التجربة العشوائية

التجربة العشوائيةRandom Experiment    

تعريف: التجربة العشوائية هي التجربة التي يمكن معرفة جميع النواتج الممكنة لها مقدما

( أي قبل اجرائها ) ولكنه لا يمكن تحديد الناتج الذي سيتحقق فعلا الا بعد اجرائها.

فمثلا: تجربة القاء نقود عادية لملاحظة الوجه الظاهر هي تجربة عشوائية لان هناك امكانية

حصول أكثر من ناتج ، ويمكننا معرفة جميع النواتج الممكنة لها قبل اجرائها وهي اما

صورة او كتابة ، ولكن لا يمكننا القول أن الناتج صورة بالتأكيد او كتابة بالتأكيد الا بعد

اجرائها.

تعريف:  فراغ العينةSample Space  ويرمز له بالرمز Ω

 فراغ العينة المرتبط بتجربة عشوائية هو مجموعة جميع النواتج الممكنة لهذه

التجربة .

فمثلا فراغ العينة لتجربة القاء قطعة نقود هو{ص، ك}

وفراغ العينة لتجربة القاء قطعتي نقود مختلفتين هو :{ص ص ، ص ك ، ك ص ، ك ك } .

وفراغ العينة لتجربة القاء حجر نرد عادي هو : { 1، 2، 3، 4، 5، 6، }

أما اذا كان لدينا حجر نرد غير عادي يوجد على أوجهه الأرقام 1 ، 1، 2، 5، 5، 5،

فان فراغ العينة لتجربة القاء هذا الحجر غير العادي هو: {1، 2، 5،}

مثال : كانت التجربة العشوائية هي زيارة العائلات التي عند كل منها ثلاثة اطفال لمعرفة

عدد البنات . فنكتب فراغ العينة لهذه التجربة .

الحل:

عدد البنات لكل عائلة من هذه العائلات اما ان يكون (0) أو (1)أو(2) أو (3)

الفراغ المطلوب هو {0 ، 1 ، 2 ، 3 }

تمارين ومسائل:

1)    كانت التجربة العشوائية هي القاء قطعتي نقد لمعرفة عدد الصور اكتب فراغ العينة لهذه

التجربة العشوائية.

2)    اذا كانت التجربة العشوائية هي القاء حجر نرد عادي مرة واحدة وملاحظة فيما اذا كان

الناتج فرديا ام زوجيا .

أ.0 اكتب فراغ العينة لهذه التجربة العشوائية

ب0 حاول أن تجد الاحتمال النظري للحادث ( الناتج عدد زوجي)

الناتج	الاشارة	التكرار	الاحتمال التجريبي

ج0 كرر التجربة عشر مرات واكمل الجدول الآتي :

د0 قارن الاحتمال النظري بالاحتمال التجريبي الذي

حصلت عليه.

ع0 متى تقترب قيمة الاحتمال التجريبي من الاحتمال النظري ؟

الحوادث والعمليات عليه Events ا:

الحادث هو مجموعة جزئية من الفضاء العيني لتجربة عشوائية ، ويرمز للحادث بأحد

الرموز الآتية: ح ، ح1 ، ح2، 0000

مثال: اذا كان الفضاء العيني لتجربة القاء حجر نرد منتظم مرة واحدة وملاحظة العدد الظاهر هو :

Ω = {1، 2، 3، ،4، 5، 6، }

أكتب كلا من الحوادث الآتية وعدد عناصر كل منها

1)    ح1: حادث ظهور عدد فردي

2)    ح2: حادث ظهور عدد أكبر أو يساوي 7

3)    ح3: حادث ظهور عدد طبيعي أصغر أو يساوي 6

4)    ح4: حادث ظهور عدد أولي

الحل:

1)    ح1= {1،3،5}وعدد عناصره 3

2)    ح2= {}=Ǿ وعدد عناصره صفر

3)    ح3= {1 ،2 ،3 ،4 ،5، 6}   وعدد عناصره 6

4)    ح4= {2 ،3 ،5 } وعدد عناصره 3

أنواع الحوادث:

1)    الحادث البسيطSimple : هو الحادث الذي يحوي عنصرا فقط من الفضاء العيني لتجربة عشوائية

2)    الحادث المركبCompound : هو الحادث الذي يحوي أكثر من عنصر واحد من الفضاء العيني لتجربة عشوائية

3)    الحادث المستحيلImpossible  : هو الحادث الذي لا يحوي أي عنصر من الفضاء العيني لتجربة عشوائية  واحتماله صفر

4)    الحادث المؤكد( الأكيد)Certain  : هو الحادث الذي يحوي جميع عناصر الفضاء العيني لتجربة عشوائية واحتماله 1  

العمليات على الحوادث:

الحوادث مجموعات وبالتالي يمكن الحصول على حوادث جديدة من حادثين معلومين مثل ح1، ح2باستخدام العمليات على المجموعات وهي عملية الاتحاد Ụ وعملية التقاطع ∩ وعملية الفرق (-) وعملية ايجاد متممة مجموعة ( التتام ) .

مثال: اذا كانت Ω = {1 ،2 ،3 ،4 ،5 ،6 }

وكان ح1= {1 ،3 ، 2}  و ح2= {2 ،4 ،6}

أوجد كلا من الحوادث الآتية :

1) ح1 È ح2                         2) ح1Ç ح2

3) ح1- ح2

الحل:

1)    = {1 ، 3 ،2} È{2 ،4 ،6} = {! ، 2 ،  4، 3، 6}

2)= {1 ،2 ،3}Ç {2 ،4، 6}= {2}

3) = {1 ،2،3}- {2،4،6}= {1 ،3}

تمارين ومسائل:

1)    في تجربة اختيار عدد صحيح من بين الأعداد 1الى 8 وملاحظة العدد الناتج:

أ‌-       أكتب الفضاء العيني Ω لهذه التجربة .

ب‌-  اكتب كلا من الحوادث الآتية :

ح1: العدد الناتج زوجي

ح2: العدد الناتج يقبل القسمة على 3 دون باقي

ح3: ح1 Èح2

2)    في تجربة قطعة نقد ثم حجر نرد منتظم مرة واحدة وملاحظة النتائج على الوجهين :

أ‌-       اكتب الفضاء العيني لهذه التجربة

ب‌-  اكتب كلا من الحوادث الآتية:

ح1: حادث ظهور صورة مع عدد اولي

ح2: حادث ظهور صورة مع عدد فردي

ح3: ح1 Ç ح2