رسم المنحنيات الهندسية

رسم المنحنيات باستخدام التحويلات الهندسية

Using transformations in sketching functions

تعلمنا ان الطريقة الاساسية لرسم منحنيات الاقترانات تتم عن طريق تكوين جدول لقيم س وقيم ص المناظرة ، وسوف نتعلم الآن كيفية استخدام التحويلات الهندسية لرسم منحنيات اقترانات اخرى وبدون اللجوء الى تكوين جداول لقيم س ، ص.

اولا :ا لتحويل ص = ق(س)  ج ،     ج> صفر. Y = f(x)  + c       

منحنى الاقتران ص₁ = ق(س)+ج هو انسحاب لمنحنى الاقتران ص =ق(س) بمقدار ج وحدة الى الاعلى.

منحنى الاقتران ص₂ =ق(س)-ج هو انسحاب لمنحنى الاقتران ص =ق(س) بمقدار وحدة الى الاسفل .

مثال :

 استخدم الرسم الشكل ادناه لمنحنى الاقتران ق(س)=

لرسم كل من :

1) ص₁=  +  2                        2)  ص₂ =  -3                                                                                                                                                   

                   

الحل: 

1)  منحنى الاقتران ص₁= +2هو انسحاب لمنحنى الاقتران

ق(س)=   بمقدار وحدتين الى اعلى .

2) منحنى الاقتران ص₂ =- 3 هو انسحاب لمنحنى الاقتران ق(س)=                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

بمقدار ثلاث وحدات الى الاسفل.

لاحظ الشكل اعلاه

أسئلة :

1) اعتمادا على رسم منحنى الاقتران ق في كل من الاشكال التالية ، ارسم منحنى الاقتران ﮬ(س) المطلوب :

                                    ق(س) =س³

                                   ﮬ(س) = س³ -3  

                                                                            

ق(س)=س²+2س

ﮬ (س)=س² + 2س+3

2)في الشكال التالي منحنى الاقتران ﮬ(س) هو انسحاب الى اعلى او الى اسفل للاقتران  ق(س) اكتب قاعدة الاقتران ﮬ (س).

 1)     ق(س) =س²-2س+1     

ثانيا : التحويل ص = ق(سج)،  ج> صفر.y= f(x+c)     

*منحنى الاقتران ص₁= ق(س+ج) هو انسحاب لمنحنى الاقتران ق(س) بمقدار ج وحدة الى اليسار .

*منحنى الاقتران ص₂= ق(س-ج) هو انسحاب لمنحنى الاقتران ق(س) بمقدار ج وحدة الى اليمين

مثال : ارسم منحنى الاقتران ﮬ(س) =س²+ 2س+3 معتمدا على رسم منحنى الاقتران ق(س) = س²

الحل : ﮬ(س) = س²+ 2س+3

                 =س² + 2س + 1 +3 -1

                = (س+1) ² + 2

وحيث ان ق(س) = س² فان : ﮬ(س) = ق(س+1)+2

وبالتالي فان منحنى الاقتران ﮬ(س) هو انسحاب لمنحنى الاقتران ق(س) =س² بمقدار وحدة واحدة الى اليسار متبوعا بانسحاب وحدتين الى الاعلى كما هو موضح في الشكل ادناه .                    ﮬ(س) =(س+1) ² +2

                                   

اسئلة :

1)   معتمدا على رسم الاقتران ق(س) =س² ارسم منحنى كل من :

أ‌)       ق(س) =  (س+1) ²     

ب‌) ق(س) = س² -4س + 4   

             ج)ق(س) = س² -4س+3

2)   ارسم كل من الاقترانات التالية ، معتمدا على منحنى الاقتران ص = 

1)  ق(س) =     (س+1) – 2    

        2)   ق(س)=    (س-1)+2

                                                                                                                                                        

                                                  

ثالثا :التحويل ص = - ق(س)y= -f(x)          

منحنى الاقتران –ق(س) هو انعكاس لمنحنى ق(س) في محور السينات .

مثال : اذا كان ق(س)= س³ -1 ، جد قاعدة ﮬ(س) = - ق(س) ثم ارسم منحنى كل من ق (س) ،ﮬ(س) على نفس المستوى الديكارتي .

الحل:

ﮬ (س) = - ق(س) = - (س³ -1)                                        

اذن ﮬ (س) = - س³+1                                                  -2

ان منحنى الاقتران ق(س)= س³ -1 هو                               -1

انسحاب  للاقتران ص = س³ بمقدار وحدة                                    

واحدة للأسفل ، اما المنحنى الذي يمثل                 

الاقتران ﮬ(س)= - ق(س)، فهو انعكاس                             

لمنحنى الاقتران ق(س)في محور السينات                            

اسئلة :

1)   جد قاعدة الاقتران الذي يمثله المنحنى الناتج من انعكاس منحنى الاقتران ق(س)=س³+2س – 3 في محور السينات .

2)   معتمدا على رسم منحنى الاقتران ق(س) =3    س  ، ارسم منحنى كل من الاقترانات التالية :

     أ)ﮬ (س) = - 3      س               ب)  ك(س)=- 3   س+2

 رابعا : التحويل ص = ق (- س)y= f(-x)        

ان منحنى الاقتران ﮬ(س) = ق(- س) هو انعكاس لمنحنى الاقتران ق(س) في محور الصادات .

مثال:

اذا كان ق(س) = س³ +1 فاوجد قاعدة الاقتران ﮬ(س)= ق(- س)  ثم ارسم منحنى

كل من الاقترانين ق(س) ،ﮬ(س) على نفس المستوى الديكارتي.

الحل: ﮬ(س) = ق(-س)

                = (- س) ³ + 1

                =- س³ + 1

منحنى ﮬ (س) هو انعكاس لمنحنى ق(س)في محور الصادات .(كما في الشكل ادناه)

                            ﮬ(س) = - س³ +1             ق(س )=س³ +1                                                                                                                                     

اسئلة :

1)   جد قاعدة الاقتران الذي منحناه انعكاس لمنحنى ق(س)=س⁴ - س³+1 في محور الصادات متبوعا بانعكاس آخر في محور السينات.

2)   معتمدا على رسم منحنى الاقتران ق(س)=   س   ، ارسم منحنيات الاقترانات التالية:

أ)ك(س)=      - س               ب) ﮬ (س) =     - س+2

خامسا : التحويل ص = أق(س) ،     أ > 0y = af(x)      

منحنى الاقتران ﮬ(س)=أ . ق(س)،أ>0 هو تكبير لمنحنى ق(س) باتجاه رأسي

ومبتعدا عن محور السينات وبمعامل مقداره أ اذا كانت أ>1 ، وتصغير بشكل رأسي

ومقتربا من محور السينات وبمعامل مقداره أ اذا كانت 0< أ<1.

مثال : ارسم منحنى كل من :

ق(س) =س²

ﮬ(س)=2س²

م(س)=1 س² على نفس المستوى الديكارتي .

          2

الحل : الشكل ادناه يبين منحنيات الاقترانات ق(س)،ﮬ(س) ،م(س) لاحظ ان

ﮬ(س) هو تكبير رأسي للاقتران ق(س) بمعامل مقداره 2 بينما م(س) هو تصغير رأسي للاقتران ق(س) ، وبمعامل مقداره