الاقتران الزوجي والفردي

الاقتران الزوجي والفردي Even and Odd Function

تعرفت سابقا على مفهوم الاقتران على انه علاقة بين مجموعتين الاولى تسمى المجال والثانية تسمى المجال المقابل بحيث ان كل عنصر في المجال له صورة واحدة فقط في المجال المقابل .اما مدى الاقتران فهو المجموعة الجزئية من المجال المقابل المكونة من جميع صور المجال .

ملاحظ : اذا لم يحدد المجال فهو اكبر مجموعة جزئية من الاعداد الحقيقية التي يكون الاقتران معرفا عليها.

ونظرا لاهمية الاقترانات فسوف نتعرض الى المزيد من خصائصها وطرق تمثيلها بيانيا.

اولا : الاقتران الزوجي Even Function   

مثال :لدينا الاقتران ق : ح         ح

                             س          س ²    f(x) = x²

مثل الاقتران بيانيا

الحل

1)نمثل الاقتران ق (س) بيانيا على المستوى الديكارتي بتكوين جدول لبعض  قيم س وقيم ص المناظرة لها :

ثم نقوم بتعيين النقاط في الجدول السابق على المستوى الديكارتي

ونرسم منحنى الاقتران ق . انظر الشكل المقابل .                              -9

                                                                                          -8

لاحظ ان ق(-3)  =ق(3) ،                                                        -7

ق(-2) = ق(2). . . .                                                               -6

وبشكل عام :                                                                          -5

ق(- س) =ق(س) لكل س ينتمي الى ح                                          -4

ومن الرسم نلاحظ ان منحنى الاقتران ق(س)=س²                            -3

متماثل حول محور الصادات بمعنى انه لكل نقطة                             -2

   (س،ص)تقع على منحنى                                                         -1 

الاقتران ق تكون النقطة (- س،ص)                        3      2     1         -1    -2     -3

واقعة على نفس المنحنى .                                                        

يسمى الاقتران الذي له هذه الخاصية بالاقتران الزوجي.

تعريف :

يسمى الاقتران ق(س) اقترانا زوجيا اذا كان :ق(-س) =ق(س) ، لكل س ينتمي

الى ح

ملاحظة: منحنى الاقتران الزوجي يكون متماثلا  حول محور الصادات والعكس صحيح بمعنى ان كل اقتران منماثل حول محور الصادات يكون زوجيا.

اقتران زوجي وفردي معا

ثانيا : الاقتران الفردي Odd Function 

مثال : لدينا الاقتران ق : ح        ح

                              س        س³

مثل الاقتران بيانيا

الحل: نمثل الاقتران بيانيا على المستوى الديكارتي بتكوين جدول لبعض قيم ص المناظرة .

س	-2	-1	0	1	2
ق(س)	-8	-1	0	1	8

ثم نقوم بتعيين النقاط في الجدول السابق على المستوى الديكارتي ونرسم منحنى الاقتران ق ، انظر الى الشكل المقابل .     ص

لاحظ ان :ق(-2) = - ق(2)                   8

ق(-1)= - ق(1)                                6

                                                     4

وبشكل عام :                                     2

                                 س                   

                                    3       2      1      -1   -2    -3

                                                     -2

     -4

                                                     -6

                                                     -8

                                                                  

ق(- س ) = - ق(س) لكل س ينتمي الى ح.

من الرسم نلاحظ ان منحنى الاقتران ق متماثل

حول نقطة الاصل بمعنى ان منحنى ق ينطبق

على نفسه عند دورانه حول نقطة الاصل

بزاوية 180 ، وهذا يكافئ انه لكل نقطة

 (س،ص) تقع على منحنى الاقتران ق ،

 تكون النقطة (- س ،- ص) واقعة على نفس المنحنى .

يسمى الاقتران الذي له هذه الصيغة بالاقتران الفردي.

تعريف :

يسمى الاقتران  ق(س) اقترانا فرديا اذا كان ق(- س) =- ق(س) لكل س ينتمي الى ح

ملاحظة: منحنى الاقتران الفردي يكون متماثلا حول نقطة الاصل والعكس صحيح ، بمعنى ان كل اقتران متماثل حول نقطة الاصل يكون فرديا.

ملاحظة هامة : ليس بالضرورة ان يكون الاقتران زوجيا ام فرديا ، حيث ان الكثير من الاقترانات ليست زوجية وليست فردية.

اسئلة :

1) مثل بيانيا الاقترانات التالية ، وحدد من الرسم ان كان الاقتران زوجيا ام فرديا ام غير ذلك؟

أ)ق(س) = س²+ 1

ب) ق(س) = س – 3

ج)ق(س) =- س

د)ق(س)= 5

و)ق(س)=

2) اي الاقترانات التالية فردية  واي منها زوجية اثبت ذلك جبريا:

أ) ق(س) = س⁵                        

ب)ق(س) = س ³ –س

ج)ق(س) = س⁴ -3س²

د)ق(س)= 8- س²

3) اثبت انه اذا كان كل من ق(س) ،ﮬ(س) اقترانا زوجيا فإن مجموعهما (ق+ﮬ)(س) اقتران زوجي.

4) اعط مثالا عدديا يبين ان الاقترانات التالية ليست وليست زوجية :

أ)ق(س)=3س+1

ب) ق(س) = س² – س+1

ج) ق(س) =س² – س

د) ق(س)  = س³ + س²