تمرين

. تمرين 34 ص 40

المستوى: السنة الثالثة ثانوي إعدادي.

المراجع:  آتاب التلميذ " المفيد  المحيط "  التوجيهات التربوية.

.

الكفايات الأهداف

• التمكن من خاصيات الترتيب والعمليات واستعمالها في

حل مسائل.

• التمكن من مختلف تقنيات مقارنة عددين واستعمال

المناسب منها حسب الوضعية المدروسة.

• مقارنة عددين حقيقيين بتحديد إشارة فرقهما.

• مقارنة تعبيرين باستعمال خاصيات الترتيب والعمليات.

• تأطير تعبير وتوظيفه في تأطير نتائج.

• تحديد قيم مقربة لعدد.

المكتسبات القبلية الامتدادات

• مقارنة عددين جذريين واستعمال القواعد المرتبطة

بالترتيب والجمع والضرب في عدد موجب.

• تأطير بعض الأعداد أو النتائج.

• المتفاوتة المثلثية.

• تقنيات الحساب العددي وقواعد الإشارة.

• المتراجحات.

• الدوال العددية.

• مسائل عددية وهندسية.

• مواد أخرى.

ملاحظات

• إن توظيف الترتيب في مقارنة بعض العمليات من التقنيات التي سبق للتلميذ أن مارسها سابقا، لذا ينبغي الحرص على

تثبيتها والسمو بها من خلال استعمال القواعد المرتبطة بالترتيب والعمليات.

• تقبل جميع الخاصيات المتعلقة بالترتيب والعمليات وتوظف في تأطير وتقريب مجموع وفرق عددين جذريين معلومين

وفي تأطير وتقريب جداء خارج عددين جذريين يكون آل منهما محصور بين عددين لهما نفس الإشارة وذلك من خلال

مسائل متنوعة وبسيطة مستقاة من حقل الرياضيات ومن مواد أخرى دون إفراط.

1. مقارنة عددين حقيقيين.

قاعدة. 􀂃

ملاحظة. 􀂃

2. الترتيب والجمع.

. خاصية 1 􀂃

أمثلة. 􀂃

3. الترتيب والضرب.

. خاصية 2 􀂃

أمثلة. 􀂃

حالة خاصة. 􀂃

4. الترتيب والمقلوب.

. خاصية 3 􀂃

5. الترتيب والمربع.

. خاصية 4 􀂃

6. التأطير.

تعريف. 􀂃

أمثلة. 􀂃

الترتيب والعمليات

تصميم الدرس

أنشطة الدرس تقويم مرحلي  ملاحظات

Relation d’ordre : علاقة ترتيب

خاصيات العلاقة ≥ ( يمكن التطرق إليها شفويا )

( Réflexive ) : خاصية 1

عدد حقيقي. x ليكن

. x ≤ x : لدينا

( Antisymétrique ) : خاصية 2

عددان حقيقيين. y و x ليكن

x y

( transitive ) : خاصية 3

أعداد حقيقية. z و y و x ليكن

x y

و ⇒

1. مقارنة عددين حقيقيين:

مثال 1 مثال 2

بحيث 5 b و a لنقارن العددين

4

و 8 b =

.a ≤ b ومنه a −b ≤ إذن 0

b = 2 3 − بحيث 4 b و a لنقارن العددين

.a = 3 − و 5

( 3 5) (2 3 4)

3 5 2 3 4

1 3 0

.a ≤ b ومنه a −b ≤ إذن 0

تمرين:

.a ≤ b أعداد حقيقية بحيث c و b و a ليكن

.b +c و a +c قارن العددين 􀂃

2. الترتيب والجمع:

مثال 1 مثال 2

a + 5 ≤10 + فإن 5 ،a ≤ إذا آان 10

a + 5 ≤ أي 15

b + 3− 3 ≤ −1− فإن 3 ،b + 3 ≤ − إذا آان 1

b ≤ − أي 4

مثال 3 مثال 4

x − 5 + 5 ≤ −10 + فإن 5 ، x − 5 ≤ − إذا آان 10

a ≤ − أي 5

فإن ، x + 2 ≤ y + إذا آان 2

x ≤ y أي x + 2 − 2 ≤ y + 2 − 2

تمرين 5 ص 94

تمرين 6 ص 94

.a −b ≤ يعني أن 0 a ≤ b . عددين حقيقيين b و a ليكن

قاعدة:

لمقارنة عددين حقيقيين نحدد إشارة فرقيهما.

ملاحظة:

.a +c ≤ b +c يعني أن a ≤ b : أعداد حقيقية c و b و a ليكن

: خاصية 1

تمرين:

.a ≤ b أعداد حقيقية بحيث c و b و a ليكن

.c حسب إشارة cb −ca حدد إشارة 􀂃

.cb و ca استنتج مقارنة للعددين 􀂃

___________بين ما يلي: 􀂃

أعداد موجبة. إذا y و x و b و a إذا آان

.ax ≤ by فإن x ≤ y و a ≤ b آان

I

II

x y xa ya

a b ya by

≤ ⇒ ≤

≤ ⇒ ≤

ax ≤ by نستنتج أن II و I من

3. الترتيب والضرب:

مثال 1 مثال 2

5× x ≤ 5× − فإن 3 ، x ≤ − إذا آان 3

5x ≤ − أي 15

1 ( 1) 1 ( − 3 ، فإن ( 3 y ≤ − إذا آان 1

3 3

y

− −

× − ≤ × −

أي 1

3

≤ y

تمرين 10 ص 94

تمرين:

عددين حقيقيين موجبين. b a ليكن

هي إشارة 1 1 a −b بين أن إشارة 􀂃

b a

. −

يعني أن 1 1 a ≤ b : استنتج أن 􀂃

b a

. ≤

4. الترتيب والمقلوب:

تمرين 28 ص 97

تمرين:

عددين حقيقيين موجبين. b a ليكن

هي إشارة a2 −b بين أن إشارة 2 􀂃

.a −b

a2 ≤ b يعني أن 2 a ≤ b : استنتج أن 􀂃

. a ≤ b يعني أن a ≤ b : وأن

5. الترتيب والمربع:

تمرين 34 ص 97

أعداد حقيقية. k و b و a ليكن

. ka ≤ kb : فإن ( k > و 0 a ≤ b ) إذا آان 􀂃

. kb ≤ ka : فإن ( k < و 0 a ≤ b ) إذا آان 􀂃

.ax ≤ by فإن x ≤ y و a ≤ b أعداد موجبة . إذا آان y و x و b و a إذا آان 􀂃

: خاصية 2

. −b ≤ −a يعني أن a ≤ b : عددان حقيقيان b و a ليكن

حالة خاصة :

عددين حقيقيين موجبين قطعا. b و a ليكن

يعني أن 1 1 a ≤ b

b a

≤

: خاصية 3

عددين حقيقيين موجبين. b و a ليكن

a2 ≤ b يعني أن 2 a ≤ b

a ≤ b يعني أن a ≤ b

: خاصية 4

نشاط:

مثلث محيطه محصور ABC ، في الشكل التالي

. 22 cm 18 و cm بين

.a أعط تأطير للعدد 􀂃

قائم ABC هل يمكن أن يكون المثلث 􀂃

.A الزاوية في

6. التأطير:

أمثلة

. x −1 تأطير للعدد ≤ x ≤ الكتابة 2 􀂃

الكتابة 7 13 􀂃

2

.A تأطير للعدد − ≤ A ≤ −

.π 3,14 تأطير للعدد ≤π ≤ الكتابة 3,15 􀂃

تمرين 11 ص 95

تمرين 47 ص 99

. a ≤ b أعداد حقيقية بحيث x و b و a ليكن

. x تسمى تأطير للعدد a ≤ x ≤ y الكتابة

تعريف:

مبرهنة طاليس

المستوى: السنة الثالثة ثانوي إعدادي.

المراجع:  آتاب التلميذ " المفيد  المحيط "  التوجيهات التربوية.

الأستاذ: عمر بن ايكو.

الكفايات

• معرفة واستعمال المبرهنتين التاليتين في وضعيات مختلفة:

.A مستقيمين يتقاطعان في النقطة d و 2 d ليكن 1 􀂽

.A تختلفان عن d من المستقيم 1 M و B لتكن النقطتان

N 2

آان ( ) // ( )

.A تختلفان عن d و من المستقيم C لتكن النقطتان

AB AC BC : فإن MN BC إذا

AM AN MN

= =

2 1 A

.

مستقيمين يتقاطعان في النقطة . d و d ليكن 􀂽

.A تختلفان عن d من المستقيم 1 M و B لتكن النقطتان

N 2

ان

.A تختلفان عن d و من المستقيم C لتكن النقطتان

AB AC إذا آ

AM AN

والنقط M و B و A = وآانت النقط

. (MN ) // (BC ) في نفس الترتيب فإن N و C و A

الأهداف

• التذآير بمبرهنة طاليس المباشرة.

• تعرف مبرهنة طاليس العكسية.

• توظيف مبرهنتي طاليس المباشرة والعكسية في وضعيات

مختلفة.

المكتسبات القبلية الامتدادات

• التناسبية.

• مبرهنة طاليس المباشرة.

• التماثل المرآزي.

• المعادلات.

• تقنيات الحساب

العددي.

• الحساب المثلثي.

• مسائل عددية

وهندسية.

• الهندسة الفضائية:تكبير

تصغير.

• الفيزياء"البصريات".

ملاحظات

• تعتبر خاصية طاليس من أهم نتائج السنة الثالثة من التعليم الثانوي الإعدادي خاصة والهندسة المستوية عامة.

• من خلال أمثلة يتم التذآير بخاصيات درس المستقيمات الموازية لأضلاع مثلث.

• تتيح مبرهنة طاليس فرصة أخرى للتمرس على التناسبية (إنشاء طول يكون رابعا متناسبا لثلاثة أطوال، إنشاء طول يكون

واسطا هندسيا لطولين)؛ أما المبرهنة العكسية فتقدم مع الأخذ بعين الاعتبار ترتيب النقط على آل مستقيم.

• تستغل بعض البرانم المعلوماتية أو شرائط الفيديو لتقريب خاصية طاليس وعكسيتها.

• تستغل خاصية طاليس وعكسيتها في حل مسائل.

تصميم الدرس

مبرهنة طاليس المباشرة. .I

مبرهنة. 􀂃

ملاحظة. 􀂃

تطبيق. 􀂃

مبرهنة طاليس العكسية. .II

مبرهنة. 􀂃

. ملاحظة 1 􀂃

. ملاحظة 2 􀂃

تطبيق. 􀂃

الأنشطة

: نشاط 1

(BC ) مستقيم يوازي Δ مثلث و ABC في الشكل 1 .I

.M في [AC ] و N في [AB ] ويقطع

(MN ) و (BC ) والعمودي على A المستقيم المار من

􀁬

M AE نضع . E و F يقطعهما على التوالي في

=

α =

. β N A􀁬E و

. cos(β ) و cos(α ) -1 احسب بطريقتين مختلفتين

-2 استنتج أن

AM AN

AB AC

. =

يقطع (AC ) والموازي للمستقيم M -3 المستقيم المار من

(BC )

:

. D في

.MN = DC أ- تحقق أن

N - ب باستعمال ما سبق بن أن:

AM AN M

AB AC BC

. = =

بإتباع نفس الخطوات ، (Δ) 􀀦 (BC ) لاحظ الشكل 2 حيث .II

السابقة، بين أن:

AS AB

: نشاط 2

. A مستقيمان متقاطعان في نقطة d و 2 d في الشكل جانبه 1

. A تخالف d نقطة من 2 C و A تخالف d نقطة من 1 B لتكن

AM AN في نفس الترتيب و N و C ، A والنقط M و B ، A النقط

AB AC

. =

والموازي M المار من (Δ) وأنشئ المستقيم [AC ) على N و [AB ) على M خد .I

[AC ) و (Δ) نقطة تقاطع P ولتكن (BC ) ل

AP AN

.

. (MN ) 􀀦 (BC ) : أ- بين أن = . ب- استنتج أن

. (BC ) يوازي (MN ) وبين أن N ∉[AC ) و M ∉[AB ) بحيث N وM خد .II

نشاط 3: ( أهمية ترتيب النقط في الخاصية العكسية )

بحيث: A تخالف (AC ) من N أنشئ نقطة . A تخالف (AB ) نقطة من M مثلث و ABC

AM

AB

AN

AC

ماذا تستنتج؟ . (BC ) لا يوازي (MN ) = و

AM AN

AB AC

= (المعطيات)

AM AP

AB AC

=

AP AN

(المباشرة)

إذن: = . ( )

1

2

AM AN

AB AC

MN

= =

􀀦 (BC )

مبرهنة طاليس المباشرة: .I

في الحالات الثلاث الآتية:

الحالة الأولى الحالة الثانية الحالة الثالثة

لدينا:

نقط مستقيمية. M و B ، A 􀂃

نقط مستقيمية. N و C ، A 􀂃

. (MN ) 􀀦 (BC ) 􀂃

إذن:

AM AN MN

AB AC BC

= =

. التمرين 2 ص 70

. التمرين 3 ص 70

. التمرين 4 ص 70

. التمرين 5 ص 70

( ) 1 . A مستقيمين متقاطعين في نقطة (d و ( 2 d ليكن

( ) N 2 d ( ) 1 . A و نقطتين من المستقيم تختلفان عن C ولتكن ، A تختلفان عن d نقطتين من المستقيم M و B ولتكن

AM AN MN : متوازيان فإن (BC ) و (MN ) إذا آان المستقيمان

B AC BC

= =

A

.

مبرهنة:

تستعمل مبرهنة طاليس المباشرة لحساب الأطوال.

ملاحظة:

تطبيق:

مبرهنة طاليس العكسية: .II

في الحالات الثلاث الآتية:

الحالة الأولى الحالة الثانية الحالة الثالثة

لدينا:

نقط مستقيمية. M و B ، A 􀂃

نقط مستقيمية في نفس ترتيب النقط N و C ، A 􀂃

.M و B ، A

AM AN 􀂃

AB AC

. =

إذن:

(MN ) 􀀦 (BC )

. التمرين 15 ص 73

. التمرين 16 ص 73

. A مستقيمين متقاطعين في نقطة (d و ( 2 (d ليكن ( 1

. A تختلفان عن (d نقطتين من المستقيم ( 2 N و C ولتكن ، A تختلفان عن (d نقطتين من المستقيم ( 1 M و B ولتكن

AM AN في نفس الترتيب و N و C ، A والنقط M و B ، A إذا آانت النقط

AB AC

، =

متوازيان. (BC ) و (MN ) فإن: المستقيمين

مبرهنة:

تستعمل مبرهنة طاليس العكسية للبرهنة على توازي مستقيمين.

: ملاحظة 2

في الشكل لدينا: 1

2

AN

AC

AM

AB

( ) (MN ) = = لكن

في الخاصية العكسية يأخذ ترتيب النقط بعين الاعتبار.

ملاحظة 1: ( أهمية ترتيب النقط )

تطبيق:

. BC لا يوازي

المستوى: السنة الثالثة ثانوي إعدادي.

المراجع:  آتاب التلميذ " المفيد  المحيط "  التوجيهات التربوية.

الأستاذ: عمر بن ايكو.

الكفايات الأهداف

• استعمال مبرهنة فيتاغورس وعكسيتها في الهندسة

المستوية وفي بعض المضلعات المنتظمة.

• التذآير بالمبرهنة المباشرة لفيتاغورس و استعمالها.

• تعرف المبرهنة العكسية لفيتاغورس.

• استعمال المبرهنتين المباشرة و العكسية لفيتاغورس في

وضعيات هندسية.

المكتسبات القبلية الامتدادات

• مبرهنة فيتاغورس " المباشرة".

• القوى  الجذور المربعة.

• المتطابقات الهامة.

• بعض الخاصيات في المثلث القائم الزاوية.

• التماثل المحوري.

• الحساب المثلثي.

• حل مسائل عددية و هندسية.

• الهندسة الفضائية :لتعامد.

• مواد أخرى آالفيزياء.

الأدوات الديداآتيكية ملاحظات  توجيهات تربوية

• الأدوات الهندسية:  المسطرة

 البرآار

• تقدم وتستعمل بعض العلاقات المترية من خلال

تمارين دون أن تكون موضوع درس.

• ينبغي تطبيق علاقة فيتاغورس على المثلث القائم

الزاوية والمثلث المتساوي الساقين والمثلث المتساوي

الأضلاع في تحديد بعض الأطوال و النسب المثلثية

لزاوية حادة

• عدد الساعات المخصصة للدرس 6 ساعات.

تصميم الدرس:

1. مبرهنة فيتاغورس المباشرة.

. أ- مبرهنة 1

ب- مثال.

ج- ملاحظة.

مبرهنة فيتاغورس العكسية.

مبرهنة فيتاغورس

2 .

. أ- مبرهنة 2

ب- مثال.

الأنشطة محتوى الدرس التقويم المرحلي

مبرهنة فيتاغورس المباشرة:

أ-

نشاط تذآيري.

1 .

: مبرهنة 1

إذا آان مثلث قائم الزاوية فإن مربع وتره يساوي مجموع مربعي ضلعي الزاوية

القائمة.

A مثلث قائم الزاوية في ABC

ب- مثال:

A مثلث قائم الزاوية في ABC

AC = 3 ، AB = بحيث: 4

[BC] لنحسب طول القطعة 􀂃

ABC

.

، A مثلث قائم الزاوية في

إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة

AB2 + AC2 = BC فإن: 2

32 + 42 = BC إذن: 2

BC2 = 25

5

إذن:

مسافة ) BC ) BC = إذن

ج- ملاحظة:

إذا آان مربع طول أآبر ضلع في المثلث يخالف مجموع مربعي طولي الضلعين

الآخرين، فإن المثلث غير قائم الزاوية

. • التمرين 2 ص 48

. • التمرين 5 ص 48

. • التمرين 16 ص 50

• التمرين 18 ص 50

• التمرين 21 ص 51 (العلاقات المترية)

AB2 + AC2 = BC2

مبرهنة فيتاغورس العكسية:

أ-

. نشاط 2 ص 2 .42

: مبرهنة 2

إذا آان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع الثالث

فإن المثلث قائم الزاوية؛ ووتره هو الضلع الثالث.

• تمرين تطبيقي:

المسقط العمودي للنقطة H مثلث و ABC ليكن

AH = بحيث 2 3 (BC) على A

.CH = و 4 BH = و 3

مثلث بحيث: ABC

AB2 + AC2 = BC2

ب- مثال:

NP = و 10 MP = و 6 MN = مثلث بحيث: 8 MNP ليكن

NP²