المتباينات و البرمجة الخطية

  المتباينات و البرمجة الخطية

Inequalities and linear programming

مراجعة المتباينات من الدرجة الأولى بمتغير وبمتغيرين

تعلمت في  السابق مفهوم المتباينة وحل المتباينة من الدرجة الأولى بمتغير واحد وبمتغيرين كما تعلمت كيف تجد مجموعة الحل لنظام من المتباينات من الدرجة الأولى بمتغيرين وفيما يأتي مراجعة لهاالمفاهيم وطرق الحل.

أولا : حل المتباينة بمتغير واحدInequalities in one unknown :

المتباينة 3س – 1 ³ س + 5 هي متباينة من الدرجة الاولى وبمتغير واحد ، ولحل هذه المتباينة أي لمعرفة قيم المتغير س التي تجعل المتباينة عبارة صحيحة . نقوم بالخطوات الآتية :

1-    نجمع ( - س) لكل من طرفي المتباينة فينتج :

3 س – 1 + ( - س) ³ س + 5 ( - س)

2 س – 1 +1 ³ 5

2-    نجمع 1 لطرفي المتباينة فينتج:

2 س – 1 + 1 ³ 5 +1

2س ³ 6

3- نضرب طرفي المتباينة في العدد  1     فينتج:

                                                2

1      × 2س ³   1    × 6

2                     2

س ³ 3 .

وهذا يعني أن مجموعة الحل للمتباينة هي مجموعة جميع الاعداد الحقيقية التي يقل كل منها عن 3 أو يساوي 3 ، ويمكن تمثيل هذه المجموعة على خط الاعداد كما في الشكل :

 

                                           3  2 1   0   -1    -2     -3

لاحظ ان حل المتباينات يعتمد على الخصائص الاساسية الآتية :

أ‌-       اذا كانت أ > ب فان أ + ج > ب +ج ، ج أي عدد حقيقي

ب‌-  اذا كانت أ > ب فان أ × ج > ب ×ج ، ج عدد حقيقي موجب

ت‌-  اذا كانت أ > ب فان أ × ج < ب × ج ، ج عدد حقيقي سالب

            ثانيا: حل متباينة بمتغيرين

:In Equalities in two unknowns

المتباينة س + ص < 2 تسمى متباينة من الدرجة الأولى بمتغيرين ، ومجموعة حل المتباينة هي مجموعة جميع الازواج المرتبة ( س، ص) التي تحقق المتباينة حيث س ، ص عددان حقيقيان

لحل هذه المتباينة بيانيا نتبع الخطوات الآتية:

1-    نرسم الخط المستقيم س + ص = 2 في المستوى الديكارتي وذلك بتعيين نقطتين على الخط المستقيم تحققان المعادلة ونقطة ثالثة للتحقق كما في الجدول :

س	0	2	1
ص
2	0	1

                                                    س + ص =2

2-    الخط المستقيم س + ص = 2 يقسم المستوى الى منطقتين احداهما تمثل مجموعة الحل للمتباينة ولتحديد هذه المنطقة نستخدم نقطة ما تمثل نقطة الأصل ( 0 ، 0) كمنطقة اختيار فاذا عوضنا س = 0 ، ص= 0 في المتباينة فاننا نجد : 0 +0 < 2 وهذه عبارة خاطئة اذن نقطة الأصل . 

3-     لاحظ المنطقة المظللة ( المنطقة فوق الخط ) . من الأزواج المرتبة التي تنتمي لمجموعة الحل: ( 0 ، 3) ، (1، 2) ، ( 2 ، 4) ، ( -1 ، 4) ، 000

ملاحظة: رسم الخط متقطعا لأن نقاط الخط لا تنتمي لمجموعة حل المتباينة .

مثال : مثل بيانيا في المستوى الديكارتي في مجموعة حل المتباينة س ³ 2

الحل:

المعادلة س= 2 تمثل خطا مستقيما يوازي محور الصادات ويبعد عنه وحدتين . مجموعة حل

المتباينة س ³ 2 تمثلها المنطقة المظللة في الشكل والواقعة الى يسار الخط س =2 لاحظ أن

المتباينة س ³ 2 تضع قيودا على س ولا تضع قيودا على ص . أي أن ص يمكن أن تكون أي عدد حقيقي وذا فان مجموعة الحل تشمل النقاط ( 0، 0)

(0 ،1) ، (-1 ،2) 0000 الخ

                                                                                                                                                     

ثالثا: حل نظام من المتباينات من الدرجة الأولى وبمتغيرين

In equalities in two unknowns   

لايجاد مجموعة الحل لنظام من المتباينات ( متباينتين أو أكثر ) نمثل بيانيا مجموعة الحل لكل

متباينة على انفراد باستخدام نظام الاحداثيات نفسه ثم نجد منطقة التقاطع بين مجموعات الحل

كما هو موضح في المثال التالي : 

مثال:

 مثل بيانيا مجموعة الحل لنظام المتباينات     ≤3         2x+y

X+y ³ 1    ،  y £ 0

 الحل:

نمثل كل متباينة برسم الخط المستقيم المرافق وتظليل المنطقة المطلوبة بعد استخدام نقطة اختيار مناسبة الشكل التالي يمثل مجموعات الحل للمتباينات الثلاث .

الشكل أعلاه يوضح منطقة الحل للنظام ويمكن التحقق من صحة الحل باختبار نقطة في منطقة التقاطع المشتركة واثبات أن هذه النقطة تحقق كلا من المتباينات الثلاث .

فمثلا النقطة ( -1 ، 1) تحقق المتباينة الأولى وهي 2س + ص ³ 3

 لأن ( 2× -1) +1 = -1 ³ 3

وتحقق المتباينة الثانية وهي س+ ص ³ 1

لأن -1 + 1 = صفر ³ 1

وتحقق المتباينة الثالثة وهي ص £ صفر لأن 1£ 0

اذن فالنقطة (-1 ،1) تنتمي لمجموعة حل النظام .

تمارين ومسائل:

1-    حل المتباينة 6 ( س -1 ) > 2س +2 ومثل مجموعة الحل على خط الاعداد .

2-    مثل بيانيا في المستوى الديكارتي مجموعة حل كل من المتباينات الآتية :

أ‌-       س< 2   

ب‌-  ص ³ -3 

ت‌-  2ص + 3س > 6

3-    مثل بيانيا مجموعة الحل لنظام المتباينات الآتي وأجب على الأسئلة التي تليه :

ص – س > 1

ص +س < 1

أ‌-       هل النقطة ( 0 ،0 ) تنتمي لمجموعة حل النظام ؟

ب‌-  هل النقطة ( 0 ،5) تنتمي لمجموعة حل النظام ؟

ت‌-  من الرسم جد ثلاث نقاط تقع ضمن منطقة الحل .