رفع التفاصيل باستخدام قياس المسافات

رفع التفاصيل باستخدام قياس المسافات

         مقدمة

         لرسم خريطة لموقع يتطلب الأمر القياس الميداني لتحديد مواقع التفاصيل و تشمل القياسات  قياس مسافات أو قياس زوايا  أو الاثنان معاً.  وفي هذا الكتاب سنقوم باستخدام قياس المسافات فقط في عملية رفع التفاصيل ، حيث أن قياس الزوايا يتطلب أجهزة أعلى سعراً و يحتاج استخدامها إلى تدريب و مهارات خارج نطاق الهدف من هذا المؤلف.

ولإتمام مراحل العمل الميداني هناك خطوات سيتم شرحها بالتفصيل في الفقرات التالية  [

عملية الاستكشاف     

         والمقصود بهذه العملية زيارة الموقع لملاحظة شكل حدود المنطقة  ونوعية التضاريس و التفاصيل الموجودة فيها.  ومن ثم رسم شكل كروكي لها في دفتر الحقل الذي يصطحبه المساح لتدوين كل البيانات والملاحظات .

3.3  اختيار الهيكل (نقاط الربط) 

         ومن ثمرات هذه الجولة الميدانية اختيار نقاط أساسية تسمى نقاط الربط أو التحكم .   و هي التي تشكل خطوط المسح الأساسية .  وهي بدورها تكون الهيكل العام ( الشكل 1.3 )  الذي ستنسب إليه حدود المنطقة وما عليها من تفاصيل.  وهذا الهيكل هو عبارة عن مجموعة من المثلثات المتجاورة  والتي يمكن قياس أطوال أضلاعها ومن ثم توقيعها على لوحة رسم الخريطة.

الشكل  1.3  الهيكل العام (عبارة عن عدة مثلثات متجاورة تشكلها نقاط الربط المختارة)

         وهنالك عدة اعتبارات يجب مراعاتها عند اختيار النقاط التي تشكل أضلاع هذا الهيكل هي:

1- أن تكون النقاط على مواقع بارزة لتسهيل رؤية بعضها من بعض وبالتالي تسهل مهمة قياس أضلاع مثلثات الهيكل.  وأن تكون في أماكن يسهل الوصول إليها ويصعب إزالتها.

2- أن تكون أضلاع الهيكل قريبة ما أمكن من حدود المنطقة أو التفاصيل و بعيدة على قدر الإمكان من حركة المرور و من كل ما يسبب اعترضاً لعمليات القياس.

3- أن تشكل هذه الأضلاع مثلثات مناسبة (تكون زوايا المثلث بين 50 و 100 درجة) بمعنى أن تكون أضلاعه  متقاربة في الطول و ذلك يساعد في دقة التوقيع على اللوحة.

         ويجب تثبيت أوتاد في مواضع نقاط الربط التي تم اختيارها و يرسم لكل نقطة كروكي يبين عليه على الأقل ثلاثة أبعاد لمعالم ظاهرة و قريبة حتى يتسنى التعرف على مواقعها في حالة الرغبة في إعادة استخدامها لأغراض مساحية أخرى.

4.3    عمليات القياس

         أولاً يتم قياس كل ما يمكن قياسه من  أضلاع الهيكل وتسجل نتائج القياس في دفتر الحقل ، مع ملاحظة إفراد صفحة لكل خط أو ضلع من أضلاع الهيكل.

 في أثناء قياس طول الضلع الأساسي يتم قياس أبعاد التفاصيل القريبة من الضلع وتسجيلها . قياس بعد التفاصيل من الخط الرئيسي يتم إما بإسقاط عمود من التفاصيل على الخط الرئيسي وقياس هذا البعد (العمود من نقطة التفصيل إلى الخط الرئيسي) و تسجيله (الشكل  2.3 ) ، وتسمى طريقة قياس الأعمدة  offset . أو بقياس بعدين مائلين من نقطة التفاصيل إلى نقطتين على الضلع الرئيسي (معلوم بعد كل منهما من أحد طرفي الخط الرئيسي) و تسجيلهما كما في الشكل 3.3  ، وتسمى طريقة الربط  tie.

                                             

                                         الجسم

                                                         العمود المقاس بعده

                                                         من الخط الرئيسي

                                                                

                                                    الخط المساحي الرئيسي

الشكل 2.3 : القياس بطريقة طول العمود  offset 

                                                        الجسم

                                                               

                                       الخط المساحي الرئيسي

الشكل 3.3 :  القياس بطريقة الربط tie

          ويوضح الشكل 4.3 استخدام طريقة قياس العمود من ركن المبنى إلى الخط المساحي الرئيسي AB وطريقة  الربط لتحديد موقع الشجرة بالنسبة للخط الرئيسي نفسه.

الشكل 4.3:  قياس التفاصيل بالنسبة للخط المساحي

 طول العمود من أركان المبنى و الربط من الشجرة

ويوضح الشكل 5.2 صفحة من دفتر الحقل أفردت للخط المساحي FE والتفاصيل القريبة منه.

A                                        D                       D                      A

     الشكل 5.3 :  صفحة من دفتر الحقل للخط الرئيسي EF  الذي طوله 58 متر

ويجب التنبيه على أنه لا بد من توجيه الخط المساحي وما حوله من تفاصيل بالنسبة للهيكل العام للموقع.  ويتم ذلك عن طريق رسم الأسهم التي تشير إلى نقاط الربط الأخرى التي تم اختيارها لتشكيل الهيكل.  ويتم أيضاً التعرف على انحراف أحد الخطوط الرئيسية من خط الشمال المغنطيسي باستخدام البوصلة.

ولتوقيع هذه البيانات على لوحة الخريطة يتم اختيار مقياس رسم مناسب لتحويل القياسات الطولية الميدانية إلى أبعاد تناسبها على الخريطة. وهذا ما سنشرحه في الفصل التالي.

5.3      مقياس رسم الخريطة 

من المعلوم أنه لا يمكن توقيع المسافات التي تم قياسها في الطبيعة وقد تصل إلى مئات الأمتار على لوحة الخريطة مباشرةً التي لا يتعدى أبعاد حدودها 1 متر × 1 متر.  ولذلك لا بد من تصغير هذه المسافات بنسبة معلومة و ثابتة تناسب أبعاد لوحة  الرسم ، و يطلق على هذه النسبة مقياس رسم الخريطة.         

إذن يمكن تعريف مقياس رسم الخريطة رياضياً كالتالي:

مقياس رسم الخريطة = المسافة على الخريطة ÷ المسافة التي تمثلها في الطبيعة.

ويتم اختيار مقياس رسم الخريطة بناءً على:

 (1) نوع الخريطة من حيث الغرض.

(2) أهمية العمل المراد إنشاء الخريطة من أجله.

(3) أبعاد اللوحة التي ترسم عليها الخريطة.

أنواع المقاييس

         من ناحية عامة هنالك نوعان من المقاييس هما : المقياس العددي والمقياس التخطيطي.

1- المقياس العددي 

وهذا أيضاً يمكن أن يقسم إلى نوعين:  المقياس العددي النسبي (الكسر البسيط) والمقياس الهندسي.

أ-   المقياس الكسري أو النسبي :

         وهو نسبه ثابتة ويبين بكسر اعتيادي بسطه الواحد ومقامه العدد الدال على مقدار الطول الطبيعي المساوي له.

         فإذا كان لدينا بعد بين نقطتين في الطبيعة هو 50 متر بينما هو في الخريطة 1سم فإن هذا المقياس يكتب :

1سم يمثل 50 متر

أو :

1سم =50متر

ويكون مقياس الرسم هو :

كنسبه يكتب على الشكل:  1: 5000  

أو 

ككسر يكتب على الشكل:   1/5000

                                 

يلاحظ أن الرقم في البسط يعبر عن مسافة على الخريطة و الرقم في المقام يعبر عن المسافة المقابلة لها في الطبيعة و كلاهما بوحدة القياس نفسها.

       ب –المقياس الهندسي :

          أما المقياس الهندسي فيكتب الطول على الخريطة كوحدة قياسية واحدة وما تمثله على الطبيعة من وحدات قياس المسافات على الطبيعة ، فنقول مقياس رسم الخريطة هو: ا سم يمثل 50 متر ، أو 1 سم : 50 متر .العددي النسبي  فيبين بكسر اعتيادي بسطه واحد صحيح و مقامه مقدار الطول في الطبيعة الذي يعادل وحدة القياس على الخريطة.  فإذا افترضنا أن مسافة مائة متر في الطبيعة يمثلها واحد متر في الخريطة فيمكن أن نعبر عنها  بالمقياس النسبي  1:100  . والمقياس الهندسي يذكر فيه وحدة القياس في الخريطة ووحدة القياس في الطبيعة فنعبر عن هذا المقياس هندسياً بقولنا  1 سم على الخريطة تمثل 5000 سم على الطبيعة أو 1 سم على الخريطة تمثل 50 متر على الطبيعة.

مثال 1.3

قيست مسافة AB على الطبيعة وبعد كل التصحيحات المطلوبة وجد أن الطول الأفقي لهذا الخط هو 258.00 متراً . إذا كان المطلوب توقيع هذا الخط على خريطة مقياس رسمها 1:2500 ، كم يكون طول الخط الذي يمثلها على الخريطة؟

الحل:

مقياس رسم الخريطة =  1 ÷ 2500   =   طول الخط على الخريطة ÷ طول الخط في الطبيعة.

 طول الخط  في الخريطة  =  طول الخط في الطبيعة × 1 ÷ 2500

                                =    258.00 x 1/2500  متراً  =  258.00 x 1000 / 2500 

                                =  103.2  مم

                                =  210.3  سم

ويلاحظ أن المسافة أو الطول على الخريطة يعبر عنه بالسم أو الملم وليس بالمتر الذي يستخدم في التعبير عن الأطوال في الطبيعة.

مثال 2.3

استخدمت خريطة مقياس رسمها 1:2000 لقياس مسافة بين نقطتين E و F و كان طول المسافة على الخريطة  70 ملم ، كم تكون المسافة على الطبيعة بين النقطتين ؟

الحل:

المسافة على الطبيعة = المسافة على الخريطة ÷ مقياس الرسم

                          =  70 / (1/2000)  مم

                          =  70 x 2000  = 140 000  مم

                          =  140 000 / 10000  =  140  متر

مثال 3.3

قطعة أرض مستطيلة الشكل أبعادها على الخريطة   30 ملم × 80 ملم ، أوجد مساحتها على الطبيعة  إذا كان مقياس رسم الخريطة  1:500؟

الحل:

طول قطعة الأرض على الطبيعة =  80x500/1000  =  40 متر

عرض قطعة الأرض على الطبيعة =  30x500/1000  = 15 متر

مساحة قطعة الأرض على الطبيعة =  40x15  =  600  متر مربع

ويمكن إيجاد المساحة على الطبيعة من القانون التالي مباشرةً :

المساحة على الطبيعة = المساحة على الخريطة ÷ مربع مقياس الرسم

                            =  80x30  ÷  (1/500)2   =  2400x250000  مم2

                            =   (2400x250000) / (1000x1000)  متر مربع

                            =    24x25  =  600 متر مربع .

2 -  المقياس التخطيطي:

         هذا المقياس يتم رسمه على لوحة الخريطة وتعين منه المسافات مباشرةً ،  فاستخدامه أسهل من المقياس العددي

ومن مزايا هذا المقياس أنه :                      

1- أسهل من المقاييس العددية من حيث أن استخدامه لا يحتاج لحسابات.

2- تسهيل العمل وتوفير الوقت وقله الخطأ.

3- يرسم المقياس في أسفل الخريطة وبذلك يتلاشى تأثير التمدد والانكماش على الأطوال المعينة بالمقياس التخطيطي.

وتنقسم المقاييس التخطيطية إلى قسمين :

أولاً : المقياس البسيط :  هذا المقياس هو أبسط أنواع المقياس التخطيطي و يوضح الشكل 6.3 مقياس تخطيطي بسيط للمقياس  1:100  و يقرأ حتى 0.25 م .

الشكل 6.3: المقياس التخطيطي البسيط

ويمكن شرح إنشاء المقياس التخطيطي البسيط  بالمثال التالي :

مثال 4.3 :

أرسم مقياس تخطيطي بسيط   1:1000  ليقرأ  2 متر ووضح عليه المسافة 24 متر.

الحل :

هذا المقياس معناه أن 1سم على الخريطة يقابلها في الطبيعة 1000سم. 

بمعنى أن 1سم على الخريطة يقابلها في الطبيعة 10متر.

         نرسم خط مستقيم بطول مناسب ونأخذ عليه عده أقسام متساوية طول كل قسم منها  1سم ويكتب عليها ما تساويه في الطبيعة وهو 10متر.

                                                     

                                30            20               10          0              10 متر

الشكل 7.3: مقياس بسيط  1:1000 يقرأ 2م – السهم يمثل مسافة 24 م

         وبهذا المقياس يكون أصغر قسم يمكن معرفته هو 10متر ولكنه مطلوب مقياس ليبين        2متر ولذلك نأخذ القسم الموجود على يسار الصفر ونقسمه  إلى 5 أجزاء كل منها يساوي 2متر كما هو موضح في الشكل  7.3 . أما المسافة 24 متر والمطلوب تحديدها بهذا المقياس والمشار إليها بالسهم في الرسم فتمثل بطول 20 متر من الجزء الرئيسي للمقياس على يمين الصفر وبإضافة 4 متر من الجزء الفرعي يسار الصفر.

ثانيا : المقياس الشبكي (القطري):

         يستعمل هذا المقياس لنفس الغرض إلا أنه يساعد في تعيين المسافات بدقة أكبر من المقياس البسيط.  وفي هذا المقياس يتم تقسيم القسم الذي على اليسار من الصفر إلى العدد المطلوب من الأقسام والذي تحدده دقة القراءة المطلوبة.

مثال 5.3 :

المطلوب رسم مقياس تخطيطي شبكي لخريطة لها مقياس رسم 2000:1 يبين أمتار صحيحة

الحل :  

  1متر في الخريطة يقابله في الطبيعة 2000متر       

 100سم في الخريطة يقابله في الطبيعة 2000 متر

 1 سم في الخريطة يقابله في الطبيعة 20 متر

         وترسم مستقيماً أفقياً على الخريطة ونقسمه إلى أقسام رئيسية متساوية كل منها يساوي 1سم ويمثل 20 متراً في الطبيعة ويبين الأبعاد المقابلة لها ابتداءً من صفر , 20, 40 وهكذا .

ونأخذ قسماً على يسار الصفر قيمته 20متر وهو في الخريطة يساوي 1سم فنقسمه إلى 20قسم – وبما أنه من الصعب تقسيم 1سم إلى  20 قسم بدقة ،  لذلك نقسم الجزء الأساسي على يسار الصفر إلى قسمين مثلاً كل منهما يساوي 10متر ونقيم عمود على المقياس الأساسي على القراءة 10 متر فيصبح عندنا مستطيلين ونأخذ عليهما 10 أقسام أفقية متساوية ونرسم منها خطوط موازية للمقياس الأساسي (كل قسم من هذه الأقسام يمثل 1 متر) ثم نوصل قطري المستطيلين كما هو مبين في الشكل 8.3 .

                                                                                                               

                                                                                                                   10

                                                                     35.5 م                     

                                                          

                                                                                                                    0

                 متر      40                     20                       0               10           20

الشكل 8.3: مقياس شبكي لخريطة 1:1000 يقرأ 1 متر

السهم على المقياس يقرأ مسافة قدرها  35.5 متر .

ويلاحظ أنه يمكن التحكم في أقل وحده على المقياس الرئيسي وبذلك يمكن تحديد عدد الأقسام الرأسية كي يمكن الحصول على أقل قراءة :

  عدد الأقسام الرأسية  =  أقل وحدة على المقياس الرئيسي  ÷  أقل قراءة مطلوبة

في المثال السابق ، أقل وحده على المقياس الرئيسي = 10متر

                     أقل قراءة مطلوبة              = 1 متر

عدد الأقسام الرأسية للحصول على أقل قراءة = 10 ÷ 1     = 10 أقسام

ويمكن أن تكون الأقسام 5 أفقية و 4 رأسية أو 4 أفقية و 5 رأسية وهي الأقسام من 1 إلى 10

مثال  6.3 :

أرسم مقياس شبكي 200:1  يقرأ إلى  0.2 متر وبين عليه القراءة 3.7 متر

الحل:                     

نرسم خط يبين المقياس الرئيسي 1 سم يمثل 2 متر.  إذن أقل وحده على المقياس الرئيسي =  2متر

أقل قراءة مطلوبة = 0.2 متر.

عدد الأقسام الرأسية =     2 ÷ 0.2   = 10 أقسام ، و يمكن أن تقسم 2 أفقي و 5 رأسي كما هو في الشكل 9.3 . كل خط داخل المقياس الشبكي يمثل 0.2 متر.

                                                                                                           

الشكل 9.3: مقياس شبكي يقرأ إلى 0.2 متر

السهم يقرأ مسافة قدرها  3.7 متر

6.3 اتجاه الشمال المغنطيسي و توجيه الخريطة:   

                  من المعروف أن الأرض عبارة عن مغناطيس كبير له قطبان مغنطيسيان أحدهما شمالي والثاني جنوبي ومن المعروف أيضا أن هذين القطبين المغناطيسيين يختلفان عن القطبين الجغرافيين ( الحقيقيين ) نسبة لاختلاف مقدار جاذبية الأرض حسب اختلاف السنين والأزمان ولكي نحسب اتجاهات الخطوط لا بد من  تحديد اتجاه الشمال المغناطيسي . و يمكن أن يتم ذلك باستعمال جهاز بسيط التركيب وسهل الاستعمال وهو البوصلة سواء كانت يدوية أو رقمية.  إن اتجاه الشمال المغناطيسي هو الاتجاه الذي تأخذه البوصلة إذا ما تركت حرة الحركة في مكان ما بعيداً عن تأثيرات المواد الحديدية.

         تستعمل البوصلة كثيراً في التطبيقات المساحية الهندسية والعسكرية والزراعية والجيولوجية ويمكن بواسطتها قياس اتجاهات الخطوط منسوبة لاتجاه الشمال المغناطيسي.

القاعدة:

         من المعروف أنه إذا تركنا إبرة مغناطيسية معلقة بحرية في الهواء أو في الفراغ فإنها سوف تتجه مباشرةً وبصورة دائمة نحو الشمال المغناطيسي ، هذه الخاصية استغلها المساحون في قياس اتجاهات الخطوط بالنسبة لاتجاه الشمال المغناطيسي خاصة في الأعمال المساحية التي لا تتطلب دقة عالية والتي تخص مساحات صغيرة ومن المعروف أيضاً أن قياس اتجاهات الخطوط بهذه الطريقة أسرع واقل تكلفة.

         وهنالك عدة أنواع و تصميمات للبوصلة . من أهم أنواعها البوصلة  المنشورية (الشكل 10.3) والبوصلة الرقمية (الشكل 11.3).  وكلاهما يستعمل في العمل المساحي لقياس اتجاه خط ما من اتجاه الشمال المغناطيسي.

الشكل 10.3: البوصلة المنشورية   [6].

الشكل 11.3: البوصلة الرقمية [6] 

البوصلة المنشورية:

         وهى بوصلة بسيطة التركيب والتصميم وخفيفة الوزن وتعطي اتجاه الخط من اتجاه الشمال المغنطيسي في اتجاه عقارب الساعة.  وتتكون البوصلة المنشورية من الأجزاء الآتية :

  أ -   الإبرة المغناطيسية : وهى تتحرك على  القاعدة  المثبتة  ولها  قوة  مغناطيسية كبيرة.

 ب -  خط النظر :  وهو عبارة عن فتحتين متقابلتين أحدهما تسمى فتحة المعلم أو الجسم المرئي ،  والثانية فتحة النظر .  

 ج -  دائرة مرقمة ( مُعَلّمة ) من 0o إلى 360o .

 د -  المرآة العاكسة :  وهى تساعد في أخذ القراءات للمعالم العالية أو المنخفضة وهى مثبتة في فتحة المعلم ويمكن ضبط سطحها بحيث يمكننا قياس اتجاه الخط مباشرة لأن صورة المعلم تنعكس بواسطة هذه المرآة .

هـ - ) الصندوق المعدني:   لحفظ البوصلة .

متى يمكن استعمال البوصلة المغنطيسية ؟

         يمكن استعمال البوصلة المغناطيسية في العمليات المساحية الصغيرة ( المشاريع المحدودة )  والتي لا تتطلب دقة عالية والتي يجب تنفيذها و إكمالها بسرعة.

 خطوات استعمال البوصلة المنشورية لقياس انحراف الخط:

(1) ضع الأرجل الحاملة فوق النقطة المراد القياس منها ( بداية الخط ) ويجب أن يكون مركز الحامل فوق النقطة مباشرة ويمكن التأكد من ذلك بإسقاط حجر صغير من مركز الحامل نحو النقطة وإجراء ضبط الحامل متى ما كان ذلك لازماً.  الشكل 12.3 يوضح البوصلة وهي مثبتة على الحامل المعدني ثلاثي الأرجل.

(2) ضع البوصلة على الحامل ثم أوزنها ( أفقية تماماً ) ويمكن استعمال النظر في هذه العملية ثم قم بتثبيتها بواسطة اللولب  المعد لذلك.

(3) وَجّه خط النظر إلى الجسم المراد قياس الاتجاه إليه (الذي يكون مع النقطة المثبت عليها البوصلة الخط المطلوب قياس اتجاهه ).

(4) أنظر إلى أسفل الفتحة العينية وتأكد من أن علامات التدرج ثابتة ، ثم أضبط صورة علامات التدرج بواسطة تعلية أو خفض المنشور.

(5) قبل قراءة الاتجاه ثبت الإبرة تماماً بواسطة مقبضها.

(6) خذ القراءة برفع العين قليلاً إلى أعلى عندما تقطع علامات التدرج أحد قراءات الدائرة المدرجة.   

         إن هذه القراءة تسمى انحراف الخط من الشمال المغنطيسي.  وهي التي تستخدم في توجيه الخريطة بالنسبة لاتجاه الشمال.

         وعليه فإن كل لوحة خريطة يجب أن تحتوي على اتجاه الشمال و مقياس الرسم بالإضافة إلى تاريخ رسم الخريطة و الأجهزة التي تم استخدامها في الرصد والجهة التي قامت بالرصد وبرسم الخريطة.     

الشكل 12.3: البوصلة مثبتة على الحامل المعدني  [7].

7.3 خلاصة

            بنهاية هذا الباب  يستطيع الطالب أن يقوم بجمع البيانات اللازمة لعمل الخريطة التفصيلية من الموقع مستعملاً أبسط أدوات القياس المساحي.  ويستطيع أن يختار مقياس الرسم الذي يناسب مساحة الموقع و حجم لوحة الرسم ، و أن يوجه الخريطة بالنسبة لاتجاه الشمال المغناطيسي.

8.3  تمارين

1-  ما المقصود من عملية الاستكشاف و ما هو الهدف منها؟

2-  ما هي العوامل التي تؤثر على اختيار مقياس رسم الخريطة؟

3-  ما هي أنواع مقاييس رسم الخريطة؟ ما هي مميزات كل نوع ؟

4-  ارسم مقياس رسم طولي لخريطة مقياس رسمها 1: 5000 يقرأ إلى خمسة أمتار وبين عليه المسافة 175 متر .

5- قيست مسافة بين نقطتين على خريطة مقياس رسمها  1: 2000  ووجدت 45 سم . كم تساوي هذه المسافة على الطبيعة. إذا تم قياس مسافة على الطبيعة بين نقطتين أخريين و كانت نتيجة القياس 572 متراً ، كم مم تساوي هذه المسافة على الخريطة نفسها؟

6-  مطلوب رسم حدود قطعة أرض زراعية مستطيلة الشكل أبعادها 570 × 460 متر على لوحة رسم أبعادها 30 × 50 سم . كم يكون مقياس الرسم المناسب لرسم حدود هذه الأرض؟

حساب المساحات

1.4    مقدمة

         في كثير من الأحيان تكون هنالك حاجة ماسة  لمعرفة مساحة قطعة أرض ذات حدود معينة.  وربما تكون حدود هذه الأرض موقعة على خريطة بمقياس رسم معلوم. وهنالك طرق مختلفة لإيجاد مساحة قطعة الأرض : بعضها  يستخدم في إيجاد المساحة من الخريطة  وبعضها يستخدم عند القياس المباشر على الطبيعة . وبعضها يناسب الحدود ذات الخطوط المستقيمة التي تشكل أشكال هندسية منتظمة  وبعضها يناسب الحدود ذات الخطوط غير المنتظمة.

         أما إيجاد المساحة من الخريطة فهي الطريقة الأكثر استعمالاً إذ أن القياسات المطلوبة كلها تتم من على لوحة الخريطة واستخدام مقياس رسم الخريطة إن كان معلوماً دون الرجوع إلى الموقع . إلا أن عيب هذه الطريقة هو تراكم الأخطاء التي تنتج من توقيع الخريطة نفسها و من القياس على الخريطة . ومع أن هذه المشكلة يمكن علاجها باستخدام الطريقة الثانية وهي أخذ القياسات من الموقع مباشرةً إلا أن ذلك يتطلب تكلفة مادية و جهد عملي أكبر ، ولذلك تظل الطريقة الأولى هي الأكثر استعمالاً .

         أما التصنيف الآخر لإيجاد المساحة فهو الذي يتم بالنظر إلى طريقة حساب المساحة . وذلك يمكن أن يتم بالطرق الرياضية والتخطيطية والآلية.  أما الطرق الرياضية فيمكن استخدامها مع القياسات التي تتم في الموقع على الأرض كما يمكن استخدامها مع القياسات التي تتم على الخريطة ، وأما الطريقتين الأخريين وهما التخطيطية والآلية فلا بد من استخدامهما مع الحدود الموقعة على الخريطة بالمقياس المعلوم.

2.4    الطرق الرياضية لإيجاد المساحة

         إذا كانت المنطقة تحد بحدود هندسية منتظمة فيمكن استخدام النموذج الرياضي المناسب للشكل الهندسي للحدود ، أما إذا كانت لا تشكل حدوداَ هندسية منتظمة فيمكن استخدام طرق رياضية يتم تطبيقها لإيجاد المساحة تقريبياً.

і-  النماذج الرياضية للأراضي ذات الحدود المنتظمة:  

         هنالك نماذج رياضية تناسب المنطقة ذات الحدود الهندسية المنتظمة مثل تلك التي تشكل شكل مثلث أو مربع أو مستطيل أو معين أو متوازي أضلاع أو شبه منحرف أو أي شكل محدد بخطوط مستقيمة أو دائرية أو قطاع من دائرة أو أي تركيب من هذه الأشكال . وهي وإن كانت معلومة للطالب من دراسته للعلوم الرياضية إلا أننا سنقوم بتقديم بعض منها في هذا الباب .

1- المثلث (الشكل 1.4 ):

 أ) إذا تم قياس أضلاع المثلث الثلاثة (a,b,c) فإن مساحة المثلث (A) تحسب من القانون الرياضي التالي:

A  =  [s*(s – a)*(s – b)*(s – c)]1/2                             (1.4)  

حيث:    s   هي نصف محيط المثلث    

s = (a + b + c) / 2                                         

                                                a                h                 b

                                                             c                                                        

الشكل 1.4  قطعة الأرض على شكل مثلث أطوال أضلاعه a،b،c.

ب)  وإذا تم قياس قاعدة المثلث (أحد أضلاعه الثلاثة ، c مثلاً ) وتم قياس العمود النازل عليها من الركن المقابل (ارتفاع المثلث h ) فإن المساحة A تحسب من القانون التالي:

         A = (1/2) * c * h                                                  (2.4)     

ج)  وإذا تم قياس طولي ضلعين متجاورين من المثلث (الضلعين a و b مثلاً)  و الزاوية المحصورة بينهما (زاوية  C ) فإن المساحة  A  تحسب من العلاقة التالية:

A = (1/2) * a * b * sin C                                       (3.4)                        

     2- الأشكال الهندسية غير المثلث:

أ- المربع: الشكل (2.4)  إذا  كان طول ضلع المربع يساوي a فإن مساحته تساوي الضلع في نفسه :

A = a2                                              (4.4)        

                                           a

                                                                a

                            الشكل 2.4:  قطعة الأرض على شكل مربع طول ضلعه a .

ب- المستطيل: (الشكل 3.4) إذا كان طوله يساوي a   وعرضه يساوي  b  فإن مساحته A   هي:

A  =  a * b                                        (5.4)    

                                                                a    

                                     b

                                

                                     الشكل 3.4: قطعة الأرض على شكل مستطيل.

ج- شبه المنحرف: إذا كان طول القاعدة a وطول القاعدة الأخرى الموازية لها يساوي b وارتفاعه (المسافة بين القاعدتين) يساوي  h  (الشكل 4.4) فإن المساحة  A  هي:

A  = (1/2) * (a + b) * h                    (6.4)            

                                                                      b

الشكل 4.4 :  قطعة الأرض على شكل شبه المنحرف.

د) إذا كان شكل قطعة الأرض يمثل أي شكل هندسي مكون من أكثر من ثلاثة أضلاع مستقيمة  (الشكل 5.4 ) ، مثل الشكل الرباعي أو الخماسي أو السداسي ، فيمكن تقسيمه إلى مثلثات يتم قياس أضلاعها وحساب مساحة كل مثلث ثم جمع هذه المساحات لإيجاد المساحة الكلية.

الشكل 5.4  قطعة الأرض ذات الحدود المستقيمة.

مساحة قطعة الأرض ذات الشكل الرباعي الذي يظهر في الشكل 5.4 تساوي مجموع مساحتي المثلثين:

A = A1 +  A2                                                    

هـ- الشكل الدائري:

-        مساحة الدائرة (الشكل 6.4)  التي نصف قطرها  a تحسب من العلاقة:

A  =  π * a2                                   (7.4)  

                      نصف قطر   الدائرة = a

الشكل 6.4:  قطعة الأرض ذات الشكل الدائري

-  مساحة القطاع من هذه الدائرة الذي زاويته عند المركز تساوي  α راديان (أو α * 360  درجة ستيني ):

A = π * a2 * α                               (8.4)    

مثال 1.4 

أوجد مساحة قطعة الأرض التي تظهر حدودها في الشكل 7.4 والتي يمكن تقسيمها إلى نصف دائرة قطرها 10 متر ومستطيل طوله 50متر وعرضه 10 متر ومثلث قائم الزاوية.

                           

الشكل 7.4 : قطعة أرض مكونة من نصف دائرة و مستطيل و مثلث قائم الزاوية

الحل:

مساحة نصف الدائرة = 0.5 x π x (10/2)2     =   39.27  متر مربع

مساحة المستطيل  =   50 x 10  =  500  متر مربع

مساحة المثلث قائم الزاوية =  10 x 8 / 2   =  40 متر مربع

المساحة الكلية للقطعة =  39.27 + 500.00 + 40.00  =  579.27  متر مربع.

ї – النماذج الرياضية للأراضي ذات الحدود غير المنتظمة: 

         في الكثير من الحالات تكون لقطعة الأرض حدود لا تتشكل من خطوط مستقيمة أو أقواس دائرية بحيث يمكن تطبيق النموذج الرياضي المناسب كما تم في الفقرة السابقة. في هذه الحالة نقوم بمد محور على طول المنطقة ونقيم عليه أعمدة – على مسافات متساوية - إلى حدود الأرض كما يتضح في الشكل (8.4).

                                                                    y3

    y7            y6             y5          y4                                 y2                       y1

                                                                                                                                                              

                x              x            x               x              x             x    

الشكل 8.4  قطعة أرض ذات حدود غير منتظمة

إذا علمنا  المسافة بين كل عمود والذي يليه ( x  مثلاً ) و بقياس أبعاد هذه الأعمدة من حدود المنطقة ( yi ) لكل عمود i  من 1 إلى n عمود ( n = 7 في الشكل 8.4 )  يمكن حساب المساحة حساباَ تقديرياً بالطريقة التي توائم شكل حدود المنطقة من الطرق التالية:

1-  طريقة متوسط أطوال الأعمدة:    

نحسب أولاً متوسط أطوال الأعمدة Y من العلاقة:

         (9.4) Y = [ y1  +  y2  +  y3 + …..  + yn ] /  n                  

ومن ثم نحسب المساحة A  من العلاقة التالية:

المساحة الكلية =

                          متوسط أطوال الأعمدة  [ Y]  × طول المحور [ x * (n – 1) ]

2-      طريقة أشباه المنحرفات

وهذه الطريقة أكثر دقة من الأولى ، ونعتبر فيها أن كل مساحة بين عمودين هي مساحة شبه منحرف ، فمثلاَ مساحة الجزء الأول من اليسار هي :

A1 =  x * ( y1 + y2 ) / 2                            

ومساحة الجزء الثاني هي:

A2 = x * ( y2 + y3 ) / 2                                              

ومساحة الجزء الأخير هي:

An-1 =  x * ( yn-1 + yn ) / 2                             

وبجمع مساحات كل الأجزاء التي تكون المنطقة نوجد المساحة :

A  = A1 + A2 + A3 + ……  + An-1                  

أو:

A  =  (x/2) * [ y1 + 2 * y2 + 2 * y3 + ….. + 2* yn-1 + yn ]             (10.4) 

3-  طريقة سيميسون:

         وتعتبر أكثر دقة من سابقتيها إذا كانت حدود المنطقة منحنية أو أشبه  بالمنحنى من الخط المستقيم ، ويراعى عند تطبيقها أن يكون عدد الأعمدة n عدداً فردياً.

A = (x/3) * [ y1 + 4*y2 + 2*y3 + 4*y4 + 2*y5 +….. + 4*yn-1 + yn ]   (11.4)  

ويمكن صياغتها لفظياً على النحو التالي:

المساحة  =  (x/3) * (طول العمود الأول + طول العمود الأخير + ضعف مجموع الأعمدة الفردية غير الأول و الأخير + أربعة أضعاف مجموع الأعمدة الزوجية ).

ملاحظة:  يلاحظ أن الطريقة الثانية يمكن استخدامها لتقدير مساحة القطعة التي تشكل حدودها خطوطاً مستقيمة بين الأعمدة ، في حين أن الطريقة الأخيرة تعبر أكثر عن الحدود التي تكون في شكل منحنى بين الأعمدة.

مثال  2.4

قسمت مساحة قطعة أرض إلى 4 أجزاء كما هو مبين في الشكل 9.4 . كل القياسات بالأمتار.  أوجد مساحة قطعة الأرض باستخدام كل من الطرق الثلاث.

الشكل 9.4 :  قطعة أرض حدودها غير منتظمة قسمت إلى 4 أجزاء

الحل:

1- طريقة متوسط أطوال الأعمدة :

متوسط  أطوال الأعمدة Y :

Y = [6 + 8 + 14 + 12 + 10] /  5                                  

                                                     =     10  متر

طول المحور   =  عدد الأجزاء × طول الجزء الواحد  = x * (n-1)

                        =     4 ×  8    =  32  متر

المساحة  =   متوسط أطوال الأعمدة × طول المحور

                                        10 ×  32   =   320  متر مربع

2- طريقة أشباه المنحرفات:

المساحة  =      (8/2) [ 10 + 6 + 2x( 8 + 14 + 12 ) ]

            =    84 × 4    =    336   متر مربع

3- طريقة سيمسون:

المساحة  =   (8/3) [ 10 + 6 + 4(8 + 12) + 2x14 ]

           =     124 × 8 ÷ 3     =   330.67   متر مربع

3.4    الطرق التخطيطية لإيجاد المساحة

         وهذه الطرق تعتبر تقديرية ولا يلجأ إليها إلا في حالة تجنب إجراء الحسابات وأن تكون حدود المنطقة موقعة على خريطة ذات مقياس رسم معلوم.  وسنقدم طريقة واحدة منها هي طريقة المربعات.

 و نستخدم هنا ورقة رسم بياني شفاف توضع على الخريطة مغطية الجزء الذي تقع فيه المنطقة المراد إيجاد مساحتها  ( الشكل  10.4 ) . و نقوم بتعداد المربعات الصغيرة داخل حدود المنطقة.  ونحتاج للقيام بتقدير لكسر المربعات الغير كاملة . و إذا علمنا عدد المربعات الكلية بكسورها وإذا علمنا  المساحة على الأرض التي يغطيها المربع الواحد من مقياس الخريطة يمكن إيجاد المساحة الكلية.

الشكل 10.4  طريقة المربعات التخطيطية لحساب المساحة

مثال 3.4

إذا كانت حدود قطعة الأرض المتعرجة قد تم توقيعها على خريطة ذات مقياس رسم  1: 5000  وتم وضع ورقة رسم شفاف  مقسمة إلى مربعات  على لوحة الرسم لتغطي حدود المنطقة تماماً كما في الشكل 10.4 ، و إذا كان كل مربع عبارة عن 1 سم مربع.  وتم إحصاء عدد المربعات وأجزائها داخل حدود المنطقة فكانت 198.5  مربع ، فكم تكون مساحة هذه القطعة على الطبيعة؟

الحل:

بما أن مقياس رسم الخريطة هو 1:5000 فإن كل 1 سم طولي يمثل 5000 سم أو 50 متراً على الطبيعة.

ويمثل كل 1 سم مربع ما مقداره  50×50 متراً مربعاً في الطبيعة  (2500 متراً مربعاً).

أما المساحة التي مقدارها  198.5 سم مربع على الخريطة فتمثل  198.5x2500  متراً مربعاً على الطبيعة.

إذن مساحة قطعة الأرض على الطبيعة =  198.5x2500     =  496250  متر مربع

وهذه المساحة يمكن أن يعبر عنها بالهكتار ، فحيث أن 1 هكتار = 10000 متر مربع فإن هذه المساحة تعادل   49.625   هكتار.

4.4 الطريقة الآلية لإيجاد المساحة (جهاز قياس المساحة)      

         ومن الطرق المستخدمة في إيجاد المساحة الأرضية للمنطقة ذات الحدود غير المنتظمة والموقعة على الخريطة الطريقة الآلية التي يتم فيها استخدام جهاز يسمى جهاز قياس المساحة (البلانيميتر). ومن أنواع هذا الجهاز جهاز مقياس المساحة الميكانيكي  و الجهاز الرقمي.

         ومن أكثر أجهزة مقياس المساحة الميكانيكية المستخدمة جهاز المقياس  القطبي.  وكما هو مبين في الشكل 11.4 فإن هذا الجهاز يتكون من: 1- ذراع متابعة الحدود  وهو عبارة عن قضيب معدني مدرج وفي أحد طرفيه إبرة عمودية يتم تمريرها على حدود قطعة الأرض المراد إيجاد مساحتها .  2- ذراع الثقل أو الذراع الثابت  ويتصل عند أحد طرفيه بثقل يثبت بواسطة إبرة من أسفله بحيث لا يتحرك من مكانه عند تمرير ذراع متابعة الحدود . وينتهي هذا الذراع عند طرفه الآخر بمخروط يدخل في ثقب صغير في غلاف ينزلق على ذراع متابعة الحدود . 3- عجلة القياس  وهي عجلة رأسية مثبتة على محور أفقي يوازي ذراع المتابعة ويقسم محيطها إلى عشرة أقسام رئيسية  ويقسم كل قسم من هذه الأقسام إلى عشرة أقسام متساوية . ويمكن قراءة جزء من عشرة من أحد الأقسام بواسطة ورنية مثبتة بجوار العجلة الرأسية التي تدور على محور أفقي متصل بقرص أفقي مقسم هو الآخر إلى عشرة أقسام عليها مؤشر.

         وكلما دارت العجلة الرأسية دورة كاملة دار المؤشر قسماً واحداً على القرص الأفقي ، ويوجد بالغلاف المنزلق على ذراع المتابعة ورنية تقرأ لدقة 1/10 من أصغر جزء من أقسام هذا الذراع ، ويتحرك الغلاف على الذراع حركة بطيئة و أخرى سريعة بواسطة مسامير خاصة و ذلك من أجل وضع ثابت الجهاز على الذراع والذي يكون محدداً بجدول مرفق مع الجهاز.  وتعادل قيمة القسم الواحد على القرص ألف وحدة من وحدات الجهاز.  وبالجدول أيضاً عمود لقيم ثابت الجهاز الذي يستخدم مع القراءة المسجلة لإيجاد المساحة على الأرض بالأمتار المربعة.

الشكل 11.4: أجزاء جهاز مقياس المساحة  الميكانيكي  [8]

         ولكل جهاز جدول يحوي أربعة أعمدة: العمود الأول يبين مقاييس الرسم المستعملة ومقابل كل مقياس رسم الطول الذي يجب تثبيت ذراع المتابعة عليه في العمود الثاني ، ويحوي العمود الثالث المساحة الحقيقية المقابلة لكل وحدة من وحدات قياس الجهاز على لوحة الخريطة وفي العمود الأخير المساحة الحقيقية المقابلة لمقياس الرسم المستعمل. 

طريقة استخدام جهاز قياس المساحة:

         أولاً يتم اختيار طول ذراع المتابعة المقابل لمقياس رسم الخريطة التي تحوي حدود المنطقة وذلك من الجدول المرافق للجهاز (في بعض الأجهزة يتم طبع الجدول على ظهر الجهاز نفسه) ، ومن ثم يتم تحريك الجزء المنزلق على ذراع المتابعة حركة سريعة وبطيئة بواسطة المسامير الخاصة بذلك لضبط طول ذراع المتابعة.  الخطوة الثانية هي اختيار نقطة بداية القياس وتعليمها وهي نقطة على حدود المنطقة المبينة على لوحة الخريطة ، ويتم اختيارها بحيث يكون الثقل خارج حدود المنطقة وأن تكون إبرة المتابعة في مركز ثقل المساحة تقريباً  (الشكل 12.4) و أن يكون ذراع المتابعة عمودياً على ذراع الثقل بقدر الإمكان وأن تكون الزاوية بين الذراعين حدود 30 إلى 150 درجة أثناء تمرير الإبرة على حدود القطعة . ويمكن التحقق من ذلك بإمرار الإبرة على حدود المنطقة بحركة سريعة.  وينبه إلى أنه في حالة ما كانت المساحة كبيرة فيمكن تقسيمها إلى عدة أقسام لتحقيق الوضع المطلوب وإيجاد مساحة كل قسم لحدة و من ثم جمع مساحات هذه الأقسام لإيجاد المساحة الكلية.

الشكل :12.4  الوضع الأمثل لوضع الجهاز بالنسبة للخريطة عند بداية القياس [8].

أما الخطوة الثالثة فهي خطوة القياس وتبدأ بوضع الإبرة على نقطة البداية المختارة وتصفير الجهاز بحيث يكون كل من مؤشر القرص الأفقي وورنية العجلة الرأسية على الصفر ثم تمرير الإبرة على حدود المنطقة في اتجاه عقارب الساعة و ذلك لأن ترقيم العجلة يتزايد مع الدوران في هذا الاتجاه حتى نصل إلى نقطة البداية مرة أخرى.  ويتم قراءة الجهاز ومن ثم استخدام معامل الجهاز لتحويل القراءة إلى مساحة على الأرض.

وعلى سبيل المثال إذا كانت المساحة على الطبيعة (بالمتر المربع) المقابلة لوحدة الجهاز  تساوي 4 متر مربع على حسب ما هو في جدول الجهاز فإن مساحة هذه القطعة تساوي  4x7213 =  28852  متر مربع.

أما إذا تم استخدام الجهاز لإيجاد مساحة قطعة أرض على خريطة مرسومة بمقياس رسم غير موجود في جدول الجهاز فإننا نستخدم طول الذراع المقابل لأحد مقاييس الرسم الموجودة في الجدول و نطبق القانون التالي لإيجاد المساحة المطلوبة:

المساحة المطلوبة = المساحة الناتجة x (مقياس الرسم المستعمل ÷ مقياس الرسم الحقيقي)2

مثال 3.4

استعمل جهاز مقياس المساحة في  إيجاد مساحة قطعة أرض على خريطة مقياس رسمها 1:2500 ولكن مقياس الرسم هذا لم يكن موجوداً بجدول الجهاز فقد تم قياس المساحة على أساس مقياس الرسم 1:2000 الموجود بالجدول فكانت المساحة الناتجة 4000 متر مربع ، فما هي المساحة الحقيقية لقطعة الأرض ؟

الحل:             

المساحة الحقيقية        =          4000x(1/2000)2/ (1/2500)2  

                                =   6250  متر مربع.

مثال 4.4

لإيجاد مساحة قطعة أرض مبينة علي خريطة مقياس رسمها 1:2500 تم استخدام جهاز بلانيميتر لا يوجد في الجدول المرافق له المقياس المذكور فاستخدم مقياس الرسم 1:1000 وكانت المساحة التي تمثلها وحدة الورنية لهذا المقياس من الجدول هي  30 متر مربع.  وكانت قراءة الجهاز عند بدء القياس 1800 و بعد تمرير الإبرة على حدود المنطقة خمس مرات سجلت القراءة الأخيرة 4900 ، أوجد المساحة الحقيقية لقطعة الأرض بالمتر المربع ، ثم بالهكتار ، ثم بالفدان . ( 1هكتار = 10000 متر مربع = 2.39 فدان).

الحل:

عدد وحدات الجهاز لخمس دورات =  4900 -  1800  =  3100  وحدة

متوسط عدد وحدات الجهاز لدورة واحدة =  3100 ÷ 5  =  620 وحدة

المساحة الناتجة من القياس = 620 × 30  =  18600 متر مربع

المساحة الحقيقية  =  18600x(1/1000)2/ (1/2500)2 

                      =   18600 x (2500)2/(1000)2 

                      =  116250  متر مربع    =  11.625  هكتار  =  27.78  فدان

         وهنالك مقياس المساحة الرقمي  (الشكل 13.4)   وقد صمم على نفس المبدأ الرياضي الذي صمم عليه المقياس الميكانيكي القطبي.   ولا يوجد فرق في استعمال الجهاز الرقمي إلا أن مقياس الخريطة التي رسمت عليها حدود الأرض يدخل رقمياً في الجهاز قبل استخدامه.  وبعد تمريره على حدود المنطقة (في اتجاه عقارب الساعة أيضاً) يعطي قيمة المساحة مباشرة.

الشكل 13.4: مقياس المساحة الرقمي [9].