الاحصاء والاحتمالات

الاحصاء والاحتمالات   Statistics and probability:

مقدمة :

درست في السابق  بعض المواضيع الاحصائية ، مثل كيفية انشاء الجداول التكرارية وتمثيلها

بيانيا بالمدرج التكراري ، والمضلع التكراري ، كما مر معك كيفية حساب الوسط الحسابي لقيم غير مبوبة

وللجداول التكرارية وسوف تدرس في هذا العام بعض هذه المواضيع وغيرها وبمزيد من التوسع .0

مقاييس التشتتMeasures of Spread          :

هناك ثلاثة مقاييس للتشتت وهي:

1-    المدى   Range

2-    الانحراف المعياريStandard Deviation      

3-    التباين Variance  

أ‌-      المدى :

يعرف المدى بأنه: الفرق بين أكبر القيم وأصغرها لمجموعة من البيانات ويعتبر المدى أبسط مقاييس التشتت وأسهلها حسابا، وبالطبع كلما كان المدى صغيرا كان ذلك دليلا على تجانس القيم وانخفاض التشتت .

مثال: أحسب المدى للبيانات الآتية : 16 ، 15، 12 ، 20، 19، 7 ، 13، 5 ، -1

الحل:

المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة

                               20 - - 1 = 21

في حالة الجداول التكرارية ذات الفئات فان المدى يعرف بأنه الفرق بين الحد الأعلى للفئة الأخيرة والحد الأدنى للفئة الأولى ( على فرض أن الفئات مرتبة تصاعديا) + 1

مثال: الجدول التكراري الآتي يمثل علامات طلبة الصف التاسع في الرياضيات

احسب المدى للعلامات

فئة العلامة	30- 39	40-49	50-59	60-69	70-79	80-89	90-99
التكرار	2	3	6	13	8	5	3

الحل:

المدى= الحد الأعلى للفئة الأخيرة – الحد الأدنى للفئة الأولى + 1

       = 99- 30 +1

       = 70

يعتبر المدى أقل مقاييس التشتت دقة لأنه يعتمد في حسابه على قيمتين فقط وهذا يؤدي الى نتائج مضللة وخاصة

في حالة وجود قيم فمثلا: اذا كانت علامات مجموعة من طلبة الصف التاسع في مدرسة ما كما يأتي:

81، 74 ، 79، 85، 20، 77، 86، 100، 80

فان المدى = 100- 20= 80 بينما معظم العلامات تقع بين 74 و86 أي أنها متقاربة بعضها من بعض وهذا

عكس ما يستنتج من قيمة المدى .

الانحراف المعياري:

يعرف الانحراف المعياري بأنه الجذر التربيعي لمتوسط مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي فاذا كانت س1 ، س2 .......س ن مفردات عددها ن ووسطها الحسابي س :

 

                                              ( مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي )  

فان الانحراف المعياري s =                            (عدد القيم )

                                                        

أو بالرموز s =         (س₁ – س) ² + (س ₂ – س ) ² + ...... (س _ن – س ) ²                              

 

                                                            ن

 

    أو s =              (س – س ) ²

                         

                              ن

مثال: احسب الانحراف المعياري لمجموعة البيانات 1، 2، 3، 4، 5

الحل:

v     نحسب الوسط الحسابي   س =  1 + 2+ 3+ 4+ 5 =    15  = 3

         5                    5

v     نحسب الانحرافات عن الوسط الحسابي وتوزيعها :

س	س	س -  س	( س –  س) 2
1	3	-2	4
2	3	-1	1
3	3	صفر	صفر
4	3	1	1
5	3	2	4
المجموع			10

v     نجد مجموع مربعات الانحرافات ونحسب متوسطها :

= 4 + 1 + 0 + 1 +4     = 2

                           5

v     نجد الجذر التربيعي لمتوسط مجموع مربعات الانحرافات عن وسطها الحسابي فيكون الانحراف

المعياري يساوي      2    

 

أو بالرموز s =           10      = 2

                                       5

اما في حالة حساب الانحراف المعياري للجداول التكرارية فاننا نستعمل الصيغة الآتية :

 

s =                ت ( س- س ) ²

                                                       

                          ن

حيث : س: تمثل القيمة أو مركز الفئة          س : الوسط الحسابي                            ت: التكرار                                         

       

         ن : مجموع التكرارت

مثال : الجدول التكراري الآتي يمثل عدد الأطفال لكل عائلة من 50 عائلة قطرية

الحل:

عدد الأطفال (س)	عدد العائلات (ت)	ت × س	س – س	(س – س) 2	ت ×(س – س) 2
0	5	0	-3	9	45
1	5	5	-2	4	20
2	9	18	-1	1	9
3	10	30	0	0	0
4	12	48	1	1	12
5	5	25	2	4	20
6	4	24	3	9	36
المجموع	50	150			142

                      

v     نحسب الوسط الحسابي لعدد الأطفال :  س = مجموع  (ت × س) = 150= 3

                                                                                     ن         50

v     نحسب الانحرافات عن الوسط الحسابي (س – س)

v     نربع الانحرافات عن الوسط الحسابي (س – س) ²

v     نضرب مربع الانحرافات عن الوسط الحسابي في التكرار ونجد مجموع هذا العمود والذي يساوي

 142

v      نطبق قانون الانحراف المعياري فتصبح النتيجة

 

s =          142    = 69,1

                        50

التباين :

يعرف التباين بأنه مربع الانحراف المعياري ويعتبر أحد مقاييس التشتت ويستخدم في كثير من

الدراسات الاحصائية المتقدمة

مثال: اذا كان الانحراف المعياري لعدد من المفردات = 4 فما هو التباين ؟

الحل:

التباين = مربع الانحراف المعياري

التباين = s ²= 4 ²= 16

تمارين ومسائل:

1-      اذا كان مستوى السكر في الدم لثمانية مرضى ادخلوا الى مستشفى ما كما يأتي :

80 ،76 ، 81 ، 71 ، 73 ، 89 ، 74 ، 108

أحسب:

أ‌-        المدى

ب‌-    التباين

ت‌-    الانحراف المعياري

2-      الجدول التكراري الآتي يمثل توزيع علامات 40 طالبا في أحد المباحث الدراسية:

فئات العلامات	40-44	45-49	50-54	55-59	60-64	65-69	70-74
التكرار	2	6	8	4	10	6	4

أحسب الانحراف المعياري للأعمار

ملاحظات على الانحراف المعياري :

v     عند اضافة ( أو طرح) عدد ثابت لكل قيمة من المشاهدات فان قيمة الانحراف المعياري لا تتغير.

v     عند ضرب ( أو قسمة) كل قيمة من المشاهدات في عدد ثابت فان الانحراف المعياري الجديد يساوي

الانحراف المعياري الأصلي مضروبا ( أو مقسوما ) بالقيمة المطلقة لهذا العدد الثابت.

الانحدار البسيطRegression   :

الجدول التالي يبين أعمار وأطوال خمسة اطفال حيث العمر بالسنوات والطول بالدسم .

العمر	س	6	9	8	7	5
الطول	ص	9	13	12	12	9

الشكل المجاور يمثل شكل الانتشار حيث المحور السيني يمثل العمر وهو المتغير المستقل ، والمحور الصادي

يمثل الطول وهو يمثل المتغير التابع .

                 الطول

                 ص

س

العمر

يلاحظ من الشكل ان الارتباط بين المتغيرين س ، ص هو ارتباط ايجابي قوي كذلك يلاحظ ان

الارتباط هو ارتباط خطي ، وهذا يعني ان هنالك خط مستقيم يمر بمعظم النقاط أنظر الشكل .

يسمى هذا الخط والذي يعتبر أفضل ملائمة للعلاقة بين المتغيرين بخط انحدار ص على س

ومعادلته على الصورة العامة للخط المستقيم ص=  أس + ب .

ولمعرفة هذه المعادلة يمكن اتباع  الطريقة التالية :

1.     طريقة الرسم : في هذه الطريقة ، نعين النقاط المعطاة في الجدول بحيث

نحدد المحور السيني للمتغير المستقل والاحداثي الصادي للمتغير التابع ، ثم

نرسم خطا ملائما ونجد معادلته باستخدام النقاط التي يمر بها .

مثال: أوجد معادلة خط انحدار ص على س للجدول الممثل لشكل الانتشار السابق.

الحل:

المعادلة هي على الصورة أس + ب ويمثل الخط المستقيم المرسوم في الشكل المجاور التمثيل البياني للمعادلة أعلاه ، وحيث ان ب في المعادلة هي المقطع الصادي ، فان ب = 4 .

ولايجاد قيمة أ نأخذ أي نقطة تقع على الخط مثل (5 ، 9) ونعوضها في المعادلة في المعادلة

فتصبح 9 = 5 أ +4 أي أن أ = 1

اذن المعادلة المطلوبة هي ص = س + 4

ملاحظة : يمكن ايجاد المعادلة السابقة بايجاد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين .

التنبؤ: Precidtion 

في المثال السابق يمكن استخدام معادلة خط الانحدار ص على س للتنبؤ بقيم ص عند معرفة قيم

س ، ومعادلة التنبؤ هي ص = س + 4 حيث يمكن التنبؤ بقيمة ص عند معرفة قيمة س أما القيمة

المتنبأ بها للمتغير ص فتكتب على الصورة ص ^{^}

مثال:

 في المثال السابق جد الطول الذي يتنبأ به لطفل عمره 6 سنوات ، ثم جد الطول الحقيقي له وقيمة الخطأ في التنبؤ .

الحل:

         معادلة خط الانحدار ص على س هي ص = س +4

             وعليه القيمة المتنبأ بها ص ^{^} =  س +4

                                      = 6+ 4 = 10 دسم

اما الطول الحقيقي لذلك الطفل فهو 9 ( من الجدول )

وعليه يكون الخطأ في التنبأ = الطول الحقيقي – الطول المتنبأ به

                                   = 10 - 9= 1

                 

تمارين ومسائل:

1_    ارسم شكل الانتشار للجدول التالي ، وارسم أفضل خط انحدار ثم جد معادلته :

س	3	2	7	5	3
ص	5	0	9	10	6

1-      استخدم معادلة خط الانحدار ص على س في السؤال الأول

أ‌-        جد  ص ^{^} حيث س = 6

ب‌-    جد  ص ^{^} حيث س = 7 ، جد الخطأ في التنبأ

                       الاحتمالاتProbability  

الجداول التكرارية :

طلب احد الاساتذة من احمد ان يلقي قطعة نقود 20 مرة ويفرغ ما يحصل عليه في جدول

تكراري كالآتي:

الناتج	الاشارة	التكرار	التكرار النسبي
صورة		17	17 20
كتابة		3	3 20
المجموع		20	1

لاحظ أن التكرار النسبي لاي نتيجة لا يمكن أن يزيد عن 1 أو يقل عن صفر ويسمى احتمال

ذلك الناتج .