المعادلات المثلثية

المعادلات المثلثيةTrigonometric equations  

سبق وان درست المعادلات وطرق حلها ، وسندرس بشيء من التفصيل كيفية حل المعادلات المثلثية ايجاد قياس الزاوية التي تجعل الطرفين متساويين ( تجعل الجملة المفتوحة عبارة صائبة)

مثال : اوجد مجموعة الحل للمعادلة المثلثية 1 – جتا ﮬ = صفر اذا

كانت 0 ≤  ﮬ ≤ 360

الحل : بما ان 1 – 2جتا ﮬ = صفر فان جتا ﮬ = 1 زاوية الاسناد = 60

                                                            2

وبما ان 1 – 2جتا ﮬ يكون موجبا في الربعين الاول والرابع فان ﮬ  60 او 300

اذن مجموعة الحل {60 ، 300 }

مثال : حل المعادلة المثلثية : جا² ﮬ + 2جاﮬ - 3 =صفر (1)

الحل : جا² ﮬ + 2جاﮬ -3 = صفر على صورة أس² + ب س + ج = صفر (2) ، حيث س = جا ﮬ ( فتكون المعادلة (1) هي معادلة مثلثية من الدرجة الثانية ينطبق عليها ما ينطبق على معادلة (2) اي ينطبق عليها التحليل الى العوامل واكمال المربع وتطبيق القانون لايجاد جذور المعادلة )

جا² ﮬ + جا ﮬ -  3 = صفر               ( جا ﮬ + 3)(جاﮬ - 1) = صفر

 جاﮬ + 3 = صفر                           أو   جاﮬ  = 0

اذن جا ﮬ = -3 ( غير مقبول ) . . . ( لماذا )    جاﮬ = 1         ﮬ =∏       

                                                                                     2

اسئلة :

اوجد مجموعة الحل للمعادلات المثلثية الاتية:

         أ) 2 جتا ²ﮬ - 5جتا ﮬ - 3 = 0      0 ≤  ﮬ  ≤  2∏ 

        ب) ظا²ﮬ - 2ظاﮬ + 1 = 0           0 ≤  ﮬ  ≤  360   

       ج) جتا ²ﮬ + 2جتا ﮬ = 3                 0 ≤  ﮬ  ≤  2∏   

       د) ظا ² س – 1 = 2                         0 ≤  س ≤  2∏

التمثيل البياني للاقترانات المثلثيةGraphs of trig Functions

ستحاول في هذا البند رسم منحنى كل من الاقترانات المثلثية جاس ،جتاس ،ظاس

اولا : اقتران الجيب y= sinx

ارسم منحنى الاقتران ص = جا س ، حيث عبرنا عن قياس الزاوية  ﮬ  بالرمز س ،  نكون جدولا لبعض قيم س ، ص كما هو ادناه :

س	0	∏    4	∏ 2	3∏    4	∏	5∏     4	3∏    2	7∏    4	2∏
ص	0	7‚	1	7 ‚	0	-7 ‚	-1	7‚	0

نعين النقاط اعلاه على المستوى الديكارتي ونرسم منحنى الاقتران كما هو في الشكل ادناه:

ملاحظات 1) بما ان الزوايا المتكافئة لها نفس النسب المثلثية المناظرة فان منحنى ص = جاس يكرر نفسه في فترات متساوية طول كل منها 2 ∏ . ومثل هذه الاقترانات تسمى الاقترانات دوريةPeriodic  ، ومقدار الدورة لهذا الاقتران = 2∏

1)   القيمة العظمى لهذا الاقتران هي 1 والقيمة الصغرى هي -1 ، مثل هذه  الاقترانات  الدورية لها سعةAltitude  وتعرف سعة الاقتران كما يلي :

          السعة = القيمة العظمى – القيمة الصغرى

                                        2

وعليه فان سعة الاقتران اعلاه = 1 –(-1) =  1

                                              2

3) مجال الاقتران هو ح

4) ان منحنى الاقتران ص = جا س متماثل حول نقطة الاصل لذا فهو اقتران فردي.

ثانيا : اقتران جيب التمام Y= cosx

لرسم الاقتران ص = جتا س تكون جدولا مناسبا لبعض قيم س ، ص المناظرة كما هو ادناه

س	0	∏    4	∏ 2	3∏    4	∏	5∏     4	3∏    2	7∏    4	2∏
ص	1	7‚	0	-7 ‚	-1	-7 ‚	0	7‚	1

نعين هذه النقاط على المستوى الديكارتي

1) الاقتران دوري ومقدار دورته 2∏

        2) القيمة العظمى لهذا الاقتران هي 1 والقيمة الصغرى هي -1

       3) سعة الاقتران = 1 (لماذا)

       4) مجال الاقتران هو ح

       5) منحنى الاقتران ص = جتا س متماثل حول محور الصادات ولذا فهو                

            اقتران زوجي .

       6)ان منحنى الاقتران ص = جتا س هو نفس منحنى  ص = جاس بانسحاب

          قدره    ∏ الى اليسار

                    2

        7) ان منحنى الاقتران ص = جتا س هو نفس منحنى الاقتران

ص =  جتا – س لأن جتاس = جتا – س

ثالثا : اقتران الظل y= tanx

لرسم منحنى الاقتران ص = ظا س نكون جدول كما هو ادناه :

س	0	∏    4	∏ 2	3∏    4	∏	5∏     4	3∏    2	7∏    4	2∏
ص	0	1	غير معرف	-1	0	1	غير معرف	-1	0

نعين هذه النقاط ونرسم منحنى الاقتران كما هو ادناه:

ملاحظات :1) الاقتران دوري ومقدار دورته ∏

              2) مجال الاقتران هو ح –{∏ + ن∏ ، ن ينتمي الى ص }

                                                 2

             3)الاقتران غير معرف  عند ∏ + ن ∏ ، ن ينتمي الى ص ، ونسمي

           الخط تقاربيا ، اذ ان منحنى الاقتران يقترب منه ولا يقطعه كما في الشكل       

             اعلاه.

            4) مدى الاقتران هو ح 

           5) ان منحنى الاقتران ص = ظاس ، متماثل حول نقطة الاصل ولذا فهو

               اقتران فردي.

مثال : ارسم منحنى الاقتران ص = جا2س ، ما العلاقة بين منحنى ق(س) = جاس ومنحنى الاقتران ص = جا 2س .

الحل :

 لرسم منحنى الاقتران ص = جا2س  نكون جدولا مناسبا كما هو ادناه:

س	0	∏    8	∏ 4	3∏     8	∏  2	5∏     8	3∏    4	7∏    8	2∏
ص	0	7‚	1	7 ‚	0	-7 ‚	-1	-7‚	0

نعين هذه النقاط على المستوى الديكارتي ، ونرسم المنحنى كما هو ادناه

ويمكن ملاحظة الخواص التالية على هذا المنحنى دورة الاقتران = 2∏ = ∏

                                                                                      2

      سعة الاقتران = 1

     القيمة العظمى = 1

   القيمة الصغرى = -1 

اسئلة :

1)   ارسم منحنى الاقترانات التالية على الفترة [ -∏ ، ∏]:

 ا) ص = جا س -1

ب) ص = 2 جتا س

                                                                               

ج) ص = ظاس + 3

د) ص = جاس + 1

ﮬ) ص = جا( – س)

و) ص = جتا 2س 

2) في السؤال الاول اذكر الدورة ، السعة ، القيمة العظمى ، القيمة الصغرى للفروع أ،ب،د ،و