العرض البياني للبيانات الكمية المستمرة

         العرض البياني للبيانات الكمية المستمرة (المتصلة):

         المدرج التكراري Histogram  :المدرج التكراري هو التمثيل البياني للجدول التكراري البسيط الخاص بالبيانات الكمية المتصلة، وهو عبارة عن أعمدة بيانية متلاصقة، حيث تمثل التكرارات على المحور العمودي، بينما تمثل قيم المتغير ( حدود الفئات) على المحور الأفقي، ويتم تمثيل كل فئة بعمود، ارتفاعه هو تكرار الفئة، طول قاعدته هو طول الفئة.

مثال (2-10): فيما يلي التوزيع التكراري لأوزان عينة من الدواجن بالغرام، حجمها 100 اختيرت من أحد المزارع بعد 45  يوم.

الوزن                                                       المجموع

عدد الدجاج      10     15     20     25     20     10     100

1-      ارسم المدرج التكراري.

2-      ارسم المدرج التكراري النسبي، ثم علق على الرسم.

الحـل:

1-      رسم المدرج التكراري.

خطوات رسم المدرج التكراري يتم إتباع الخطوات التالية

         رسم محوران متعامدان، المحور العمودي يمثل التكرارات، المحور الأفقي يمثل الأوزان.

         كل فئة تمثل بعمود ارتفاعه هو تكرار الفئة، وطول قاعدته هو طول الفئة.

         كل عمود يبدأ من حيث انتهى به عمود الفئة السابقة.

الشكل (2-6): المدرج التكراري لأوزان الدجاج.

2-      رسم المدرج التكراري النسبي: لرسم المدرج التكراري النسبي يتم إجراء الآتي:

         حساب التكرارات النسبية.

الوزن                                                       المجموع

عدد الدجاج

(التكرار المطلق)        10     15     20     25     20     10     100

التكرار النسبي 0,10  0,15  0,20  0,25  0,20  0,10  1

         بإتباع نفس الخطوات السابقة عند رسم المدرج التكراري، يتم رسم المدرج التكراري النسبي، بإحلال التكرارات النسبية محل التكرارات المطلقة على المحور العمودي، كما هو مبين في الشكل التالي:

شكل (2-7):المدرج التكراري النسبي لأوزان عينة من الدجاج حجمها 100 دجاجة

ومن الشكل أعلاه يلاحظ الآتي:

         أن 25%   من الدجاج يتراوح وزنه بين 660 ، 680 غرام وهي أكبر نسبة.

ملاحظات على شكل المدرج التكراري:

         أن المساحة أسفل المدرج التكراري تساوي مجموع التكرارات (n).

         أما المساحة أسفل المدرج التكراري النسبي، فهي تعبر عن مجموع التكرارات النسبية، وهي تساوي الواحد الصحيح.

         المضلع التكراري: هو تمثيل بياني أيضا للجدول التكراري البسيط، حيث تمثل التكرارات على المحور العمودي، ومراكز الفئات على المحور الأفقي، ثم التوصيل بين الإحداثيات بخطوط منكسرة، وبعد ذلك يتم توصيل طرفي المضلع بالمحور الأفقي. ومركز الفئة هي القيمة التي تقع في منتصف الفئة، وتحسب بتطبيق المعادلة التالية:

        

ونظرا لعدم معرفة القيم الفعلية لتكرار كل فئة، يعتبر مركز الفئة هو التقدير المناسب لقيمة كل مفردة من مفردات الفئة.

مثال (2-11): استخدم بيانات الجدول التكراري في المثال (2-10) لرسم المضلع التكراري.

الحـل: لرسم المضلع التكراري يتبع الآتي:

         حساب مراكز الفئات بتطبيق المعادلة رقم (1)

الوزن                                                       المجموع

(مركز الفئة)

610   630   650   670   690   710  

عدد الدجاج

(التكرار المطلق)        10     15     20     25     20     10     100

التكرار النسبي 0,10  0,15  0,20  0,25  0,20  0,10  1

         نقط الإحداثيات هي :

(مركز الفئة)

590   610   630   650   670   690   710   730

التكرار          0       10     15     20     25     20     10     0

         التمثيل البياني لنقط الإحداثيات وتوصيلها بخطوط مستقيمة، كما هو مبين في الشكل التالي:

شكل (2-8) :المضلع التكراري لأوزان عينة من الدجاج حجمها 100 دجاجة.

         المنحنى التكراري : بإتباع نفس الخطوات السابقة في رسم المضلع يمكن رسم المنحنى التكراري، ولكن يتم تمهيد الخطوط المنكسرة في شكل منحنى بحيث يمر بأكثر عدد من النقاط، وفي المثال السابق يمكن رسم المنحنى التكراري.

     المنحنى التكراري  هو خط منحنى ممهد للمضلع التكراري ، يعطي لنا فكرة عن شكل التوزيع  هل هو قريب إلى التوزيع الطبيعي ( متناظر أو غير متناظر ).

شكل (2-9): المنحنى التكراري لأوزان عينة من الدجاج حجمها 100 دجاجة

 

         كما يمكن رسم المنحنى التكراري النسبي بتمثيل التكرارات النسبية على المحور العمودي بدلا من التكرارات المطلقة، ومن ثم يأخذ هذا المنحنى الشكل التالي:

شكل (2-10): المنحنى التكراري النسبي لأوزان عينة من الدجاج حجمها 100 دجاجة

التوزيعات التكرارية المتجمعة: في كثير من الأحيان قد يحتاج الباحث إلى معرفة عدد المشاهدات التي تقل عن قيمة معينة أو تزيد عن قيمة معينة، ومن ثم يلجأ الباحث إلى تكوين جداول تجميعية صاعدة أو هابطة، وفيما يلي بيان كيفية تكوين كل نوع من هذين النوعين على حدة:

1)      التوزيع التكراري المتجمع الصاعد: لتكوين الجدول التكراري المتجمع الصاعد، يتم حساب مجموع

التكرارات (عدد القيم) التي   تقل عن كل حد من حدود الفئات.

2)      التوزيع التكراري المتجمع النازل : لتكوين الجدول التكراري المتجمع النازل، يتم حساب مجموع التكرارات (عدد القيم) التي   تساوي أو تزيد عن كل حد من حدود الفئات.

مثال(2-12):   فيما يلي التوزيع التكراري لاطوال الطلبة بالمتر.

الفئات(طول القامة)                                

التكرارات

4       18     6       2

التكرار المتجمع الصاعد

4       22     28     30

التكرار المتجمع النازل

30     26     8       2

المطلوب:

1-      ارسم المنحنى التكراري المتجمع(المتراكم) الصاعد.

2-      ارسم المنحنى التكراري المتجمع(المتراكم) النازل.

الشكل رقم(2-12): يبين كل من المنحنى المتجمع الصاعد والنازل

الفصل الثالث:مقاييس النزعة المركزية

تسمى مقاييس الترعة المركزية بمقاييس الموضع أو المتوسطات ، وهى القيم التى تتركز القيم حولها ، ومن هذه المقاييس ، الوسط الحسابي ، والمنوال ، والوسيط ، والوسط الهندسي ، والوسط التوافقي ، والرباعيات ، والمئينات ، وفيما يلي عرض لأهم هذه المقاييس:

أولاً: الوسط (المتوسط) الحسابي: يعرف الوسط الحسابي لمجموعة من القيم بأنه مجموع هذه القيم مقسوماً على عددها . كما يمكن تعريفه بأنه القيمة التي لو أُعطيت لكل مفردة من مفردات المجموعة فإن مجموع القيم الجديدة يساوي مجموع القيم الاصلية.

يعرف الوسط الحسابي رياضيا بأنه يساوي مجموع قيم البيانات مقسوما على عدد مفردات البيانات ،أي :

1)      حالة البيانات غير المبوبة: يعرف الوسط الحسابي بشكل عام على أنه مجموع القيم مقسوما على عددها . فإذا كان لدينا  n من القيم، ويرمز لها بالرمز:   يحسب بالمعادلة التالية : 

مثال(3-1): أوجد الوسط الحسابي لكل القيم:11،16،12،10،14،13،15

الحل:            

2)      حالة البيانات المبوبة:

         حالة المتغير المتقطع: إذا كانت:    قيّم ميزة إحصائية ،وكانت  تكراراتها على الترتيب . فإنّ: الوسط الحسابي لهذه السلسلة الإحصائية يعطى بالعلاقة:

أي:

  :عدد القيم المختلفة.

  :حجم المجتمع.

  :التكرار المطلق.

 :القيم.

مثال(3-2):  الجدول التالي يعطينا توزيع42طالب حسب عدد الغيابات :

عدد الغيابات

التكرار المطلق

0       15     0

2       08     16

3       10     30

4       07     28

5       02     10

المجموع        42     84

الحل:

معدل غيابات كل طالب هو 02 

         حالة المتغير المستمر: من المعلوم أن القيم الأصلية ، لا يمكن معرفتها من جدول التوزيع التكراري ، حيث أن هذه القيم موضوعة في شكل فئات، ولذا يتم التعبير عن كل قيمة من القيم التي تقع داخل حدود الفئة بمركز هذه الفئة ، ومن ثم يؤخذ في الاعتبار أن مركز الفئة هو القيمة التقديرية لكل مفردة تقع في هذه الفئة.

فإذا كانت هي عدد الفئات، وكانت  هي مراكز هذه الفئات، وكانت  تكراراتها على الترتيب. فان الوسط الحسابي يحسب بالمعادلة التالية:

مثال(3-3): الجدول التالي يعطينا توزيع 92 شخص حسب قاماتهم:

الفئات  التكرار المطلق

مركز الفئات

         40     162   6480

         22     166   3652

         20     170   3400

         10     174   1740

المجموع        92               15272

قامة كل شخص بالمعدل هي 166 سم.

ثانيا:الوسيط

الوسيط هو ثاني مقاييس النزعة المركزية هو أقل دقة من الوسط الحسابي، ولكنه يعتبر جيد في تمثيل الفئات المفتوحة والتي لا يستطيع الوسط الحسابي أن يعبر عنها بدقة . الوسيط هو الدرجة التى تقسم توزيع الدرجات إلى قسمين أو نصفين متساويين.

أي هو القيمة التي تقع في منتصف المجموعة بعد ترتيب القيم تصاعديا أو تنازلياً. أي هو القيمة التي يكون نصف عدد القيم أصغر منها أو يساويها والنصف الآخر أكبر منها أو يساويها، من هذا التعريف للوسيط نجد أنه يعالج العيوب الثلاثة التي يعاني منها الوسط الحسابي، فالوسيط لا يتأثر بالقيم الشاذة أو المتطرفة. كما أنه يمكن حسابه في حالة الفئات المفتوحة ، ويمكن إيجاده بيانياً.

1)      البيانات غير المبوبة:  يتم حساب الوسيط لهذه البيانات باتباع الخطوات التالية:

         نقوم بترتيب البيانات تصاعديا او تنازليا.

         نقوم بحساب ترتيب الوسيط   حسب عدد القيم اذا كان زوجيا او فرديا.

القانون تعريف الرموز استخدامه

          = رتبة الوسيط

 = عدد البيانات (الأعداد )

إن كانت الأعداد فردية

          = الوسيط الأول

 = الوسيط الثاني

 = رتبة الوسيط

إذا كانت البيانات زوجية

أ‌.        اذا كان عدد القيم N فرديا يكون :

مثال(3-4): احسب الوسيط للقيم التالية: 8  ، 7 ،   2، 5  ،  2  ، 6  ، 8 .

الحل :

         نرتب الأرقام تصاعديا(مهما تكررت الأرقام).

         حساب الرتبة:

7       6       5       4       3       2       1       رقم الرتبة

8       8       7       6       5       2       2       القيم

إذن قيمة الوسيط هو

ب‌.      اذا كان عدد القيم N زوجيا يكون :

مثال(3-5): احسب الوسيط للقيم التالية: 6 ،2 ،5 ،2 ،8 ،8.

         نرتب الأرقام تصاعديا(مهما تكررت الأرقام).

         حساب الرتبة:

6       5       4       3       2       1       رقم الرتبة

8       8       6       5       2       2       القيم

إذن قيمة الوسيط :هو ، 

2)      البيانات المبوبة: البيانات المبوبة قد تكون غير مستمرة اي مدى فئاتها معدوم، وقد تكون مستمرة اي مدى فئاتها اكبر من الصفر، ويتم ايجاد الوسيط حسب كل حالة كمايلي:

أ‌.        حالة البيانات المنفصلة(المتقطعة)(طول الفئات معدوم): في هذه الحالة يتم ايجاد الوسيط كما يلي:

         توجد ترتيب الوسيط باستخدام احدى المعادلتين التاليتين:

-اذا كان مجموع التكرارات فرديا:  

- اذا كان مجموع التكرارات زوجيا:  

         نوجد التكرار المتجمع الصاعد(او النازل) ونبحث عن مكان ترتيب الوسيط بين التكرارات المتجمعة، فتجده بين تكرارين من التكرارات المتجمعة، وتكون قيمة الوسيط هي القيمة المقابلة للتكرار المتجمع اللاحق لترتيب الوسيط. اذا ما كانت تساوي احدى قيم التكرارات المتجمعة فان  تساوي الفئة المقابلة لها، سواء كان مجموع التكرارات زوجيا او فرديا:

مثال(3-6): نفس المثال السابق(3-2) الخاص بتوزيع الطلبة حسب عدد الغيابات.

                   

0       15     15

         8       23

3       10     33

4       7       40

5       2       42

المجموع        42    

 لايجاد الوسيط نقسم المجتمع على 02(عدد القيم زوجي)

ترتيب الوسيط يوجد بين التكرارين المتجمعين:15 و23، لذلك فان الوسيط يساوي الى القيمة(الفئة) المقابلة ل:23، وبالتالي يكون:

ب‌.      حالة البيانات المستمرة(المتصلة)(طول الفئات اكبر من الصفر): يتم ايجاد الوسيط بعدة طرق تعطي نتائج متقاربة في الغالب،وهي:

         الطريقة الاولى(وهي الاكثر استخداما): يتم استخدام المنهجية التالية لايجاد الوسيط:

-نوجد التكرار المتجمع الصاعد او التكرار المتجمع النازل.

-نوجد ترتيب(رتبة) الوسيط باستخدام المعادلة(سواء كان مجموع التكرارات فرديا او زوجيا تستخدم نفس المعادلة): 

-نبحث عن مكان ترتيب الوسيط بين التكرارات المتجمعة، فنجده بين تكرارين من التكرارات المتجمعة احدهما سابق له والاخر لاحق له.

-نبحث عن الفئة الوسيطية في حدود الفئات التي تحدد التكرار المتجمع، بحيث يكون الحد الادنى للفئة الوسيطية هو الحد المقابل للتكرار المتجمع السابق لترتيب الوسيط ، وحدها الاعلى هو الحد المقابل للمتجمع اللاحق لترتيب الوسيط.

         قيمة الوسيط

d       الحد الادنى للفئة الوسيطية

C       ترتيب(رتبة) الوسيط

L       طول الفئة الوسيطية

         التكرار المتجمع السابق لترتيب الوسيط

         التكرار المتجمع اللاحق لترتيب الوسيط

مثال(3-7):نفس المثال السابق(3-3).

الفئات  التكرار المطلق

         40        

         22        

         20     82

         10     92

المجموع        92    

         حساب الرتبة: 

         الطريقة الثانية: نفس المنهجية المستخدمة في الطريقة الاولى لإيجاد الوسيط:

         قيمة الوسيط

d       الحد الادنى للفئة الوسيطية

C

ترتيب(رتبة) الوسيط

L       طول الفئة الوسيطية

         التكرار المتجمع السابق لترتيب الوسيط

         التكرار المطلق للفئة الوسيطية.

مثال(3-7):نفس المثال السابق(3-3).

الفئات  التكرار المطلق

         40        

         22        62

         20     82

         10     92

المجموع        92    

         حساب الرتبة: 

         الطريقة الثالثة:الطريقة البيانية: اذ يمكن ايجاد الوسيط بيانيا، وذلك برسم، اما المنحنى التكراري المتجمع الصاعد أو النازل او من خلال تقاطع كل من المنحنى التكراري المتجمع الصاعد والنازل.

مثال(من خلال المثال السابق(2-12):

ثالثا: المنوال:

يعرف المنوال لمجموعة من البيانات بانه الفئة الاكثر تكراراً بين مجموعة القيم، ويتم حسابه كمايلي:

1)      البيانات غير المبوبة: يمثل المنوال في هذه الحالة القيمة الاكثر تكراراُ.

مثال(3-8): 10، 15، 10، 13، 12، 07، 11، 10.

اذا قيمة المنوال هي: 

ملاحظة: يمكن ان نجد اكثر من منوال واحد في نفس السلسلة للقيم، كما يمكن ان لانجد منوالا لسلسلة القيم.

2)      البيانات المبوبة:

أ‌.        حالة البيانات المنفصلة(المتقطعة)(طول الفئات معدوم): في هذه الحالة يكون المنوال هو قيمة المتغير ذات التكرار المطلق الاكبر.

مثال(3-9): مثال(3-6): نفس المثال السابق(3-2) الخاص بتوزيع الطلبة حسب عدد الغيابات.

          

         15

2       8

3       10

4       7

5       2

المجموع        42

اذا قيمة المنوال هي: 

ب‌.      حالة البيانات المستمرة(المتصلة)(طول الفئات اكبر من الصفر): تسمى هذه الطريقة بطريقة الرافعة، وفيها يتم ايجاد المنوال باستخدام المعادلة التالية:

         قيمة المنوال

D       الحد الادنى للفئة المنوالية

L       طول الفئة المنوالية

         التكرار اللاحق لتكرار الفئة المنوالية

         التكرار السابق لتكرار الفئة المنوالية

مثال(3-10): لدينا جدول توزيع التلاميذ حسب طول قامتهم بالسنتيمتر  :

الفئات                             

التكرار المطلق

4       18     6       2

نلاحظ أنّ أغلبية التلاميذ طول قامتهم تنتمي إلى الفئة      تسمّى هذه الفئة : فئة منوالية:

وعليه فان قيمة المنوال هي:

 او من خلال:

         قيمة المنوال

D       الحد الادنى للفئة المنوالية

L       طول الفئة المنوالية

         الفرق بين تكرار الفئة المنوالية وتكرار الفئة اللاحقة لها

         الفرق بين تكرار الفئة المنوالية وتكرار الفئة السابقة لها

مثال(3-11): لدينا جدول توزيع التلاميذ حسب طول قامتهم بالسنتيمتر  :

الفئات                             

التكرار المطلق

4       18     6       2

نلاحظ أنّ أغلبية التلاميذ طول قامتهم تنتمي إلى الفئة      تسمّى هذه الفئة : فئة منوالية:

وعليه فان قيمة المنوال هي:

كيفية إيجاد منوال هذه الفئة من العرض البياني :

ملاحظة: تربط بين الوسط الحسابي   والوسيط  والمنوال  العلاقة التالية:

رابعا: الوسط الهندسي، الوسط الربيعي، الوسط التوافقي:

         البيانات غير المبوبة    البيانات المبوبة

الوسط الهندسي

          

الوسط الربيعي          

الوسط التوافقي          

مثال(3-12): لدينا القيم التالية:14، 10، 8، 12،15.

المطلوب ايجاد التالي:

         البيانات غير المبوبة    الحل

الوسط الهندسي

          

G=11,50

الوسط الربيعي          12,10

الوسط التوافقي          =11,21

 المثال (3-13): اليك البيانات التالية:

القيم

التكرار

1       7

2       5

5       8

المجموع        20

الحل:

         الحل    البيانات المبوبة

الوسط الهندسي

          

الوسط الربيعي = 3,37

الوسط التوافقي