المعادلات والمتراجحات

المعادلات والمتراجحات
المستوى: السنة الثالثة ثانوي إعدادي.
المراجع:  آتاب التلميذ " المفيد  المحيط "  التوجيهات التربوية  آتاب وزارة التربية الوطنية للسنة الرابعة من الثانوي
الطبعة الأولى 1406 ه/ 1986 م.
الأستاذ: عمر بن ايكو.
الكفايات
الأهداف
• حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد بتوظيف
تقنيات الحساب العددي.
• حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد .
• حل معادلات بسيطة تؤول في حلها إلى حل معادلة من
الدرجة الأولى بمجهول واحد.
• اآتساب منهجية ترييض وضعيات وحل المسائل
باستعمال المعادلة.
• حل مسائل تؤول في حلها إلى حل معادلة من الدرجة
الأولى بمجهول واحد.
• تأويل النتائج.
• حل متراجحة باستعمال تقنيات الحساب العددي والترتيب.
• حل متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.
• حل مسائل باستعمال المتراجحات.
• توظيف النظمة في حل مسائل.
• تمثيل الحلول وتأويل النتائج.
المكتسبات القبلية
الامتدادات
• حل مسائل عددية
وهندسية.
• المتراجحات.
• حل معادلات من الدرجة الأولى أو تؤول إليها.
• النظمات.
• المتطابقات.
• الإحصاء.
• الدوال الخطية التآلفية.
• ترييض مسائل بسيطة تستوجب حل معادلة.
• معادلة مستقيم.
• الهندسة الفضائية.
• قواعد الترتيب والعمليات.
ملاحظات
ومفاهيميا) المعطيات (لغويا وتحليل ب: تحديد وذلك مختلفة تدريب وتعويد التلميذ على ترييض وضعيات • واختيار
المجهول النتائج تأويل ثم المسألة المقترحة لحل واستعمالها الضرورية الرياضية على الأدوات والبحث الملائم
المحصلة.
مفصلة بجملة. واحد بمجهول الأولى الدرجة من حلول المعادلات تقديم على المستوى بهذا الحرص ينبغي • يتم اآتشاف حل المتراجحات باستعمال الترتيب. •
المقرر . خارج واحد بمجهول الأولى من الدرجة الباراميترية والمتراجحات الباراميترية المعادلات تعتبر • الأولى خارج الدرجة من حل معادلات أو متراجحات باراميترية إلى حلها في تؤول التي المسائل جميع تعتبر •
المقرر .
تصميم الدرس
حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد. 1. تعريف. أ-
ب- أمثلة.
ملاحظة. ج-
أمثلة. د-
2. حل معادلة من النوع: .
خاصية. أ-
أمثلة. ب-
حل متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد. 3.
أ. تعريف.
ب. أمثلة.
ج. ملاحظة.
د. أمثلة.
حل مسائل تؤول في حلها إلى حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد. 4.
مثال 1
مثال 2
1. حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد:
أ- تعريف:
آل متساوية على شكل حيث a و b عددان حقيقيان معلومان، تسمى معادلة
من الدرجة الأولى ذات المجهول الواحد .
ب- أمثلة:
العبارات التالية معادلات من الأولى بمجهول واحد.
0,
ج- : ملاحظة 1
حل معادلة هو إيجاد قيم المجهول التي تتحقق بها المتساوية، ومن أجل ذلك نستعين
بالخاصية التالية:
د- خاصية:
← إدا أضفنا إلى طرفي معادلة نفس العدد فإن المعادلة لا تتغير (المعادلتين لهما نفس الحل).
← إدا طرحنا من طرفي معادلة نفس العدد فإن المعادلة لا تتغير (المعادلتين لهما نفس الحل).
← إدا ضربنا طرفي معادلة في نفس العدد فإن المعادلة لا تتغير (المعادلتين لهما نفس الحل).
ه- أمثلة:
المعادلة 1
المعادلة 2
المعادلة 3
حل المعادلة التا
لية
21
0 يعني:
يعني:
يعني:
أي:
إذن هو حل المعادلة.
حل المعادل
(x يعني:
يعني:
يعني:
إذن هذه المعادلة لا تقبل حلا.
حل المعادلة التالية:
يعني:
66xx−
يعني:
يعني:
جميع الأعداد الحقيقية حلول لهذه
المعادلة.
و- : ملاحظة 2
نقول أن معادلة لا تقبل حلا عند استحالة وجود عدد حقيقي يحقق هذه المعادلة.
2. حل معادلة من النوع : ( معادلة تؤول في حلها إلى حل معادلة من الدرجة أولى بمجهول واحد
(
أ- خاصية:
ليكن A و
B عددين حقيقيين.
􀂽 إذا آان أو . A = : فإن
􀂽 إذا آان A= أو 0B= فإن: .
􀂽 حلول المعادل و ax +b = ة هي حلول المعادلتين: 0 .
ب- أمثلة:
) 0−= . حل المعادلة هو: 0
)
23 − حل المعا هو:
10
ي
حل المعاد . هو: 1
. التمرين 1 ص 51
. التمرين 9 ص 60
حل المعادلة
هو: .
المعادلة تقبل حلين هما: 0
و .
- هو: 1 حل المعاد . حل المعادل هو:
2. المعادلة تقبل حلين
هما: و .
. المعادل تقبل حلين
. - 1 و 1
حل متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد: 3.
تعريف: أ-
ab axb+≤ آل متفاوتة على شكل أو حيث و عددان حقيقيان
معلومان، تسمى متراجحة من الدرجة الأولى ذات المجهول الواحد
.
أمثلة: ب-
. لتمرين 17 ص 61
العبارات التالية متراجحات من الأولى بمجهول واحد.
0,
ملاحظة: ج-
حل متراجحة هو إيجاد جميع الأعداد الحقيقية التي تحقق المتفاوتة، عند حل متراجحة يجب أخد
بعين الاعتبار قواعد وخاصيات الترتيب.
أمثلة: د-
المتراجحة 1
المتراجحة 2
حل المتراجحة التا
حل المتراجحة التالية:
لدينا:
لدينا:
41xx +≥71 − 910×
جميع الأعداد الحقيقية الأآبر من أو يساوي
حلول للمتراجحة .
تمثيل الحلول على المستقيم المدرج.
1155×−
جميع الأعداد الحقيقية الأصغر قطعا من حلول
للمتراجحة .
تمثيل الحلول على المستقيم المدرج.
حل مسائل تؤول في حلها إلى حل معادلة أو متراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد: 4.
لحل مسألة نتبع الخطوات التالية:
قراءة نص المسألة قراءة جيدة. 􀂽 اختيار المجهول المناسب. 􀂽 صياغة المعادلة أو متراجحة. 􀂽 حل المعادلة أو متراجحة. 􀂽 الرجوع إلى المسألة. 􀂽
: مثال 1
سئل الفيلسوف فيتاغورس عن عدد تلميذ مدرسته فأجاب: نصفهم يدرس الرياضيات وربعهم الموسيقى وسبعهم
يلوذ بالصمت، زيادة على ثلاث نسوة.
ما هو عدد تلاميذ مدرسة فيتاغورس؟
􀂽 اختيار المجهول المناسب: حل المعادلة: 􀂽
ليكن عدد تلاميذ مدرسة فيتاغورس. صياغة المعادلة: 􀂽
􀂃 عدد التلاميذ الدين يدرسون الرياضيات هو: . يعني:
􀂃 عدد التلاميذ الدين يدرسون الموسيقى هو: .
􀂃 عدد التلاميذ الدين يلوذون بالصمت هو: .
􀂃 . عدد النساء هو: 3
مجموع عدد التلاميذ هو .
إذن:
يعي:
يعني:
يعني:
3=−
يعني:
. حل هذه المعادلة هو: 28
الرجوع إلى المسألة: 􀂽
. عدد تلاميذ مدرسة فيتاغورس هو: 28
( مثال 2: ( تمرين 39 ص 98
. مربع طول ضلعه 10
حدد قيم التي من أجلها تكون من أجلها مساحة المثلث الملون أصغر من ربع مساحة الربع .
( تمرين ( الامتحان الجهوي الموحد دورة يونيو 2008
تنوي شرآة عرض آلات منزلية جديدة للبيع، فتبين لها أن المصاريف الإجمالية اليومية لهذا العرض تبلغ 285
درهما.
إذا علمت أن الشرآة تريد أن تحقق ربح 40 درهما عن آل آلة، فما هو الحد الأدنى ( أقل عدد) من المبيعات
خلال سبعة أيام لكي هذا العرض مربحا؟