نظرية بييز

كيف نحسب EMV حسب شجرة القرار؟!

بنفس طريقة حساب EMV في حالة المخاطرة، فنضرب كل ناتج لكل بديل في احتماله لنفس حالة الطبيعة.

 (النتيجة×احتمالها + النتيجة× احتمالها + النتيجة×احتمالها)

ب1 = 100)×(0.40 + (190×0.35) + (70×0.25) = 124

ب2 = 200)×(0.40 + (100×0.35) + (90×0.25) = 137.5

ب3 = 300)×0.40) + (80×0.35) + (110×0.25) = 175.5

وبما أن شجرة القرار التي نريد أن نتعامل معها أرباح فيجب أن نعظم أرباحنا ومنافعنا ونختار أعلى قيمة EMV أي أعلى قيمة ربحية أو أعلى منفعة والتي تتمثل بـ 175.5.

الناتج النهائي لـ EMV = 175.5  وهو نفس الرقم الذي ظهر معنا للبديل الثالث حسب طريقة EMV في حالة المخاطرة.

ولو كانت المسألة تكاليف سنقوم بحلها بنفس الطريقة ولكن خيارنا سيكون 124.

نظرية بييز "Bayes" تعتمد على النظرية الاحتمالية وهذا الموضوع له علاقة بشجرة القرار وله علاقة بنظرية اتخاذ القرار.

نظرية بييز:

تعالج نظرية بييز الاحتمال المشروط في حالة عدم توفر معلومات عن تقاطع الاحتمالات وإنما توفر معلومات عن احتمال مشروط آخر.

القانون العام لنظرية بيز هو:

ح(م/ب)= {ح(ب/م). ح(م) } ÷ { ح(ب/م). ح(م) } + { ح(ب/مَ). ح(م) }.

ح(م/ب) يعني ماهو احتمال م بشرط حدوث الحدث ب. وبطريقة أخرى ماهو احتمال م فيما لو وقع الحدث ب.

البسط : ح(ب/م). ح(م) ) أي احتمال الذي وقع شرط الذي لم يقع في احتمال م .

المقام : ح(ب/م). ح(م) زائد متممة البسط وهي "ح(ب/مَ)" ×ح (م)

القانون على شكل كسر:

 

ح(م/ب)  =

ح(م) تعني احتمال

ح(مَ) تعني احتمال المتممة.

 مثال: إذا كان احتمال نجاحك في هذا المادة هو 90%, إذاَ ماهو احتمال أن ترسب فيها هو المتممة. إذا الرسوب هو المتممة ويساوي (1- احتمال النجاح وهو 90%) = 10% هو احتمال الرسوب .

قانون بيز يعتمد على الاحتمال المشروط  ..

شرح القاعدة :

ح (م/ب) وعكسها ح(ب/م)

مضروبة في ح(م) وهي مقام الجبر الذي قبله .

وكل ما سبق مقسومة على نفس ما سبق وهو ح (ب/م).ح (م) زائد المتممة وهي ح (ب/م َ). ح (مَ)

لاحظ أن ح (م)  تعني احتمال حرف الميم  و أن ح (مَ)  تعني احتمال متممة الحرف ميم

مثال:

يكسب احد مكتب المحاماة المشهورة  (90%) من القضايا التي يكلف عنها  من قبل الزبائن  ويتوفر لدى المكتب نوعين من المحامين (الأساتذة والجدد ), يكسب الأساتذة في  المتوسط (95%)  من قضاياهم بينما يكسب الجدد (80%)  من القضايا التي توكل اليهم , يقوم المحامون الجد بالدفاع عن  (70 %) من القضايا بينما يقوم الأساتذة  بالدفاع عن  (30%) من القضايا , اختيرت أحدى القضايا التي تم كسبها حديثاً ,احسب  احتمال أن يكون المحامي الذي كسبها من الأساتذة.

احسب الاحتمال أن يكون المحامي اللي كسبها من هو الأساتذة  ؟

الحل :

يمكن استنباط  الاحتمالات التالية من النص أعلاه :

ح(ك) = احتمال كسب القضية = 90% = 0.9         

ح(م)= احتمال أن يكون المحامي أستاذا = 30% = 0.3

ح(مَ) = احتمال أن يكون المحامي جديداً = 0.7

ح (ك/م) = احتمال كسب القضية من قبل الأساتذة = 0.95

ح(ك/مَ) = احتمال كسب القضية من قبل الجدد = 0.8

المطلوب :  ح(م/ك) أي ما هو احتمال أن يكون محامي الذي كسبها أستاذا.

دائماً المطلوب يأتي أولاً في نظرية بيز ,.

(م )هنا في المطلوب هو احتمال إذا كان المحامي الذي كسب القضية أستاذا . 

= (0.95 × 0.3)÷ (0.95 ×0.3) + (0.8 ×0.7) = 0.337

أي أن احتمال أن تكون القضية قد نفذها  احد الأساتذة علماً أنها قضيه كاسبه 34%.

والمطلوب :   ح(م/ك) = أي ما هو الاحتمال أن يكون الذي كسب القضية  حديثاً من الأساتذة

ح ( م / ك )= {ح ( ك / م ) ×  ح (م )} ÷ {ح ( ك / م ) ×  ح (م )} + {ح ( ك / مَ) ×  ح (م َ)}

هنا ح ( م / ك )  نعكسها ونقول  ح (ك / م ) ثم نضربها في  ح (م )

ثم  نقسمها على نفسها ثم نجمعها مع متممتها ح ( ك / مَ ) ×  ح (م َ) اللي احتمال ان يكسب القضية محامي جديد مضروبة في متممة المحامين الجدد .

ح ( م / ك ) هنا هو مجهول

لكن  ح ( ك / م ) = 0.95  احتمال متوسط كسب القضايا  من قبل الأساتذة

مضروبة هنا في ح (م) =  0.3  الأساتذة اللذين يقومون بالدفاع عن القضايا

نقسمها في نفسها وهي   ح (ك / م ) = 0.95   مضروبة في ح (م ) = 0.3 

زائد  المتممة  وهي ح ( ك / مَ) = 0.8 وهي احتمال أن يكسب القضايا المحامين الجدد

مضروبة في ح (م َ) = 0.7

 فتصبح المعادلة :

= (0.95 ×0.3) ÷ (0.95 ×0.3) + (0.8 ×0.7) = 0.337

إذاً  احتمال : ح (م/ك) = 34%

ما هو الاحتمال أن تكون هذه القضية  قد كسبها احد المحامين الجدد ؟

يمكن الحصول على الإجابة بطريقتين هما :

الطريقة الأولى :نظرية بيز :

ح (مَ /ك) = (ح(ك/مَ).ح(مَ) ) / (ح (ك/مَ).ح (مَ) ) + ( ح (ك/م). ح (م) )

ح (مَ/ك) = 0.8 ×0.7 ÷ (0.8 × 0.7 ) + (0.95 × 0.3 ) = 0.663

إذاً  احتمال إن يكسب القضية محام جديد  = ح (مَ/ك) = 0.663  = 66%

الطريقة الثانية: الطريقة المكملة الاحتمالية:

ح (م/ك ) = 1- ح (مَ/ك) × ح (م/ك) = 0.337 من الجزء الأول من هذا المثال أعلاه

               ح (مَ/ك)= 1-0.34 =0.66

1 صحيح  ناقص احتمال المتممة وهي  ح (مَ / ك)  = 1 – 34% = 0.66