات المتجهة C -3 لتكن صورة

􀁊􀁊􀁊􀁇

D

.

. (O, I ,J ) أ- أنشئ في نفس المعلم

تمرين

. E (2;− و ( 3 A (− نعتبر النقطتين ( 1;1

. E و A -1 مثل النقطتين

بالنسبة للنقطة A مماثلة النقطة B -2 حدد إحداثيات النقطة

. E

التي (℘) تنتمي إلى الدائرة C ( -3 بين أن النقطة ( 5;1

[AB ] قطرها

=CA − AB

.

CD : بحيث D -4 حدد إحداثيات النقطة

􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇

تمرين

و B(2 ; و ( 3 A(-2 ; معلم متعامد و ( 1 (O , I , J )

ثلاث نقط من المستوى. C(1 ;-3)

منتصف القطعة M 1) حدد زوج إحداثيتي النقطة

.[AB]

و زوج إحداثيتي AB 2) حدد زوج إحداثيتي المتجهة

. AC المتجهة

. M و C و B و A 3) أنشئ في المعلم النقط

. AM + 2AC = AD التي تحقق D 4) أنشئ النقطة

في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ( )،

نعتبر النقط :

O; I; J ممنظم

. D و C و B و A

(1

. D و 􀁊C􀁊􀁊􀁇، B ، A حدد إحداثيات النقط (a

DC

􀁊􀁊􀁊􀁊􀁇

و . AB أحسب إحداثيات المتجهتين (b

DC و AB أحسب المسافات (c

ABCD

.

2) حدد طبيعة الرباعي .

. ABCD مرآز الرباعي I 3) حدد إحداثيتي النقطة

المستوى: السنة الثالثة ثانوي إعدادي.

المراجع:  آتاب التلميذ " المفيد  المحيط "  التوجيهات التربوية.

الأستاذ: عمر بن ايكو.

الكفايات الأهداف

• المعادلة المختصرة لمستقيم.

• المعامل الموجه  الميل. شرط توازي مستقيمين  شرط

تعامد مستقيمين:

• التعبير والتعرف على توازي مستقيمين أو تعامد

مستقيمين.

M (x ; y ) • تعرف أن المستقيم مكون من جميع النقط

y = ax +b

التي تحقق .

• آتابة معادلة مختصرة لمستقيم من نقطتين.

• تمثيل مستقيم باستعمال المعادلة المختصرة.

• استعمال المعامل الموجه في التعرف على توازي وتعامد

مستقيمين.

المكتسبات القبلية الامتدادات

• الدالة الخطية والدالة التآلفية.

• استقامية النقط.

• المتجهات.

• إحداثيات نقطة في معلم.

• الحساب المثلثي.

• مسائل عددية وهندسية.

• الدوال العددية.

• مواد أخرى "فيزياء  آيمياء".

ملاحظات

" y = ax +b ، f (x ) = ax +b " . • ينبغي الربط بين معادلة مستقيم والدالة التآلفية

• ربط هذه الفقرة بحل نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين.

.GeoGebra • الأنشطة أنجزت بواسطة

معادلة مستقيم

تصميم الدرس

1. معادلة مستقيم.

أ- تعريف وخاصية.

ب- أمثلة.

ج- ملاحظة.

د- خاصية.

ه- حالات خاصة.

2. شرط توازي مستقيمين.

أ- خاصية.

ب- أمثلة.

3. شرط تعامد مستقيمين.

أ- خاصية.

ب- أمثلة.

نشاط محتوى الدرس التقويم المرحلي

معادلة مستقيم:

أ-

: نشاط 1

نقبل أن:

tan (β ) = − tan(1800 −β )

1 .

تعريف وخاصية:

. (O, I ,J ) مستقيم من المستوى المنسوب إلى معلم متعامد (Δ) ليكن

y = mx + p فإن ، (Δ) نقطة من المستقيم M (x ; y ) بحيث، إدا آانت ، p و m يوجد عددان حقيقيان

y mx p

.

. (Δ) المتساوية + = تسمى المعادلة المختصرة للمستقيم

. (Δ) أو ميل المستقيم (Δ) يسمى المعامل الموجه للمستقيم m

يسمى الأرتوب عند الأصل. p

ب- أمثلة:

. (D المعادلة المختصرة للمستقيم ( 1

1

on a tan( ) 3

 المعادلة المختصرة للمستقيم ( 2

لدينا: 3 1

6 2

tan(θ ) = =

إذن: 1

2

m =

و

1 ( 3) 0

2

3

2

p

p = − × − +

=

إذن: 2

: 1 3

2 2

D y = x +

ج- ملاحظة:

(D بالنسبة للمستقيم ( 2 (D بالنسبة للمستقيم ( 1

(D نقطتان من ( 1 A( و ( 0;3 I (4;−3)

لدينا:

3 3

4 0

p = y A و

و محور الأراتيب. (D هي نقطة تقاطع المستقيم ( 1 A

(D نقطتان من ( 2 H ( و ( 1;2 E (3;3)

لدينا:

3 2

G p = y و

G 2 و محور الأراتيب. (D ) هي نقطة تقاطع المستقيم

: تمرين 1

(Δ) حدد معادلة المستقيم

A( 1,2)

المار من النقطة

. − ومعامله الموجه هو 3

2

: تمرين 2

المار من النقطتين (L) حدد معادلة المستقيم

. B (− و ( 3,3 A(5,−7)

: تمرين 3

نعتبر النقط:

و 3; 1 A(3,−4)

2

B ⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

و 2; 1

2

C ⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(AC )

( )

-1 حدد معادلة المستقيم .

BC -2 حدد معادلة المستقيم

( )

.

. AB -3 حدد معادلة المستقيم

: تمرين 4

نعتبر النقط:

C ( و ( 10;1 B (5; x ) و A (9;3)

C و B و A لكي تكون النقط x حدد قيمة

مستقيمية.

الطريقة المتبعة في

النشاط 1

د- خاصية: حالات خاصة:

B (x B , y B ) و A(x A , y A ) إذا آانت

y mx p : ه (D) م

نقطتين مختلفتين من

المستقي الذي معادلت + = فإن:

B A 􀂃

B A

m y y

x x

−

=

B A − . x ≠ x : مع العلم أن

مع محور (D) هو أرتوي نقطة تقاطع المستقيم m 􀂃

الأراتيب.

متعامد. (O, I , J ) ← مثل النقط التالية في معلم

A(−2,2),B (−1,2),C (0,2),D(1,2),E (3,2)

. (D ← استنتج معادلة مختصرة للمستقيم ( 1

. (D ← نفس الطريفة بالنسبة للمستقيم ( 2

ه-

← استنتج معادلة مختصرة لمحور الأفاصيل، ثم لمحور الأراتيب.

. نشاط 2 :2 . شرط توازي مستقيمين: تمرين 28 ص 173

-1 خاصية:

مستقيمان معادلتيهما المختصرتان على التوالي (D ') و (D) يكون مستقيمان متوازيين، إذا آان لهما نفس الميل. ليكن 􀂃

. y = a 'x +b ' و y = ax +b : إذا آان لمستقيمين نفس الميل، فهما متوازيان. هما 􀂃

. a ' = a فإن (D ') //(D) إذا آان 􀂃

. (D ') //(D) فإن a ' = a إذا آان 􀂃

-2 أمثلة:

تذآير:

مثلث قائم ABC

A الزاوية في

المسقط العمودي H و

(BC ) على A ل

لدينا:

AH 2 = BH ×CH

نشاط 3

:

3. شرط تعامد مستقيمين:

أ- خاصية:

(O, I ,J ) ليكن

ax b

معلما متعامدا ممنظما.

(D)

􀂃

􀂃

مستقيمان بحيث: (D ') و

(D ') : y a 'x b ' و (D) : y = +

إذا آان

إذا آا

a ×a ' 1

(D) (D ') ن

(D) (D ') − = ن

⊥

= +

، فإ

a a ' = − ، فإن 1

⊥

×

.

.

.

ب- أمثلة:

. تمرين 30 ص 173

. تمرين 31 ص 173

الهندسة الفضائية

حساب الحجوم  التكبير والتصغير

المستوى: السنة الثالثة ثانوي إعدادي.

المراجع:  آتاب التلميذ " المفيد  المحيط "  التوجيهات التربوية.

الأستاذ: عمر بن ايكو.

الكفايات الأهداف

• التعرف على حجوم المجسمات الاعتيادية التالية:

متوازي المستطيلات، المكعب، الهرم المنتظم، الأسطوانة

القائمة.

• تطبيق مبرهنة فيتاغورس لحساب بعض الأطوال والحجوم

في المجسمات الاعتيادية.

• تطبيق مبرهنة طاليس لحساب بعض الأطوال والحجوم في

المجسمات الاعتيادية.

• التعرف على أثر تكبير أو تصغير على الأطوال والمساحات

والحجوم.

• استعمال تكبير وتصغير الأشكال في حل مسائل.

• التذآير بالأوضاع النسبية لمستقيمين في الفضاء.

• تعرف مستقيم عمودي على مستوى.

• تطبيق مبرهنة فيتاغورس في الفضاء.

• تعرف أثر التكبير والتصغير على المساحات.

• تعرف أثر التكبير والتصغير على الحجوم.

• تطبيق مبرهنتي فيتاغورس طاليس لحساب بعض الأطوال

والحجوم.

المكتسبات القبلية الامتدادات

• الهرم.

• المخروط ألدوراني.

• الموشور القائم.(حساب المساحة الجانبية و الحجم)

• الأسطوانة. (حساب المساحة الجانبية و الحجم)

• المثلثات المتشابهة.

• مسائل عددية و هندسية.

• مواد أخرى آالفيزياء.

• التحويلات.

الأدوات الديداآتيكية ملاحظات  توجيهات تربوية

• الأدوات الهندسية:  المسطرة

 البرآار

• بعض المجسمات الفضائية المصنوعة من الكرتون.

• تعتبر جميع صيغ المساحات والحجوم مقبولة في هذا

المستوى.

• ينبغي دراسة وإبراز بعض الأوضاع النسبية والتعامد من

خلال أنشطة حول الموشور القائم.

k • آان معامل التكبير أو التصغير هو

k² k

يبرهن على أنة إذا

فإن الطول يضرب في والمساحة تضرب في مرة

. k والحجم يضرب في 3

تصميم الدرس:

الهندسة الفضائية: حساب الحجوم. .I

1. تعامد مستقيم ومستوى.

أ- تعريف.

. ب- خاصية 1

. ج- خاصية 2

2. المستويات المتعامدة.

أ- تعريف.

3. حساب الحجوم.

الهندسة الفضائية: تكبير  تصغير. .II

أ- تعريف.

. ب- خاصية 1

ج- خاصية 2

الأنشطة محتوى الدرس التقويم المرحلي

: نشاط 1

نقطة من M و ABCDEFGH نعتبر المكعب

.EFGH مستوى الوجه (P ) وليكن [GH ]

1) اذآر من بين المستقيمات الموجودة في

مستقيمين متوازيين. (P ) المستوى

2) اذآر من بين المستقيمات الموجودة في

مستقيمين متقاطعين. (P ) المستوى

(EM ) 3) حدد الوضع النسبي للمستقيمين

(AE ) ثم (AB ) و (HG ) ثم . (FG ) و

(EH )

و .

نشاط 2

لتكن

:

متوازي مستطيلات قائم. ABCDEFGH

منتصف N و [CH ] منتصف M

.[AC ]

-1 بين أن الرباعي متوازي أضلاع.

-2 نين أن المستقيم

و (ACH ) -3 حدد تقاطع المستويين

ABGH

(MN ) 􀀦 (CBG )

)

.

. (BDG

-4 الهندسة الفضائية: حساب الحجوم.

1. تعامد مستقيم ومستوى:

أ- تعريف:

. A في نقطة (P) مستقيم يقطع مستوى D ليكن

عمودي في النقطة D إذا آان ، A في نقطة (P) عمودي على المستوى D نقول أن المستقيم

. A والمارة من (P) على جميع المستقيمات الموجودة ضمن A

(P) ⊥ (D) أو (D) ⊥ (P) نكتب

ج-

)

. (P) ⊥ (D) : إذن ... (D) ⊥ (d3) ، (D) ⊥ (d2) ، (D) ⊥ (d1

: ب- خاصية 1

على A إذا آان عموديا في النقطة A في نقطة (P) عمودي على مستوى D يكون مستقيم

مستقيمين من

إذا

. A متقاطعين في (P)

: خاصية 2

عمودي في على جميع المستقيمات D فإن ، (P) عمودي على مستوى D مستقيم

(P) الموجودة ضمن

2. المستويات المتعامدة:

تمرين تطبيقي:

مكعبا ABCDEFGH ليكن

(AB) ⊥ (BCG) : • بين أن

(BC)

(BCG)

( )

.

و يوجدان (BF) 1. المستقيمات

ضمن المستوى .

. AB ⊥ (BF) .2

. (AB) ⊥ (BC) .3

(AB) ⊥ (BCG) من 1 و 2 و 3 نستنتج أن

(AD) ⊥ (HDC) :

.

• بين أن .

•

استنتج تعامدات أخرى لمستقيم ومستوى.

أ- تعريف:

و مستويان متعامدان في الفضاء إذا تضمن أحدهما مستقيما عموديا على (P) نقول أن

الآخر. ونكتب

(Q)

. (Q) ⊥ (P) أو (P) ⊥ (Q)

3. حساب الحجوم:( ورقة الحجوم)

التمرين 3 ص 208

نشاط: 1: ( تمهيد )

مثال: المثلث.

أطوال أضلاع المثلث بضرب أطوال أضلاع

المثلث في عدد حقيقي

ABC

مثلثان متشابهان ) ) . k

AC = k ×A 'C ' BC = k ×B 'C '

h = k × h ' AB = k × A 'B '