خصائص الاقترانات وطرق تمثيل بيانيا.

خصائص  الاقترانات وطرق تمثيل   بيانيا.

اولا : الاقتران الزوجي Even Function   

مثال :لدينا الاقتران ق : ح         ح

                             س          س 2    f(x) = x2

مثل الاقتران بيانيا

الحل

1)نمثل الاقتران ق (س) بيانيا على المستوى الديكارتي بتكوين جدول لبعض  قيم س وقيم ص المناظرة لها :

ثم نقوم بتعيين النقاط في الجدول السابق على المستوى الديكارتي

ونرسم منحنى الاقتران ق . انظر الشكل المقابل .                              -9

                                                                                          -8

لاحظ ان ق(-3)  =ق(3) ،                                                        -7

ق(-2) = ق(2). . . .                                                               -6

وبشكل عام :                                                                          -5

ق(- س) =ق(س) لكل س ينتمي الى ح                                          -4

ومن الرسم نلاحظ ان منحنى الاقتران ق(س)=س2                            -3

متماثل حول محور الصادات بمعنى انه لكل نقطة                             -2

   (س،ص)تقع على منحنى                                                         -1 

الاقتران ق تكون النقطة (- س،ص)                        3      2     1         -1    -2     -3

واقعة على نفس المنحنى .                                                        

يسمى الاقتران الذي له هذه الخاصية بالاقتران الزوجي.

تعريف :

يسمى الاقتران ق(س) اقترانا زوجيا اذا كان :ق(-س) =ق(س) ، لكل س ينتمي

الى ح

ملاحظة: منحنى الاقتران الزوجي يكون متماثلا  حول محور الصادات والعكس صحيح بمعنى ان كل اقتران منماثل حول محور الصادات يكون زوجيا.

ثانيا : الاقتران الفردي Odd Function 

مثال : لدينا الاقتران ق : ح        ح

                              س        س3

مثل الاقتران بيانيا

الحل: نمثل الاقتران بيانيا على المستوى الديكارتي بتكوين جدول لبعض قيم ص المناظرة .

س                    -2         -1         0          1          2

ق(س)    -8         -1         0          1          8

ثم نقوم بتعيين النقاط في الجدول السابق على المستوى الديكارتي ونرسم منحنى الاقتران ق ، انظر الى الشكل المقابل .     ص

لاحظ ان :ق(-2) = - ق(2)                   8

ق(-1)= - ق(1)                                6

                                                     4

وبشكل عام :                                     2

                                 س                   

           

ق(- س ) = - ق(س) لكل س ينتمي الى ح.

من الرسم نلاحظ ان منحنى الاقتران ق متماثل

حول نقطة الاصل بمعنى ان منحنى ق ينطبق

على نفسه عند دورانه حول نقطة الاصل

بزاوية 180 ، وهذا يكافئ انه لكل نقطة

 (س،ص) تقع على منحنى الاقتران ق ،

 تكون النقطة (- س ،- ص) واقعة على نفس المنحنى .

يسمى الاقتران الذي له هذه الصيغة بالاقتران الفردي.

تعريف :

يسمى الاقتران  ق(س) اقترانا فرديا اذا كان ق(- س) =- ق(س) لكل س ينتمي الى ح

ملاحظة: منحنى الاقتران الفردي يكون متماثلا حول نقطة الاصل والعكس صحيح ، بمعنى ان كل اقتران متماثل حول نقطة الاصل يكون فرديا.

ملاحظة هامة : ليس بالضرورة ان يكون الاقتران زوجيا ام فرديا ، حيث ان الكثير من الاقترانات ليست زوجية وليست فردية.

اسئلة :

1) مثل بيانيا الاقترانات التالية ، وحدد من الرسم ان كان الاقتران زوجيا ام فرديا ام غير ذلك؟

أ)ق(س) = س2+ 1

ب) ق(س) = س – 3

ج)ق(س) =- س

د)ق(س)= 5

و)ق(س)=

2) اي الاقترانات التالية فردية  واي منها زوجية اثبت ذلك جبريا:

أ) ق(س) = س5                        

ب)ق(س) = س3 –س

ج)ق(س) = س4 -3س2

د)ق(س)= 8- س2

3) اثبت انه اذا كان كل من ق(س) ،ﮬ(س) اقترانا زوجيا فإن مجموعهما (ق+ﮬ)(س) اقتران زوجي.

4) اعط مثالا عدديا يبين ان الاقترانات التالية ليست وليست زوجية :

أ)ق(س)=3س+1

ب) ق(س) = س2 – س+1

ج) ق(س) =س2 – س

د) ق(س)  = س3 + س2 

رسم المنحنيات باستخدام التحويلات الهندسية

Using transformations in sketching functions

تعلمنا ان الطريقة الاساسية لرسم منحنيات الاقترانات تتم عن طريق تكوين جدول لقيم س وقيم ص المناظرة ، وسوف نتعلم الآن كيفية استخدام التحويلات الهندسية لرسم منحنيات اقترانات اخرى وبدون اللجوء الى تكوين جداول لقيم س ، ص.

اولا :ا لتحويل ص = ق(س)   ج ،     ج> صفر. Y = f(x)  + c       

منحنى الاقتران ص1 = ق(س)+ج هو انسحاب لمنحنى الاقتران ص =ق(س) بمقدار ج وحدة الى الاعلى.

منحنى الاقتران ص2 =ق(س)-ج هو انسحاب لمنحنى الاقتران ص =ق(س) بمقدار وحدة الى الاسفل .

مثال :

 استخدم الرسم الشكل ادناه لمنحنى الاقتران ق(س)=

لرسم كل من :

1) ص1=   +  2                        2)  ص2 =   -3                                                                                                                                                    

                  

 الحل: 

1)  منحنى الاقتران ص1=  +2هو انسحاب لمنحنى الاقتران

ق(س)=    بمقدار وحدتين الى اعلى .

2) منحنى الاقتران ص2 = - 3 هو انسحاب لمنحنى الاقتران ق(س)=                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

بمقدار ثلاث وحدات الى الاسفل.

لاحظ الشكل اعلاه

أسئلة :

1) اعتمادا على رسم منحنى الاقتران ق في كل من الاشكال التالية ، ارسم منحنى الاقتران ﮬ(س) المطلوب :

                                    ق(س) =س3

                                   ﮬ(س) = س3 -3 

ق(س)=س2+2س

ﮬ (س)=س2 + 2س+3

2)في الشكال التالي منحنى الاقتران ﮬ(س) هو انسحاب الى اعلى او الى اسفل للاقتران  ق(س) اكتب قاعدة الاقتران ﮬ (س).

 1)     ق(س) =س2-2س+1     

ثانيا : التحويل ص = ق(س ج)،  ج> صفر.y= f(x+c)     

*منحنى الاقتران ص1= ق(س+ج) هو انسحاب لمنحنى الاقتران ق(س) بمقدار ج وحدة الى اليسار .

*منحنى الاقتران ص2= ق(س-ج) هو انسحاب لمنحنى الاقتران ق(س) بمقدار ج وحدة الى اليمين

مثال : ارسم منحنى الاقتران ﮬ(س) =س2+ 2س+3 معتمدا على رسم منحنى الاقتران ق(س) = س2

الحل : ﮬ(س) = س2+ 2س+3

                 =س2 + 2س + 1 +3 -1

                = (س+1) 2 + 2

وحيث ان ق(س) = س2 فان : ﮬ(س) = ق(س+1)+2

وبالتالي فان منحنى الاقتران ﮬ(س) هو انسحاب لمنحنى الاقتران ق(س) =س2 بمقدار وحدة واحدة الى اليسار متبوعا بانسحاب وحدتين الى الاعلى كما هو موضح في الشكل ادناه .                    ﮬ(س) =(س+1) 2 +2

                       

اسئلة :

1)         معتمدا على رسم الاقتران ق(س) =س2 ارسم منحنى كل من :

أ‌)          ق(س) =  (س+1) 2    

ب‌)        ق(س) = س2 -4س + 4  

             ج)ق(س) = س2 -4س+3

2)         ارسم كل من الاقترانات التالية ، معتمدا على منحنى الاقتران ص =  

1)  ق(س) =     (س+1) – 2    

        2)   ق(س)=    (س-1)+2

ثالثا :التحويل ص = - ق(س)y= -f(x)          

منحنى الاقتران –ق(س) هو انعكاس لمنحنى ق(س) في محور السينات .

مثال : اذا كان ق(س)= س3 -1 ، جد قاعدة ﮬ(س) = - ق(س) ثم ارسم منحنى كل من ق (س) ،ﮬ(س) على نفس المستوى الديكارتي .

الحل:

ﮬ (س) = - ق(س) = - (س3 -1)     

اذن ﮬ (س) = - س3+1                                                  -2

ان منحنى الاقتران ق(س)= س3 -1 هو                               -1

انسحاب  للاقتران ص = س3 بمقدار وحدة                                    

واحدة للأسفل ، اما المنحنى الذي يمثل                  

الاقتران ﮬ(س)= - ق(س)، فهو انعكاس                             

لمنحنى الاقتران ق(س)في محور السينات                           

اسئلة :

1)         جد قاعدة الاقتران الذي يمثله المنحنى الناتج من انعكاس منحنى الاقتران ق(س)=س3+2س – 3 في محور السينات .

2)         معتمدا على رسم منحنى الاقتران ق(س) =3    س  ، ارسم منحنى كل من الاقترانات التالية :

     أ)ﮬ (س) = - 3      س               ب)  ك(س)=- 3   س+2

 رابعا : التحويل ص = ق (- س)y= f(-x)        

ان منحنى الاقتران ﮬ(س) = ق(- س) هو انعكاس لمنحنى الاقتران ق(س) في محور الصادات .

مثال:

اذا كان ق(س) = س3 +1 فاوجد قاعدة الاقتران ﮬ(س)= ق(- س)  ثم ارسم منحنى

كل من الاقترانين ق(س) ،ﮬ(س) على نفس المستوى الديكارتي.

الحل: ﮬ(س) = ق(-س)

                = (- س) 3 + 1

                =- س3 + 1

منحنى ﮬ (س) هو انعكاس لمنحنى ق(س)في محور الصادات .(كما في الشكل ادناه)

                            ﮬ(س) = - س3 +1             ق(س )=س3 +1                                                                                                                                    

اسئلة :

1)         جد قاعدة الاقتران الذي منحناه انعكاس لمنحنى ق(س)=س4 - س3+1 في محور الصادات متبوعا بانعكاس آخر في محور السينات.

2)         معتمدا على رسم منحنى الاقتران ق(س)=   س   ، ارسم منحنيات الاقترانات التالية:

أ)ك(س)=      - س               ب) ﮬ (س) =     - س+2

خامسا : التحويل ص = أق(س) ،     أ > 0y = af(x)      

منحنى الاقتران ﮬ(س)=أ . ق(س)،أ>0 هو تكبير لمنحنى ق(س) باتجاه رأسي

ومبتعدا عن محور السينات وبمعامل مقداره أ اذا كانت أ>1 ، وتصغير بشكل رأسي

ومقتربا من محور السينات وبمعامل مقداره أ اذا كانت 0< أ<1.

مثال : ارسم منحنى كل من :

ق(س) =س2

ﮬ(س)=2س2

م(س)=1 س2 على نفس المستوى الديكارتي .

          2

الحل : الشكل ادناه يبين منحنيات الاقترانات ق(س)،ﮬ(س) ،م(س) لاحظ ان

ﮬ(س) هو تكبير رأسي للاقتران ق(س) بمعامل مقداره 2 بينما م(س) هو تصغير رأسي للاقتران ق(س) ، وبمعامل مقداره

          ﮬ(س)     ق(س)    م(س)                  

               المتباينات و البرمجة الخطية

Inequalities and linear programming

مراجعة المتباينات من الدرجة الأولى بمتغير وبمتغيرين

تعلمت في  السابق مفهوم المتباينة وحل المتباينة من الدرجة الأولى بمتغير واحد وبمتغيرين كما تعلمت كيف تجد مجموعة الحل لنظام من المتباينات من الدرجة الأولى بمتغيرين وفيما يأتي مراجعة لهاالمفاهيم وطرق الحل.

أولا : حل المتباينة بمتغير واحدInequalities in one unknown :

المتباينة 3س – 1  س + 5 هي متباينة من الدرجة الاولى وبمتغير واحد ، ولحل هذه المتباينة أي لمعرفة قيم المتغير س التي تجعل المتباينة عبارة صحيحة . نقوم بالخطوات الآتية :

1-         نجمع ( - س) لكل من طرفي المتباينة فينتج :

3 س – 1 + ( - س)  س + 5 ( - س)

2 س – 1 +1  5

2-         نجمع 1 لطرفي المتباينة فينتج:

2 س – 1 + 1  5 +1

2س  6

3- نضرب طرفي المتباينة في العدد  1     فينتج:

                    2

1      × 2س    1    × 6

2               2

س  3 .

وهذا يعني أن مجموعة الحل للمتباينة هي مجموعة جميع الاعداد الحقيقية التي يقل كل منها عن 3 أو يساوي 3 ، ويمكن تمثيل هذه المجموعة على خط الاعداد كما في الشكل :

                        3          2          1          0          -1         -2         -3

لاحظ ان حل المتباينات يعتمد على الخصائص الاساسية الآتية :

أ‌-          اذا كانت أ  ب فان أ + ج  ب +ج ، ج أي عدد حقيقي

ب‌-        اذا كانت أ  ب فان أ × ج  ب ×ج ، ج عدد حقيقي موجب

ت‌-        اذا كانت أ  ب فان أ × ج  ب × ج ، ج عدد حقيقي سالب

            ثانيا: حل متباينة بمتغيرين

:In Equalities in two unknowns

المتباينة س + ص  2 تسمى متباينة من الدرجة الأولى بمتغيرين ، ومجموعة حل المتباينة هي مجموعة جميع الازواج المرتبة ( س، ص) التي تحقق المتباينة حيث س ، ص عددان حقيقيان

لحل هذه المتباينة بيانيا نتبع الخطوات الآتية:

1-         نرسم الخط المستقيم س + ص = 2 في المستوى الديكارتي وذلك بتعيين نقطتين على الخط المستقيم تحققان المعادلة ونقطة ثالثة للتحقق كما في الجدول :

س         0          2          1

ص       2          0          1

                                                    س + ص =2

2-         الخط المستقيم س + ص = 2 يقسم المستوى الى منطقتين احداهما تمثل مجموعة الحل للمتباينة ولتحديد هذه المنطقة نستخدم نقطة ما تمثل نقطة الأصل ( 0 ، 0) كمنطقة اختيار فاذا عوضنا س = 0 ، ص= 0 في المتباينة فاننا نجد : 0 +0  2 وهذه عبارة خاطئة اذن نقطة الأصل . 

3-         لاحظ المنطقة المظللة ( المنطقة فوق الخط ) . من الأزواج المرتبة التي تنتمي لمجموعة الحل: ( 0 ، 3) ، (1، 2) ، ( 2 ، 4) ، ( -1 ، 4) ، 000

ملاحظة: رسم الخط متقطعا لأن نقاط الخط لا تنتمي لمجموعة حل المتباينة . مثال : مثل بيانيا في المستوى الديكارتي في مجموعة حل المتباينة س  2

الحل:

المعادلة س= 2 تمثل خطا مستقيما يوازي محور الصادات ويبعد عنه وحدتين . مجموعة حل

المتباينة س  2 تمثلها المنطقة المظللة في الشكل والواقعة الى يسار الخط س =2 لاحظ أن

المتباينة س  2 تضع قيودا على س ولا تضع قيودا على ص . أي أن ص يمكن أن تكون أي عدد حقيقي وذا فان مجموعة الحل تشمل النقاط ( 0، 0)

(0 ،1) ، (-1 ،2) 0000 الخ

                                          

ثالثا: حل نظام من المتباينات من الدرجة الأولى وبمتغيرين

In equalities in two unknowns   

لايجاد مجموعة الحل لنظام من المتباينات ( متباينتين أو أكثر ) نمثل بيانيا مجموعة الحل لكل

متباينة على انفراد باستخدام نظام الاحداثيات نفسه ثم نجد منطقة التقاطع بين مجموعات الحل

كما هو موضح في المثال التالي : 

مثال:

 مثل بيانيا مجموعة الحل لنظام المتباينات     ≤3         2x+y

X+y  1    ،  y  0

 الحل:

نمثل كل متباينة برسم الخط المستقيم المرافق وتظليل المنطقة المطلوبة بعد استخدام نقطة اختيار مناسبة الشكل التالي يمثل مجموعات الحل للمتباينات الثلاث .

                          -                       

                           

الشكل أعلاه يوضح منطقة الحل للنظام ويمكن التحقق من صحة الحل باختبار نقطة في منطقة التقاطع المشتركة واثبات أن هذه النقطة تحقق كلا من المتباينات الثلاث .

فمثلا النقطة ( -1 ، 1) تحقق المتباينة الأولى وهي 2س + ص  3

 لأن ( 2× -1) +1 = -1  3

وتحقق المتباينة الثانية وهي س+ ص  1

لأن -1 + 1 = صفر  1

وتحقق المتباينة الثالثة وهي ص  صفر لأن 1 0

اذن فالنقطة (-1 ،1) تنتمي لمجموعة حل النظام .

تمارين ومسائل:

1-         حل المتباينة 6 ( س -1 )  2س +2 ومثل مجموعة الحل على خط الاعداد .

2-         مثل بيانيا في المستوى الديكارتي مجموعة حل كل من المتباينات الآتية :

أ‌-          س 2  

ب‌-        ص  -3 

ت‌-        2ص + 3س  6

3-         مثل بيانيا مجموعة الحل لنظام المتباينات الآتي وأجب على الأسئلة التي تليه :

ص – س  1

ص +س  1

أ‌-          هل النقطة ( 0 ،0 ) تنتمي لمجموعة حل النظام ؟

ب‌-        هل النقطة ( 0 ،5) تنتمي لمجموعة حل النظام ؟

ت‌-        من الرسم جد ثلاث نقاط تقع ضمن منطقة الحل .

تطبيقات عملية – البرمجة الخطية  Linear Programming:

يحتاج مهندسو ومتخذو القرار في المصانع وادارة الأعمال الى جعل كلفة الانتاج أقل ما يمكن أو جعل الربح أكبر ما يمكن . ان احدى الطرق لمعالجة هذا النوع من المسائل التي تتعلق بالقيم الكبرى أو الصغرى ما يسمى بالبرمجة الخطية حيث يكون للمتباينات من الدرجة الأولى أي الخطية الدور الاهم في الحل ، وفيما يلي بعض الامثلة البسيطة على هذا النوع من التطبيقات .

مثال:

هناك نوعان من أقلام الحبر ، ثمن القلم من النوع الأول 6 دنانير ومن النوع الثاني 12 دينارا فاذا كان مع سمير 24 دينارا فجد :

أ‌-          الامكانيات المختلفة لشراء أقلام من النوعين .

ب‌-        كم قلما يشتري سمير من كل نوع حتى يصبح معه أكبر عدد ممكن من الأقلام ؟

الحل:

بالرغم من أن حل هذه المسألة بسيط جدا ولا يحتاج لتكوين متباينات وحلها الا أن بساطة المسألة تجعلها مناسبة لنقطة بداية للبحث في حل أنواع أكثر تعقيدا من المسائل واستخدام مبادى البرمجة الخطية لايجاد القيم الكبرى أو الصغرى .

أ‌-          نبدأ بترتيب المعلومات المعطاة في جدول ونفرض أن عدد الاقلام التي يجب شراؤها هي س من النوع الاول ، ص من النوع الثاني .

            سعر القلم عدد الاقلام          الثمن الكلي للاقلام

النوع الاول         6 دنانير  س         6س

النوع الثاني         12 دينار ص       12 ص

ما هي الشروط المفروضة على عملية شراء الاقلام ؟

الشرط الأول : مجموع اثمان الاقلام المشتراة أقل من أو يساوي 24 دينارا ، أي أن :

6س + 12ص  24

الشرط الثاني : عدد الاقلام هو عدد طبيعي أي ان : س ، ص تنتمي الى ط

ب‌-        لايجاد قيمة س ، ص ضمن منطقة الحل والتي تجعل المقدار ( س+ ص) أكبر ما يمكن نفحص امكانيات الحل السابقة ، ويبين الجدول التالي جميع الامكانيات وقيمة المقدار

 ( س+ ص) المناظرة لكل منها:

النقطة

( س، ص)          (0،0)    (1،0)    (2،0)    (3، 0)   (4،0)    (0،1)    (1، 1)   (2،1)    (0 ، 2)

المقدار (س+ص)  0          1          2          3          4          1          2          3          2

 

من الجدول نلاحظ أن اكبر قيمة للمقدار ( س +ص) هي 4 المناظرة لقيمة س =4 ، ص=0

أي أن أكبر عدد من الاقلام يمكن شراؤه هو 4 أقلام وجميعها من النوع الاول .

لاحظ أيضا أن النقطة ( 4 ، 0) هي احدى النقاط المتطرفة هي :

م (0،0) حيث س+ ص = 0

أ ( 0 ،2) حيث س +ص = 2

ب ( 4 ،0) حيث س +ص = 4

وبوجه عام يكفي للبحث عن القيم العظمى أو الصغرى لمقدار ما أن نبحث في قيمة المقدار عند النقط المتطرفة في منطقة الحل ( أي عند رؤوس المنطقة المضلعة التي تمثل منطقة الحل) .

وكما ذكر سابقا ، يمكن حل المسألة ببساطة فشراء النوع الارخص من الاقلام يعطينا الفرصة لشراء اكبر عدد منها ، وحيث أن المتوفر هو 24 دينارا فيمكننا شراء 4 اقلام من النوع الاول ( الارخص) والذي سعره6 دنانير للقلم الواحد .

مثال:

 في مصنع سيارات خطا انتاج : ينتج الخط الاول 4 شاحنات و10 جرافات في اليوم الواحد بكلفة انتاج مقدارها 1400000دولار وينتج الخط الثاني 8 شاحنات و 5 جرافات في اليوم الواحد بكلفة انتاج مقدارها 1100000 دولار فاذا استلم المصنع طلبا لتوريد 28 شاحنة و55 جرافة فكم يوما يلزم تشغيل كل من الخطين لتلبية الطلب بأقل كلفة ممكنة؟

الحل:

نفرض أن عدد الايام اللازمة لتشغيل الخطين الاول والثاني هما س ، ص يوميا على الترتيب

ينتج الخط الاول في س يوما : 4س شاحنة و10 س جرافة .

وينتج الخط الثاني في ص يوما : 8 ص شاحنة و5 ص جرافة

نرتب المعلومات في الجدول الآتي :

            عدد الشاحنات      عدد الجرافات

انتاج الخط الأول   4 س      10 س

انتاج الخط الثاني   8 ص    5 ص

المجموع 4 س + 8 ص      10 س +5 ص

الكمية المطلوبة     28        55

ما هي الشروط على المتغيرين س ، ص؟

الشرط الأول : نلاحظ أن عدد الشاحنات المنتجة لتلبية الطلب يجب أن تكون 28 أو أكثر (فلا ضرر من وجود بعض الزيادة) . أي أن : 4س + 8ص  28 .

الشرط الثاني: نلاحظ أن عدد الجرافات المنتجة لتلبية الطلب يجب أن يساوي 55 أو يزيد عنها .

أي أن : 10 س + 5 ص  55

الشرط الثالث: لا يمكن أن يكون عدد الأيام سالبا . أي أن س  0 وكذلك ص  0 وبهذا نحصل على نظام المتباينات الآتي :

4س + 8ص  28

10 س + 5 ص  55

س0

ص 0

أما كلفة الانتاج عند تشغيل الخط الأول س يوما فهي 1400000 دينارا .

كما أن كلفة الانتاج عند تشغيل الخط الثاني ص يوما فهي : 1100000 ص دينارا . وتؤول المسألة الى جعل المقدار 1400000س +1100000ص والذي يسمى ( اقتران الهدف ) أقل ما يمكن .

المتباينة 4س + 8ص  28 يمكن كتابتها : س  + 2ص  7  ،( بقسمة كل حد على 4 ) .

أما المتباينة 10س +5ص  55 فيمكن كتابتها : 2س + ص  11 ، ( بقسمة كل حد على 5 ) .

ونحتاج الى دراسة الاقتران الهدف ( 1400000س +1100000ص ) ثلاث نقاط متطرفة من

مجموعة الحل وأقل قيمة للاقتران تحدد قيمتي س ، ص النقاط المتطرفة هي :

أ ( 7، 0) ، ب( 5 ، 1) ، ج (0، 11)

والجدول التالي يلخص قيم اقتران الهدف عند هذه النقاط  .

النقطة     س         ص       قيمة اقتران الهدف

أ           7          0          1400000×7+0 = 9800000 دينارا

ب         5          1          1400000×5 + 1100000×1 = 8100000

ج          0          11        0+1100000×11 = 12100000 دينارا

ومن الجدول نجد أن أقل كلفة هي عند النقطة ب أي عندما يعمل الخط الاول 5 أيام ويعمل الخط الثاني يوما واحدا .

 مثال:

مصنع للمشروبات الخفيفة له فرعان للانتاج ، وينتج كل فرع ثلاثة أنواع من المشروبات وهي : شراب الليمون ، وشراب البرتقال ، وشراب التوت . وينتج الفرع الاول 6 طن من شراب الليمون ، 5 طن من شراب البرتقال ، 4 طن من شراب التوت في اليوم الواحد وكلفة تشغيل هذا الخط هي 800 دينار في اليوم الواحد .

 كما ينتج الفرع الثاني 2 طن من شراب الليمون ، 15 طن من شراب البرتقال ، 4 طن من شراب التوت ، وكلفة تشغيل الفرع الثاني هي 1000 دينار في اليوم الواحد فاذا استلم المصنع طلبا لتوريد 12 طنا من شراب الليمون ، 30 طنا من شراب البرتقال 16 طنا من شراب التوت ، فكم يوما يشغل كل فرع لتلبية الطلب وبحيث تكون كلفة التشغيل أقل ما يمكن ؟

الحل:

1)         نفرض أن عدد الايام اللازمة لتشغيل المصنع لتلبية الطلب هي س يوما من العمل في الفرع الاول ، ص يوما من العمل في الفرع الثاني . 

            انتاج الفرع الاول (طن)      انتاج الفرع الثاني(طن)       الكمية المطلوبة

شراب الليمون      6س       2ص     12

شراب البرتقال     5س       15ص   30

شراب التوت        4س       4ص     16

1)         نعبر عن قيود المسألة بنظام من المتباينات :

6س +2ص  12 ( لماذا؟)

5 س+15 ص  30 (لماذا؟)

4 س + 4 ص  16 (لماذا؟)

 س0 لأن عدد الأيام لا يكون سالبا

ص 0 لأن عدد الأيام لا يكون سالبا

2)         نمثل المتباينات بيانيا وتكون المنطقة المظللة هي الحل

3)         نحدد اقتران الهدف الذي يمثل كلفة التشغيل لتلبية الطلب وهو المقدار :

 800س + 1000 دينار

4)         نحدد من الرسم النقاط المتطرفة وهي (6 ،0) ، (3 ،1) ، ( 1، 3) ، (0 ،6) .

( وللتحقق يمكن ايضا تحديد كل نقطة من هذه النقاط جبريا بحل معادلتي الخطين المستقيمين الذين يتقاطعان

في تلك النقطة ) . 5)          نحسب قيمة اقتران الهدف عند كل نقطة من هذه النقاط وهي كما يلخصها الجدول الآتي :

النقطة     س         ص       قيمة اقتران الهدف

أ           6          0          800 س + 1000ص = 4800+0 = 4800 دينار

ب         3          1          800س + 1000ص = 2400+ 1000 = 3400 دينار

ج          1          3          800س + 1000 ص= 800 + 3000 = 3800 دينار

د           0          6          800 س + 1000ص = 0+ 6000 = 6000 دينار

7) نعين من الجدول احداثيي النقطة التي تكون الكلفة عندها أقل ما يمكن .

النقطة هي ب (3 ، 1) حيث س= 3 ، ص= 1 ومعنى ذلك أننا نشغل

 الفرع الاول 3 أيام ونشغل الفرع الثاني يوما واحدا .

تمارين ومسائل:

1) مجموعة الحل لنظام المتباينات الآتي :

س + ص  5

2س + ص   6

س + 3ص  9

س   0

ص   0

جد النقط المتطرفة ومن ثم حدد متى يكون اقتران الهدف 4س + 5 ص ضمن هذا النظام أقل ما يمكن .

2) أوجد القيمة العظمى للمقدار 2س + 3ص بشرط 

2س + ص  15 .

س + 3ص  20

س  0

ص  0

3)    في مصنع خطان لانتاج البسكويت وكل منهما ينتج ثلاثة أنواع من البسكويت أ ، ب،ج

وينتج الخط الاول يوميا 3 طن من النوع أ ، طن واحد من النوع ب ، 2 طن من النوع ج بكلفة اجمالية قدرها 300 ريال  وينتج الخط الثاني يوميا 2 طن من النوع أ ، 4 طن من النوع ب ، و5 طن من النوع ج بكلفة اجمالي400 ريال  . تلقى المصنع طلبا مقداره 26 طنا من النوع الاول ، 21 طنا من النوع ب و32 طنا من النوع ج .

كم يوما يعمل كل خط انتاج لتلبية الطلب بأقل كلفة ممكنة وما هي الكلفة الدنيا؟

                         الاقترانات المثلثية( الدائرية)   Circular Functions

الزاوية وقياسها: Angle and Measure

سبق وأن تعرفت مفهوم الزاوية على أنها اتحاد شعاعين ، لهما نفس نقطة البداية تسمى رأس

الزاوية ، وأن قياس الزاوية يكون موجبا فهل يمكن أن يكون قياس الزاوية سالبا ؟ هذا ما

سنجيب عليه في هذا البند ،في الشكل المجاور اذا دار الشعاع د أ بعكس اتجاه عقارب الساعة

حتى ينطبق على الشعاع د ب فان قياس الزاوية أ د ب في هذه الحالة يعتبر قياسا موجبا .

أما اذا دار الشعاع د أ باتجاه عقارب الساعة حتى ينطبق على الشعاع د ب كما في الشكل

المجاور فان قياس أ د ب يعتبر قياسا سالبا .

وفي كلتا الحالتين نسمي الشعاع د أ الشعاع الذي يبدأ بالدوران ضلع الابتداء للزاوية ونسمي

الشعاع د ب ( الشعاع الذي ينتهي عنده الدوران ) ضلع الانتهاء وتسمى الزاوية أ د ب في

هذه الحالة ( زاوية موجهة )Directed Angle    .

مثال: أوجد قياس الزاوية المشار اليها بالرموز في الاشكال التالية :

الحل:

(2)       س = - 330

(3)       ص = 320

الوضع القياسي للزاويةStandard position of the angle :

تكون الزاوية أ في الوضع القياسي اذا كان رأسها في نقطة الاصل وضلع الابتداء منطبقا

على محور السينات الموجب .

موقع الزاوية في المستوى :

يقسم المستوى الى أربعة أرباع كما هو في الشكل أدناه

                        (1) الربع الاول      (2) الربع الثاني       

                         (4) الربع الرابع    (3) الربع الثالث

اذا رسمنا زاوية في الوضع القياسي فان ضلع الانتهاء يحدد الربع الذي تقع فيه كما في الاشكال التالية :

1)                                                          الزاوية ﻫ في الربع الاول

2)

                    ﻫ                                        الزاوية ﻫ في الربع الثاني

3)

                           ﻫ                                الزاوية ﻫ في الربع الثالث

4)       ﻫ                                             الزاوية ﻫ في الربع الرابع

تعريف : تسمى الزاوية القياسية التي يقع ضلع الانتهاء فيها على أحد المحورين

الاحداثيين زاوية ربعية .

ومن الأمثلة على الزاوية الربعية : 90 ، 180 ، 270 ، 360 .

وحدات قياس الزاوية :

أولا: النظام ( التقدير ) الستيني ( الدرجات) :

وهي الطريقة المألوفة لقياس الزاوية ، حيث تم تقسيم الدورة الكاملة الى 360 والدرجة

الى 60 دقيقة وتكتب (1 = 60 / ).

مثال: حول 755 الى درجات ودقائق

الحل: 755 = 55 + 70 = 55 +  70× 60 / = 55 +42 /

            = 42 /  55

ثانيا: النظام ( التقدير ) الدائري :CIRCULAR MEASURE RADIAN

وفيه يكون قياس الزاوية مساويا  لطول القوس المقابل لها في دائرة الوحدة ( الدائرة التي

نصف قطرها وحدة واحدة ) ووحدة القياس في هذا النظام هي ( الزاوية النصف قطرية)

أو ( الراديان) ويرمز لها بالرمز د .

تعريف : الزاوية النصف قطرية ( التي قياسها 1 راديان) هي الزاوية المركزية في

دائرة الوحدة التي تقابل قوسا طوله وحدة واحدة ( انظر الشكل ) .

ملاحظة: بشكل عام الزاوية النصف قطرية ( التي قياسها 1 راديان) هي الزاوية

المركزية التي طول قوسها يساوي نصف قطر الدائرة المرسومة فيها .

العلاقة بين التقدير الدائري والستيني:

نعلم أن محيط الدائرة = 2 نق وهو يقابل زاوية 360 وفي دائرة الوحدة فان محيط

الدائرة = 2   × 1 = 2 اذن 360 في النظام الستيني تعادل 2  في التقدير الدائري

أي أن 180 في النظام الستيني تعادل  د في التقدير الدائري .

لتحويل الزاوية س الى تقدير دائري  نقول 180تعادل  د

                                س ه تعادل  ﻫ  اذن ﻫ د = س  × 

                                                               180

            وعليه لتحويل أي زاوية من التقدير الستيني الى دائري نطبق القانون

            ﻫ د = س  × 

                  180

مثال: حول الزاويا التالية الى تقدير دائري :

1-         30

2-         60

الحل:

1- 30 تعادل     30    ×  =  د

                        180      6

    2- 60 تعادل  60    ×  د

            180      6

أما عند تحويل زوايا نصف قطرية ﻫ د ليست بدلالة  الى درجات فاننا نلجأ الى الطريقة

التالية :

 تكافئ 180 5

ﻫ د تكافئ س 5

اذن س 5  =   ﻫ     × 180 حيث    النسبة التقريبية المعروفة .

                 

وعليه فان 1 د =   1  × 180  3557

             

تمارين ومسائل:

1-         حدد الربع الذي تقع فيه الزوايا التالية :

أ) - 150 ب) 840

2) أوجد قياس كل من الزوايا التالية بالتقدير الدائري بدلالة  :

   أ) – 225 5      ب) 135 5