مسائل

قرصاً دائرياً نصف قطره R يحمل شحنة موجبة q موزعة بصورة متجانسة كثافتها السطحية  . احسب شدة المجال الكهربائي عند p .

الحل:

يمكننا بسهولة حل هذه المسألة باستعمال نتيجة المثال السابق الذي يعطي مقـدار شدة المجـال الكهربائي الناشئ عن حلقة مشحونة نصف قطرها r . لهذا نقسّـم القرص إلى عناصر تفاضلية على شكل حلقات بنصف قطر r وسمك dr. إن مساحة الحلقة تساوي ، أما شحنة الحلقة  dq فيمكن حسابها مـن ضرب مساحة الحلقة في كثافة الشحنة السطحية، أي:

وبإحلال dq محل q  و r محل a في المعادلة (8-18) نحصل على:

                                           ……...(20-8)

وبالتعويض عن شحنة العنصر التفاضلي dq نجد :

                                           ……..(21-8)

        وبعكس الحالات التي درست في الأمثلة السابقة فان المجالات الناشئة عن الحلقات الدائرية في مثالنا هذا تكون جميعاً بنفس الاتجاه، لذا تجيز لنا هذه الحالة إجراء التكامل للمعـادلة (8-21) مباشرةً على اعتبار إن التكامل عملية جمع جبرية وليست اتجاهية. وبهذا فان محصلة شدة المجال الكهربائي عند النقطة p يمكن إيجادها من تكامل المعادلة مباشرةً وان حدود التكامل يجب أن تمتد من r=0 إلى r=R لكي يعطي شحنة القرص جميعها، أذن :

                                          …....…(22-8)

ومن الحالات الخاصة التي تعطينا نتائج ابسط هي عندما يراد حساب شدة المجال الكهربائي في نقطة قريبة من مركز القرص أي في الحالة R>>y عندئذ:

                                                           ……….(23-8)

والآن أصبح بمقدور الطالب حل السؤال الآتي:إذا كان القرص الدائري بنصف قطر 10cm ويحمل شحنة قدرها q كولوم. فكم تكون شدة المجال الكهربائي عند نقطة واقعة على محور القرص وتبعد عنه 20cm؟

           

عادةً. عندما نتكلم عن شدة المجال الكهربائيE في أية نقطة فإننا نقصد عدد خطوط القوة الكهربائية في وحدة المساحة التي تعبر سطحاً عمودياً على المجال القريب من تلك النقطة. وسنطلق على العدد الكلي لخطوط القوة التي تعبر السطح بفيض المجال الكهربائي  . و يعبر عن العلاقة بين فيض المجال الكهربائي وشدته على النحو الآتي:

                                                        …...…... (24-8)

وهي علاقة خاصة بالحالة التي يكون فيها المجال منتظماً وبالاتجاه العمودي على السطح. أما إذا كان المجال غير منتظم أو غير عمودي على السطح، فان عدد الخطوط المخترقة للسطح يمكن إيجادها بتعبير رياضي يشمل موقفاً مهماً آخر غير المشار إليه في العلاقة (8-24). في الشكل   (8-22) يمثل dA مساحة متناهية في الصغر من السطح، بحيث أن العمود عليه يصنع زاوية  مع اتجاه المجال، وإن عدد الخطوط  خلال السطح:

                                                  ………..(25-8)

حيث   مسقط المساحة dA العمودية على المجال الكهربائي، و E شدة المجال عند النقطة التي تقع فيها dA. وبصيغة المتجهات تكتب المعادلة كما يأتي:

وبإجراء التكامل السطحي للمعادلة (8-25) نحصل على الفيض الكلي خلال السطح:

                                                   ……....(26-8)

هنا حدود التكامل تدل على شمول السطح بأجمعه، وان وضع الدائرة في وسط علامة التكامل تشير إلى الحالة التي يكون فيها السطح مغلقاً.

يبين الشكل (8-23) شحنة موجبة قدرها 1C وضعت في مركز سطح كروي نصف قطره r. احسب عدد خطوط القوة الكهربائية التي تنفذ خلال هذا السطح.

الحل :

لدينا    

وان           

وبما أن خطوط المجال الكهربائي المنبعثة عن الشحنة الموجبة 1C في حالتنا هذه بالاتجاه ألشعاعي، فان السطح الكروي يكون عمودياً عليها، وبذلك يصبح بالإمكان استعمال المعادلة (8-24) لحساب عدد خطوط القوة الكهربائية المخترقة للسطح  ، أي :

                                                             ……...(27-8)

وبالتعويض عن قيمة   في المعادلة (8-27) نحصل على:

يمكن أن نستنتج إن فيض المجال الكهربائي خلال السطح الكروي المفترض يعتمد على مقـدار الشحنة في داخله ولا يعتمـد على نصف قطره، كما هـو واضح في المعادلة (8-27).

            في هذا البند سوف نناقش علاقة مهمة تربط فيض المجال الكهربائي خلال سطح افتراضي مغلق (يسمى سطح كاوس) قد يكون منتظماً أو غير منتظم والشحنة الكلية التي يحتضنها السطح. هذه العلاقة هي تعبير لقانون شهير صاغه العلامة الرياضي البارع كارل فردريك كاوس (1777-1855)، وتتجلى أهميته بصورة رئيسية في إرساء أسلوب بسيط لحساب المجالات الكهربائية في الحالات التي يكون فيها المجال بقدرٍ كافٍ من التماثل. أي في الحالات التي يكون توزيع الشحنات فيها ذا هندسة بسيطة بحيث يسمح لنا باختيار أسطح افتراضية بسيطة مثل التماثل الكروي، التماثل الاسطواني، والتماثل الاستوائي التي سيتم تناولها فيما بعد.

            لنعُدْ ونستقرأ ما ورد في البند (8-6). المعادلة (8-27) كان قد اسند اشتقاقها على أساس مجال الشحنة الموجبة q، ولكن السطح الافتراضي المغلق قد يحتوي على شحنة خالصة، وعليه فمن المنطق تعميم هذه النتيجة لتشمل القيمة الإجمالية للشحنة المحتمل وجودها داخل السطح المغلق ويرمز لها بـ  بدلاً من q. وبعد التعويض عن قيمة   من المعادلة (8-26) في المعادلة (8-27) نحصل على:

                                                 ……....(28-8)

 حيث                                                                      

                                          

         تعرف المعادلة (8-28) وكذلك المعادلة (8-27) باسم قانون كاوس الذي ينص على أن: التكامل السطحي للمركبة العمودية لشدة المجال الكهربائي على سطح مفترض مغلق يساوي القيمة الإجمالية للشحنة المحتواة داخل السطح المغلق   مقسوماً على سماحية الفضاء الحر أو سماحية الفراغ  .

            ولو نظرنا إلى المعادلة (8-28) واستقرأنا جيداً نص قانون كاوس لأمكن وضع النقاط الآتية:

1-         الشحنة   تمثل حصرياً الشحنة الموجودة داخل السطح المفترض المغلق (سطح كاوس) بنوعيها سواء كانت موجبة أم سالبة.

2-         إذا كانت الشحنة ذات توزيع متصل فينبغي أن يؤخذ ذلك الجزء من الشحنة الواقع داخل سطح كاوس فقط ويهمل الجزء الآخر لعدم إسهامه في تغيير فيض المجال الكهربائي المخترق للسطح.

3-         إذا كانت الشحنة الخالصة داخل السطح مزيجاً متكافئاً من الشحنات السالبة والموجبة فان قيمة الفيض خلال السطح المغلق تكون صفراً.

4-         في الحالة التي تكون فيها الشحنة الكلية داخل سطح كاوس المفترض تساوي صفراً ، فان قيمة الفيض الكهربائي خلال السطح تساوي صفراً أيضا.

  

يستعمل قانون كاوس في حساب شدة المجال الكهربائي في الحالات التي يكون فيها توزيع الشحنات ذا تماثل بسيط مثل شحنة خطية منتظمة أو شحنة كروية منتظمة أو صفيحة مستوية منتظمة الشحنة أو قرص دائري منتظم الشحنة بحيث يسمح لنا اختيار سطح كاوس ملائم ينسجم مع تناظر المجال.ومن اعتبارات التناظر يكون لشدة المجال قيمة ثابتة مما يجيز إخراج E خارج علامة التكامل لقانون كاوس المتمثل بالمعادلة :

          إن حساب الطرف الأيسر من المعادلة ، يتطلب تجزئة سطح كاوس المغلق إلى عدد من السطوح التفاضلية، ومن معرفة   المحصورة بين اتجاه المجال وقيمة السطوح التفاضلية يمكن إيجاد ناتج التكامل السطحي دون الخوض في عمليات التكامل المعقدة.

أن اعتماد أسلوب كاوس في حل المسائل المتعلقة بحساب شدة المجال الكهربائي هي ابسط بكثير من طريقة التكامل السطحي المعقدة التي اعتمدت في البند (8-5)، كما سيتضح عند حساب شدة المجال الكهربائي في عدد من الحالات، حيث يكون توزيع الشحنات الكهربائية بأشكال مختلفة كما في الأمثلة الآتية:

يبين الشكل (8-24) جزءاً من سلك عازل طوله غير محدود يحمل شحنة q موزعة بصورة متجانسة بكثافة خطية  . احسب E عند نقطة تبعد a عن الشحنة.

الحل:

 نختار سطحاً كاوسياً مناسباً لهذه الحالة عبارة عن سطح اسطواني دائري مغلق نصف قطره a وطوله L وضع بحيث كان محوره منطبق على السلك.ثم نقسّمهُ إلى ثلاثة أقسام وهي  s1و  s2و s3 وتطبق معادلة كاوس على كل الأسطح لحساب E فيكون :

 

وحيث    و 

وبإخراج E خارج علامة التكامل لثبوت قيمتها على السطح الذي يقع على بعد ثابت قدره a من الشحنة الخطية   يكون :                           

       

        

             

حيث  تمثل صافي الشحنة الواقعة داخل سطح كاوس الاسطواني، وبما أن كثافة الشحنة الخطية ضمن الطول L الذي يقع داخل سطح كاوس   لذا ينتج :

                                                      …...…(29-8)

            وهي نفس النتيجة التي حصل عليها في المثال (8-7) بطريقة التكامل ، حيث يلاحظ أن حل هذه المسألة بتطبيق قانون كاوس هو ابسط بكثير من طريقة  التكامل.

    

 يبين الشكل (8-25) جزءاً من قرص دائري لانهائي يحمل شحنة موجبة موضوعة بصورة متجانسة بكثافة سطحية قدرها  . والمطلوب حساب شدة المجال الكهربائي عند نقطة واقعة على محور القرص وتبعد مسافة y عن مركزه.

           

الحل:

إن أفضل سطح كاوسى هو اسطوانة شبيهة بعـلبة أقراص مساحة مقطعها s وارتفاعها 2y، توضـع بحيث يكون محورها عمودياً على مسـتوي القـرص.

نقسِّـم سـطح الاسـطوانـة(سطح كاوس) إلى ثلاثة أقسام هي s1 وs2 وs3 ثم نطبِّق معادلة كاوس على كل من هذه الأسطح لغرض حساب E فيكون:

                       

وبنفس الطريقة المعتمدة في حل المثال السابق (8-12)، تكون E خارج علامة التكامل لثبوت قيمتها على السطح الذي يقع على بعد ثابت قدره y من الشحنة السطحية   فيكون:

                                               ومنها

حيث   هي مقدار الشحنة السطحية الكلية الموجودة ضمن سطح كاوس وبهذا نحصل على مقدار شدة المجال الكهربائي.

                                                           …….....(30-8)

وهي نفس النتيجة التي حصل عليها في المثال (8-10) ، ولكن بطريقة ابسط.

يبين الشكل (8-a26) جسماً كروياً غير موصل نصف قطره a ويحمل شحنة موجبة موزعة بصورة متجانسة. والشكل (8-b26) جسم كروي موصل نصف قطره a ويحمل شحنة موجبة مستقرة على سطحه الخارجي. والمطلوب إيجاد شدة المجال الكهربائي الناشئ عن الجسمين الكرويين في نقطة p تقع على مسافة r خارج الكرتين.

           

الحل:

إن أفضل سطح كاوسي نختاره لهذه المسألة ولكلتا الكرتين هو كرة نصف قطرها r بحيث تكون نقطة p المراد إيجاد شدة المجال الكهربائي عندها واقعة على هذا السطح.

1-         في حالة الكرة غير الموصلة :

يطبق قانون كاوس المتمثل في المعادلة :

  واضح من التناظر ألشعاعي لشدة المجال الكهربائي إن E عمودية على كل نقطة من نقاط سطح كاوس وتكون لها نفس القيمة، ولهذا فان الزاوية   وهي الزاوية المحصورة بين اتجاه E وعنصر المساحة ds تساوي صفراً، عندئذ :

            ,              (مساحة السطح الكروي لكاوس)       

                                               

                                                 أو                  

                                                ……..…(31-8)

وهي نفس النتيجة التي حصل عليها لشدة المجال الناشئ عن شحنة نقطية المعادلة (8-3) ومنها نستنتج أن شدة المجال الكهربائي في نقاط تقع خارج كرة مشحونة (غير موصلة) هي ذاتها كما لو كانت الشحنة متجمعة في مركز الكرة.

2-         في حالة الكرة الموصلة:

          المجال خارج كرة موصلة مشـحونة يعطى بالمعادلة (8-31) طالما إن الشحنة باجمعها تبقى داخل سطح كاوس أيضاً وان E عمودي على كل نقطة من نقاط سطح كاوس بسبب التناظر ألشعاعي للمجال الذي يجعل  تساوي صفراً .

           

في المثال السابق، ما شدة المجال الكهربائي الناشئ عن الجسمين الكرويين في نقطة o مثلاً، تقع على مسافة  r/  داخل الكرتين؟

الحل :   

نختار سطح كاوس بشكل كرة نصف قطرها r/ بحيث تكون نقطة o واقعة على هذا السطح (انظر الشكل 8-26).

1-         في حالة الكرة غير الموصلة :      بتطبيق قانون كاوس نجد .

حيث   تمثل ذلك الجزء من الشحنة الموجودة داخل سطح كاوس. عندئذ فان باقي الشحنة q الواقع خارج سطح كاوس لا يؤثر على شدة المجال الكهربائي عند نقاط هذا السطح، وعليه فان:

بالتعويض عن   في معادلة كاوس ينتج:

 

                                     ومنها

                                     ………...(32-8)        

نستنتج من هذه المعادلة أن مقدار E في مركز الشحنة الكروية (الحالة 0=r/) يساوي صفراً. أما مقدار E على سطح الشحنة الكروية (الحالة 0=r/)هي

           

           

2-         في حالة الكرة الموصلة : 

   إن شدة المجال الكهربائي E في نقطة واقعة داخل الكرة تساوي صفراً.

           

            استعمل قانون كاوس لإثبات أن شدة المجال الكهربائي في أية نقطة مثل p (الشكل 8-27) بين لوحين متوازيين مشحونين بشحنتين متساويتين في المقدار ومختلفتين في الإشارة المسافة بينهما صغيرة بالمقارنة مع بعديهما تساوي  .

الحل:

طالما المسافة بين اللوحين صغيرة بالمقارنة مع بعديهما فيمكن إهمال تأثير الحافتين واعتبار المجال الكهربائي كلياً منتظماً بين اللوحين.إن أفضل سطح كاوسى نختاره لهذه المسألة هو شكل متوازي المستطيلات بحيث تكون أحدى قاعدتيه داخل اللوح الموجب والأخرى في الفراغ بين اللوحين. نقسِّم متوازي المستطيلات إلى أربعة أقسام وهي s1 و s2 و s3 و s4 ثم نطبِّق علاقة كاوس على كل هذه الأسطح لحساب E:

 

الشحنة الكلية داخل سطح كاوس (متوازي المستطيلات)   تساوي 

                                                     ……..….(33-8)

والسؤال الذي يتبادر إلى الأذهان هو لماذا طبِّق سطح كاوس على اللوح الموجب الشحنة وعدم الأخذ بنظر الاعتبار الشحنات السالبة على اللوح الأخر عند حساب E. ذلك أن هذه الشحنات سوف تؤثر على الشحنات الموجبة في اللوح الأخر وتجعلها تتجمع على سطح واحد فقط وهو السطح المقابل. وهنا لابد أن نذكر بأنه لو اخترنا سطح كاوس بحيث يقطع اللوح السالب بدل الموجب لحصلنا على النتائج نفسها.

            إذا علمت أن ثلاثين خطا من خطوط القوة تخرج من سطح مغلق وتدخل فيه خمسة خطوط كما يرى في الشكل (8-28).  فإذا كان كل خط يمثل   خط يدخل أو يخرج من السطح. فما مقدار الشحنة الكلية التي يجب إن يحتضنها هذا السطح؟ حدّد نوعها.

الحل:

وبهذا تكون محصلة عدد الخطوط الخارجة من السطح ( ) خط، وبذا فإن مقدار الشحنة الكلية يساوي:

            وهي موجبة الشحنة.

          إذا علمت أن شدة المجال الكهربائي الناشئ عن كرة موصلة مشحونة عند نقطة قريبة من السطح تساوي  . احسب الكثافة السطحية لشحنة الكرة.

(8-1) : جِدْ شدة المجال الكهربائي عند مسافة 0.1m من شحنة قدرها 2nC.

(8-2) : كيف يمكنك التأكد من وجود مجال كهربائي في منطقة ما تجريبياً؟ ثم اثبت ان شدة المجال تكون دائماً في اتجاه عمودي على سطح الجسم الموصل.

(8-3) : انطلق إلكترون في منطقة يمتد المجال الكهربائي فيها باتجاه المحور x الموجب وشدته  . جِدْ مقدار واتجاه تسارع الإلكترون، مع العلم أن كتلة الإلكترون  .

(8-4) : تتأثر كرة صغيرة تحمل شحنة مقدارها   بقوة نحو الشرق مقدارها   بسبب شحنتها عندما تعلق من نقطة معينة في الفضاء. ما مقدار المجال الكهربائي E واتجاهه في تلك النقطة؟

(8-5) : تحمل قشرة كروية رقيقة عازلة نصف قطرها R شحنة مقدارها Q موزعة بانتظام على سطح القشرة. ما المجال الكهربائي E عند مركز القشرة.

(8-6) : وضعت شحنتان متساويتان في المقدار وبإشارتين متعاكستين على امتداد المحور x عند x=b و x=-b. اثبت ان المجال الكهربائي الناشئ عن هاتين الشحنتين عند نقطة على المحور y سيكون في اتجاه موازٍ لمحور x ومقدارها يعطى بالمعادلة.

(8-7) : لو أن الشحنتين في المسألة السابقة كانت لهما نفس الإشارة فماذا يكون اتجاه المجال الكهربائي ومقداره؟

(8-8): لو وضع اثنان من ثنائية الأقطاب كما في الشكل (8-29) ، لتكوِّن ما يسمى رباعي القطب. والمطلوب إيجاد شدة المجال الكهربائي في النقطة p الواقعة على محوره ، وعلى بعد قدره r عن مركزه بحيث ان قيمة r اكبر بكثير من قيمة a.

 (8-9)   : استنتج قانون كولوم من قانون كاوس.

(8-10) : احسب شدة المجال الكهربائي في نقطة تبعد مسافة d عن محور سلك رفيع مستقيم طويل جداً، يحمل شحنة موزعة بصورة منتظمة على طوله كثافتها ( )   مستعملا .1- قانون كولوم، 2- قانون كاوس.

(8-11) : لوحان معدنيان يحملان شحنتين متساويتين بالمقدار ومتعاكستين بالإشارة المسافة بينهما 1cm. فإذا كان المجال الكهربائي المتكون في المنطقة بين اللوحين 50NC-1 ومساحة كل من اللوحين تساوي 100cm2. جد شحنة كل من اللوحين.

(8-12) : جد فيض المجال الكهربائي خلال السطح الاسطواني المشار إليه في المثال  (8-12) عندما يكون محوره عمودياً على المجال.

(8-13) : كرة صغيرة كتلتها 1gm تحمل شحنة 10-9C×3، ربطت بإحدى نهايتي خيط عازل وثبتت النهاية الأخرى للخيط إلى صفيحة موصلة كبيرة وعمودية تحمل شحنة بكثافة سطحية تساوي 10-7C/m2×25. جد الزاوية التي يصنعها الخيط مع العمود.

(8-14) : إذا وضع سطح خيالي بشكل نصف كرة في مجال كهربائي منتظم بحيث كان محوره موازياً للمجال. جِدْ  الفيض الكهربائي خلال هذا السطح، إذا علم ان نصف قطره R وان شدة المجال E.

(8-15) : كرة صغيرة كتلتها 10-3gm وتحمل شحنة مقدارها 10-8C×  2، معلقة بسلك حريري يصنع زاوية 30o مع صفيحة مستوية موصلة كبيرة احسب كثافة الشحنة السطحية للصفيحة.

 (8-16) : شحنة موجبة موزعة بشكل كرة نصف قطرها 3m بحيث ان كثافتها الحجمية عند أية نقطة داخل الكرة تعتمد على البعد r من مركزها حسب المعادلة : . ما قيمة:1- الشحنة، 2- E عند نقطة تبعد 4m عن المركز، 3- ما مقدار E عند نقطة تبعد 2m عن المركز.

         هناك حقيقة أصبحت معروفة ، وهي عند وضع شحنة كهربائية q في مجال كهربائي سيؤثر عليها المجال بقوة مقدارها qE ويكون اتجاهها مع اتجاه المجال الكهربائي. وإذا أردنا أن نمسك هذه الشحنة في مكانها فلابد أن نؤثر عليها بقوة مقدارها –qE.

            لنعتبر حالة شحنة اختبارية موجبة   موجودة أصلاً في النقطة p داخل مجال كهربائي غير منتظم كما في الشكل (9-1). فلو أردنا تحريكها إلى النقطة B على طول المسار a للزم علينا بذل شغل بعامل خارجي ضد القوة الكهربائية بحيث تبقى حركة الشحنة دائماً في حالة اتزان. وهذا الشغل يساوي الزيادة في الطاقة الكامنة للشحنة.

            إن فرق الجهد بين النقطتين  A و B داخل المجال الكهربائي هو الشغل المبذول ضد القوة الكهربائية لنقل وحدة شحنة الاختبار الموجبة من A إلى B. ويعّرف فرق الجهد بين النقطتين   Aو B بأنه الشغل المنجز   لوحدة الشحنة، أي :

                                                    …..…(1-9)

إن وحدات SI لفرق الجهد هي جول لكل كولوم. وسنطلق على هذه الكمية المشتقة اسم فولت V نسبة إلى العالم الإيطالي اليساندرو فولتا)1745-1827(.وهناك أجزاء لهذه الوحدة تستعمل لقياس فروق الجهد الصغيرة كالملي فولت mV الذي يعادل واحداً من ألف من الفولت ،والمايكروفولت   وقدرهُ واحد من مليون من الفولت. أما فروق الجهد الكبيرة يعبر عنها بالكيلو فولت  KVالذي يعادل ألف من الفولت ،والميكافولت MV وقدرهُ مليون فولت. وحيث أن الشغل كمية عددية، فان فرق الجهد كمية عددية أيضاً.

            لقياس الجهد عند أي نقطة، اتفق أن يكون جهد النقاط البعيدة جداً عن الشحنات مساوياً إلى صفر. وفي حالتنا لو اخترنا النقطة A في المالانهاية لأصبح الجهد   صفراً، وبالتعويض في المعادلة (9-1) نحصل على الجهد الكهربائي عند النقطة B.    

إذن تعريف الجهد في نقطة ما هو عبارة عن الشغل لوحدة الشحنة الواجب إنجازه لنقل شحنة اختبارية موجبة من المالانهاية إلى تلك النقطة (أو من نقطة جهد صفر إلى النقطة المعنية) والعلاقة الرياضية هي :

                                                          ………..(2-9)

ولابد هنا من الإشارة إلى نقطة مهمة تتعلق بفرق الجهد وهي اعتبار جهد الأرض يساوي صفراً واتخاذه مرجعاً قياسياً لكثير من مسائل الدوائر الكهربائية. ولإيضاح ذلك سنعتبر كرتين مشحونتين إحداهما موجبة ويرمز لها بالعلامة (+) والأخرى سالبة ويرمز لها بالعلامة   كما مبين في الشكل (9-2). عند توصيل كل من الكرتين على انفراد بالأرض نجد أن كلتيهما تفقد ما عليها من شحنة كهربائية، ويفسر ذلك بان الشحنة الكهربائية في حالة الكرة الموجبة قد سرت منها إلى الأرض (الجهد الكهربائي للكرة الموجبة الشحنة اكبر من الجهد الكهربائي للأرض ولذلك فان الشحنة قد سرت من الكرة إلى الأرض حتى أصبح جهد الكرة صفراً). وفي حالة الكرة السالبة فان كهربائية موجبة قد سرت من الأرض إلى الكرة حتى تعادلت الشحنتان على الكرة (يقال إن الجهد الكهربائي للأرض اكبر من الجهد الكهربائي للكرة السالبة الشحنة ولذلك فان الشحنة الموجبة قد سرت من الأرض إلى الكرة حتى أصبح جهد الكرة صفراً).وفي كلتا الحالتين فان الكرتين قد فقدتا شحنتيهما. غير إن الحال مع الكرة الأرضية يختلف، فبسبب حجمها الهائل فان كهربائيتها لا تتأثر بأي شحنة   كهربائية تسري إليها أو منها إلى موصل مهما كانت قيمة هذه الشحنة، ولذلك اعتبر الجهد الكهربائي للأرض صفراً واتخذ لذلك مرجعاً لقياس الجهد. فإذا قيل إن لموصل ما جهداً موجباً فان هذا يعني انه إذا وصل بالأرض فان الشحنة الكهربائية تسري منه إلى الأرض والعكس صحيح إذا كان جهد الموصل سالباً.

إذا كان فرق الجهد بين قطبي بطارية هو 12V فما مقدار الشغل الذي تبذله البطارية لنقل إلكترون من قطبها الموجب إلى السالب. وكم لنقله بالاتجاه المعاكس.

الحل :

            الانتقال بالإلكترون من قطب البطارية الموجب إلى السالب يعني المرور خلال انخفاض جهد وعليه فان  ، لذا فان الشغل المبذول في هذه الحالة هو:

أما ترك الإلكترون وشأنه سيجذبه نحو القطب الموجب وهذا يعني أنها تكون عند الجهد الأعلى أي   لذا فالشغل المبذول في هذه الحالة يكون :

لإيجاد العلاقة بين فرق الجهد وشدة المجال، لابد من حساب الشغل الذي يلزم إنجازه من قبل عامل خارجي لتحريك شحنة اختبار موجبة   في مجال غير منتظم وعلى مسار متموج بين النقطتين A و B بدون تعجيل كما في الشكل (9-1). فإذا فرضنا الشحنة   تتحرك على طول المسار a بدون تعجيل فهذا يشترط أن تكون   في أية نقطة على طول المسار بين  Aو B واقعة تحت تأثير قوتين متعاكستين الأولى مسلطة من قبل المجال الكهربائي ومقدارها   وتكون بنفس اتجاه المجال والثانية يسلطها عامل خارجي مقدارها   وتكون بعكس اتجاه المجال وبهذا يصبح الشغل المنجز:

                                                           أو

                                                 ………..(3-9)

حيث dr إزاحة تفاضلية على المسار a يعمل زاوية   مع اتجاه المجال الكهربائي. وإذا قارنا المعادلتين (9-1) و (9-3) نجد إن فرق الجهد بين النقطتين  Aو B مساوٍ إلى:

                                      ………..(4-9)

وبربط المعادلتين (9-3) و (9-4) نحصل على:

           

                                            ……..(5-9)

أي أن مقدار الشغل المنجز على هذه الشحنة   يساوي التغير في طاقتها الكامنة(P.E).

وفي الحالات الخاصة التي يكون فيها المجال منتظماً وموازياً لمسار الشحنة، فأن حركة الشحنة باتجاه معاكس لشدة المجال تجعل الزاوية   بين E وdr تساوي 1800  وتصبح المعادلة (9-4) كالآتي :

                      ….…...(6-9)

إذ أن d تمثل طول المسار بين النقطتين  Aو B.

            يظهر من المعادلة (9-6) انه بالإمكان التعبير عن شدة المجال الكهربائي بالوحدة ( ). ويمكن إثبات التطابق بين هذه الوحدة والوحدة التي مرَّ ذكرها في الفصل الثامن وهي ( ) كالآتي :

إذا علم أن فرق الجهد بين لوحين متوازيين متعاكسي الشحنة المسافة بينهما 1cm هو .100V احسب : 1- مقدار شدة المجال الكهربائي بينهما ، 2- مقدار التعجيل الذي يتحرك به ايون الهيدروجين كتلته   وشحنته   إذا وضع في هذا المجال ، 3- سرعته بعد أن يقطع مسافة قدرها0.5cm  ، 4- طاقته الحركية بعد أن يقطع هذه المسافة.

الحل:

1-                                                                                     

2-         لما كانت شحنة ايون الهيدروجين موجبة، فان تعجيله يكون باتجاه المجال الكهربائي وعلى خط مستقيم، أما مقداره فيمكن إيجاده من المعادلة :

3- سرعة ايون الهيدروجين بعد أن يقطع مسافة قدرها 0.5cm هي :

4- طاقة ايون الهيدروجين بعد أن يقطع المسافة نفسها هي:

           

لإيجاد مقدار الجهد الكهربائي في نقطة مثل B واقعة بالقرب من شحنة نقطية، نجد أولاً علاقة لفرق الجهد بين النقطتين  Aو B الواقعتين في المجال الكهربائي الخاص بالشحنة الموجبة q على المسافتين   و   على التوالي كما مبين في الشكل (9-3).

تستعمل المعادلة (9-4) في حساب فرق الجهد بين النقطتين  Aو B :

وهي شدة المجال الكهربائي في نقطة في الفراغ الذي يحيط بالشحنة q ويبعد عنـها r

والآن إذا جعل موضع النقطة A (أو B) في اللانهاية أو بعيدة جداً عن الشحنة q، فان    ويصبح   وبتعويض هاتين القيمتين لـ  و   في المعادلة (9-7) نحصل على قيمة الجهد المطلق عند النقطة B (أو A). ولأية نقطة على مسافة r في مجال الشحنة q نحصل على :

                                                              ……..(8-9)

ولإيجاد الجهد لمجموعة من الشحنات النقطية  ، التي تبعد بالمسافات   عن نقطة ما مثل p واقعة في المجال الكهربائي الخاص بها، تُحسب   لكل شحنة على حدة عند النقطة p كما لو كانت الشحنات الأخرى غير موجودة، أي :

  ,  

وبذلك يكون الجهد الكلي هو حاصل الجمع الجبري للإسهامات المنفردة. ومرة أخرى هذا هو مبدأ التراكب ولكنه هنا باستعمال كميات قياسية وعلى الشكل الآتي:

                                                   ……....(9-9)

حيث   هي المسافات التي تبعدها الشحنات   عن النقطة قيد الاعتبار.

وفي حالة كون الشحنة موزعة توزيعاً متصلاً، كأن تكون الشحنة موزعة على سطح جسم موصل أو موزعة ضمن حجم معين بشكل متصل، فيمكن إيجاد الجهد الناشئ عنها بتقسيم الشحنة إلى عدد كبير من العناصر التفاضلية dq ثم يحسب الجهد dV الناشئ عن كل عنصر مقداره dq عند نقطة تبعد r عن العنصر التفاضلي، أي:

                                                ……....(10-9)

ولإيجاد الجهد الكلي الناشئ عن الشحنة بأكملها تجرى عملية التكامل لجميع الجهود الناشئة عن الأجزاء التفاضلية ، أي :

                                     ….…... (11-9)

وباستعمال المعادلتين (9-5) و (9-7) يمكن حساب الطاقة الكامنة الكهربائية لأي شحنة مثل Q واقعة في مجال الشحنة النقطية q وبذلك نحصل على:

                                               أو

وبنفس الأسلوب الذي اتبع في حساب الجهد تكون الطاقة الكامنة للشحنة Q هي:

                                                ………..(12-9)

احسب الجهد المطلق في الهواء على بعد 3cm من شحنة نقطية500μC 

الحل :

                                                              

 V=150KV

           

ثلاث شحنات نقطية   جميعها واقعة في المستوي xy ومثبتة في المواقع المؤشرة في الشكل (9-4). جدْ مقدار

1-         الجهد الكهربائي عند نقطة الأصل 0 الناشئ عن الشحنات.

2-         الشغل اللازم إنجازه لإحضار إلكترون إلى النقطة 0 من مسافة بعيدة جداً.

الحل:

1-         الإسهامات المختلفة في الجهد عند النقطة 0 هي :

 V

 V

 V

والجهد الكلي عند 0 هو:

 V

2-         الشغل المطلوب إنجازه لإحضار إلكترون بعيد جداً هو :

           

يبين الشكل (9-5) ثلاث شحنات نقطية موضوعة عند أركان مثلث طول ضلعه 20cm. احسب الجهد عند مركز المثلث : 1- إذا كانت كل من الشحنات الثلاث  ، 2- إذا كانت شحنتان من المثلث   والشحنة الثالثة  .

الحل:

نجد بُعدْ مركز المثلث عن رؤوسه الثلاثة (r) حيث:

من نظرية فيثاغورس نجد :

ثم تطبق المعادلة (9-9) للحصول على الجهد :

    V

1-         في حالة الشحنة الثالثة   نحصل على جهد:

 V

إلكترون يتحرك بسرعة   عند مروره بنقطة A في طريقه إلى نقطة B. فإذا كانت سرعته عند B هي   فاحسب فرق الجهد بين   AوB  وبين أيهما تكون عند جهد أعلى.

الحل :   

الشغل المبذول في نقل الإلكترون من A إلى B يمثل الطاقة الكامنة المفقودة (P.E) وتساوي  ، وأن الفقد يظهر كطاقة حركية للإلكترون ، أي :

 V

من ذلك نستنتج أن نقطة B تكون عند جهد أعلى.

            احسب الطاقة الكامنة الكهربائية لثلاث شحنات نقطية مرتبة كما في الشكل (9-6).

           

الحل:

لنَقِلْ أي شحنة من المالانهاية إلى نقطة يكون عندها الجهد V فان شغلاً يجب أن يبذل على الشحنة، يظهر على هيئة طاقة كامنة كهربائية (P.E) مختزنة في الشحنة. أن نقل الشحنة   من المالانهاية لا يتطلب شغلاً لعدم وجود شحنات أخرى قريبة، في حين يكون الشغل اللازم لنقل الشحنة   نتيجة التنافر مع   هو:

حيث الجهد هنا يكون نتيجة الشحنة 

لنقِلْ الشحنة  إلى الموضع المطلوب إحضارها عنده حيث الجهد يكون نتيجة الشحنتين و ، وعليه فان الشغل اللازم لإنجاز ذلك   هو:

بجمع مقادير الشغل اللازم لنقل الشحنات الكلية نحصل على الطاقة الكامنة الكهربائية المختزنة في النظام وهي:    

  

وعلى الطالب أن يثبت بأن الترتيب الذي نقل به الشحنات من المالانهاية لا يؤثر على هذه النتيجة؟

            اشرنا في البند الأول إلى أن وحدة الطاقة أو الشغل في النظام الدولي للوحدات SI هي الجول. غير أن هذه الوحدة تعتبر كبيرة جداً عند التعامل مع الجسيمات الأولية (الكترونات، بروتونات أو شحنات صغيرة من الايونات) التي نلتقي بها في حقل الفيزياء النووية. لذلك صار من المناسب التعامل مع وحدة أخرى للطاقة اصغر وأكثر ملائمة من الجول وهي الإلكترون فولت eV وتعّرف على إنها مقدار الطاقة التي يكتسبها جسم يحمل شحنة إلكترون واحد عندما يتسارع خلال فرق جهد مقداره فولت واحد. إذن عندما يتحرك إلكترون أو بروتون بحرية خلال فرق جهد مقداره واحد  فولت فان طاقته أو الشغل اللازم لانجاز الحركة وفقاً للمعادلة (9-2) هي:

إذا علم إن فرق الجهد بين نقطتين في مجال كهربائي يساوي 100V فما مقدار الشغل المطلوب لتحريك جسيمٍ ذي شحنة مقدارها 2e من أحدى النقطتين إلى الأخرى بوحدات.1 -إلكترون فولت،  2- الجول.

الحل:

                                                                1-      V )   eV

 V2-                                                         

يمثل الشكل (9-7) ثنائي قطب كهربائي متكون من شحنة موجبة +q وأخرى سالبة –q تفصلهما مسافة 2a والمطلوب إيجاد قيمة الجهد الكهربائي الناشئ عن الشحنتين +q و –q عند النقاطN   و P وQ .

عند النقطة N الواقعة على امتداد محور ثنائي القطب نحو اليسار وتبعد مسافة r عن مركزه نجد إن الجهد الكهربائي للشحنة +qوq - على ألتتالي يكون:

لذلك فان الجهد الكلي V لكلتا الشحنتين يساوي المجموع الجبري لجهديهما، أي :

                                                   ……...(13-9)

        وفي الحالات التي تكون فيها النقطة N على مسافة بعيدة من مركز ثنائي القطب أي (r>>2a) يمكن إهمال   بالنسبة للمقدار   ، عندئذ:

                                      …….... (14-9)

إذ أن   ترمز لعزم ثنائي القطب الكهربائي.

        أما الجهد الكهربائي عند النقطة P التي حدد موقعها بالإحداثيات القطبية r و (الشكل 9-7) فيمكن إيجاده بنفس الأسلوب، أي الجهد عند p للشحنة +q يكون:

أما الجهد عند نفس النقطة للشحنة –q يكون:

لذلك فان الجهد الكلي V لكلتا الشحنتين يساوي المجموع الجبري لجهديهما ،أي:

                                                  ……...(15-9)

وللحالات التي يكون فيها بعد النقطة p كبيراً بالنسبة لـ2a أي (r>>2a) يكون:

وبالتعويض عن هذه القيمة في المعادلة (9-15) نحصل على:

                     ……..(16-9)

        نجد من المعادلة (9-16) تحقيقٌ لنتيجة الجهد عند النقطة N في الحالة التي تكون على مسافة بعيدة من مركز ثنائي القطب، والتي عندها من المفترض أن تكون قيمة  تساوي صفراً، أي cos=1 فعند تعويض هذه النتيجة في المعادلة (9-16) نحصل على نفس الصيغة التي حصلنا عليها في المعادلة (9-14). كما نجد من المعادلة (9-16) أن الجهد يساوي صفراً عند جميع النقاط الواقعة على الخط العمودي المقام من منتصف المسافة بين شحنتي ثنائي القطب أي عندما تكون الزاوية  تساوي 90.

            من المعلوم أن شدة المجال الكهربائي كمية اتجاهية وان حساب قيمتها بطريقة التكامل مباشرةً باستعمال المعادلة (8-11) أمر غير سهل. وطالما أن الجهد الكهربائي كمية غير اتجاهية ، لذا فمن الضروري أن يكون حساب شدة المجال عن طريق حساب الجهد يعد طريقة أسهل من حسابه بطريقة التكامل بصورة مباشرة. لاحظنا في البند (9-2) أن هناك علاقة بين شدة المجال E وفرق الجهد   ممثلة في المعادلة (9-4) وهي:

الآن يمكن حساب E إذا كان الجهد الكهربائي معروفاً في منطقة ما بالتعبير عن فرق الجهد dV بين نقطتين المسافة بينهما متناهية في الصغر dr بالشكل الآتي:

                                     ……….(17-9)

حيث   تمثل مركبة شدة المجال الكهربائي باتجاه dr، وان  هي الزاوية المحصورة بين اتجاه   وعنصر المسافة dr. في الحالة التي تكون فيها الكمية   باتجاه dr فان =0 عندئذ يمكن كتابة المعادلة (9-17) كالآتي :

                                                         ……….. (18-9)

وهذه هي قيمة مركبة شدة المجال الكهربائي باتجاه المسافة dr ، أما الإشارة السالبة فهي تدل على إن اتجاه E هي باتجاه تناقص الجهد.أما إذا كان V متغيراً في أكثر من اتجاه مثل x وy وz فيمكن عندئذ إعادة كتابة المعادلة (9-18) في هذه الاتجاهات كالآتي :

                                                            ………(19-9)

من المناقشة التي بنيت على أساس المعادلة (9-4) نجد أن الجهد الكهربائي يبقى ثابتاً لجميع نقاط المسار إذا كان عمودياً على المجال الكهربائي وسنأتي إليه في البند القادم.

ثنائي قطب كهربائي يتكون من شحنتين متساويتين بالمقدار ومختلفتين بالإشارة تفصلهما مسافة 2a (شكل9-8). احسب:1- الجهد الكهربائي V عند النقطة p ،2- الجهد الكهربائي V وشدة المجال الكهربائي Ex عند نقطة بعيدة عن ثنائي القطب ،3- الجهد الكهربائي V وشدة المجال الكهربائي Ex إذا كانت p واقعة بين الشحنتين.

1-         الجهد الكهربائي عند النقطة p يكون:

2-         إذا كانت النقطة p بعيدة عن ثنائي القطب (x>>a) عندئذ تهملa2:

وباستعمال المعادلة (9-18) ونتيجة الجهد أعلاه يمكن حساب Ex كما يأتي :

3- في الحالة التي تكون بها p واقعة بين الشحنتين فان V و Ex تحسبان كما يأتي :

شحنة موجبة مقدارها q موزعة بانتظام على شكل حلقة نصف قطرها a كما مبين في الشكل (9-9). احسب : 1- الجهد الناشئ عن الحلقة عند نقطة مثل p واقعة على محور الحلقة وعلى مسافة y من مركزها، 2- شدة المجال الكهربائي عند النقطة p .

الحل:    

نقسّم الحلقة إلى عناصر تفاضلية تبعد جميعها بمسافات متساوية عن النقطة p المراد إيجاد الجهد عندها. ثم نأخذ احد هذه العناصر الذي تبلغ قيمة شحنته dq ونعتبرها بمثابة شحنة نقطية تبعد مسافة r عن النقطة p.

1-         بتطبيق المعادلة (9-10) يمكن أن نجد مقدار الجهد الناشئ عن هذا العنصر وكما يأتي :

بإجراء التكامل لكل من طرفي المعادلة نحصل على قيمة الجهد عند النقطة p:

2-         واضح من تناظر الشكل أن المجال الكهربائي يكون باتجاه محور الحلقة y لذا بالإمكان الحصول على E عند p بالاستفادة من المعادلة (9-18) ،أي أن:

  

يبدو أن هذه النتيجة تتفق تماماً مع النتيجة التي حصلنا عليها  بطريقة التكامل بصورة مباشرة في البند (8-5) من الفصل الثامن المعادلة (8-18).

نعود الآن إلى علاقة الجهد الكهربائي عند أي نقطة على مسافة r في مجال شحنة نقطية q والمتمثلة بالمعادلة )9-8( وهي :

ولابد أن نتذكر بان هذه المعادلة يصح تطبيقها في أية نقطة واقعة خارج جسم كروي موصل، إذ يمكن الحصول على هذه النتيجة بإتّباع الطريقة نفسها التي تم فيها اشتقاق المعادلة أعلاه ويترك للطالب برهان ذلك.

            ولإيجاد قيمة الجهد الكهربائي عند جميع النقاط الواقعة داخل موصل كروي نصف قطره R ، والبرهنة على أنها متساوية في الجهد وتساوي قيمة الجهد على سطحه نفترض أن النقطة B تمثل أي نقطة على سطح كرة موصلة بينما النقطة A في داخل الكرة.

من الأدبيات المعروفة إن شدة المجال الكهربائي داخل الموصل يساوي صفراً، لذا طبقاً للمعادلة (9-4) نجد أن فرق الجهد بين النقطتين A و B يصبح:

          هذا يعني إن الجهد عند أي نقطة على سطح كرة موصلة مثل B يساوي الجهد عند النقطة A في داخل الكرة. وبكلام آخر فان قيمة الجهد عند جميع النقاط الواقعة داخل كرة موصلة تكون متساوية وتساوي قيمة الجهد على سطحه.

لنعود الآن إلى الشكل (9-3) ونتخيل كرة موصلة مشحونة بـ+q بدلاً من الشحنة النقطية +q وان النقطة B تقع على سطح الكرة التي تبعد rB عن مركزها. فباستعمال المعادلة (9-7) نستطيع أن نجد فرق الجهد بين النقطتين A و B :

وبنفس الطريقة نحصل على علاقة خاصة للجهد الكهربائي عند النقطة B الواقعة على سطح الكرة الموصلة بعد فرض إن الجهد عند النقطة A يساوي صفراً في المالانهاية:

وبالتعويض عن   بـR نحصل على :

                                                              ………(20-9)

إن الجهد عند أي نقطة واقعة خارج جسم كروي موصل وعلى بعد r من مركزه هو:

ولقد ترك للطالب برهان ذلك.

يبيّن الشكل (9-10) توزيع كل من مقدار شدة المجال الكهربائي والجهد داخل كرة موصلة وخارجها نصف قطرها R ومشحونة بشحنة موجبة مقدارها +q .

إن مقدار شدة المجال الكهربائي على سطح الكرة الموصلة يساوي:

                                                  ….….…(21-9)                                                          ………..(22-9)

           

هناك على الأقل صياغتان تقرآن في هذه المعادلة: الأولى التناغم العكسي بين مقدار شدة المجال الكهربائي بالقرب من سطح موصل ونصف قطر تكور ذلك الجزء من سطح الموصل المشحون. إذ تكون شدة المجال الكهربائي خارج الرأس المدبب عالية جداً مما يستدعي ظاهرة تأين الهواء وحدوث التفريغ الكهربائي عند الرؤوس المدببة للموصل المشحون. وهذا هو مبدأ عمل مانعة الصواعق. أما الثانية التناغم الطردي بين مقدار الجهد الكهربائي كدالة لنصف قطر الموصل المشحون. لهذا السبب تجعل الكرة كبيرة في مولد فان دي كراف وذلك لزيادة الجهد الذي يمكن الحصول عليه من هذا المولد.

            الآن لنفترض أن لدينا جسماً موصلاً مشحوناً ذا رأس مدبب وان يكون هذا الجسم مكافئٌ لكرة موصلة صغيرة هي بمثابة الرأس المدبب من الجسم وتوصل بواسطة سلك دقيق وطويل مع كرة أخرى كبيرة هي بمثابة المناطق الأخرى من الجسم الموصل كما في الشكل (9-11). فإذا كان نصف قطر الكرة الصغيرة r  وشحنتها q، ونصف قطر الكرة الكبيرة R وشحنتها Q وان جهديهما متساويان لأنهما متصلان مع بعضهما بسلك موصل، عندئذ:

                                                 ………..(23-9)

أن كثافة الشحنة السطحية   تمثل مقدار الشحنة لوحدة المساحة وعليه فان:

            للكرة الصغيرة

                                                                           ………..(24-9)

             للكرة الكبيرة

ومن العلاقتين (9-23) و (9-24) يكون لدينا:

                                                                        

                                                          ………. (25-9)

الآن لو نظرنا إلى المعادلة   يمكننا كتابة المعادلة (9-25) بشكل آخر، أي:

                                                            ….…...(26-9)

           

 وهذا يدل على إن مقدار شدة المجال الكهربائي بالقرب من سطح موصل يتناسب عكسياً مع نصف قطر التكور. ومن تطبيقاتها هو أن هذا المجال يؤثر على الايونات القليلة الموجودة في الهواء ويجعلها تنجذب (أو تتنافر) نحو الرأس المدبب بتعجيل كبير. ونتيجة لاصطدام الايونات بجزيئات الهواء ينتج المزيد من الايونات، وبهذا يصبح الهواء أكثر توصيلاً للكهربائية وتتسرب شحنة الموصل عن طريق الرأس المدبب بمعدلٍ عالٍ.

يبين الشكل (9-12) كرتين موصلتين متماثلتين نصف قطر كل منهما 3cm تحملان شحنتين مقدارهما    و  . المسافة بين مركزيهما 2m. احسب:1- الجهد عند منتصف المسافة بين الكرتين ، 2- جهد كل من الكرتين.

الحل:

إن جهد كل كرة ينشأ عن شحنة الكرة ذاتها وعن شحنة الكرة الأخرى التي تبعد عنها بمسافة مقدارها 2m.

V

عندئذ يصبح الجهد عند منتصف المسافة بين الكرتين (اعتدنا تسميته فرق الجهد):

 V

2- جهد الكرة (1) يساوي الجهد الناشئ عن شحنة الكرة ذاتها زائداً الجهد الناشئ عن شحنة الكرة (2) عند بعد قدره 2m عنها، لذا :

 V

 V

في الشكل (9-13) شحنت الكرة الصغيرة بشحنة  ، وبعد ذلك وصِّلت بالكرة الكبيرة بسلك موصل دقيق. فإذا علمت أن المسافة بين مركزي الكرتين 50cm. احسب: الشحنة التي تحصل عليها كل من الكرتين وجهد كل منهما.

           

الحل:                                                                                       

حيث q1 تمثل الشحنة التي استقرت على الكرة الصغيرة و q2  الشحنة التي استقرت على الكرة الكبيرة بعد أن وصّلتا بالسلك الدقيق. وقد أهملت الشحنة التي استقرت على السلك الموصل لضآلتها، لكن جهد الكرتين يتساوى بعد أن يتصلان، لذا :

             

    و                   

نعود للمعادلة (9-20) ونحسب جهد كل من الكرتين :

 V

            نعود إلى البند (9-6) ونستحضر المعادلة (9-18)، نلاحظ انه في الحالة التي يكون فيها اتجاه المجال الكهربائي عمودياً على مسار حركة الشحنة تكون قيمة مركبة شدة المجال باتجاه المسار مساوية إلى الصفر، وعليه فان:

أي أن الجهد الكهربائي يبقى ثابتاً لجمع نقاط المسار. ويطلق على هذا المسار بخط تساوي الجهد، والسطح الذي يكون جميع نقاطه متساوية الجهد بسطح تساوي الجهد,

            لنعود إلى البند الأول ونبحث الموضوع بتبسيط أكثر مما في المعادلة (9-1) :

و نتساءل متى يكون جهد النقطة A مساوياً لجهد النقطة B أو أي نقطة على الخط الواصل بين هاتين النقطتين. والجواب هو عندما لا تكون هناك حاجة لبذل أي شغل لتحريك شحنة الاختبار q0 على طول الخط الواصل بين النقطتين. وهذا لا يتحقق إلا إذا كانت الحركة باتجاه متعامد مع المجال الكهربائي. نستدل من هذه المناقشة أن سطوح تساوي الجهد تكون عمودية على المجال، فلو لم تكن كذلك لكان هناك مركبة لشدة المجال موازية للسطح وعندئذ يتوجب إنجاز شغل عند نقل شحنة اختبارية على السطح وهذا خلاف الواقع .وتبين الأشكال الآتية بعض من سطوح تساوي الجهد.

  

             الآن لو فرضنا أن الجسم في الشكل (9-15) يرصد من مسافة بعيدة حتى يبدو كنقطة صغيرة. عندئذ تكون خطوط المجال شعاعيه وتكون متساويات الجهد دوائر كما يدل عليه الشكل.

  لنفرض موصلاً معزولاً خالياً من الشحنة الكهربائية فان جهده الكهربائي يساوي صفراً. وإذا وضعنا على الموصل شحنة موجبة يصبح هناك قيمة لجهد هذا الموصل. من هذا يتضح أن الشحنة التي يحملها الموصل تتناسب طردياً مع قيمة جهده الكهربائي وبذلك يمكن كتابة المعادلة الآتية:

 V

حيث أثبتت التجربة أن هناك نسبة ثابتة من الشحنة والجهد لجميع أنواع الموصلات، أي أن لكل موصل نسبته المميزة وقد أطلق عليها اسم السعة الكهربائية ورمزها C ،أي:

                                        أو

                                                               ….…..(27-9)

ومن المعادلة (9-27) يمكن تحديد قيمة سعة موصل ما إذا عرفت مقدار الشحنة التي عليه ومقدار الجهد الذي تنشئه هذه الشحنة. في المعادلة نفسها إذا استُعمِلتْ الوحدة العملية لكل من الشحنة (كولوم) والجهد (فولت) فتكون الوحدة العملية للسعة (كولوم لكل فولت) وتساوي فاراد ورمزها (F) وتعرف كالآتي : إذا كانت الشحنة التي على موصل مقدارها واحد كولوم وكان جهد الموصل نتيجة لهذه الشحنة واحد فولت فان سعة هذا الموصل تكون واحد فاراد.

والفاراد هي الوحدة العملية الكهروستاتيكية للسعة، ولكونها كمية كبيرة جداً لاستخدامها في الحياة العملية، تستعمل وحدات اصغر منها وأكثر ملائمة هي الميكروفاراد ورمزه   حيث واحد ميكروفاراد يساوي 10-6 فاراد، والبيكوفاراد ورمزه pF ويساوي 10-12 من الفاراد. وهناك وحدة النانوفاراد وتساوي 10-9 من الفاراد ولكن هذه الوحدة غير مستعملة بكثرة في الحياة العملية.

            لقد وجد من التجارب العملية أن سعة أي موصل تعتمد على حجمه وشكله بالإضافة إلى نوع الوسط  العازل الذي يحيط به ودرجة قرب الموصل من أجسام موصلة أخرى. ولكرة موصلة معزولة نصف قطرها R تحمل شحنة مقدراها Q تكون :

                                                      ……..(28-9)

حيث الجهد V على سطح كرة موصلة يعطى كما في المعادلة (9-20) .أما الطاقة المخزونة في موصل معزول فهي:

                                       ……..(29-9)

لقد اشرنا سابقاً إلى منظومة مهمة ذات لوحين معدنيين متوازيين مشحونين بصورة متعاكسة تستخدم كأداة لتخزين الشحنة تسمى مكثفاً (أو متسعة) Capacitor، حيث ترى في الشكل (8-6) متصلة ببطارية وخطوط المجال الكهربائي من حولها تشير إلى أن البطارية قد نقلت الشحنة* إلى لوحي المكثف واكتسب كل منهما جهد طرف البطارية المتصل به. بحيث إذا فصلت البطارية بعد ذلك فان اللوحين يظلان مشحونين إلى مستوى ذلك الجهد. أي أن المكثف يكون أداة قادرة على خزن الشحنة ويبين الشكل (9-17)  دائرة مكثف.

وعادة يفصل بين لوحي المكثف وسط عازل يختلف نوعه باختلاف الغرض المصمم من اجله المكثف، وعموماً فان المكثفات تكون أما ثابتة السعة أو متغيرة، وتتوقف سعة المكثف على مساحة لوحيه والمسافة بينهما بالإضافة إلى نوع الوسط العازل الذي يفصل بينهما.

مكثف ذو صفيحتين موصلتين متوازيتين متصل ببطارية كهربائية كـما في الشــكل (9-18)، أحدى الصفيحتين اكتسبت شحنة مقدارها +q والأخرى –q ومساحة كل منهما A و يفصلهما فراغ. فإذا كانت المسافة بين الصفيحتين (d) صغيرة مقارنة مع أبعاد الصفيحتين. جد تعبيراً لسعة المكثف والطاقة المختزنة فيه.

الحل :

طالما المسافة بين الصفيحتين صغيرة مقارنةً مع بعديهما فيمكن إهمال تأثير حافات الصفيحتين واعتبار المجال الكهربائي بينهما منتظماً. من قانون كاوس نجد:

 حيثq (شحنة المكثف) تمثل مقدار الشحنة التي تحملها أي صفيحة، ذلك إن المجموع الكلي لشحنة المكثف على الصفيحتين يساوي صفراً. وبتطبيق المعادلة (9-6) نجد:

وبالتعويض عن   في المعادلة (9-27) نجد سعة المكثف ذات الصفيحتين المتوازيتين:

                                                     …......…(30-9)

من هذه المعادلة نرى أن السعة مقدار ثابت لمكثف معين لا يعتمد على شحنة المكثف ولا على فرق الجهد بين صفيحتيه بل تتناسب طردياً مع مساحة الصفيحتين وسماحية الوسط الفاصل بينهما وعكسياً مع المسافة بين الصفيحتين. أما الطاقة المخزونة في المكثف فهي :

                      ….……..(31-9)

وتتحرر هذه الطاقة عند تفريغ المكثف، وإذا فرغ المكثف خلال سلك معدني ستتحول الطاقة إلى حرارة في السلك.

مكثف سعته  شحن إلى فرق جهد 100V. فإذا كانت مقدار شحنته   ما مقدار الطاقة المخزونة؟

الحل :

           

التمثيل البياني لمولد فان دي كراف موضح في الشكل (9-19) صممه العالم روبرت فان دي كراف  Robert J. Van de Graff (1901-1967) عام 1929. وهو من التطبيقات المهمة لظاهرة توزيع الشحنة على السطح الخارجي للموصل. يستعمل هذا الجهاز في الحصول على حزمة من الالكترونات أو البروتونات ذات طاقة عالية جداً قد تصل إلى 10MeV، يستفاد منها بشكل واسع في تجارب الفيزياء الذرية والنووية الحديثة حيث يستغل مقدار الجهد العالي لتعجيل الجسيمات المشحونة والايونات في ضرب هدفاً معيناً لتوليد أشعة اكس على سبيل المثال لا الحصر.

            إن الفكرة الأساسية التي بني عليها عمل مولد فان دي كراف هي عند وضع موصل مشحون في تماس مع السطح الداخلي لكرة مجوفة موصلة فان جميع الشحنة التي يحملها الموصل المشحون تنتقل إلى الكرة المجوفة. إن الشحنة المتجمعة على الكرة المجوفة وبالتالي الجهد الكهربائي المتكون بسببها يمكن أن تتزايد بدون حدود بتكرار العملية.

            في مولد فان دي كراف يستعمل حزام دوار لانتقال الشحنة إلى الكرة المعدنية  المجوفة. وهو حزام مصنوع من مادة عازلة يمر فوق بكرتين عازلتين. تطلى البكرة السفلى بطلاء من مادة معينة بحيث أن الحزام المتحرك نحو الأعلى عندما يلامس البكرة يكتسب شحنة موجبة، تنتقل هذه الشحنة عبر رؤوس مدببة إلى الكرة المجوفة. أما البكرة العلوية فأنها تطلى بطلاء من مادة أخرى بحيث أن الحزام عند تركه لها نحو الأسفل يكتسب شحنة سالبة، تنتقل بواسطة الجهة اليمنى من الحزام عبر رؤوس مدببة سفلية إلى قاعدة موصلة يرتكز عليها عمود عازل يستعمل لحمل الكرة المجوفة، ثم تتسرب الشحنة إلى الأرض. عملياً من الممكن زيادة جهد الكرة الموصلة إلى القيمة التي عندها يحصل التفريغ الكهربائي خلال الهواء، والسبب هو أن جزيئات الهواء الملامسة للكرة المجوفة والمتأثرة بمجال شحنتها الموجبة سوف تتأين وتفقد خاصية العزل الكهربائي بمجرد تجاوز شدة المجال الكهربائي القيمة 106V/m×3. وهذا يعني أن أقصى جهد يمكن الحصول عليه لكرة نصف قطرها 1m هو 106V×3، ولكرة نصف قطرها 2m  هو 106V×6، أي كلما كانت الكرة المعدنية كبيرة مولد أمكن الحصول على جهد كهربائي اكبر.

            مما تقدم يتضح انه لولا وجود صعوبات في عزل الكرة المعدنية كهربائياً لأمكن زيادة الشحنة عليها وبالتالي زيادة جهده الكهربائي إلى أي مقدار نشاء. وبهذا فان أعلى جهد يحصل عليه يتحدد بالقيمة التي عندها يحدث اتزان بين معدل تسرب الشحنات من الكرة خلال العمود العازل و الهواء المحيط بها وبين معدل الشحنات التي تكتسبها الكرة.