قوانين الاحتمال

قوانين الاحتمالRules of Probability :

الحادثان المنفصلانDisjoined Events   

مثال: في تجربة القاء حجر نرد منتظم مرة واحدة ، وملاحظة الوجه الظاهر ، اذا كان :

ح1: حادث ظهور عدد زوجي ، ح 2 : حادث ظهور عدد فردي اكبر من 1  ،

فان Ω   = {1 ،2 ،3،4،5،6} ، ح1= {2 ،4 ،6} ، ح2= {3، 5}

نلاحظ أن ح1 Ç ح2 = Ø نسمي مثل هذين الحادثين منفصلين فهما لا يشتركان في

أي عنصر من عناصر الفضاء العيني .

نلاحظ ايضا ان ح ₁È ح₂ = {2،3،4،5،6} ما العلاقة بين ل ( ح₁ Èح₂) ،

ل(ح₁) ، ل(ح₂)

ل ( ح₁ È ح₂) =     5     ، ل(ح₁)=   3     ، ل(ح₂) =  2

                                         6                       6                6

ل(ح₁) + ل(ح₂) =   5                                               

                         6

اذن ل ( ح₁ È ح₂) = ل(ح₁) + ل (ح₂) .

بوجه عام:

القانون الاول : اذا كان ح₁ ، ح₂، حادثين منفصلين فان: ل ( ح₁ Èح₂) = ل(ح₁) + ل (ح₂) .

مثال: صندوق يحتوي على 4 كرات زرقاء ، 5 كرات سوداء سحبت كرة عشوائيا من الصندوق فما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة زرقاء أو بيضاء؟

الحل :

ليكن ح₁: حادث سحب كرة زرقاء،      ح₂: حادث سحب كرة بيضاء

ح₁، ح₂، حادثان منفصلان اذ لا يمكن ان تكون الكرة المسحوبة زرقاء وبيضاء في آن واحد

ل(ح₁) = 4

            15

    ل(ح₂) =  5

 15

ل ( ح₁ È ح₂) = ل(ح₁) + ل (ح₂)

=   4 +  5     =    9      = 3

         15      15        15        5

الحادثان المتقاطعان:

يسمى الحادثان غير المنفصلان ( حادثان متقاطعان ) ، وبوجه عام اذا كان ح₁، ح₂ حادثين فان :

ل ( ح₁ Èح₂) = ل(ح₁) + ل (ح₂) – ل ( ح₁ Ç ح₂) .

مثال: في تجربة رمي حجر نرد منتظم ، اذا كان ح₁ حادث ظهور عدد فردي

ح₂ حادث ( ظهور عدد أقل من 4) فما احتمال ظهور عدد فردي او اقل من 4؟

الحل :     ح₁= {2،4،6}                          ل(ح₁) =      3

                                                                          6

ح₂= {1،2،3}                                    ل(ح₂)  =    3

                                                                  6

ح₁ Ç ح₂= {2}                       ل ( ح₁ Ç ح₂) =    1

                                                                    6

ل ( ح₁ Èح₂) = ل(ح₁) + ل (ح₂) – ل ( ح₁ Ç ح₂)

                   = 3  +  3  - 1     =    5

                  6      6     6            6

تمارين ومسائل:

1- صف فيه 50 طالبا معهم 25 طالبا يحبون كرة السلة و35 طالبا يحبون كرة القدم و15

طالبا يحبون اللعبتين معا فاذا تم اختيار احد طلبة الصف عشوائيا فما احتمال أن يكون ممن :

     أ- يحبون كرة السلة ؟

    ب- يحبون كرة القدم؟

    ج- يحبون اللعبتين معا؟

    د- يحبون لعبة واحدة على الأقل؟

الاحتمال المشروط واستقلال الحوادث

Conditional Probability and Independence :

أولا : الاحتمال المشروط:

هو ايجاد قيمة الاحتمال لحادث ما علما بان حادثا آخرا كان قد حدث . ويمكن حساب هذا

الاحتمال بذات الطريقة التي يحسب فيها الاحتمال البسيط مع فارق أن هناك معرفة مسبقة أو

شروط اضافية حول نتائج التجربة .

 ويمكن حساب الاحتمال المشروط بواحدة من الطرق التالية :

1-    اختصار الفراغ العيني W الى  ^*W : حيث ^*W هو الفضاء العيني للتجربة

                  بوجود الشرط .

مثال: في تجربة رمي حجري نرد ما احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين هو

8 علما بأن العدد الظاهر على كل من الحجرين فرديا

الحل:

  =W { (1،1) ، ( 1 ، 2) ....( 6 ،6 ) }

^*W = عدد النقاط على كل من الحجرين فرديا .

  = { ( 1، 1 ) ، ( 1، 3 ) ، (1 ، 5 ) ، (3 ،1 ) ، (3،3 ) ،( 3 ، 5)  ( 5 ،1)، (5 ،3) ، (5، 5) }

 ح : المجموع 8 = { (3 ،5 ) ، (5 ،3 ) }

       ل (ح) =    2 .

                     9

2- باستخدام تعريف الاحتمال المشروط :

تعريف : اذا كان ح₁ ، ح₂ حادثين في W ، فان احتمال حدوث ح₂ بشرط حدوث ح₁ ويكتب

 ل (ح₂/ ح₁) حيث   

ل (ح₂/ ح₁) =    ل ( ح₁ Ç ح₂)

                                ل ( ح₁)         

أي أن ل ( ح₁ Ç ح₂) = ل (ح₂/ ح₁) 0 ل (ح₁)

مثال: صندوق يحتوي على 4 كرات سوداء ، 5 كرات زرقاء سحبت كرتان على التوالي

دون ارجاع احسب احتمال أن تكون الكرتان مختلفتين في اللون

الحل:

 ليكن ح₁ : الأولى زرقاء

          ح₂: الثانية زرقاء

            س ₁ : الاولى سوداء

 

            س₂: الثانية سوداء

ان حادث الكرتان مختلفين في اللون يعني أن تكون ( الأولى سوداء والثانية

زرقاء) أو تكون ( الأولى زرقاء والثانية سوداء )

أي ل ( س ₁ Çح₂) أو ل ( ح₁ Ç س₂) = ل ( س ₁ Çح₂) + ل ( ح₁ Ç س₂)

= ل ( ح ₂ / س₁) 0 ل(س ₁) + ل( س₂ / ح₁ ) 0ل (ح₁)

=  4 × 5 + 5 × 4 =   40  =  5         الكرة الثانية              4                 

   9   8    9     8      72        9            زرقاء               8                                                    

                                                                                                                                        5

                                                                                                                                   9

                                                                                                         زرقاء

                                                    

                                                                                     4

                                          سوداء                                   8 

                                                                                                                                                         

                                                                                                                                   4

                                        زرقاء                        5                                                        9   

                                                                        8

                                                                                                     سوداء

                                          سوداء                           

                                                                              3

                                                                              8

                                             

ثانيا: استقلال الحوادثIndependent Events :

تعربف:

يقال للحادثين ح₁، ح ₂ أنهما مستقلان اذا كان وقوع ح₁ أو عدم وقوعه لا يؤثر على وقوع

ح ₂ أو عدم وقوعه أي أن ل ( ح₁ / ح₂) = ل ( ح₁) وكذلك ل (ح₂/ ح₁) = ل (ح₂)

اذن فان الحادثان ح₁ ،ح₂ مستقلان اذا كان ل ( ح₁ Ç ح₂) = ل (ح₁)0 ل (ح₂)

مثال:

  اذا كان ل (ح₁) = 5,0 ، ل(ح₂) = 3,0 وكان ل ( ح₁ È ح₂)   = 85,0 أثبت أن ح₁ ، ح₂ مستقلان

الحل: 

ل ( ح₁ È ح₂)   = ل (ح₁) + ل(ح₂) - ل ( ح₁ Ç ح₂)

  

      أي ان ل ( ح₁ Ç ح₂) = ل (ح₁) + ل(ح₂) - ل ( ح₁ È ح₂)  

      

                         = 5,0 + 7,0 - 85,0   = 35,0

               ل (ح₁) × ل(ح₂) = 5,0× 7,0 = 35,0

   بما أن ل (ح₁) × ل(ح₂) = ل ( ح₁ Ç ح₂)  اذن فالحادثين ح₁، ح₂ مستقلان .

تمارين ومسائل :

1.     رمي حجر نرد مرة واحدة ، فاذا علمت أن عدد النقاط الظاهرة الى أعلى فرديا

                   احسب بطريقتين احتمال أن يظهر العدد ثلاثة .

2.     في تجربة رمي حجر نرد وقطعة نقد ما احتمال ظهور صورة على قطعة

النقد علما بأن العدد على حجر النرد أكبر من 2 .     

3.     حقيبة تحتوي على 6 كرات بيضاء ، 4 كرات سوداء سحبت كرتان على

التتابع دون ارجاع احسب احتمال أن تكون الكرتان من نفس اللون.   

4.     القيت قطعتا نقد متمايزتين معا . احسب احتمال ظهور كتابة على كل منهما

بشرط ظهور كتابة واحدة على الأقل عليهما .     

5.     اذا كان احتمال أن تعمل بطارية من نوع أ لمدة أربع ساعات هو 70%

واحتمال أن تعمل بطارية من نوع ب لمدة أربع ساعات هو 60% احسب الاحتمالات التالية :

1-    أن تعمل البطاريتان لمدة اربع ساعات

2-    أن تعمل البطارية أ  لوحدها لمدة أربع ساعات .

3-    ان تعمل بطارية واحدة لمدة أربع ساعات .

4-    أن تعمل بطارية على الأقل لمدة أربع ساعات .

5-    أن تعمل البطارية أ اربع ساعات علما بأن البطارية ب عملت أربع ساعات .

6-    مكعب دهن وجهنا منه باللون الأحمر ، وأربعة باللون الابيض فاذا رمي هذا

المكعب مرتين ، ما احتمال ظهور اللون الأحمر في الرميتين .

.