القيم المعايرة للإحصاءات المرتبة بأستخدام المحاكاة.

أقتراح طريقة التخمين لمعلمتي التموضع و القياس لتوزيع رالي في ضوء مقدري توقع القيم المعايرة للإحصاءات المرتبة بأستخدام المحاكاة+

يهدف البحث إلى مقارنة خصائص مقدري القيم المعايرة للإحصاءات المرتبة لتوزيع رالي في ضوء عدة مؤشرات متمثلةً بمعامل الارتباط ( r ) ومعامل التحديد ( r2 )  و أحصاءة تحليل التباين للانحـدار    ( F ) و مؤشري متوسط مجموع مربعات الخطأ ( MSE ) و متوسط مجموع النسبة المئوية للأخطاء ( MPE ) بخصائص مقدر أسلوب المربعات الصغرى الاعتيادية OLS ) ) باختيار أحجام مختلفة من العينات باستعمال المحاكاة .

بينت النتائج التجريبية مستواً عال من المطابقة ما بين استعمال طريقة ( OLS ) بطريقتي مقدري القيم المعايرة للإحصاءات المرتبة المدروسة ووفقاً للصيغتين :

كما هدف البحث إلى اقتراح صيغة مقدر للقيم المعايرة للإحصاءات المرتبة وذلك وفقاً لما يأتي :

وفي ضوء ما تقدم ، فقد جرت عملية المفاضلة في الجانب التجريبي في ضوء عدة مؤشرات هي : ( معامل الارتباط ، معامل التحديد ، أحصاءة تحليل التباين للانحدار ، متوسط مجموع مربعات الخطأ ( MSE ) ومتوسط مجموع النسبة المئويـة للأخطــاء ) (  MPE  ) ولأحجام مختلفة من العينات ( 10 ، 50 ، 100 ) باستعمال المحاكاة . وقد بينت النتائج التجريبية مستواً عال من المطابقة مابين نتائج استخدام الصيغة المقترحة مع الإشارة إلى أرتفاع دقة مخمنات معلمتي الموقع والقياس المقدرة بموجبها عند التعامل مع عينة ذات حجم صغير وتقترب نتائجها مع نتائج الطريقة المدروسة بصيغتيها بأزديادها وهي لأول مرة ( بحسب اطلاعنا ) .

المقدمــــة :

يُعد توزيع رالي من التوزيعات المستمـرة الذي يحتل الأهمية التطبيــقية الواسعـِـة في مجال التجارب المعولية ( Reliability ) ، ويُعد حالة خاصة من توزيع مربع كاي ( Chi- Square ) عندما تكون فيه معلمة درجة الحرية ( 2 ) ومعلمة القياس ( σ ) ، كذلك فهو حالة خاصة من توزيع ويبل ( Weibull ) بمعلمــة الشكـــل ( Shape ) ( 2 ) ومعلمة القياس   [ 5 ]. وتعرف دالة الكثافة الاحتمالية بالصيغة   الآتية [ 2 ] :

إذ أن :

     : تشير إلى معلمة الموقع ( المتوسط ) .                                   

     : تشير إلى معلمة القياس ( الانحراف المعياري ) .

 وعموماً فأن دالة الكثافة الاحتمالية القياسية للتوزيع هي عندما    و   .

ولأجل الحصول على تخمينات الأنموذج موضوع البحث و الشكل الذي يعكس أعلى درجة من الدقة في دراسة طبيعة الظاهرة المبحوثة وبالتالي الحصول على تنبؤات دقيقة يمكن إعتمادها بدرجة عالية ، فأن عدم تحقق أحد الأفتراضات ( على الأقل ) التي تتطلبها طريقة التخمين المعتمدة إنما سيعكس مستوى حيود تلك المخمنات عن تحقيقها ، وبذلك فأن طبيعة القيود التي تؤشر شكل الظاهرة تلعب دوراً خطيراً في أختيار الأسلوب أو الطريقة الملائمة في التحليل ، ومن بين تلك القيود هي طريقة التخمين المعتمدة وحجم العينة الذي يتناسب وتلك الطريقة .

من هنا جاءت فكرة دراسة هذا الموضوع من خلال مقارنة مقدرات طريقتي التخمين المدروسة و التقليدية وهما طريقة المربعات الصغرى الاعتيادية ( OLS ) وطريقي مقدري توقع القيم المعايرة للإحصاءات المرتبة على التوالي . فضلاً عن ذلك فقد تم اقتراح صيغة يمكن بموجبها تقدير دالة التوزيع التجميعية ، حيث جاءت تسمية طريقة التقدير المقترحة من خلال أستخدام توقع القيم المعايرة للإحصاءات المرتبة في فحص جودة توفيق الأخطاء العشوائية وفقاً لما يعرف بالرسم البياني الأحتمالي وهي لأول مرة ( بحسب اطلاعنا ) .

ويهدف البحث إلى :

أولاً : المقارنة مابين طريقتي التخمين التقليدية وهي المربعات الصغرى الاعتياديــــة ( OLS ) وطريقة مقدري توقع القيــم المعايرة للإحصاءات المرتبة للرسـم البياني  الاحتمالي                                       ( Expected value & the standardized Order Statistics ) أو حسبمـــا هو شائع  بمعكوس احتمالات توزيع المعاينة التجميعية القياسية     (Inverse probability of the Cumulative Sampling distribution )                                                                       

ثانياً  :  فحص مدى دقة الصيغة المقترحة لمقدر القيم المعايرة للإحصاءات المرتبة في تقدير مخمني معلمتي الموقع والقياس .

الجانب النظــري :

أولاً : طريقة التخمين التقليدية بالمربعات الصغرى الاعتيادية ( OLS ) :

تُعد هذه الطريقة من بين الطرائق التقليدية الأكثر شيوعاً وذلك لأفتراضها حالة تجانس تباين الخطاً من جهة و عدم إرتباط الأخطاء العشوائية بالمتغيرات التوضيحية في أنموذج الأنحدار الخطي من جهة أخرى . ولأجل التوصل إلى تقديرات معلمات الأنموذج موضوع البحث فأنه لابد من تحويل دالة الكثافة التجميعية بالصيغة الخطية [ 4 ] :

ومنها فأن :

وبتعويض قيمة مكونات الصيغة ( 3 ) بالصيغة العامة لأنموذج الأنحدار الخطي المتمثلة بالصيغة الاتية :

نحصل على :

 

وبتطبيق نتائج تقدير بموجب طريقة ( OLS ) فأن تقديرات معلمتي الأنموذج يتم الحصول عليها بالصيغتين  الآتيتين :

كما أن الأخطاء العشوائية ( المتبقيات ) (ei = yi - ) هي مستقلة ، ذات متوسط قدره  صفراً وتباين ثابت هو ( 2δ2 ) وتتبع توزيع رالي ، و يتطلب أجراء تحليل الانحدار ذلك حتماً وفي حالة صحة الأنموذج الرياضي للمسألة المدروسة ، ينبغي للمتبقيات أن تميل باتجاه تأكيد الافتراضات الموضوعة حولها ، أو على الأقل أن لا تظهر بالشكل الذي يتعارض وتلك الافتراضات [ 1 ] .

ثانياً : طريقة التخمين المدروسة :

تعد الرسالة التي تقدم بها Dr .R .Barnett  [ 3 ]  من جامعة برنكهام إلى كل من                                Prof. Cox ) و ( Mrs. Snell  عــــام ( 1968 ) الأســاس النظري لاستخــدامات طريقة الرسم البياني الاحتمالي ( probability plot- ( pp )) في تخمين معلمتي الموقع والقياس للأنموذج المبحوث ، حيث وجدت هذه الطريقة مجالاً تطبيقياً واسعاً في العديد من الحقول يذكر منها الهندسية ، علم الظواهر المرتبطة بالمناخ وعلم الحياة .

وكذلك فقد قام كل من  Wilk  و  Gnanadesikan  [ 7 ] في نفس العام باستعمال طريقة الرسم البياني الاحتمالي في تحليل البيانات وذلك من خلال رســم الــقيمة   i الــمرتبة إحصائياً    مقابــــل    ] [ والمعروفة بدالة التوزيع التجميعية المبينة على التجربة أو الاختبار والتي يرمـــز لــها   بـ ( ECDF )(*) . إذ أن :

حيث أن Y تمثل المتغير العشوائي لدالة التوزيع التجميعية F . هذا ، وقد جاء بالبديل المناسب لتعريف صيغة

      ( ECDF ) وذلك من خلال الرسم البياني لقيم yi مقابل ] [ ، إذ أن :

ومن أجل تحقيق إضافة نوعية في هذا المجال فقد تم اقتراح دالة التوزيع التجميعية المبنية على التجربة أو الاختبار من خلال تطبيق طريقة الرسم البياني الاحتمالي لقيم yi مقابل  وهي لأول مرة

       ( بحسب اطلاعنا ) ، إذ أن :

وبهدف تخمين معلمتي الموقع والقياس من خلال تطبيق إجراءات معكـوس دالة الكثافة التجميعية القياسية   لتوزيع رالي فقد تم أعتماد الإحصاءات المرتبة ووفقاً للصيغ الأتية   :

أ - عندما تكون فيها دالة الكثافة التجميعية القياسية وفقاً لما يأتي :

مبرهنة ( 1 ) :

( ECDF )(*) : Empirical Cumulative dist . function

( SCDF ) (**) : Standardized Cumulative dist . function

بجعل :

                      

وهذا يعني بأن :

وعليه فأن :

وفي ضوء ما تقدم وبتعويض الصيغة ( 6 ) في الدالة التجميعية الأكثر شمولاً المبينة بالصيغة ( 3 ) نحصل على:

ب - عندما تكون فيها دالة الكثافة التجميعية القياسية وفقاً لما يأتي :

مبرهنة ( 2 ) :

بجعل :

                   

وهذا يعني بأن :

وعليه فأن :

وفي ضوء ماتقدم وبتعويض الصيغة ( 8 ) في الدالة التجميـعية الأكثر شـمولاً المبيـنة بالصيغـة ( 3 ) نحصـل علـى :

ج - عندما تكون فيها دالة الكثافة التجميعية القياسية وفقاً لما يأتي :

مبرهنة ( 3 ) :

بجعل :

وهذا يعني بأن :

وعليه فأن :

وفي ضوء ما تقدم وبتعويض الصيغة ( 10 ) في الدالة التجميـعية الأكثر شـمولاً المبيـنة بالصيغـة ( 3 ) نحصـل علـى :

وبذلك فأن تقديرات الأنموذج يتم الحصول عليها بالصيغتين الأتيتين وعلى التوالي :

الجانب التجريبي :

( مقدمة المحاكاة – Simulation ) :

تعد المحاكاة طريقة عملية لتصميم أنموذج مماثل للأنموذج الفعلي وذلك لاستخدامه لغرض دراسة سلـوك النظام . ويقتضي أنجاز عملية المحاكاة تنفيذ المراحل الأتية :

1- المرحلة الأولى : مرحلة تعيين قيم المعلمات الأفتراضية وهي :

•   أختيار حجم العينة ( n ) والتي تم أختيــار ثلاثــة أحجام ( صغيرة و متوسطة وكبيرة ) وهي             

 ( 10 ، 50 ، 100 ) على التوالي .        

•   تحديد القيم الأفتراضية لمعلمات الانحدار الخطي البسيط وهي  وهما معلمتي القياس والموقع على التوالي .

1- المرحلة الثانية : مرحلة توليد البيانات بتوليد الأخطاء العشوائية بحسب توزيع رالي القياسي ،                

  إذ أن    ~  وذلك بجعل   [ 6 ] .

2- المرحلة الثالثة : مرحلة توليد القيم التقديرية لأنموذج الأنحدار الخطي بالأعتماد على القيم  الأفتراضية المحدودة بالمرحلة الأولى وتوليد القيم العشوائية للصيغة   ، إذ أن   تتبع كل منها التوزيع المنتظم المستمر ومن خلال عبارة RND ، يتم توليد أعداد عشوائية بين الصفر و الواحد و التي تعتمد لتقدير معلـمات الـطريقة التقليدية بالمربعات الصغرى الأعتيادية .

3- المرحلة الرابعة : مرحلة توليد القيم التقديرية لأنموذج الأنحدار الخطي  بالأعتماد علـى القيم  الأفتراضية المحددة بالمرحلة الأولى أيضاً وتوليد القيم العشوائية لمقدري توقع القيم المـعايـرة للإحصاءات المرتبة ووفقاً للصيغتين

 ( 6 ) و ( 8 ) و ( 10 )  بعد توليد تراتيـب  القيـم ( i ) تصاعدياً  ، حيث أن : i = 1 , 2 ,.... , n  .

5- المرحلة الخامسة : وهي المرحلة الأخيرة التي يتم فيها أحتساب قيم تقديرات الأنموذج وفقاً  للطريقـة المعتمدة في التقدير مع أحتساب كافة المؤشرات ذات العــلاقة بأجـراء عمليـات المقارنة .

وقد جرت عملية المفاضلة في الجانب التجريبي في ضوء عدة مؤشرات هي : ( معامل الارتباط ، معامل التحديد ، أحصاءة تحليل التباين للانحدار ، متوسط مجموع مربعات الخطأ ( MSE ) ومتوسط مجموع النسبة المئويـة للأخطــاء ) (  MPE  ) ولأحجام مختلفة من العينات ( 10 ، 50 ، 100 ) باستخدام المحاكاة .

عرض النتائج ومناقشتها :

من خلال نتائج تجارب المحاكاة ويبين الجدول ( 1 ) تخمينات معلـمات الأنـموذج الخطي بالطريقتين المدروسة والمقترحة ( المربعات الصغرى الأعتيادية ومقدرات توقع القيم المعايرة للأحصاءات المرتبة ) و للعينات المختارة .

و يتضح تحقق مستوى عال من المطابقة مابين نتائج الطريقة التقليدية بالمربعات الصغرى الأعتيادية ونتائج مقدرات توقع القيم المعايرة للأحصاءات المرتبة المقترحة و لكافة أحجام العينات المختلفة وقد تأيدت نتائج تلك المطابقة بالقيم الأحتمالية لأختبار مدى معنوية تلك المخمنات   حيث سجلت و لكافة التجارب المنجزة مستواً عال بالمعنوية وبتقريب أربعة مراتب عشرية ( P = 0.0000 ) .

من جانب أخر ، فقد سجلت نتائج مؤشرات عمليات المقارنة ما بين الطريقتين و المتمثلة بمعامل الأرتباط الخطي

( r ) ومعامل التحديد ( r2  ) وأحصاءة أختبار تحليل التباين للأنحدار ( F ) ومؤشر متوسط مجموع مربعات المتنقيات ( MSE ) ومتوسط مجموع النسبة المئوية للمتنقيات ( MPE ) المبينة بالجدول ( 2 ) ولكافة تجارب المحاكاة المنجزة الى التطابق العال المستوى مابين طريقتي التقدير التقليدية والمقترحة عموماً مع الأشارة الى أرتقاع مستوى دقة مخمنات الطريقة المقترحة بانواعها على دقة مخمنات الطريقة التقليدية عند التعامل من حجم صغير من المعاينة .

جدول ( 2 ) : مؤشرات عمليات المقارنة ما بين الطريقتين التقليدية بـ (OLS)

 والمقترنة بنوعيها ( مقدري توقع القيم المعايرة للإحصاءات المرتبة )

الاستنتاجات والمقترحات :

أولاً – الاستنتاجات :

من خلال نتائج الجانبين النظري والتجريبي يمكن التوصل الى الأستنتاجات الأتية :

1- في ضوء مؤشرات أختبارات المعنوية لمخمنات معلمتي التموضع والقياس   لتوزيع رالـي يتضح تحقق مستواً عال من المطابقة مابين نتائج الطريقة التقليدية بالمربعات الصغرى الأعتيادية ونتائج مقدري توقع القيم المعايرة للإحصاءات المرتبة المقترحة وبنوعيها وقد تأيدت نتائج تلك المطابقة بمغرى معنوي على تقريب أربعة مراتب عشرية و لكافة تجارب المحـاكاة المتمــيزة للعينـــات المختــارة ( P = 0.0000 ) .

2- سجلت نتائج مؤشرات عمليات المقارنة مابين الطريقتين و المتمثلة بمعامل  الارتباط ( r ) ومعامــل التحديد ( r2  ) و أحصاءة اختبار تحليل التباين للانحدار ( F ) ومؤشر متوسط مجموع مربعات المتبقيات  ( MSE ) ومتوسط مجموع النسبة المئوية للمتبقيات ( MPE ) و لكافة التجارب المنجزة تطابقاً عالياً بالمستوى عموماً مع ارتفاع مستوى دقة مخمنات الطريقة المقترحة بنوعيها عند العينات الصغيرة الحجم .

ثانياً – المقترحات :

1- التوسع إلى طرائق التخمين التقليدية بالمربعات الموزونة عندما يترافق حد الخطأ بالأنمـوذج  بحــالة عــدم تجانس التباين ( Hetroscedasticity ) .

2- التوسع في طرائق التخمين بأسلوب مقدرات العزوم ( Moment Estimators ) كطريقة تقليدية مـع الطريقة المقترحة .

3- المقارنة بأستخدام توزيعات أخرى قابلة للتحويل الى الشكل الخطي ، تنتمي أو لاتنتمي الــى العائلــة الأسية .

المصادر :

 1 - النقيب ، عبدالخالق عبدالجبار  "  قياس قوة توافق توزيعي المتغيرين العشوائيين المعتمد والمتبقي في حالة نماذج الانحدار الخطي باستخدام طريقة الرسم البياني الاحتمالي  " ، وقائع المؤتمر العلمي الخامس للجمعية العراقية للعلوم الإحصائية – جامعة القادسية / العراق ، ( 1993 )  .