تمارين ومسائل

تمارين ومسائل :

1- كانت درجات الحرارة في احدى المدن في اسبوع من شهر شباط مقدرة بالدرجات المئوية كما يلي:

3 ، 2 ،5 ، 2 ، 7 ، 0، 2 أحسب كلا من :

أ) المدى

ب) التباين

ج) الانحراف المعياري

2- اذا كان المدى والتباين لدرجات الحرارة المئوية في مدينة ما خلال اسبوع 10 و 5 على الترتيب واذا حولت درجات الحرارة من مئوية الى فهرنهايتية فما قيمة كل من المدى والتباين بعد التحويل ؟

( ف = 9 م + 32) .

         5

3- الجدول الآتي يمثل التوزيع التكراري للزمن ( لاقرب دقيقة ) والذي استغرقه 36 طالبا للاجابة عن أسئلة

امتحان ما :

فئات الزمن          20-24   25-29   30-34   35-39   40-44

التكرار   3          5          10        12        6

جد :

1- المدى

2- التباين والانحراف المعياري

3- المئين 25 حسابيا

4- المئين 75 بيانيا

5- الرتبة المئينية للزمن 36 دقيقة .

الارتباط Correlation   :

سبق وأن تعرضنا لموضوع الاحصاء والذي يهتم بجمع البيانات وعرضها بيانيا أو بطرق أخرى ومعالجتها من

خلال ايجاد بعض المقاييس المتعلقة بها مثل مثل مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت وسوف نكمل دراستنا

حول العلاقة بين بيانات لظواهر مختلفة لنفس المجتمع الاحصائي .

أولا: شكل الانتشارScatter Diagram  : 

مثال: الجدول التالي يمثل عدد أفراد 10 اسر أخذت عشوائيا من احدى المدن واستهلاك هذه الاسر شهريا من الماء بالمتر المكعب .

رقم الأسرة          1          2          3          4          5          6          7          8          9          10

عدد أفراد الأسرة (س)        4          6          5          3          8          6          9          10        2          4

كمية استهلاك الماء (ص)    8          10        9          6          10        12        15        18        6          7

ان عدد أفراد الأسرة يأخذ قيما مختلفة ، ولذلك فانه بامكاننا التعبير عن ذلك بمتغير وليكن س .

كذلك فان استهلاك الماء يأخذ قيما متغيرة أيضا ، وبامكاننا ايضا التعبير بمتغير آخر وليكن ص .

يمكن ملاحظة أيضا أن هناك علاقة ما بين كمية استهلاك الماء (ص) وعدد أفراد الاسرة (س) وأن استهلاك الماء يعتمد بصورة ما على عدد أفراد الأسرة ، في هذه الحالة فاننا نطلق اسم المتغير المستقل على س ، والمتغير التابع على ص .

وعند تمثيل الجدول السابق بيانيا ، فانن نختار قيم س كمتغير مستقل لتكون الاحداثيات السينية للنقاط التي سنعينها بينما نختار قيم ص كمتغير تابع لتكون الاحداثيات الصادية لتلك النقاط كما يلي :

(4 ، 8) (6، 10) - - - ، (4، 7)

أما الشكل الناتج من تعيين هذه النقاط فاننا نطلق عليه اسم شكل الانتشار كما هو موضح فيما يلي:

            كمية استهلاك الماء

            بالمتر المكعب

                                                      ص

عدد افراد الأسرة  س .

تعريف: شكل الانتشار هو الشكل الناتج من تعيين النقاط ( س1 ، ص1 ) ، (س2، ص2) ،

للمتغيرين المستقل س والتابع ص حيث ( س1 ، ص1 ) تمثل قيم المتغيرين للعنصر الأول في

العينة ، (س2، ص2) تمثل قيم المتغيرين للعنصر الثاني وهكذا.

أنظر شكل الانتشار السابق ، ولاحظ انه يمكننا القول بأنه كلما زادت قيم س زادت قيم ص في

أغلب الحالات وكذلك فانه كلما نقصت قيم س تنقص قيم ص مع ملاحظة أن ذلك لا يحدث

بصورة كاملة في هذه الحالة تقول بان العلاقة أو الارتباط بين المتغيرين س وص هو ايجابي .

مثال:

الجدول التالي يمثل عدد الطلاب س الذين يقومون بتنظيف ملعب مدرستهم وعدد الساعات ص التي يحتاجونها لانهاء العمل خلال اسبوع من التنظيف اليومي . أرسم شكل الانتشار لهذا الجدول .

اليوم      الاول     الثاني     الثالث     الرابع     الخامس  السادس   السابع

عدد الطلاب س     8          7          6          10        5          9          4

عدد الساعات ص  4          5          6          3          6          4          7

الحل: نعين النقاط كما هو في الشكل المقابل فيكون شكل الانتشار المطلوب .

عدد الساعات ص

                                   عدد الطلاب س

لاحظ أنه كلما زاد عدد الطلاب س نقصت ساعات العمل ص في أغلب الحالات وبالمثل كلما

نقص عدد الطلاب زادت ساعات العمل نقول بأن العلاقة أو الارتباط بين س ، ص هو سلبي .

ان شكل الانتشار لا يعطي صورة واضحة ودقيقة عن طبيعة العلاقة أو الارتباط بين المتغيرين

بل يعطيان فكرة عن سلبية أو ايجابية أو عدم وجود علاقة كذلك يبين فيما اذا كانت العلاقة اما

خطية أو غير ذلك كما هو موضح بين المتغيرين في الأشكال التالية :

            ارتباط ( خطي ايجابي)

ارتباط خطي سلبي

                   لا يوجد ارتباط بين س وص

           

            ارتباط خطي ايجابي تام

مثال:

 اعط مثالا لمتغيرين يرتبطان بارتباط

1- ايجابي قوي                 2- سلبي قوي

الحل:

1-         ارتباط ايجابي بين متغيرين س، ص حيث

                             س: عدد الأيام التي يعمل بها أحد العمال في الشهر.

                 ص: الدخل الشهري

                           كلما زادت ايام العمل التي يعمل بها ذلك العامل كلما زاد الدخل الشهري        

                            للعامل

2-         ارتباط سلبي بين متغيرين س، ص حيث:

س: عدد الدقائق التي تضاء بها شمعة

ص: طول الشمعة

كلما زادت عدد الدقائق التي تضاء بها الشمعة ، كلما قل طول تلك الشمعة .

تمارين ومسائل:

1-         الجدول التالي يمثل المتغيرين بين عمر طالب والمتغير ص : معامل الذكاء له .

ارسم شكل الانتشار وحدد ان كان الارتباط بين المتغيرين ايجابيا ام سلبيا .

2- اذا كان ص = 2س + 1 كون جدولا بقيم س، ص حيث1   س  7 ، س تنتمي الى ص ثم

حدد نوع الارتباط بين س ، ص

ثانيا: معامل الارتباطCorrelation coefficient :

يمكن الحكم على قوة الارتباط الخطي وبين المتغيرين س وص من خلال شكل الانتشار كما أوضحنا في الدرس

السابق .

ان الاحكام على قوة الارتباط بين المتغيرين هي احكام غير دقيقة ولا يمكن الاعتماد عليها في بناء علاقة رياضية

يستفاد منها ولذلك فسوف نتعرف على مقياس لتحديد العلاقة بين المتغيرين بصورة دقيقة تبين درجة الارتباط

وتحدد ان كان الارتباط ايجابيا ام سلبيا.

وهذا المقياس هو معامل الارتباط ويرمز له بالرمز ر   -1، 1 وسنتعرف على طريقتين لحساب معامل

الارتباط هما : 1- معامل ارتباط بيرسون         2- معامل ارتباط سبيرمان .

ومن الجدير بالذكر أن معامل الارتباط لنفس العينة يمكن أن يختل باختلاف طريقة حسابه.

معامل ارتباط بيرسونPereson :

اذا كان س ، ص متغيرين لظاهرة في عينة حجمها ن ، وكانت الازواج المرتبة ( س1، ص1) ....( س ن، ص ن)

هي قيم المتغيرين فان معامل ارتباط بيرسون يعطى بالعلاقة.

ر =                  س ص – ن  س ص

       

           

           س 2 - ن  س  2          ص 2 – ن ص 2

حيث : س = الوسط الحسابي للمتغير س =        س

             

                                                           ن

ص = الوسط الحسابي للمتغير ص =        ص

               ن

مثال: احسب معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرين س ، ص واللذان يمثلان درجات الحرارة في خمسة أيام من شهر كانون الثاني في احدى السنوات في مدينتي رام الله والقدس على الترتيب .

اليوم      3/12     4/12     5/12     6/12     7/12

رام الله س           -3         0          4          8          11

القدس ص           2          -1         3          5          6

الحل:  نكون الجدول لتالي:

س         ص       س2       ص 2    س ص

-3         2          9          4          -6

0          -1         0          1          0

4          3          16        9          12

8          5          64        25        40

11        6          121      36        66

المجموع = 20     المجموع = 15     المجموع = 210   المجموع = 75     المجموع = 112

           

الوسط الحسابي للمتغير س =  20     = 4

            5

الوسط الحسابي للمتغير ص =       ص   =   15   = 3

            5

                ن

ر =      س ص –  ن  س ص

       

           س 2 - ن  س  2          ص 2 – ن ص 2

=              112 – 5 × 3 × 4      =            52     = 52

      210- 5 × 4 2       75 – 5× 3 2                130          30                    3900

    

نستطيع القول بان هناك ارتباطا ايجابيا قويا بين درجة الحرارة في القدس ورام الله كما هو موضح من الجدول اذ

تزداد الحرارة في رام الله عندما تزداد في القدس .

معامل ارتباط سبيرمان ( الرتب)Sperman( Rank)  :

عندما لا تتوفر القياسات الحقيقية للمتغيرين المراد ايجاد معامل الارتباط بينهما . ويوفر ترتيبهما كمثل درجة

ملوحة كمية من المياه وعلاقة ذلك بدرجة حرارتها فاننا نلجأ لاستخدام معادلة سبيرمان وهي: 

ر =   1 -     6       ف 2

              ن ( ن 2 – 1)

حيث ف هي الفرق بين رتب المتغيرين المتناظرين ، ن حجم العينة .

مثال: كانت رتب علامات 5 طلاب في امتحاني الرياضيات والفيزياء .

اسم الطالب          رتبته في الرياضيات س ن   رتبته في الفيزياء ص ن

سلوى     الثاني     الاول

أحمد      الاول     الثالث

قاسم      الرابع     الخامس

علي       الخامس  السادس

جورج    السادس   الرابع

سامي     الثالث     الثاني

اوجد معامل ارتباط سبيرمان بين علامتي الرياضيات والفيزياء وحدد ان كان الارتباط ايجابيا ام سلبيا.

الحل:

رتب س  رتب ص ف         ف 2

2          1          1          1

1          3          -2         4

4          5          -1         1

5          6          -1         1

6          4          2          4

3          2          1          1

12

ر =   1 -     6       ف 2   = 1 – 6 × 12    = 1 – 72

            210

              ن ( ن 2 – 1)      6(35)

نلاحظ أن الارتباط ايجابي .

ملاحظات عامة على معامل الارتباط:

         قد تختلف قيمة معامل الارتباط لنفس العينة باختلاف طريقة حسابه.

         لا يتأثر معامل الارتباط بالاضافة أو الطرح الذي يطرأ على المشاهدات الأصلية .

         يتأثر معامل الارتباط في حالة واحدة فقط وهي ضرب قيم أحد المتغيرين في عدد موجب ، وقيم

      المتغير الآخر في عدد سالب وعندها تنعكس اشارة معامل الارتباط فقط ، فاننا نستطيع تعميم

      الملاحظتين2،3 كما يلي:

اذا كان معامل الارتباط بين المتغيرين س، ص يساوي ر ، وتغيرت س الى  س* = أس +ج ، وتغيرت

ص الى ص* = ب ص + د

أ ، ب، ج، د  ح ، أ ، ب  0 .

فان معامل الارتباط س* ، ص*  =       ر      عندما أب  0

              - ر     عندما أب  0

         عند اعطاء رتبة المتغير فيجوز ترتيب كلا المتغيرين تصاعديا  أو تنازليا .

         اذا كانت ر موجبة ، فان الارتباط بين س ، ص ايجابي

         اذا كانت ر سالبة ، فان الارتباط بين س ، ص سلبي.

         كلما زادت قيمة  ر   ، كلما كان الارتباط أقوى سلبا أم ايجابيا .

         يعتبر معامل بيرسون للارتباط أكثر دقة للعلامة بين المتغيرين من معامل سبيرمان كونه يعتمد على

القيم الأصلية في حين يعتمد معامل سبيرمان على رتب القيم .

مثال: اذا كان معامل الارتباط بين المتغيرين س ، ص هو 560 احسب معمل الارتباط بين س* ، ص* 

في حالة  : س* = 3س ،  ص*  = 5 س

الحل:  ر = 560

تمارين ومسائل:

1- يبين الجدول التالي العلاقة بين كمية السماد وكمية الانتاج بالطن لمجموعة من القطن الزراعية :

قطعة للأرض       الأولى    الثانية     الثالثة     الرابعة

س         3          4          3          2

ص       8          9          7          4

أ‌-          ارسم شكل الانتشار للعلاقة بين المتغيرين أعلاه .

ب‌-        احسب معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرين

2-         حسب معامل ارتباط سبيرمان للرتب فكان 17/ 33 فاذا علمت أن مجموع مربعات الفروق بين

الرتب المتناظرة للمتغيرين هو 80 احسب حجم العينة .

الانحدار البسيط  Regression   :

الجدول التالي يبين أعمار وأطوال خمسة اطفال حيث العمر بالسنوات والطول بالدسم .

العمر

            س         6          9          8          7          5

الطول

            ص       9          13        12        12        9

الشكل المجاور يمثل شكل الانتشار حيث المحور السيني يمثل العمر وهو المتغير المستقل ، والمحور الصادي

يمثل الطول وهو يمثل المتغير التابع .

                 الطول

                 ص

العمر 

يلاحظ من الشكل ان الارتباط بين المتغيرين س ، ص هو ارتباط ايجابي قوي كذلك يلاحظ ان

الارتباط هو ارتباط خطي ، وهذا يعني ان هنالك خط مستقيم يمر بمعظم النقاط أنظر الشكل .

يسمى هذا الخط والذي يعتبر أفضل ملائمة للعلاقة بين المتغيرين بخط انحدار ص على س

ومعادلته على الصورة العامة للخط المستقيم ص=  أس + ب .

ولمعرفة هذه المعادلة يمكن اتباع  الطريقة التالية :

1.         طريقة الرسم : في هذه الطريقة ، نعين النقاط المعطاة في الجدول بحيث

نحدد المحور السيني للمتغير المستقل والاحداثي الصادي للمتغير التابع ، ثم

نرسم خطا ملائما ونجد معادلته باستخدام النقاط التي يمر بها .

مثال: أوجد معادلة خط انحدار ص على س للجدول الممثل لشكل الانتشار السابق.

الحل:

المعادلة هي على الصورة أس + ب ويمثل الخط المستقيم المرسوم في الشكل المجاور التمثيل البياني للمعادلة أعلاه ، وحيث ان ب في المعادلة هي المقطع الصادي ، فان ب = 4 .

ولايجاد قيمة أ نأخذ أي نقطة تقع على الخط مثل (5 ، 9) ونعوضها في المعادلة في المعادلة

فتصبح 9 = 5 أ +4 أي أن أ = 1

اذن المعادلة المطلوبة هي ص = س + 4

ملاحظة : يمكن ايجاد المعادلة السابقة بايجاد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين .

التنبؤ: Precidtion 

في المثال السابق يمكن استخدام معادلة خط الانحدار ص على س للتنبؤ بقيم ص عند معرفة قيم

س ، ومعادلة التنبؤ هي ص = س + 4 حيث يمكن التنبؤ بقيمة ص عند معرفة قيمة س أما القيمة

المتنبأ بها للمتغير ص فتكتب على الصورة ص ^

مثال:

 في المثال السابق جد الطول الذي يتنبأ به لطفل عمره 6 سنوات ، ثم جد الطول الحقيقي له وقيمة الخطأ في التنبؤ .

الحل:

         معادلة خط الانحدار ص على س هي ص = س +4

             وعليه القيمة المتنبأ بها ص ^ =  س +4

            = 6+ 4 = 10 دسم

اما الطول الحقيقي لذلك الطفل فهو 9 ( من الجدول )

وعليه يكون الخطأ في التنبأ = الطول الحقيقي – الطول المتنبأ به

                                   = 10 - 9= 1

                 

تمارين ومسائل:

1_    ارسم شكل الانتشار للجدول التالي ، وارسم أفضل خط انحدار ثم جد معادلته :

س         3          2          7          5          3

ص       5          0          9          10        6

2-         استخدم معادلة خط الانحدار ص على س في السؤال الأول

أ‌-          جد  ص ^ حيث س = 6

ب‌-        جد  ص ^ حيث س = 7 ، جد الخطأ في التنبأ

                       الاحتمالاتProbability  

الجداول التكرارية :

طلب احد الاساتذة من احمد ان يلقي قطعة نقود 20 مرة ويفرغ ما يحصل عليه في جدول

تكراري كالآتي:

الناتج     الاشارة  التكرار   التكرار النسبي

صورة  

17        17

20

كتابة     

3          3

20

المجموع             20        1

لاحظ أن التكرار النسبي لاي نتيجة لا يمكن أن يزيد عن 1 أو يقل عن صفر ويسمى احتمال

ذلك الناتج .

التجربة العشوائيةRandom Experiment   

تعريف: التجربة العشوائية هي التجربة التي يمكن معرفة جميع النواتج الممكنة لها مقدما

( أي قبل اجرائها ) ولكنه لا يمكن تحديد الناتج الذي سيتحقق فعلا الا بعد اجرائها.

فمثلا: تجربة القاء نقود عادية لملاحظة الوجه الظاهر هي تجربة عشوائية لان هناك امكانية

حصول أكثر من ناتج ، ويمكننا معرفة جميع النواتج الممكنة لها قبل اجرائها وهي اما

صورة او كتابة ، ولكن لا يمكننا القول أن الناتج صورة بالتأكيد او كتابة بالتأكيد الا بعد

اجرائها.

تعريف:  فراغ العينةSample Space  ويرمز له بالرمز Ω

 فراغ العينة المرتبط بتجربة عشوائية هو مجموعة جميع النواتج الممكنة لهذه

التجربة .

فمثلا فراغ العينة لتجربة القاء قطعة نقود هو{ص، ك}

وفراغ العينة لتجربة القاء قطعتي نقود مختلفتين هو :{ص ص ، ص ك ، ك ص ، ك ك } .

وفراغ العينة لتجربة القاء حجر نرد عادي هو : { 1، 2، 3، 4، 5، 6، }

أما اذا كان لدينا حجر نرد غير عادي يوجد على أوجهه الأرقام 1 ، 1، 2، 5، 5، 5،

فان فراغ العينة لتجربة القاء هذا الحجر غير العادي هو: {1، 2، 5،}

مثال : كانت التجربة العشوائية هي زيارة العائلات التي عند كل منها ثلاثة اطفال لمعرفة

عدد البنات . فنكتب فراغ العينة لهذه التجربة .

الحل:

عدد البنات لكل عائلة من هذه العائلات اما ان يكون (0) أو (1)أو(2) أو (3)

الفراغ المطلوب هو {0 ، 1 ، 2 ، 3 }

تمارين ومسائل:

1)         كانت التجربة العشوائية هي القاء قطعتي نقد لمعرفة عدد الصور اكتب فراغ العينة لهذه

التجربة العشوائية.

2)         اذا كانت التجربة العشوائية هي القاء حجر نرد عادي مرة واحدة وملاحظة فيما اذا كان

الناتج فرديا ام زوجيا .

أ.0 اكتب فراغ العينة لهذه التجربة العشوائية

ب0 حاول أن تجد الاحتمال النظري للحادث ( الناتج عدد زوجي)

الناتج     الاشارة  التكرار   الاحتمال التجريبي

                                  

                                  

                                  

ج0 كرر التجربة عشر مرات واكمل الجدول الآتي :

د0 قارن الاحتمال النظري بالاحتمال التجريبي الذي

حصلت عليه.

ع0 متى تقترب قيمة الاحتمال التجريبي من الاحتمال النظري ؟

الحوادث والعمليات عليه Events ا:

الحادث هو مجموعة جزئية من الفضاء العيني لتجربة عشوائية ، ويرمز للحادث بأحد

الرموز الآتية: ح ، ح1 ، ح2، 0000

مثال: اذا كان الفضاء العيني لتجربة القاء حجر نرد منتظم مرة واحدة وملاحظة العدد الظاهر هو :

Ω = {1، 2، 3، ،4، 5، 6، }

أكتب كلا من الحوادث الآتية وعدد عناصر كل منها

2)         ح1: حادث ظهور عدد فردي

3)         ح2: حادث ظهور عدد أكبر أو يساوي 7

4)         ح3: حادث ظهور عدد طبيعي أصغر أو يساوي 6

5)         ح4: حادث ظهور عدد أولي

الحل:

1)         ح1= {1،3،5}وعدد عناصره 3

2)         ح2= {}=Ǿ وعدد عناصره صفر

3)         ح3= {1 ،2 ،3 ،4 ،5، 6}   وعدد عناصره 6

4)         ح4= {2 ،3 ،5 } وعدد عناصره 3

أنواع الحوادث:

1)         الحادث البسيطSimple : هو الحادث الذي يحوي عنصرا فقط من الفضاء العيني لتجربة عشوائية

2)         الحادث المركبCompound : هو الحادث الذي يحوي أكثر من عنصر واحد من الفضاء العيني لتجربة عشوائية

3)         الحادث المستحيلImpossible  : هو الحادث الذي لا يحوي أي عنصر من الفضاء العيني لتجربة عشوائية  واحتماله صفر

4)         الحادث المؤكد( الأكيد)Certain  : هو الحادث الذي يحوي جميع عناصر الفضاء العيني لتجربة عشوائية واحتماله 1 

العمليات على الحوادث:

الحوادث مجموعات وبالتالي يمكن الحصول على حوادث جديدة من حادثين معلومين مثل ح1، ح2باستخدام العمليات على المجموعات وهي عملية الاتحاد Ụ وعملية التقاطع ∩ وعملية الفرق (-) وعملية ايجاد متممة مجموعة ( التتام ) .

مثال: اذا كانت Ω = {1 ،2 ،3 ،4 ،5 ،6 }

وكان ح1= {1 ،3 ، 2}  و ح2= {2 ،4 ،6}

أوجد كلا من الحوادث الآتية :

1) ح1  ح2      2) ح1 ح2

3) ح1- ح2

الحل:

1)         = {1 ، 3 ،2} {2 ،4 ،6} = {! ، 2 ،  4، 3، 6}

2)= {1 ،2 ،3} {2 ،4، 6}= {2}

3) = {1 ،2،3}- {2،4،6}= {1 ،3}

تمارين ومسائل:

1)         في تجربة اختيار عدد صحيح من بين الأعداد 1الى 8 وملاحظة العدد الناتج:

أ‌-          أكتب الفضاء العيني Ω لهذه التجربة .

ب‌-        اكتب كلا من الحوادث الآتية :

ح1: العدد الناتج زوجي

ح2: العدد الناتج يقبل القسمة على 3 دون باقي

ح3: ح1 ح2

2)         في تجربة قطعة نقد ثم حجر نرد منتظم مرة واحدة وملاحظة النتائج على الوجهين :

أ‌-          اكتب الفضاء العيني لهذه التجربة

ب‌-        اكتب كلا من الحوادث الآتية:

ح1: حادث ظهور صورة مع عدد اولي

ح2: حادث ظهور صورة مع عدد فردي

ح3: ح1  ح2

التكرار النسبي والاحتمال

التكرار النسبي لحادث:

هو النسبة بين عدد المرات التي يحصل فيها الحادث الى عدد مرات اجراء التجربة

فاذا القيت قطعة نقد 10 مرات متتالية وظهرت الصورة في 4 مرات منها فان التكرار

النسبي لحادث ظهور

الصورة = عدد مرات ظهور الصورة    = 4   = 4, 0

 عدد مرات اجراء التجربة     10

للتكرارت النسبية أهمية خاصة في تقدير احتمالات الحوادث كما يوضح المثال الآتي :

مثال: ألقيت قطعة نقد منتظمة عدد من المرات ، وسجلت النتائج الآتية :

عدد المرات          عدد مرات ظهور الصورة   التكرار النسبي لعدد مرات ظهور الصورة

50        27        54, 0

100      45        54, 0

200      98        49, 0

300      157      52 ,0

400      209      52 ,0

400      257      51 , 0

1000    510      51 , 0

يلاحظ من هذا المثال أن التكرار النسبي لعدد مرات ظهور الصورة يختلف باختلاف عدد

مرات اجراء التجربة وأنه كلما زادت مرات اجراء التجربة كلما اتجه التكرار النسبي الى

الاستقرار و الاقتراب من القيمة الثابتة  5 ,0 ويسمى العدد الثابت احتمال ظهور الصورة

عند القاء قطعة النقد المنتظمة مرة واحدة .

وبوجه عام ، اذا كانت لنتائج الفضاء العيني فرصة الحدوث نفسها فان :

      احتمال الحادث (ح) =  ل ( ح) = عدد عناصر الحادث ( ح)

            عدد عناصر الفضاء العيني

            = ع (ح)

              ع (Ω )

مثال : في تجربة القاء حجر نرد منتظم مرة واحدة وملاحظة العدد الظاهر أوجد احتمال كل من الحوادث الآتية :

ح1= حادث الحصول على عدد زوجي

ح2= حادث الحصول على عدد يزيد على 4

ح3= حادث الحصول على عدد زوجي أو فردي

الحل:

 Ω = {1 ، 2، 3 ،4 ،5 ،6 }

      ح1= {2 ،4 ،6}

حجر النرد منتظم اذن    ل (ح) =     ع (ح1)       =      3              =         1

                                           ع (  Ω   )             6               2

ح2= { 5 ،6}

ل (ح2)  = ع (ح2)  =   2 =   1

             ع (  Ω  )       6      3

  

ح3= { 1، 2، 3، 4، 5، 6}

ل (ح3) =  ع(ح3)  =    6      = 1

      ع (  Ω   )        6

تمارين ومسائل:

1-         أجد احتمال سحب كرة حمراء من كيس يحوي 9 كرات متشابهة منها 5 كرات

حمراء و4 كرات زرقاء .

2-         من بين (28) حالة ولادة في احدى المستشفيات كان عدد المواليد الذكور 12

اختيرت حالة ولادة عشوائيا من الحالات المذكورة ما احتمال ان يكون المولود

 أنثى ؟

3-         صندوق يحتوي على 4 كرات زرقاء 5 كرات بيضاء 6 كرات سوداء . سحبت

كرة عشوائيا من الصندوق ولوحظ لونها ، ما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة

زرقاء أو بيضاء؟

قوانين الاحتمالRules of Probability :

الحادثان المنفصلانDisjoined Events  

مثال: في تجربة القاء حجر نرد منتظم مرة واحدة ، وملاحظة الوجه الظاهر ، اذا كان :

ح1: حادث ظهور عدد زوجي ، ح 2 : حادث ظهور عدد فردي اكبر من 1  ،

فان Ω   = {1 ،2 ،3،4،5،6} ، ح1= {2 ،4 ،6} ، ح2= {3، 5}

نلاحظ أن ح1  ح2 = Ø نسمي مثل هذين الحادثين منفصلين فهما لا يشتركان في

أي عنصر من عناصر الفضاء العيني .

نلاحظ ايضا ان ح 1 ح2 = {2،3،4،5،6} ما العلاقة بين ل ( ح1 ح2) ،

ل(ح1) ، ل(ح2)

ل ( ح1  ح2) =            5          ، ل(ح1)=   3     ، ل(ح2) =  2

                                         6                       6      6

ل(ح1) + ل(ح2) =   5    

              6

اذن ل ( ح1  ح2) = ل(ح1) + ل (ح2) .

بوجه عام:

القانون الاول : اذا كان ح1 ، ح2، حادثين منفصلين فان: ل ( ح1 ح2) = ل(ح1) + ل (ح2) .

مثال: صندوق يحتوي على 4 كرات زرقاء ، 5 كرات سوداء سحبت كرة عشوائيا من الصندوق فما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة زرقاء أو بيضاء؟

الحل :

ليكن ح1: حادث سحب كرة زرقاء،      ح2: حادث سحب كرة بيضاء

ح1، ح2، حادثان منفصلان اذ لا يمكن ان تكون الكرة المسحوبة زرقاء وبيضاء في آن واحد

ل(ح1) = 4

            15

    ل(ح2) =  5

 15

ل ( ح1  ح2) = ل(ح1) + ل (ح2)

=   4     +  5     =    9      = 3

         15      15        15        5

الحادثان المتقاطعان:

يسمى الحادثان غير المنفصلان ( حادثان متقاطعان ) ، وبوجه عام اذا كان ح1، ح2 حادثين فان :

ل ( ح1 ح2) = ل(ح1) + ل (ح2) – ل ( ح1  ح2) .

مثال: في تجربة رمي حجر نرد منتظم ، اذا كان ح1 حادث ظهور عدد فردي

ح2 حادث ( ظهور عدد أقل من 4) فما احتمال ظهور عدد فردي او اقل من 4؟

الحل :     ح1= {2،4،6}                          ل(ح1) =      3

                                    6

ح2= {1،2،3}                                    ل(ح2)  =    3

                  6

ح1  ح2= {2}             ل ( ح1  ح2) =    1

                        6

ل ( ح1 ح2) = ل(ح1) + ل (ح2) – ل ( ح1  ح2)

                   = 3  +  3  - 1     =    5

                  6      6     6            6

تمارين ومسائل:

1- صف فيه 50 طالبا معهم 25 طالبا يحبون كرة السلة و35 طالبا يحبون كرة القدم و15

طالبا يحبون اللعبتين معا فاذا تم اختيار احد طلبة الصف عشوائيا فما احتمال أن يكون ممن :

     أ- يحبون كرة السلة ؟

    ب- يحبون كرة القدم؟

    ج- يحبون اللعبتين معا؟

    د- يحبون لعبة واحدة على الأقل؟

الاحتمال المشروط واستقلال الحوادث

Conditional Probability and Independence :

أولا : الاحتمال المشروط:

هو ايجاد قيمة الاحتمال لحادث ما علما بان حادثا آخرا كان قد حدث . ويمكن حساب هذا

الاحتمال بذات الطريقة التي يحسب فيها الاحتمال البسيط مع فارق أن هناك معرفة مسبقة أو

شروط اضافية حول نتائج التجربة .

 ويمكن حساب الاحتمال المشروط بواحدة من الطرق التالية :

1-         اختصار الفراغ العيني  الى  * : حيث * هو الفضاء العيني للتجربة

                  بوجود الشرط .

مثال: في تجربة رمي حجري نرد ما احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين هو

8 علما بأن العدد الظاهر على كل من الحجرين فرديا

الحل:

  = { (1،1) ، ( 1 ، 2) ....( 6 ،6 ) }

* = عدد النقاط على كل من الحجرين فرديا .

  = { ( 1، 1 ) ، ( 1، 3 ) ، (1 ، 5 ) ، (3 ،1 ) ، (3،3 ) ،( 3 ، 5)  ( 5 ،1)، (5 ،3) ، (5، 5) }

 ح : المجموع 8 = { (3 ،5 ) ، (5 ،3 ) }

       ل (ح) =    2 .

                  9

2- باستخدام تعريف الاحتمال المشروط :

تعريف : اذا كان ح1 ، ح2 حادثين في  ، فان احتمال حدوث ح2 بشرط حدوث ح1 ويكتب

 ل (ح2/ ح1) حيث          

ل (ح2/ ح1) =    ل ( ح1  ح2)

                 ل ( ح1)       

أي أن ل ( ح1  ح2) = ل (ح2/ ح1) 0 ل (ح1)

مثال: صندوق يحتوي على 4 كرات سوداء ، 5 كرات زرقاء سحبت كرتان على التوالي

دون ارجاع احسب احتمال أن تكون الكرتان مختلفتين في اللون

الحل:

 ليكن ح1 : الأولى زرقاء

          ح2: الثانية زرقاء

            س 1 : الاولى سوداء

            س2: الثانية سوداء

ان حادث الكرتان مختلفين في اللون يعني أن تكون ( الأولى سوداء والثانية

زرقاء) أو تكون ( الأولى زرقاء والثانية سوداء )

أي ل ( س 1 ح2) أو ل ( ح1  س2) = ل ( س 1 ح2) + ل ( ح1  س2)

= ل ( ح 2 / س1) 0 ل(س 1) + ل( س2 / ح1 ) 0ل (ح1)

=  4 × 5 + 5 × 4 =   40  =  5         الكرة الثانية              4                

   9   8    9     8      72        9            زرقاء               8  

                                                                                                                                        5

ثانيا: استقلال الحوادث Independent Events  :

تعربف:

يقال للحادثين ح1، ح 2 أنهما مستقلان اذا كان وقوع ح1 أو عدم وقوعه لا يؤثر على وقوع

ح 2 أو عدم وقوعه أي أن ل ( ح1 / ح2) = ل ( ح1) وكذلك ل (ح2/ ح1) = ل (ح2)

اذن فان الحادثان ح1 ،ح2 مستقلان اذا كان ل ( ح1  ح2) = ل (ح1)0 ل (ح2)

مثال:

 اذا كان ل (ح1) = 50 ، ل(ح2) = 30 وكان ل ( ح1  ح2)   = 850 أثبت أن ح1 ، ح2 مستقلان

الحل: 

ل ( ح1  ح2)   = ل (ح1) + ل(ح2) - ل ( ح1  ح2)

  

      أي ان ل ( ح1  ح2) = ل (ح1) + ل(ح2) - ل ( ح1  ح2)  

      

                         = 50 + 70 - 850   = 350

               ل (ح1) × ل(ح2) = 50× 70 = 350

   بما أن ل (ح1) × ل(ح2) = ل ( ح1  ح2)  اذن فالحادثين ح1، ح2 مستقلان .

تمارين ومسائل :

1.         رمي حجر نرد مرة واحدة ، فاذا علمت أن عدد النقاط الظاهرة الى أعلى فرديا

                   احسب بطريقتين احتمال أن يظهر العدد ثلاثة .

2.         في تجربة رمي حجر نرد وقطعة نقد ما احتمال ظهور صورة على قطعة

النقد علما بأن العدد على حجر النرد أكبر من 2 .    

3.         حقيبة تحتوي على 6 كرات بيضاء ، 4 كرات سوداء سحبت كرتان على

التتابع دون ارجاع احسب احتمال أن تكون الكرتان من نفس اللون.   

4.         القيت قطعتا نقد متمايزتين معا . احسب احتمال ظهور كتابة على كل منهما

بشرط ظهور كتابة واحدة على الأقل عليهما .     

5.         اذا كان احتمال أن تعمل بطارية من نوع أ لمدة أربع ساعات هو 70%

واحتمال أن تعمل بطارية من نوع ب لمدة أربع ساعات هو 60% احسب الاحتمالات التالية :

1-         أن تعمل البطاريتان لمدة اربع ساعات

2-         أن تعمل البطارية أ  لوحدها لمدة أربع ساعات .

3-         ان تعمل بطارية واحدة لمدة أربع ساعات .

4-         أن تعمل بطارية على الأقل لمدة أربع ساعات .

5-         أن تعمل البطارية أ اربع ساعات علما بأن البطارية ب عملت أربع ساعات .

6-         مكعب دهن وجهنا منه باللون الأحمر ، وأربعة باللون الابيض فاذا رمي هذا

المكعب مرتين ، ما احتمال ظهور اللون الأحمر في الرميتين .

.