المتراجحات

المستوى: السنة الثالثة ثانوي إعدادي.

المراجع: ـ كتاب التلميذ " المفيد ـ المحيط " ـ التوجيهات التربوية ـ كتاب وزارة التربية الوطنية للسنة الرابعة من الثانوي

الطبعة الأولى 1406ه/1986م.

الأستاذ: عمر بن ايكو.

الكفايات

الأهداف

· حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.

· حل معادلات بسيطة تؤول في حلها إلى حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.

· حل مسائل تؤول في حلها إلى حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.

· حل متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.

· توظيف النظمة في حل مسائل.

· حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد بتوظيف تقنيات الحساب العددي.

· اكتساب منهجية ترييض وضعيات وحل المسائل باستعمال المعادلة.

· تأويل النتائج.

· حل متراجحة باستعمال تقنيات الحساب العددي والترتيب.

· حل مسائل باستعمال المتراجحات.

· تمثيل الحلول وتأويل النتائج.

المكتسبات القبلية

الامتدادات

· حل معادلات من الدرجة الأولى أو تؤول إليها.

· المتطابقات.

· ترييض مسائل بسيطة تستوجب حل معادلة.

· قواعد الترتيب والعمليات.

· المتراجحات.

· النظمات.

· الدوال الخطية التآلفية.

· الهندسة الفضائية.

· حل مسائل عددية وهندسية.

· الإحصاء.

· معادلة مستقيم.

ملاحظات

· تدريب وتعويد التلميذ على ترييض وضعيات مختلفة وذلك ب: تحديد وتحليل المعطيات (لغويا ومفاهيميا) واختيار المجهول الملائم والبحث على الأدوات الرياضية الضرورية واستعمالها لحل المسألة المقترحة ثم تأويل النتائج المحصلة.

· ينبغي الحرص بهذا المستوى على تقديم حلول المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد مفصلة بجملة.

· يتم اكتشاف حل المتراجحات باستعمال الترتيب.

· تعتبر المعادلات الباراميترية والمتراجحات الباراميترية من الدرجة الأولى بمجهول واحد خارج المقرر.

· تعتبر جميع المسائل التي تؤول في حلها إلى حل معادلات أو متراجحات باراميترية من الدرجة الأولى خارج المقرر.

حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.

‌أ- تعريف.

‌ب- أمثلة.

‌ج- ملاحظة.

‌د- أمثلة.

حل معادلة من النوع: .

‌أ- خاصية.

‌ب- أمثلة.

حل متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.

‌أ. تعريف.

‌ب. أمثلة.

‌ج. ملاحظة.

‌د. أمثلة.

حل مسائل تؤول في حلها إلى حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.

مثال 1

مثال 2

حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد:

‌أ- تعريف:

كل متساوية على شكل

حيث

عددان حقيقيان معلومان، تسمى معادلة من الدرجة الأولى ذات المجهول الواحد

‌ب- أمثلة:

العبارات التالية معادلات من الأولى بمجهول واحد.

‌ج- ملاحظة 1:

حل معادلة هو إيجاد قيم المجهول التي تتحقق بها المتساوية، ومن أجل ذلك نستعين بالخاصية التالية:

‌د- خاصية:

¬ إدا أضفنا إلى طرفي معادلة نفس العدد فإن المعادلة لا تتغير (المعادلتين لهما نفس الحل).

¬ إدا طرحنا من طرفي معادلة نفس العدد فإن المعادلة لا تتغير (المعادلتين لهما نفس الحل).

¬ إدا ضربنا طرفي معادلة في نفس العدد فإن المعادلة لا تتغير (المعادلتين لهما نفس الحل).

‌ه- أمثلة:

المعادلة 1	المعادلة 2	المعادلة 3
حل المعادلة التالية: يعني: يعني: يعني: أي: إذن هو حل المعادلة.	حل المعادلة: يعني: يعني: يعني: إذن هذه المعادلة لا تقبل حلا.	حل المعادلة التالية: يعني: يعني: يعني: جميع الأعداد الحقيقية حلول لهذه المعادلة.

‌و- ملاحظة 2:

نقول أن معادلة لا تقبل حلا عند استحالة وجود عدد حقيقي يحقق هذه المعادلة.

حل معادلة من النوع: ( معادلة تؤول في حلها إلى حل معادلة من الدرجة أولى بمجهول واحد )

‌أ- خاصية:

ليكن

عددين حقيقيين.

× إذا كان

فإن:

أو

× إذا كان

أو

فإن:

× حلول المعادلة

هي حلول المعادلتين:

‌ب- أمثلة:

حل المعادلة

هو: 0.

حل المعادلة

هو:

المعادلة تقبل حلين هما:0 و

حل المعادلة

هو:

حل المعادلة

هو:

.
المعادلة تقبل حلين هما:

يعني:

حل المعادل

هو: 1.

حل المعادل

هو: 1-.

المعادلة

تقبل حلين 1 و1-.

حل متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد:

‌أ- تعريف:

كل متفاوتة على شكل

أو

حيث

عددان حقيقيان معلومان، تسمى متراجحة من الدرجة الأولى ذات المجهول الواحد

‌ب- أمثلة:

العبارات التالية متراجحات من الأولى بمجهول واحد.

‌ج- ملاحظة:

حل متراجحة هو إيجاد جميع الأعداد الحقيقية التي تحقق المتفاوتة، عند حل متراجحة يجب أخد بعين الاعتبار قواعد وخاصيات الترتيب.

‌د- أمثلة:

المتراجحة 1	المتراجحة 2
حل المتراجحة التالية: لدينا: جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو يساوي حلول للمتراجحة . تمثيل الحلول على المستقيم المدرج.	حل المتراجحة التالية: لدينا: جميع الأعداد الحقيقية الأصغر قطعا من حلول للمتراجحة . تمثيل الحلول على المستقيم المدرج.

حل مسائل تؤول في حلها إلى حل معادلة أو متراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد:

لحل مسألة نتبع الخطوات التالية:

× قراءة نص المسألة قراءة جيدة.

× اختيار المجهول المناسب.

× صياغة المعادلة أو متراجحة.

× حل المعادلة أو متراجحة.

× الرجوع إلى المسألة.

مثال 1:

سئل الفيلسوف فيتاغورس عن عدد تلميذ مدرسته فأجاب: نصفهم يدرس الرياضيات وربعهم الموسيقى وسبعهم يلوذ بالصمت، زيادة على ثلاث نسوة. ما هو عدد تلاميذ مدرسة فيتاغورس؟
× اختيار المجهول المناسب: ليكن عدد تلاميذ مدرسة فيتاغورس. × صياغة المعادلة: § عدد التلاميذ الدين يدرسون الرياضيات هو: . § عدد التلاميذ الدين يدرسون الموسيقى هو: . § عدد التلاميذ الدين يلوذون بالصمت هو: . § عدد النساء هو: 3. مجموع عدد التلاميذ هو . إذن:	× حل المعادلة: يعني: يعي: يعني: يعني: يعني: يعني: حل هذه المعادلة هو: 28.
× الرجوع إلى المسألة: عدد تلاميذ مدرسة فيتاغورس هو: 28.