الاشكال الهندسية

نظرية فيثاغورس؛Pythagoras Theorem

نظرية فيثاغورس : مساحة المربع المنشأ على وتر المثلث القائم الزاوية تساوي مجموع مساحتي المربعين المنشأين على ضلعي القائمة.

أو بالرموز ع2 = س2 + ص2 كما في الشكل.

                                         س             ع

                                                                     ص

    مثال : في الشكل الاتي أ ب ج مثلث قائم الزاوية في ب فيه أ ب = 6سم ،        ب ج = 8سم  . أوجد طول أج                                                      

 الحل : (من نظرية فيثاغورس )            6سم

          أج2 =(أب) 2 +(ب ج) 2

               = 36 + 64

               =  100                                        8سم

       اذن اج = 10سم

ج                                                                                                                                                                                   

                                                           

1)         دائرة قطرها أب =6سم

                                                      ب                                        ا

اذا كان طول أج = 4سم . ما طول الضلع ج ب ب

                                                              أ                                    

2)في الشكل ادناه :

أجد طول ج د ، جﮬ ، ج و؟

                          د      1         ﮬ        1      و  

عكس نظرية فيثاغورس

عكس نظرية فيثاغورس : اذا كانت مساحة المربع المنشأ على أحد اضلاع مثلث تساوي مجموع مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين الاخرين فإن الزاوية التي تقابل هذا الضلع قائمة.

مثال : في كل من الحالتين الاتيتين بين ما اذا كان المثلث أ ب ج قائم الزاوية أم لا ، وحدد الزاوية القائمة ان وجدت:

1)         أب = 5سم ، ب ج = 6سم ، ج أ =7سم.

2)         أج =7سم، أب = 25سم ، ب ج=24سم.

الحل: 1)أكبر الاضلاع هو أج = 7سم .

        (أج) 2 =49 ، (أب) 2 + ( ب ج) 2

                = 25 + 36 =61

          49 ≠ 61 

اذن المثلث أ ب ج ليس قائم الزاوية .

      2) (أب) 2 = 625

          (أج) 2 = (24) 2 = 576 ،(ب ج) 2 =(7)2 = 49

          بما أن 625 = 576 + 49

أي أن (أب)2 =(أج) 2 + (ب ج) 2

اذن المثلث أ ب ج قائم الزاوية في ج.

أسئلة:

1) اراد بناء تكوين زاوية قائمة عند النقطة أ لبناء جدارين            60

متجاورين ، مد خيطا  طوله 60 وحدة ابتداء من أ  الى    ب                    أ    

النقطة ب ، مد خيطا آخر طوله 80 وحدة ابتداء من أ الى

النقطة ج، قاس المسافة بين ب ، ج فوجدها 95 وحدة .   95                     80

هل الزاوية عند الركن أ بهذه الطريقة هي زاوية قائمة؟

2)    في الشكل المجاور ، اوجد:       أ

1)         طول أد                                                                           ج

2)         طوأج

                             5                                                                            

الاشكال الرباعيةQuadrilaterals

الشكل الرباعي هو مضلع له اربعة أضلاع

مجموع زوايا الشكل الرباعي يساوي 360.

مثال :  في الشكل المقابل أوجد قياس الزاوية المجهولة س .               س

الحل:بما ان مجموع زوايا الشكل الرباعي 36                                    

س+120+60+ 95= 360                                               120           95                                          

س+275= 360

س=85

مثال : في الشكل المقابل ، أوجد قياس الزاويتين س،ص.                      

الحل : توجد زاويتان مجهولتان في السؤال هما س، ص .

هل هناك معلومات تساعد في ايجاد احداهما ؟

الزاوية س والزاوية 100 متجاورتان وعلى استقامة واحدة أي أن مجموعهما 180 .

س= 180 -100                                                   85                  ص

س= 80

نعرف الان ثلاث زوايا في الشكل الرباعي ونريد معرفة الزاوية الرابعة.

بما ان مجموع زوايا في الشكل الرباعي 360 فإن :

85 + 80 +90 +ص= 360

255 + ص = 360

ص = 360 – 255

ص = 105                                                                أ

أسئلة :                                                                      2س

1)  أجد قياس كل من زوايا الشكل الرباعي المجاور.        3س         3س

                                                                             40

2)أجد كل زاوية مجهولة في الشكل المجاور.

متوازي الأضلاعParallelogram

متوازي الأضلاع : هو شكل رباعي فيه كل مضلعين متقابلتين متوازيان

نظريات في متوازي الاضلاع :

1)         كل ضلعين متقابلين متساويان ،وكل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس .

مثال :أب ج د  متوازي أضلاع فيه أد = 6سم ، ق زاوية ج = 60 أوجد قياس كل من الزوايا أ ،ب،د ، وما طول ب ج؟

الحل: زاوية أ = زاوية ج = 60 لأن الشكل متوازي أضلاع والزاويتان                    

        متقابلتان .

        بما ان أد // ب ج فإن زاوية د + زاوية ج = 180 ( متحالفتان)

                                   زاوية د=180 -60

                                   زاوية د =120

زاوية ب =120 لأنها تقابل زاوية د.

ب ج =أد لأنهما ضلعان متقابلان في متوازي الأضلاع.

إذن ب ج = 6سم.

2) قطرا متوازي الأضلاع ينصف  كل منهما الآخر.  

خلاصة :

في متوازي الاضلاع :

1)         كل ضلعين متقابلتين متوازيان( تعريف)

2)         كل ضلعين متقابليتن متساويان.

3)         كل زاويتين متقابلتين متساويتان.

4)         القطران ينصف كل منهما الآخر.

أسئلة :

1)         أ ب ج د متوازي أضلاع، فيه ق زاوية أ= 65 ، أب =6سم، ومحيطه 34سم. أجد قياسات زواياه ،وأطوال أضلاعه.

2)         أ ب ج د متوازي أضلاع ، نصفت الزاويتان أ ب ج، ج د أ بمستقيمين لاقيا أج في س ، ص على الترتيب .

أثبت أن : ب س = د ص (ارشاد : ابحث عن مثلثين متطابقين)

متى يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع؟

نظرية : يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع في أي من الحالات الاتية:

1)         اذا توازى فيه كل ضلعين متقابلين (تعريف)

2)         اذا تساوى فيه كل ضلعين متقابلين.

3)         اذا تساوت فيه كل ضلعين متقابلين .

4)         اذا نصف قطراه كل منهما الاخر.

5)         اذا تساوى وتوازى ضلعان متقابلان.

مثال :

 الشكل أب ج د متوازي أضلاع ، م نقطة تقاطع قطريه ، س، ص نقطتان على القطر أج بحيث إن  : أس = ج ص

أثبت أن س ب ص د متوازي أضلاع .

الحل :

 أم = م ج (قطرا متوازي الاضلاع ينصف كل منهما الاخر)

        أس = ج ص ( معطى)

اذن أم – أس = م ج – ج ص

اذن س م = م ص              . . . . (1)

كذلك ب م = م د(2)  قطرا متوازي الاضلاع ينصف كل منهما الاخر)

من (1) ،(2) ينتج أن قطري الشكل الرباغي س بص د ينصف كل منهما الاخر .

اذن الشكل الرباعي س ب ص د متوازي أضلاع.

أسئلة :

1) في الشكل ادناه المقابل أ ب ج د متوازي اضلاع . م منتصف أب ، ن منتصف   ج د أثبت ان الشكل م ب ن د متوازي أضلاع.      أ                                د

2) امامك معطيات ليست كافية ليكون الشكل

    الرباعي متوازي اضلاع.                                                           

    ارسم في كل حالة شكلا رباعيا يحقق الشروط   م *                             *ن 

  المعطاه ولا يكون متوازي اضلاع.                                                                                                           أ) شكل رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان.        ب                                ج

ب)شكل رباعي فيه زاويتان متقابلتان متساويتان.

ج) شكل رباعي فيه ضلعان متقابلان متساويان.

د) شكل رباعي فيه احد القطرين ينصف الآخر.

حالات خاصة لمتوازي الاضلاع

المعين:Rhombus

هو متوازي أضلاع  فيه متجاوران أن متساويان ( وهذا يعني أن جميع أضلاع المعين متساوية)

نظرية : قطرا المعين متعامدان وينصف كل منهما الاخر .

مثال : في المعين : زاوية أ= 100 ، زاوية د=80 ، جد قيم زوايا 1 ،2، 3، 4 ،5 ،6 ،7 ،8

الحل: في مثلث أ ب د ، أب =أد (لأن الشكل معين).

            ام عمود من اعلى القاعدة ب د.

اذن ام ينصف زاوية الرأس.

أي أن زاوية 1 = زاوية 2 = 100÷2=50

في مثلث

د أ ج : دأ = دج (لأن الشكل معين)

          د م عمود من رأس المثلث المتساوي الساقين على القاعدة

   اذن د م ينصف زاوية الرأس .

أي ان زاوية 3 = زاوية 4 = 80 ÷ 2 = 40

وبالمثل يمكن أن نبين أن زاوية 7 = زاوية 8 = 40

وكذلك زاوية 5 = زاوية 6 = 50

نتيجة : قطرا المعين ينصفان زواياه

خلاصة :

يكون الشكل الرباعي معينا في أي من الحالات الاتية:

1)         اذا كانت جميع أضلاع الشكل الرباعي متساوية.

2)         اذا كان قطرا الشكل الرباعي متعامدين وينصف كل منهما الآخر.

3)         اذا كان قطرا الشكل الرباعي ينصفان زواياه.

4)         اذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع وكان قطراه متعامدين.

5)         اذا كان الشكل الرباعي متوازي اضلاع وكان فيه ضلعان متجاوران متساويان .

أسئلة :

1)         أب ج د معين تقاطع قطراه في م، اذا كان طول القطر أج  =16سم ، وطول ب د=12سم ، فما طول ضلع المعين؟

2)         أ ب ج د متوازي اضلاع بحيث ان زاوية د=100 ، زاوية ب ج أ = 40 ابين ان أ ب ج د هو معين.

المستطيل : Rectangle

المستطيل هو متوازي اضلاع احدى زواياه قائمة (وهذا يعني أن جميع الزوايا قوائم)

نظرية : قطرا المستطيل متساويان في الطول ، وينصف كل منهما الاخر.

ويمكن عكس النظرية السابقة حيث تصبح :

الشكل الرباعي الذي قطراه متساويان في الطول ، وينصف كل منهما الاخر هو مستطيل .

مثال : أب ، ج د قطران في دائرة مركزها م اثبت أن الشكل أ ج ب د مستطيل.

الحل: أب = ج د لانهما قطران في نفس الدائرة.

م أ = م ب ، م ج = م د ( انصاف أقطار)

اذا الشكل الرباعي أ ج  ب د قطراه متساويان وينصف كل منهما الاخر فهو مستطيل.

المربعThe Square 

المربع هو متوازي اضلاع ، جميع اضلاعه متساوية ، واحدى زواياه قائمة.

وعليه فإن : المربع هو معين فيه زاوية قائمة( لماذا؟)

 والمربع هو مستطيل فيه ضلعان متجاوران متساويان( لماذا؟)

أسئلة :

1)         اذا مرت برؤوس المعين مستقيمات توازي قطريه ، اثبت أن الشكل الناتج من تقاطع المستقيمات المتوازية هو مستطيل.                      د

2)         في الشكل المقابل :

أ ب ج د معين ، م نقطة التقاء قطريه .                       

                                                        أ       35                            ج  

ق زاوية د أ م = 35 .                       

احسب قياسات جميع زواياه الداخلية.

                                                                               ب

3)         في الشكل المقابل :

أ ب ج د مربع طول ضلعه 9سم ، اخذت النقاط :ﮬ ، و ، س، صعلى اضلاعه :أب ، ب ج ، ج د ، دأ على الترتيب بحيث كان أﮬ = ب و= ج س = دص=3سم

برهن أن الشكل ﮬ و س ص مربع.      أ                           ص        د     

                                               ﮬ

و

4)  أ ب ج د مربع ، مر بالرأس ب مستقيم يصنع مع أب زاوية قياسها 40 ، ثم أنزل عليه من أ ، ج العمودان أﮬ ، ج و .

ابرهن أن :أﮬ = ب و .

(ارشاد : اطبق المثلثين أ ﮬ ب ، ب و ج)

نظرية المنتصفات والقطع المتوسطةMedians , mid

sides Theorem                              

                                                     

نظرية :  القطعة المستقيمة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث ، وطولها يساوي نصف طوله.

مثال : س ص ع مثلث فيه م منتصف الضلع س ص ، النقطة ن منتصف ص ع

فإذا كان طول س ع =8سم وقياس زاوية ع = 37.

جد :1) طول م ن

      2) قياس زاوية م ن ص ؟

 الحل:القطعة م ن تصل بين منتصفي ضلعين في المثلث اذا م ن = 1 س ع

                                                                                   2

                                                                         م ن = 1 ×8 =4سم

                                                                                  2

وكذلك فإن م ن // س ع اذا زاوية م ن ص = 37 لأنها تساوي ع بالتناظر.

اسئلة :

ا) أ ب ج مثلث متساوي الاضلاع طول ضلعه 6سم . النقاط س ، ص ،ع منتصفات أضلاعه أ ب ، ب ج ، أج على الترتيب . ما نوع المثلث س ص ع؟

ما محيط هذا المثلث ؟ بين السبب في كل حالة؟

2) أ ب ج مثلث متساوي الساقين فيه أ ب = أج =10سم ،أد عمود على القاعدة ب ج س منتصف أب ، اجد طول س د.

3) أ ب ج د شكل رباعي طول قطره ب د = 12سم . النقاط س ، ص، ع ، ن منتصفات أب ، أد ، دج، ب ج على الترتيب . اجيب على دفتري :

 ما طول س ص ؟  لماذا ؟

ما طول ع ن ؟ لماذا؟

ما العلاقة بين طول س ص ، ع ن؟

هل س ص// ع ن ؟ لماذا؟

نظريات أخرى :

1)         اذا رسم من منتصف أحد اضلاع  مثلث قطعة مستقيمة توازي ضلعا آخر ،فإن هذا الموازي ينصف الضلع الثالث . وطول هذه القطعة يساوي نصف طول الضلع الذي توازيه .

2)         القطعة الواصلة بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف توازي القاعدتين وطولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين.

مثال : أ ب ج د شبه منحرف كما في الشكل ادناه ، قاعدتاه المتوازيان طولهما 4سم ، و10 سم ، س ص قطعة واصلة بين منتصفي الضلعين أ ب ،  د ج  وتقطع القطر أج في م .          أ            4سم              د

جد : 1) طول س ص .

      2) طول م ص .

      3) طول س م.   س                                    م            ص

الحل : القطعة س ص تصل بين منتصفي الضلعين غير متوازيين أب، ج د في شبه المنحرف.

اذن س ص = 1 (أد+ ب ج).

                  2

             = 1 (4 +10) = 1 ×14 = 7 سم.         . . . . . (1)

                2                  2

كذلك س ص//أد ، ب ج أي أن ص م // دأ

في ∆أ ج د: ص م ينصف د ج ويوازي القاعدة دأ فهو ينصف الضلع أج أي أن م منتصف أج.

اذن ص م قطعة تصل بين منتصفي ضلعين في المثلث أ ج د فهي تساوي نصف طول الضلع المقابل أي ان ص م = 1 × 4 = 2 سم    . . . .(2)

                                             2

وبنفس الطريقة يمكن التوصل الى ان س م = 1 × 10 = 5سم  . . . . . . (3)

                                                         2

أسئلة:

1)         أ ب ج د  متوازي أضلاع فيه دج =7سم، ب ج = 5سم . م نقطة تقاطع قطريه أج ، ب د رسم من م مواز للمستفيم  ج ب فقطع أب في س . ما طول م س ؟ لماذا؟

2)         أ ب ج د شبه منحرف  س ،ص منتصفا أب ، ج د . اذا علمت أن أد=5سم ، س ص =7سم فما طول ب ج ؟ ابين السبب في كل خطوة.

القطع المتوسطة في المثلث Medians in Triangle

تسمى القطعة المستقيمة الواصلة من رأس المثلث الى منتصف الضلع المقابل قطعة متوسطة ، ولكل مثلث ثلاث قطع متوسطة ، وسوف تدرس هنا نظرية مهمة عن القطع المتوسطة دون برهان.

نظرية : أولا : القطع المتوسطة في المثلث تلتقي في نقطة واحدة .

       

  ثانيا : نقطة التقاء القطع المتوسطة تقسم كل قطعة منها بنسبة 2  من جهة

                                                                                 3

           الرأس ، 1 من جهة القاعدة.

                      2

مثال:

 أ ب ج مثلث قائم الزاوية في ب ، م منتصف الوتر أج.

اثبت ان ب م نصف الوتر اي ان : ب م = أم = ج م .      

الحل :                                                        ا                         

  تنزل من م العمود م د على أ ب .

م د// ج ب لأن الزاويتين أ د م ، أ ب ج متساويتان                        م    

( كل منهما 90) وهما في وضع تناظر .

م د قطعة مرسومة من منتصف اج وتوازي  ج د       ب                          ج

 فهي تنصف أب أي أن د منتصف أب.

∆ ا م ب : م د  ينصف أب وعمودي عليها.

∆ أ م ب : متساوي الساقين أي ان ام = ب م .

اذن ب م = 1 أج

               2

نتيجة :

القطعة الواصلة من رأس القائمة الى منتصف الوتر تساوي نصف الوتر.

أسئلة :

1)         أ ب ج  مثلث فيه : م،ن منتصف أج ،أب على الترتيب .

تقاطع ن ج ، م ب في و. اذا كانت اضلاع ن و م هي على الترتيب : 3سم ، 4سم ، 6سم .

جد طول كل ضلع من اضلاع المثلث و ب ج.  

    2)أ ب ج قائم الزاوية في أ ، حيث أج = 8سم ، ب ج = 10سم ، مد ضلع من               

        ب ج في نقطة س حيث نصفه الى زاوية أ فنصفت .

جد 1) طول أس

    2)طول أب.

تكافؤ الاشكال الهندسية :

الشكلان المتكافئان هما شكلان متساويان في المساحة.

الاشكال الهندسية المحصورة بين متوازيين:

 أولا : تكافؤ متوازي الاضلاع والمستطيل

نظرية : متوازي الاضلاع يكافئ المستطيل المشترك معه في القاعدة والمحصور معه بين مستقيمين متوازيين.

ثانيا :تكافؤ متوازيي أضلاع

نظرية : يتكافئ متوازيا الاضلاع المشتركان في القاعدة والمحصوران بين متوازيين .

ثالثا : علاقة المثلث بالمستطيل

نظرية : مساحة المثلث تساوي نصف مساحة المستطيل المشترك معه في القاعدة والذي ينحصر معه بيم متوازيين.

نذكر : مساحة اي مثلث = 1 القاعدة × الارتفاع

                                  2

تكافؤ مثلثين

نظرية : المثلثان المشتركان في القاعدة والمحصوران بين متوازيين متكافئين

أسئلة :

1)         متوازي اضلاع مساحته 12سم2. تقاطع قطراه في م .جد مساحة كل من المثلثات أ ب م ، ج م د ، ب م ج ، أ م د.

2)         أ ب ج د مربع طول ضلعه 12سم النقطة ﮬ منتصف أب . جد مساحة المثلث أﮬ ج.

المجسمات (حجومها ومساحاتها الجانبية)Mensuration

المنشور القائم :Right prism

يكون المنشور ثلاثيا او رباعيا او خماسيا او سداسيا . . . الخ. اي ان كلا من قاعدتي المنشور المتوازيين تكون مثلثا او شكلا رباعيا او خماسيا او سداسيا. . . الخ اما أوجه المنشور الاخرى فهي مستطيلات.

والمنشور الرباعي يمكن ان يكون متوازي مستطيلات او مكعبا، فنلاحظ ان المكعب ومتوازي المستطيلات حالة خاصة من المنشور.

وفيما يأتي قانون حجم المنشور ومساحته الجانبية والكلية.

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع

المساحة الجانبية للمنشور = مجموع  مساحات الاوجه الجانبية وهي مستطيلات

مثال:

 جد جحم متوازي مستطيلات ابعاده 6سم ، 5سم ، 4سم ثم جد مساحته.

الحل :

متوازي المتسطيلات منشور قائم .

       حجم متوازي المستطيلات = مساحة القاعدة× الارتفاع

                                        =(6×5)×4

                                        = 120 سم3

       المساحة الجانبية = مجموع مساحات اربعة مستطيلات تشكل جوانب المجسم.

                            =6×4 + 5× 4+ 6×4 + 5×4

                            =24 + 20 +24 + 20 = 88سم2

وبطريقة اسهل : المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

                                          = (6+5+6+5)×4 = 88سم2

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مجموع مساحتي القاعدتين

                  = 88 + 2 × 6 × 5

                  =148 سم2

أسئلة :

1)         اجد حجم صندوق مكعب الشكل طول ضلعه 10سم واجد مساحته الكلية.

2)منشور قاعدته مسدس منتظم طول ضلعه 10سم ومساحته القاعدة 260سم2 فإذا كان ارتفاع المنشور 5سم اجد:  

    اولا : حجم المنشور

    ثانيا: المساحة الجانبية للمنشور

    ثالثا : المساحة الكلية للمنشور.

الاسطوانة الدائرية القائمة:Cylider

يمكن اعتبار الاسطوانة الدائرية القائمة حالة خاصة من المنشور القائم عندما يزداد عدد اضلاع القاعدة زيادة كبيرة جدا لتقترب من الدائرة .

حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع

                    =نق2 П× ع

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × ارتفاع الاسطوانة

                      =2نق П × ع

المساحة الكلية = المساحة الجانبية +  مساحة القاعدة

                   = 2نق П  ع + نق2 П + نق 2 П

                   =2نق П  ع + 2نق2 П

مثال : اسطوانة نصف قطر قاعدتها 6سم وارتفاعها 8سم، جد حجمها ومساحتها الكلية.

الحل: حجم الاسطوانة = نق2 ط × ع

                           = 6×6×ط×8

                          = 288 ط سم3

       االمسا حة الكلية = محيط القاعدة × ع+2نق2 ط

                        = 2 ×6×ط×8 + 2 ×36×ط

                       = 96 ط + 72 ط =168 ط سم2

المخروط The cone

 

المخروط مجسم هندسي يتكون من قاعدة دائرية تسمى قاعدة المخروط ونسمي أعلى نقطة في المخروط  رأس المخروط، أما طول الخط الذي يصل بين رأس المخروط ومركز القاعدة فيمثل ارتفاع المخروط.

يسمى القطاع الدائري الناتج عن قص المخروط على طول راسمه شبكة المخروط.

اذا قارنا مخروطا مع شبكته نلاحظ ما يلي :

1) أن طول راسم المخروط = نصف قطر القطاع الدائري الذي يمثل شبكة المخروط.

2) محيط قاعدة المخروط = طول قوس هذا القطاع الدائري .

مثال : أوجد ارتفاع مخروط طول راسمه 10سم ونصف قطر 6سم.

الحل: ارتفاع المخروط وهو طول الخط الواصل بين رأس المخروط ومركز دائرة القاعدة .ويكون هذا الخط عموديا على نصف قطر الدائرة.

نلاحظ أن الارتفاع هو ضلع في مثلث قائم الزاوية وتره راسم للمخروط وقاعدته نصف قطر دائرة قاعدة المخروط وقاعدته نصف قطر دائرة قاعدة المخروط .إذن باستخدام نظرية فيثاغورس للمثلثات القائمة نجد أن :

( ارتفاع المخروط) 2=( طول الراسم)2-(نق دائرة القاعدة)2

أي أن :ارتفاع المخروط = جذر( (طول الراسم)2-(نق دائرة القاعدة)2)

         ارتفاع المخروط =   =   = 8 سم.

أسئلة :

1) احسب ارتفاع المخروط الناتج عن دوران مثلث قائم  الزاوية طول وتره 10 وقاعدته 8سم.

2) احسب ارتفاع المخروط الناتج عن دوران مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية اذا كان طول وتره 12 سم.

3) احسب طول راسم مخروط ناتج عن دوران مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية اذا كان ضلعه 4سم.

 المساحة الجانبية للمخروط :Surface area of cone 

ان شبكة مخروط دائري قائم قطاعا دائريا، ومساحة هذا القطاع  الدائري هي المساحة الجانبية للمخروط.

ما المساحة الجانبية لمخروط معروف نصف قطر قاعدته (نق) وطول راسمه ل؟

ملاحظات:1) نصف قطر القطاع الدائري هو رسم راسم المخروط .

             2) طول قوس القطاع الدائري = محيط دائرة قاعدة المخروط

                                                   = 2×ط×نق المخروط

إذن المساحة الجانبية للمخروط = مساحة القطاع.

                                      = 1 × طول قوس القطاع× نق المخروط

                                          2                                                                       

                                      =1 ×2×ط× نق المخروط× طول الراسم

                                        2

                                     = ط × نق المخروط × طول الراسم

مثال :

 مخروط نصف قطر قاعدته 3سم ، وطول راسمه 5سم ، جد مساحته الخارجية ومساحته الكلية

الحل:

مساحته الخارجية = ط×3 × 5 =15ط سم2

        ومساحته الكلية    = 15ط + ط (3)2

                               =15ط +9ط

                               = 24ط سم2

أسئلة :

1) احسب المساحة الخارجية لمخروط قطره 10سم وطول راسمه 12سم.

2) احسب المساحة الكلية للمخروط طول راسمه 10سم ومحيط قاعدته 22سم

3) نصف قطر قاعدة مخروط 5سم . ومساحته الخارجية 220سم2 . أجد:

أ) طول راسمه.

ب) ارتفاع المخروط .

حجم المخروط :Volume of cone  

حجم المخروط = 1 × ط ×(نصف قطر قاعدته) 2 × ارتفاعه

                      3

 مثال : احسب حجم مخروط نصف قطر قاعدته 7سم وارتفاعه

الحل : حجم المخروط =1 × ط ×7 2 × 9

                              3

                          = 462سم3

ملاحظة : نذكر أن حجم الاسطوانة = ط ×( نصف قطر قاعدتها ) 2 ×ارتفاعها

من قانون حجم المخروط السابق نستنتج أنه إذا كان لمخروط نفس نصف قطر قاعدة أسطوانة ، ونفس ارتفاعها فإن :

حجم هذا المخروط =1 حجم الاسطوانة

                          3 

أسئلة :

1) جد حجم مخروط قطره12سم وارتفاعه 7سم.

2) جد حجم مخروط قطر قاعدته 14سم وطول راسمه 10سم. 

3) جد حجم مخروط مساحة قاعدته 154سم2 وارتفاعه 11سم.

4) مثلث قائم الزاوية طول ضلعي القائمة 6سم و8سم ،فإذا دار المثلث حول ضلعي القائمة ، ففي أي حالة يكون حجم المخروط الناشىء أكبر ؟

الهرمThe Pyramid      

الهرم المجسم  أوجهه مضلعات ، وقاعدته مضلعة ، وجوانبه مثلثات .

يصنف الهرم حسب قاعدته . فيسمى هرما ثلاثيا اذا كانت قاعدته مثلثا، ويسمى هرما رباعيا إذا كانت قاعدته شكلا رباعيا ،وخماسيا اذا كانت قاعدته مضلعا خماسيا. . .

 الهرم القائم المنتظم :

يسمى الهرم هرما قائما منتظما اذا :

أ‌)          كانت قاعدته مضلعا منتظما .

ب‌)        كان الخط الواصل بين الرأس الذي يقابل القاعدة ومنتصف القاعدة  عموديا عليها

ملاحظة : تكون نقطة منتصف مضلع منتظم نقطة تقاطع أقطار المضلع.

أما في ثلاثي منتظم أي مثلث متساوي الأضلاع فيكون المركز في نقطة تقاطع مستقيماته المتوسطة.

وفي الهرم القائم المنتظم تكون أوجه الجوانب مثلثات متساوية الساقين وتكون متطابقة .

وقواعده هذه المثلثات أضلاع قاعدة الهرم.

رسم شبكة هرم ثلاثي ورباعي قائم منتظم

اذا قمنا بقص هرم ثلاثي منتظم على طول حوافه الجانبية وبسطناه على سطح مستو ، فنحصل على الشكل التالي والذي يمثل شبكة هذا الهرم.

مثال: اصنع من الورق المقوي هرما ثلاثيا قائما منتظما تكون قاعدته مثلثا متساوي الأضلاع طول ضلعه 3سم وجوانبه مثلثات متساوية الساقين طول الساق 4سم.

الحل: أولا: نرسم شبكة الهرم

 ثانيا : نقص الشبكة حول الخط الملون باللون

ثم نطوي الشبكة حول الخطوط المتقطعة.

المساحة الجانبية للهرم القائم والمنتظم

المساحة الجانبية = حاصل جمع مساحات المثلثات الجانبية .

                      =عدد المثلثات الجانبية × مساحة مثلث الجانبي 

نذكر أن مساحة المثلث =1 قاعدته × ارتفاعه

                                 2

مثال : اوجد المساحة لهرم ثلاثي طول ضلع مثلث القاعدة فيه 5سم وارتفاعه الجانبي 6سم 

الحل:  المساحة الجانبية = 3× مساحة أحد مثلثات الجوانب

                            = 3× 1 × 5 × 6

                                    2   

                           =45سم2

حجم الهرم

حجم الهرم هو سعته :ولحساب حجمه نستخدم القانون الاتي :

            حجم الهرم = 1 مساحة قاعدته × ارتفاعه

                              3  

مثال : جد حجم الهرم رباعي ، طول ضلع مربع قاعدته 3 وارتفاعه 5سم.

الحل : حجم الهرم الرباعي =1 مساحة قاعدته المربعة × ارتفاعه

                                    3        

                                 =1 × 3×3 ×5 = 15سم3

                                   3

أسئلة :

1)         جد حجم هرم رباعي اذ كانت مساحة قاعدته 24سم2 وارتفاعه 5سم .

2)         جد حجم هرم ثلاثي منتظم اذا كان طول ضلع قاعدته 7سم وارتفاعه 10سم

3)         جد ارتفاع هرم رباعي منتظم اذا كان حجمه 96سم3 وطول ضلع قاعدته 6سم.

4)         أ) اذا ضاعفنا ضلع طول مربع قاعدة هرم رباعي وأبقينا الارتفاع نفسه ، فهل يتضاعف حجمه؟ علل إجابتك.

ب) اذا ضاعفنا ارتفاع هرم منتظم فهل نضاعف حجمه ؟ علل إجابتك

5) إناء على شكل هرم رباعي منتظم طول ضلع قاعدته 3‚7 وارتفاعه 4‚12 ، ملئ بالماء ، ثم فرغ في اناء آخر على شكل متوازي مستطيلات قاعدته مربعة ، وطول ضلعها 1‚ 6سم وارتفاعه 15سم ، جد ارتفاع الماء في هذا الإناء .(استخدم الآلة الحاسبة)