الخواص الهندسية

                                                             

الكرة    

الخواص الهندسية للكرة :

للكرة نقطة داخلية تسمى مركز الكرة ، وهي النقطة الوحيدة التي تتميز بأن جميع النقاط التي تقع على سطح الكرة تبعد بعدا متساويا عنها ويسمى هذا البعد بين اي نقطة على سطح الكرة ومركز الكرة ب نصف قطر الكرة

ملاحظة :

القطعة المستقيمة التي تصل بين نقطتين متقابلتين على سطح الكرة بالمركز تسمى بقطر للكرة ، ويكون المركز منتصف هذا القطر.

مما سبق يمكننا نستنتج ما يأتي :

•        اطوال انصاف اقطار الكرة  متساوية

•        اطوال جميع اقطار الكرة متساوية

•        بما ان قطر الكرة هو القطعة المستقيمة التي تصل بين نقطتين على سطح الكرة وتمر بالمركز ،فإن اي قطر للكرة يتكون من نصفي قطر.

مساحة سطح الكرة :

قانون :

مساحة سطح الكرة = 4×П ×(نصف قطرالكرة) 2

أي ان مساحة  سطح الكرة = 4اضعاف مساحة دائرة قطرها = قطر الكرة

مثال : احسب مساحة سطح الكرة اذا كان نصف قطرها 5سم.

الحل: مساحة سطح الكرة = 4× ط× 5 2 سم2

                               =100 ط سم2

                              =100 ×14‚3 = 314 سم2 تقريبا

أسئلة:

1)احسب مساحة سطح الكرة اذا كان قطرها 12سم.

2)احسب مساحة سطح نصف كرة مفتوحة اذا كان نصف القطر 8سم.

3) احسب نصف قطر كرة مساحة سطحها 132سم2 .

حجم الكرة

قانون

حجم الكرة = 4 × П ×(نصف قطر الكرة)3 =4 П  (نق)3

                 3                                     3

مثال : احسب حجم كرة نصفها قطرها 4سم.

الحل: حجم الكرة = 4 ×ط×(نق)3

                         3

                     =4  × ط× 4 3

                        3

                    = 256 ط = 256× 22 = 2‚ 268 سم3

                         3            3       7

أسئلة :

1)احسب حجم الكرة التي قطرها 8سم.

2)خزان ماء على شكل كرة نصف قطرها 5‚0 احسب المساحة الخارجية لهذا الخزان؟وسعة هذا الخزان؟

3) مخروط نصف قطر قاعدته 4سم ، وارتفاعه 9سم ، تعلوه نصف القطر نفسه. احسب حجم المخروط؟

4)صهرت 729 كرة صغيرة نصف قطر كل منها 1سم وعمل منها كرة واحدة كبيرة. ما طول نصف قطر هذه الكرة؟

                           تمارين عامة

1) أضع دائرة حول الشكل / الاشكال التي تحقق الخاصية المذكورة في كل مما يلي:

أ) القطران ينصف كل منهما الاخر     متوازي اضلاع   معين   مستطيل    مربع

ب)القطران متعامدان                      متوازي اضلاع   معين   مستطيل    مربع

ج) القطران متساويان                     متوازي اضلاع   معين   مستطيل    مربع

د) القطران ينصف زواياه                متوازي اضلاع   معين   مستطيل    مربع

2) أ ب ج مثلث متساوي الاضلاع . اخذت النقطة سعلى الضلع أب ورسم منها موازيان للضلعين ب ج ، أ ج(كما في الشكل). اثبت ان المثلث أ ب ج ينقسم ال مثلثين متساويي الاضلاع ومتوازي اضلاع.

كيف تختار النقطة س بحيث ينقسم المثلث أ ب ج الى مثلثين متساويي الاضلاع ومعين؟                                                                 

3)أ ب ج د شكل رباعي . رسم من أ المستقيم أﮬ // دب ويلاقي امتداد ج ب في ﮬ.

 ابرهن ان المثلث د ﮬ ج ويكافئ الشكل الرباعي أ ب ج د.

4) أ ب ج مثلث . وصلت مستقيماته المتوسطة الثلاثة فتلاقت في م . اثبت أن المثلث أ ب ج ينقسم الى ستة مثلثات متكافئة.

5)وضعت كرة داخل مكعب فارغ . لامست الكرة جميع وجوه المكعب . اذا كان نصف قطر الكرة يساوي 6سم         

أ) احسب طول ضلع المكعب .

ب) احسب حجم الماء الذي سيستخدم لملء الفراغ الواقع بين المكعب والكرة.

6) خزان ماء على شكل كرة مليء بالماء ، فرغ محتوى هذا الخزان داخل أسطوانة قائمة مساحة قاعدتها 154سم2 ، فوصل ارتفاع الماء في الاسطوانة الى 252سم . فكم كان نصف قطر خزان الماء الكروي ؟ ( استخم ط= 22 )

                                                                       7

7) خزان مصنوع من الصفيح على شكل كرة قطرها من الخارج 80سم ، وسمك الصفيح 2ملم . ما حجم الصفيح المستخدم في صناعة هذا الخزان ؟(استخدم الالة الحاسبة)

                الدائرة The circle      

الزوايا المركزية الزاويا المحيطيةCentral and circumference angles                               

تعريف :

الزاوية المركزية للدائرة :

هي الزاوية التي تقع رأسها في مركز الدائرة ، وضلعاها نصفا قطرين في الدائرة .

الزاوية المحيطية :

هي الزاوية التي يقع رأسها على الدائرة وضلعاها وتران في الدائرة.

نظرية : الزاوية المركزية تساوي ضعفي الزاوية المحيطية المشتركة معها في نفس القوس .

لاحظ الشكل ادناه والتي توضح النظرية السابقة

حالة خاصة :

الزاوية المحيطية المرسومة على قطر الدائرة تساوي 90.

مثال : في الشكل ادناه م مركز الدائرة اوجد قياس زاوية 1 ، زاوية 2 .

الحل : زاوية 1 = 40  ( حسب النظرية السابقة)

        زاوية 2 = 40                                              1          2  

     اي ان زاوية 1 = زاوية 2                                                                   

                                                                       80

  المثال اعلاه يؤكد النتيجة التالية                          

  

  الزاويتان المحطيتان المرسومتان على قوس واحد متساويان

مثال : اذا كانت زاوية ب أ م = 20 ، زاوية ج م د =70 ، جد قياس زاوية ب م د ، وزاوية ج أ م

الحل: زاوية ب م د = 2( زاوية ب أم) = 2×20=40

زاوية ج أ م =35 ( حسب النظرية السابقة)

أسئلة :

1) اجد الزوايا المشار اليها بالرموز ، في الشكلين ادناه.

أ)                                ب)

2) م أ نصف قطر في دائرة مركزها م ، أب وتر في الدائرة ، النقطة ج  نقطة على دائرة بحيث ان ب أ//م ج . اذا كانت زاوية م أ ب = 50 ، اجد زاوية أ ب ج

3) زاوية أ م ب زاوية مركزية قائمة في دائرة مركزها م .

اخذت النقطة د على الدائرة بحيث ان زاوية أ م د=140. احسب قياس كل من زوايا المثلث أ ب د .

4) أ ب قطر في دائرة مركزها م ، ج نقطة على الدائرة ، د منتصف الوتر ب ج .

 ﮬ منتصف الوتر ب ج . اثبت ان زواية د مﮬ =90

5) دائرة مركزها م . أ ب ، د ج وتران متوازيان بحيث بحيث ان م لا تقع بينهما ، فإذا تقاطع أج، ب د في ﮬ داخل الدائرة ، ابرهن ان زاوية أﮬ د = زاوية أ م د.

6) أب قطر في دائرة ، ج د وتر فيها يقطع أب بحيث أ ب ج = 40 ، اجد زاوية

ب د ج

الشكل الرباعي الدائري    Cyclic Quadrilateral

للشكل الرباعي الدائري الخاصية التالية :

مجموع الزاويتين المتقابلتين في الشكل الرباعي الدائري =180 (متكاملتان)

مثال : الشكل أ ب ج د رباعي دائري فيه الضلع أ ب قطر في الدائرة ،

وزاوية ج أ ب = 37.

اوجد زاوية أ د ج .

الحل : زاوية أج ب =  90 لان أب قطر في دائرة .

في المثلث أ ب ج : زاوية أ ب ج +  90 + 37 = 180

اذن أ ب ج = 53

اذن أ د ج = 180 -53 -= 127( متقابلتان في رباعي دائري)

مثال :اوجد قيمة س ، ص في الشكل ادناه:

الحل : زاوية ص = 180 – 80 =100

      ( زاويتان متقابلتان في الشكل الرباعي الدائري )

      زاوية 1 = 180 – 105 = 75

( زاويتان متقابلتان في الشكل الرباعي الدائري)

   زاوية س = 180 – 75 = 105

المثال اعلاه يؤكد النتيجة التالية:

الزاوية الخارجية في الشكل الرباعي الدائري = الزاوية الداخلية المقابلة لمجاورتها

أسئلة :

1) اجد قيمة س في الاشكال التالية :

أ)                          

                               100

3)في الشكل ادناه ، م مركز الدائرة ، م د يوازي ب ج، وزاوية د ب ج =20

احسب قيمة زاوية أ م د ، زاوية م أ د .

                                ج  

أوتار الدائرة  Chords in a circle  

تأمل الشكل ادناه حيث أ ب وتر في دائرة مركزها م ، لاحظ ان المثلث أ م ب متساوي الساقين وتنطبق عليه خصائص المثلث الساقين والتي سبق وان درستها وان درستها في صفوف سابقة ، وهي:

1) العمود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقين على القاعدة ينصف القاعدة

ويمكن تطبيق هذه الخاصية في الدائرة حيث :

العمود النازل من مركز الدائرة على اي وتر فيها ينصف ذلك الوتر

2) القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس المثلث المتساوي الساقين ومنتصف القاعدة

ويمكن تطبيق هذه الخاصية في الدائرة بحيث تصبح:

القطعة المستقيمة الواصلة بين مركز الدائرة ومنتصف اي وتر فيها تكون عمودية على ذلك الوتر.

3) العمود المنصف لقاعدة المثلث المتساوي الساقين يمر بالرأس.

ويمكن تطبيق هذه الخاصية في الدائرة بحيث تصبح:

العمود المنصف لأي وتر في دائرة يمر بالمركزة.

مثال : أ ب ، ج د وتران متوازيان في دائرة نصف قطرها 13سم .أب = 24سم ، ج د =18سم. جد البعد بين هذين الوترين علما بأن مركز الدائرة م يقع بين الوترين .

الحل : ننزل من م عمودا  م ﮬ  على ج د ، ونمده  من جهة م حتى يقطع أ ب في و.

بما ان أب يوازي ج د فان م و عمودي على أ ب.

المثلثان م و ب ، م ﮬ د قائما الزاوية في و ،ﮬ ع الترتيب .

وينطبق نظرية فيثاغورس فان :

(م و)2 +(و ب) 2 =(م ب) 2

اذن (م و) 2 + 144 = 169

اذن (م و) 2 = 25

ومن ذلك نجد أن م و = 5سم . وبنفس الطريقة نجد ان مﮬ = 12سم .

البعد بين الوترين المتوازيين هو وﮬ .

لكن وﮬ = م و + م ﮬ

          =5+ 12 = 17سم .

مثال :

أب، ج د وتران متساويان ، طول كل منهما  8وحدات ، في دائرة مركزها م ونصف قطرها 5 وحدات . اوجد بعد كل منهما عن مركز الدائرة.

الحل :

 لاحظ الشكل ادناه حيث م ﮬ عمودي على أب وبالتالي فهو ينصفه وكذلك م و عمودي على ج د فهو نصفه.

بتطبيق نظرية قيثاغورس على المثلث أ م ﮬ فان :

(أم) 2 = (أﮬ) 2 +(ﮬ م) 2

5 2 = 4 2 +( ﮬ م) 2

25 = 16 +(ﮬ م) 2              ا                  ﮬ              ب

25 -16 =(ﮬ م) 2                                           م                                                                             

9 =(ﮬ م) 2

3 = ﮬ م                           ج

                                                                       د       

وبالمثل عند تطبيق نظريو فيثاغورس على ﮬ م وينتج أن و م = 3

المثال اعلاه يؤكد النتيجة التالية :

اذا تساوى وتران في دائرة فإن بعديهما عن مركز الدائرة متساويان.

اسئلة :

1)      أ ب ، ج د وتران متوازيين في دائرة مركزها م . طول أ ب يساوي 10سم وبعده عن م يساوي 12سم . طول ج د يساوي 24 سم . فما بعده عن مركز الدائرة؟

2)      أب وتر في دائرة مركزها م . ج منتصف أ ب . اذا كان م ج = 5سم ونصف قطر الدائرة = 13سم ، اجد طول أ ب

3)      م أ ،م د نصفا قطرين متعامدان في دائرة مركزها م، اذا كان  طول

الوتر أد=10سم ، فما نصف قطر الدائرة؟

                                             د

الاوتار المتقاطعة

نظرية :

اذا تقاطع وترا في دائرة ، فان حاصل ضرب جزئي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب جزئي الوتر الثاني.

مثال: في الشكل ادناه ،جﮬ = 5سم ، ج ب =19سم ،أﮬ = 7سم ،اوجد طول أد

                                                 أ

                                         7سم

الحل : ﮬ ب = ج ب - جﮬ

               =19 – 5 =14

نفرض ﮬ د= س

اذن أﮬ × ﮬ د = جﮬ ×ﮬ ب

    7 × س = 5× 14

اذن س =10

أد = أﮬ +ﮬ د = 7+10 = 17سم

اسئلة :

1)      أب قطر في دائرة ، ج د وتر عمودي على أب في ﮬ . اذا كان أب =13سم

      أﮬ =4سم . اجد ج د .

2)      وتران أب ، ج د متقاطعان داخل دائرة بحيث ينصف كل منهما الاخر . ابرهن ان أب = ج د .

3)      ابرهن النظرية السابقة اذا تقاطع امتداد الوترين خارج الدائرة . أي ابرهن انه اذا كان أب ، ج د وترين في دائرة ، وتقاطع امتدادهما في النقطة ﮬ خارج الدائرة ، فإن :

      أ ﮬ × ﮬ ب = ج ﮬ × ﮬ د  ( ارشاد استخدم تشابه المثلثات أ د ﮬ ، ج ب ﮬ)

                                                           أ

مماس الدائرة Tangents   

خاصية هامة :

المماس لدائرة يكون عموديا على نصف القطر عند  نقطة التماس .

مثال : في الشكل ادناه مركزها م ونصف قطرها 6سم . أ نقطة خارج الدائرة . رسم من أ مماس للدائرة أ ﮬ بحيث أن أ ﮬ =8سم.جد طول أم.

                                            ﮬ

الحل : حيث ان أﮬ مماس  ، فانه عمودي على نصف القطر م ﮬ .

         اذن م ﮬ أ قائم الزاوية في ﮬ .

        وبتطبيق نظرية فيثاغورس فان:

          (أم)2 = (أ ﮬ ) 2 + (م ﮬ ) 2

          (أم) 2 = 64 + 36 = 100

           أم = 10سم

نظرية :

المماسان المرسومان لدائرة من نقطة خارجها متساويان.

بمكن اثبات النظرية اعلاه بتطبيق المثلثات

اسئلة :

1)      دائرة مركزهام ، م ن نصف قطر في  الدائرة وطوله 3سم ، المستقيم ع ن مماس للدائرة ، وطول القطعة ع ن = 4سم . اجد طول م ع .

2)      النقطة ﮬ تقع خارج دائرة مركزها م  . رسم من ﮬ مماسان للدائرة عند النقطتين أ،ب

3)      أب ، ج د قطران متعامدان في دائرة مركزها م . رسم مماسان للدائرة عند أ ، ج  فتقاطعا في ﮬ .

أ‌)       ما قياس زاوية م أ ﮬ ،  وزاوية م ج ﮬ ؟

ب‌)     هل زوايا الشكل أ م ج قوائم؟

ت‌)     ما اسم الشكل أ م ج ﮬ .

الزاوية المماسية

الزاوية المماسية هي الزاوية المحصورة بين مماس الدائرة وأي وتر في الدائرة مار بنقطة التماس .

       نظرية :

الزاوية المماسية تساوي الزاوية المحيطية المرسومة على الوتر في الجهة الاخرى.

مثال : في الشكل ادناه م مركز الدائرة ، أب مماس عند ب .

        ب ج وتر في الدائرة ، زاوية  أ ب ج = 60

       اوجد زاوية ب د ج ، زاوية ب م ج

الحل :

زاوية ب د ج = زاوية أ ب ج        (من النظرية )

زاوية ب د ج = 60

زاوية ب م ج = 2(زاوية ب د ج)  (مركزية مشتركة مع المحيطية في القوس )

اذن زاوية ب م ج = 2(60) = 120

أسئلة :

1)      أب ، أج وتران في دائرة بحيث يقع مركز الدائرة بينهما . النقطة د منتصف أب والنقطة ﮬ منتصف أ ج . اثبت ان الشكل أ ﮬ م د الشكل رباعي دائري.

2)      أب قطر في دائرة نصف قطرها 6سم . ج د وتر في الدائرة . مد ب أ من جهة أ ثم مد ب أ من جهة أ ثم مد د ج من جهة ج فنقاطعا في ﮬ . اذا كان ﮬ أ = 3سم ، ﮬ ج = 5سم . اجد ج د

حساب المثلثات Trigonometry

النسب المثلثية الاساسية للزاوية الحادة

مقدمة :

حساب المثلثات فرع من فروع الرياضيات يبحث في العلاقة بين اضلاع المثلث وزواياه وايجاد بعض عناصر المثلث اذا علمت عناصره الاخرى ، ويستخدم كثيرا في قياس المسافات والارتفاعات والزوايا بطرق غير مباشرة ، كأن  نجد ارتفاع برج عال ،أو قمة جبل ، او بعد سفينة في البحر                                     ا

ومن العلماء الذين برزوا في علم حساب المثلثات :

1-      أبو الوفاء البوزجاني

2-      أب عبدالله محمد البتاني

3-      محمد بن موسى الخوازمي

4-      نصيرالدين الطوسي                            

                                                             ب                                ج

أ ب ج مثلث قائم الزاوية في ب ، نسمي اب الضلع المقابل للزاوية ج، كما نسمي

 ب ج الضلع المجاور للزاوية ج.

1- الجيب وجيب التمام للزاوية الحادةThe sine and cosine of acute angle                                                                                

سبق أن عرفت ان الزاوية الحادة هي الزاوية التي قياسها أكبرمن صفر واصغر من 90 .

ملاحظة : جيب الزاوية س يكتب جا س.

             جيب تمام الزاوية س يكتب جتا س.

مثال : أوجد جا س ، جتا س في الشكل المجاور       

الحل: جا س= المقابل =4      

                الوتر        ع                                4                       ع

لكن من نظرية فيثاغورس ع 2 =  23 +4 2 

أي أن ع =5   

اذن جا س  = 4  

                  5                                                                                                                                                                                                                                                   

جتا س =  المجاور = 3                                                       3

               الوتر      5

أسئلة :

1) في الشكل المقابل أ ب ج مثلث قائم الزاوية في ب ، جد : جا أ ، جتا أ.

                                    أ

2) في الشكل المجاورجد: جا و ، جتا و           ﮬ          5         و

                                                         

3) في الشكل الاتي : س ص = س ع = 17وحدة ، ص ع = 16وحدة . جد جا ص ، جتا ص،جا ع ، جتا ع ، جا زاوية د س ص  

                                              س

2) ظل الزاوية الحادة:The tangent of acute angle

تعريف :

في المثلث القائم الزاوية ،فإن :

ظل الزاوية الحادة = المقابل  

                           المجاور

مثال :أوجد ظا س في الشكل المجاور                     

الحل: ظا س = المقابل = 4

                    المجاور  3

3 

مثال:في المثلث أ ب ج المبين في الشكل ، اوجد ظا أ ،ظا ج.

الحل: المقابل  = ب ج                      أ

        المجاور    أب

     لكن من نظرية فيثاغورس                       13

(أج)2 = (أب) 2 +(ب ج) 2

(13)2 =(أب)2 + (12)2

5 =أب  اذن ظا أ = 12                 ب          12            ج

                          5

ظا ج = المقابل = أ ب   = 5                                               

           المجاور  ب ج    12

أسئلة :

1)      في الشكل المقابل أ ب ج مثلث قائم الزاوية في ب .

 جد : ظا أ ، ظا ج                     أ

النسب المثلثية  لبعض الزوايا الخاصة :

هناك بعض الزوايا مثل: 30˚ ، 45˚ ، 60˚ ، اختيرت هذه الزوايا بالذات نظرا لسهولة ايجاد نسبها المثلثية.

أولا : النسب المثلثية للزاويتين اللتين قياسهما 30˚ ، 60˚ :             أ

في الشكل المقابل أ ب ج مثلث متساوي الاضلاع ،

طول ضلعه 2 وحدة .

اذن قياس زاوية أ = قياس زاوية ب = قياس زاوية ج = 60˚

ننزل من رأسه العمود أد على القاعدة ب ج ، فينتج مثلثان قائما

الزاوية ويكون :

قياس زاوية ب أ د = قياس د أ ج = 30˚

كما يكون :

ب د = دج = 1 وحدة طولية ، وفي المثلث أ دب فإن:    ب              د             ج

(أد)2 + (ب د) 2 = (أ ب) 2                                                2 وحدة

(أد) 2 \= (أب) 2 – (ب د) 2 = 4- 1 =3

اذن أد =   وحدة طول .

وعليه يكون :

جا 30 = طول الضلع المقابل = 1

                   طول الوتر         2

جتا 30 = طول الضلع المجاور =   

                    طول الوتر           2

ظا 30 = طول الضلع المقابل =  1

                طول الوتر           

كذلك يكون :

جا 30 = طول الضلع المقابل =  

                   طول الوتر           2

جتا 30 = طول الضلع المجاور = 1

                    طول الوتر          2

ظا 30 = طول الضلع المقابل =     = 

                طول الوتر              1

تذكر أن :

1) نسبة أطوال أضلاع المثلث الذي  قياسات زواياه 30 ، 60 ، 90

كنسبة  1: : 2

2) في المثلث الذي قياسات زواياه 30 ، 60 ، 90  يكون طول الوتر ضعفي طول ضلع المقابل للزاوية التي قياسها 30  .

 تدريب :

 1)  جد قيمة :

أ)  2جتا2 30 -1

ب) 2جا2 30 – 1

2) بين أن : جتا2 30 - جا2 30 = 1

                                            2 

ثانيا : النسب المثلثية لزاوية قياسها 45:

في الشكل المقابل أ ب ج مثلث قائم الزاوية في جهد في ب ، ومتساوي الساقين فيه :

أ ب = ب ج = وحدة واحدة ، فيكون قياس كل من الزاويتين الحادتين أ ،ج يساوي 45 .(لماذا؟)

لايجاد طول الوتر أج في المثلث القائم الزاوية في ب .           أ

بما أن( أ ج) 2 = (أ ب) 2 +( ب ج ) 2 . . .نظرية فيثاغورس

اذن (أ ج) 2 = 1 +1 = 2                                                45

اذن (أج) 2 = 2

اذن أج =  وحدة

وعليه يكون:                                                                             45

جا 45 = طول الضلع المقابل = 1                                  ب                    ج

                 طول الوتر                                                وحدة واحدة

جتا 45 = طول الضلع المجاور = 1

                   طول الوتر           

ظا 45 = طول الضلع المقابل = 1  = 1

             طول  الضلع المجاور 1

نلاحظ ان : جا 45= جتا 45= 1

فيما يلي جدول بالنسب المثلثية للزاويا الخاصة:

 قياس الزاوية      جا    جتا      ظا

30

مثال : اوجد قيمة المقدار (جا 30 ) + ظا 45

                                جتا 60

الحل : جا 30 = 1          ، جتا 60 = 1  ، ظا 45 =1

                      2                         2 

                                    

                                  1  

اذن جا 30  + ظا 45 =    2 + 1 = 1+1 = 2

      جتا 60                  1

                                 2                  

          

اسئلة :

1)  جد قيمة المقدار جتا2 30 - جا2 30 + 1

2)   جد قيمة المقدار 3جا 60 – 2جا 30 + 2ظا 45

3)     اثبت ان 2جتا2 30 – 1 = جتا 60

ايجاد النسب المثلثية

اولا : باستخدام الجداول

وضع كثير من علماء المسلمين جداول للنسب المثلثية ، والتي لم تتغير الجداول الحديثة عنها كثيرا.

وقد درسنا كيفية ايجاد النسب المثلثية لزاوية معومة بالرسم ، ونظرا لعدم دقة القياس بالادوات الهندسية المتوفرة وغير المصممة لقياس زوايا دقيقة ، ولصعوبة ايجاد قياس زاوية معلومة اذا كانت النسبة المثلثية لها معلومة ، لهذا وضعت جداول  رياضية نستطيع بواسطتها ايجاد النسب المثلثية لاي زاوية معلومة وايجاد قياس الزاوية اذا علمت احدى نسبها المثلثية ، وهذه الجداول مقربة لأربعة منازل عشرية ، وقد وضعت هذه  باستخدام ادوات القياس الدقيقة او الالآت الحاسبة ، وسوف نقتصر في دراستنا على ايجاد النسب المثلثية الاساسية للزوايا التي قياسها عدد صحيح من الدرجات.

ملاحظات عن جداول النسب المثلثية لزوايا الحادة :

اولا : جدول جيوب :

1)      جيب قياس اي زاوية حادة عبارة عن كسر حقيقي ، وقيمته من الجداول المثلثية المستعملة بين ايدينا تتكون من اربع منازل عشرية .

2)      كلما زاد قياس الزاوية ، زادت قيمة جيبها .

ثانيا : جدول جيوب التمام:

 1)جيب تمام قياس اي زاوية حادة عبارة عن كسر حقيقي ، وقيمته من الجداول ا المثلثية المستعملة بين ايدينا تتكون من اربع منازل عشرية .

2) كلما زاد قياس الزاوية ، قلت قيمة جيب التمام الزاوية .

ثالثا: جدول الظلال :

1)      ظل قياس اي زاوية أكبر من صفر وأصغر من 45 عبارة عن كسر حقيقي وقيمته من الجداول المثلثية المستعملة بين ايدينا تتكون من اربع منازل عشرية.

2)      ظا 45 =1

3)      ظل قياس اي زاوية قياسها اكبر من 45 ،واقل من 90 عبارة عن عدد كسري ، وقيمة الكسر العشري من الجداول المستعملة بين ايدينا تتكون من اربع منازل عشرية.

4)      كلما زاد قياس الزاوية ، زادت قيمة ظلها .

مثال : اوجد قيمة كل من التالية باستخدام جداول النسب المثلثية .

جا 17  ، جا 75 ، جتا 73 ، جتا 15 ، ظا 28 ، ظا 65  وماذا تلاحظ؟

الحل: من جداول النسب المثلثية نجد ان :

جا 17= 2924 ‚

جا 75 = 9659 ‚

جتا 73 = 2924 ‚

جتا 15 = 9659 ‚

ظا 28 = 5317 ‚

ظا 65 = 1445‚ 2

نلاحظ ان : بما ان 75 اكبر من 17 فان جا 75 اكبر من جا 17 (كلما زاد قياس الزاوية، زادت قيمة جيبها)

بما ان 73 اكبر من 15 فان جتا 73 اصغر من جتا 15 (كلما زاد قياس الزاوية ، قلت قيمة جيب تمامها )

كما ان : جا 17 = جتا 73 ( لان الزاويتين متتامتان)

           جا 75 =جتا 15 ( لان الزاويتين متتامتان)

مثال : اوجد باستخدام جداول النسب المثلثية قيمة ما يلي:

جا 24+ جتا 63+ ظا 47

الحل: باستخدام جداول النسب المثلثية نجد ان:

جا24 + جتا 63+ ظا 47 = 4067 ‚ . + 4540‚0 + 0724 ‚ 1   = 9331‚ 1

اسئلة :

1) جد قيمة كل من المقادير التالية باستخدام جداول النسب المثلثية:

أ) ظا 54 + جا 25 + جتا 70                 ب)جتا 42 + ظا 23 + جا 83

2) ما قياس الزاوية الحادة س أ)اذا كان جتاس = 6018‚ 0 (ب)ظاس = 5774‚0

ثانيا : باستخدام الآلة الحاسبة

لنسب المثلثية التي درسناها هي :

*جيب الزاوية س ويكتب جا س ، ويقابله في الآلة الحاسبة الرمز Sin x ،

* جيب تمام س ويكتب جتا س ويقابله في الآلة الحاسبة الرمز Coos x

* ظل الزاوية س ويكتب ظاس ويقابله في الآلة الحاسبة الرمزTan x

ايجاد النسب المثلثية لزاوية معلومة :

الخطوات :

1)      نضغط على مفتاح النسبة المثلثية المطلوبة فتظهر على الشاشة تلك النسبة المثلثية.

2)      ندخل قياس الزاوية المطلوب ايجاد النسب المثلثية لها الى الآلة الحاسبة.

3)      نضغط على مفتاح فتظهر قيمة النسبة المطلوبة مقربة لعدد من المنازل العشرية .

ويجب التنويه الى ان هناك بعض الالات الحاسبة تختلف فيها طريقة ايجاد النسبة المثلثية لزاوية معلومة ، حيث تستبدل خطوة (1) بخطوة (2).

   

مثال : اوجد جا 58 باستخدام الآلة الحاسبة :

الحل :  لايجاد جا 58 نتبع الخطوات الاتية :

أ‌)       نضغط على مفتاح (Sin)

ب‌)     ندخل قياس الزاوية وهو 58 الى الآلة الحاسبة بالضغط على المفتاح 5 ثم المفتاح 8

ت‌)     نضغط على المفتاح (enter )  فتظهر القيمة المطلوبة وهي 0.84804895

ث‌)     يمكن تقريب الناتج لأربع منازل عشرية  بحيث يصبح : جا 58 = 8480‚ 0

ج‌)      يمكن تلخيص الخطوات السابقة  بالخطوات الاتية من اليسار الى اليمين:

(enter)                  58            Sin

اسئلة :

1)      جد قيمة جتا 82 جتا 22 + جا 83جا22 ، اقارن الناتج مع جتا 60

2)      جد قيمة :1) ظا 15

                ب)ظا 60 – ظا 45