الارتباط والانحدار الخطي البسيط

الارتباط والانحدار الخطي البسيط

في الفصول الثلاث السابقة تم عرض بعض المقاييس الوصفية، مثل مقاييس الترعة المركزية،

والتشتت، ومقاييس الالتواء والتفرطح، وغيرها من المقاييس الأخرى والتي يمكن من خلالها وصف شكل

توزيع البيانات التي تم جمعها عن متغير واحد، وننتقل من التعامل مع متغير واحد إلى التعامل مع متغيرين

أو أكثر، ويتناول هذا الفصل دراسة وتحليل العلاقة بين متغيرين، وذلك باستخدام بعض طرق التحليل

الإحصائي مثل تحليل الارتباط، والانحدار الخطي البسيط، فإذا كان اهتمام الباحث هو دراسة العلاقة بين

متغيرين استخدم لذلك أسلوب تحليل الارتباط، وإذا كان اهتمامه بدراسة أثر أحد المتغيرين على الآخر

استخدم لذلك أسلوب تحليل الانحدار، ومن الأمثلة على ذلك:

-1 الإنفاق، والدخل العائلي.

-2 سعر السلعة، والكمية المطلوبة منها.

-3 الفترة الزمنية لتخزين الخبز، وعمق طراوة الخبز.

-4 تقديرات الطلاب في مقرر الإحصاء، وتقديرام في مقرر الرياضيات.

-5 كميات السماد المستخدمة، وكمية الإنتاج من محصول معين تم تسميده ذا النوع من السماد.

-6 عدد مرات ممارسة نوع معين من الرياضة البدنية، ومستوى الكلسترول في الدم.

-7 وزن الجسم، وضغط الدم.

وتم جمع بيانات ، (y , x) والأمثلة على ذلك في اال التطبيقي كثيرة، فإذا كان لدينا المتغيرين

عن أزواج قيم هذين المتغيرين، وتم تمثيلها بيانيا فيما يسمى بشكل الانتشار، فإن العلاقة بينها تأخذ

أشكالا مختلفة على النحو التالي :

(1 - شكل( 6

y , x شكل الانتشار لبيان نوع العلاقة بين

Simple Correlation 2/6 الارتباط الخطى البسيط

إذا كان الغرض من التحليل هو تحديد نوع وقوة العلاقة بين متغيرين ، يستخدم تحليل الارتباط

، وأما إذا كان الغرض هو دراسة وتحليل أثر أحد المتغيرين على الآخر ، يستخدم تحليل الانحدار، وفي

81

هذا الفصل يتم عرض أسلوب تحليل الارتباط الخطي البسيط، أي في حالة افتراض أن العلاقة بين

المتغيرين تأخذ الشكل الخطي ، وسوف يجرى حسابه في حالة البيانات الكمية ، والبيانات الوصفية

المقاسة بمعيار ترتيبي.

1/2/6 الغرض من تحليل الارتباط الخطى البسيط

الغرض من تحليل الارتباط الخطي البسيط هو تحديد نوع وقوة العلاقة بين متغيرين، ويرمز له في

وحيث أننا في كثير من النواحي التطبيقية ، r (رو)، وفي حالة العينة بالرمز r حالة اتمع بالرمز

كتقدير r نتعامل مع بيانات عينة مسحوبة من اتمع، سوف تم بحساب معامل الارتباط في العينة

لمعامل الارتباط في اتمع، ومن التحديد السابق للغرض من معامل الارتباط، نجد أنه يركز على نقطتين

هما:

نوع العلاقة: وتأخذ ثلاث أنواع حسب إشارة معامل الارتباط كما يلي: •

توجد علاقة عكسية بين المتغيرين، بمعنى أن (r < -1 إذا كانت إشارة معامل الارتباط سالبة ( 0

زيادة أحد المتغيرين يصاحبه انخفاض في المتغير الثاني، والعكس.

توجد علاقة طردية بين المتغيرين، بمعنى أن (r > -2 إذا كانت إشارة معامل الارتباط موجبة ( 0

زيادة أحد المتغيرين يصاحبه زيادة في المتغير الثاني، والعكس .

دل ذلك على انعدام العلاقة بين المتغيرين. ( r = -3 إذا كان معامل الارتباط قيمته صفرا ( 0

) ، حيث قوة العلاقة: ويمكن الحكم على قوة العلاقة من حيث درجة قرا أو بعدها عن ( 1 •

-1 )، وقد صنف بعض الإحصائيين درجات < r < أن قيمة معامل الارتباط تقع في المدى( 1

لقوة العلاقة يمكن تمثيلها على الشكل التالي:

(2 - شكل ( 6

درجات قوة معامل الارتباط

Pearson " 2/2/6 معامل الارتباط الخطى البسيط " لبيرسون

يمكن قياس الارتباط بينهما، باستخدام ، (y , x) في حالة جمع بيانات عن متغيرين كميين

ومن الأمثلة على ذلك: قياس العلاقة بين الوزن والطول، والعلاقة بين ،Pearson " طريقة "بيرسون

الإنتاج والتكلفة، والعلاقة بين الإنفاق الاستهلاكي والدخل، والعلاقة بن الدرجة التي حصل عليها

الطالب وعدد ساعات الاستذكار، وهكذا الأمثلة على ذلك كثيرة.

82

ولحساب معامل الارتباط في العينة ، تستخدم صيغة " بيرسون" التالية :

حيث أن :

S (x x)(y y) (n 1) ، ( y , x) هو التغاير بين : xy

S (x x)2 (n 1) ، (x) هو الانحراف المعياري لقيم : x

S ( y y)2 (n 1) . (y) هو الانحراف المعياري لقيم : y

ويمكن اختصار الصيغة السابقة على النحو التالي :

(1 - مثال ( 6

فيما يلي المساحة المتررعة بالأعلاف الخضراء بالألف هكتار، وإجمالي إنتاج اللحوم بالألف طن،

. خلال الفترة من 1995 حتى عام 2002

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 السنة

305 313 297 289 233 214 240 217 المساحة

592 603 662 607 635 699 719 747 الكمية

والمطلوب: حساب معامل الارتباط بين المساحة والكمية، وما هو مدلوله ؟

الحل

هي الكمية، ولحساب معامل الارتباط (y) ، هي المساحة المتررعة (x) بفرض أن

2)، وذلك على النحو التالي: - يتم تطبيق المعادلة ( 6 (y , x) بين

. (y , x) حساب الوسط الحسابي لكل من المساحة، والكمية •

يوجد ارتباط عكسي قوي بين المساحة المتررعة، وكمية إنتاج اللحوم. •

تبسيط العمليات الحسابية:

2) في غاية الصعوبة، خاصة إذا لازم - في بعض الأحيان، يكون استخدام صيغة المعادلة ( 6

2) إلى صيغة أسهل تعتمد على - العمليات الحسابية قيما كسرية، من أجل ذلك يمكن تبسيط الصيغة ( 6

مجموع القيم وليس على انحرافات القيم عن وسطها الحسابي، وهذه الصيغة هي:

وبالتطبيق على بيانات المثال السابق ، يتبع الآتي :

حساب ااميع: •

x y xy x2 y ااميع المطلوبة 2

305 592 180560 93025 350464

313 603 188739 97969 363609

x 2108 , y 5264

xy 1373536 297 662 196614 88209 438244

84

289 607 175423 83521 368449

233 635 147955 54289 403225

214 699 149586 45796 488601

240 719 172560 57600 516961

217 747 162099 47089 558009

x2 567498

y2 3487562

2108 5264 1373536 567498 3487562

حساب معامل الارتباط: •

3) أعلاه، نجد أن معامل الارتباط قيمته - باستخدام ااميع السابقة، وبالتطبيق على المعادلة ( 6

r

وهي نفس النتيجة السابقة:

Spearman ( 3/2/6 معامل ارتباط الرتب (اسبيرمان

إذا كانت الظاهرة محل الدراسة تحتوي على متغيرين وصفيين ترتيبين، ومثال على ذلك قياس

العلاقة بين تقديرات الطلبة في مادتين ، أو العلاقة بين درجة تفضيل المستهلك لسلعة معينة ، ومستوى

الدخل، فإنه يمكن استخدام طريقة "بيرسون" السابقة في حساب معامل ارتباط يعتمد على رتب

مستويات المتغيرين كبديل للقيم الأصلية ، ويطلق على هذا المعامل " معامل ارتباط اسبيرمان "

ويعبر عنه بالمعادلة التالية : ، Spearman

، y ورتب مستويات المتغير الثاني ، x هي الفرق بين رتب مستويات المتغير الأول d حيث أن

. d Rx Ry : أي أن

(2 - مثال ( 6

فيما يلي تقديرات 10 طلاب في مادتي الإحصاء، والاقتصاد:

85

ب+ ب+ ب أ+ ج+ ب+ د+ د ج+ أ تقديرات إحصاء

ب ج ب ب+ ب أ ج ج د أ+ تقديرات اقتصاد

والمطلوب:

-1 احسب معامل الارتباط بين تقديرات الطلبة في المقررين.

-2 وما هو مدلوله ؟

الحل

هي تقديرات الاقتصاد، يمكن حساب معامل الارتباط y ، هي تقديرات الإحصاء x -1 بفرض أن

4)، وذلك بإتباع الآتي: - بينهما باستخدام المعادلة ( 6

كما يلي: d إذا يمكن حساب اموع: 2 •

-2 مدلول معامل الارتباط :

ويدل ذلك على وجود ارتباط طردي قوي بين تقديرات الطالب في ، r بما أن 0.703

مادة الإحصاء ، ومادة الاقتصاد .

ملحوظة:- يمكن استخدام صيغة معامل ارتباط "اسبيرمان" في حساب الارتباط بين متغيرين كميين،

حيث يتم استخدام رتب القيم التي يأخذها المتغير، ونترك للطالب القيام بحساب معامل ارتباط الرتب

d 2 1) السابق، وعليه أن يقوم بتفسير النتيجة: (معاونة : 148 - بين المساحة والكمية في مثال ( 5

86

(

Simple Regression 3/6 الانحدار الخطى البسيط

إن الغرض من استخدام أسلوب تحليل الانحدار الخطي البسيط، هو دراسة وتحليل أثر متغير

كمي على متغير كمي آخر، ومن الأمثلة على ذلك ما يلي:

دراسة أثر كمية السماد على إنتاجية الدونم. •

دراسة أثر الإنتاج على التكلفة. •

دراسة أثر كمية البروتين التي يتناولها الأبقار على الزيادة في الوزن. •

أثر الدخل على الإنفاق الاستهلاكي. •

وهكذا هناك أمثلة في كثير من النواحي الاقتصادية، والزراعية، والتجارية، والعلوم السلوكية،

وغيرها من االات الأخرى.

1/3/6 نموذج الانحدار الخطي

في تحليل الانحدار البسيط، نجد أن الباحث يهتم بدراسة أثر أحد المتغيرين ويسمى بالمتغير

المستقل أو المتنبأ منه، على المتغير الثاني ويسمى بالمتغير التابع أو المتنبأ به، ومن ثم يمكن عرض نموذج

الانحدار الخطي في شكل معادلة خطية من الدرجة الأولى، تعكس المتغير التابع كدالة في المتغير المستقل

كما يلي:

حيث أن:

هو المتغير التابع (الذي يتأثر) : y

هو المتغير المستقل ( الذي يؤثر ) : x

0 وهو يعكس قيمة المتغير التابع في حالة انعدام قيمة ، y : هو الجزء المقطوع من المحور الرأسي b

x أي في حالة 0 ، x المتغير المستقل

1 بوحدة واحدة. x إذا تغيرت y ) ، ويعكس مقدار التغير في b0 b1x) : ميل الخط المستقيم b

والقيمة المقدرة ، y هو الخطأ العشوائي، والذي يعبر عن الفرق بين القيمة الفعلية :e

y x 0 1 ويمكن توضيح هذا الخطأ على ، e y(b0 b1x) : أي أن ، ˆ b b

الشكل التالي لنقط الانتشار.

87

2/3/6 تقدير نموذج الانحدار الخطي البسيط

5) باستخدام طريقة المربعات - ) في النموذج ( 6 b1 , b يمكن تقدير معاملات الانحدار ( 0

الصغرى، وهذا التقدير هو الذي يجعل مجموع مربعات الأخطاء العشوائية

2 ( )2 0 1أقل ما يمكن، ويحسب هذا التقدير بالمعادلة التالية: e y b b x

وتكون القيمة ، y هو الوسط الحسابي لقيم y ، x هو الوسط الحسابي لقيم x حيث أن

y 0 1x : المقدرة للمتغير التابع هو

y ويطلق على هذا التقدير " تقدير معادلة انحدار ، ˆ bˆ bˆ

. x على

(3 - مثال ( 6

فيما يلي بيانات عن كمية البروتين اليومي بالجرام التي يحتاجها العجل الرضيع، ومقدار الزيادة

. في وزن العجل بالكجم، وذلك لعينة من العجول الرضيعة حجمها 10

10 11 14 15 20 25 46 50 59 70 كمية البروتين

10 10 12 12 13 13 19 15 16 20 الزيادة في الوزن

والمطلوب :

-1 ارسم نقط الانتشار، وما هو توقعاتك لشكل العلاقة ؟

-2 قدر معادلة انحدار الوزن على كمية البروتين.

-3 فسر معادلة الانحدار.

-4 ما هو مقدار الزيادة في الوزن عند إعطاء العجل 50 جرام من البروتين ؟ وما هو مقدار الخطأ

العشوائي؟

. ( -5 ارسم معادلة الانحدار على نقط الانتشار في المطلوب ( 1

الحل

88

y -1 رسم نقط الانتشار: مقدار الزيادة

x كمية البروتين

من المتوقع أن يكون لكمية البروتين أثر طردي (إيجابي) على مقدار الزيادة في الوزن.

-2 تقدير معادلة الانحدار.

- هي مقدار الزيادة في الوزن، يمكن تطبيق المعادلتين في ( 6 y ، هي كمية البروتين x بفرض أن

6)، ومن ثم يتم حساب ااميع التالية:

x y x ااميع المطلوبة 2 في الوزن كمية البروتين y الزيادة

-3 تفسير المعادلة:

الثابت 0 9.44 •

يدل على أنه في حالة عدم استخدام البروتين قي التغذية، فإن : bˆ 

الوزن يزيد 9.44 كجم.

معامل الانحدار 1 0.143 •

يدل على أنه كلما زادت كمية البروتين جرام واحد، : bˆ 

حدث زيادة في وزن العجل بمقدار 0.143 كجم، أى زيادة مقدارها 143 جرام.

هو: x -4 مقدار الزيادة في الوزن عند 50

yˆ 9.440.143(50) 16.59

وأما ومقدار الخطأ العشوائي هو:

15 16.59 1.59 50 50 50 ˆ ˆ x x x e y y

-5 رسم معادلة الانحدار على نقط الانتشار.

يمكن رسم معادلة خط مستقيم إذا علم نقطتين على الخط المستقيم.

x 50 10

yˆ 16.59 10.87

إذا معادلة الانحدار هي:

y

x

90