الاحتمالات والتطبيقات

الاحتمالات والتطبيقات

Probabilities and its Applications

كلمة "احتمال" هي كلمة ينطق ا الكثير من الناس، فبعض خبراء الأرصاد الجوية يقولون من

المحتمل سقوط أمطار اليوم، احتمال ارتفاع في درجات الحرارة، وبعض خبراء البورصة يقولون

احتمال ارتفاع قيمة الأسهم المتداولة في سوق المال لشركة معينة، خلال هذا اليوم، واحتمال نجاح

طالب، واحتمال إصابة نوع معين من الفاكهة بنوع من البكتريا، وهكذا، يكثر نطق الأفراد ا

وربما يجهلون معناها. فماذا تعني كلمة احتمال؟

يقصد ذه الكلمة فرصة حدوث أو وقوع حادثة معينة، وتستخدم الاحتمالات في كثير من

النواحي التطبيقية، مثل االات الاقتصادية، والتجارية، والزراعية، والطبية، والسلوكية، وغيرها،

خاصة عند اتخاذ القرار في دراسات الجدوى، والتنبؤ بسلوك الظواهر المختلفة، ولكي يمكن فهم

موضوع الاحتمال، وأهميته في النواحي التطبيقية، نقوم بعرض بعض المفاهيم الخاصة بالاحتمالات.

2/7 بعض المفاهيم الخاصة بالاحتمال

Randomized Experiment التجربة العشوائية •

هي أي عملية تتم يمكن تحديد كل النتائج الممكنة لها، ولكن لا يمكن مسبقا تحديد النتيجة التي

ستظهر أو تحدث، ومثال على ذلك عند إلقاء قطعة عملة معدنية مرة واحدة، فإن النتائج الممكنة لها

أي أن ،T أو "ظهور الكتابة" ويرمز لها بالرمز ،H نتيجتان هما: "ظهور الصورة" ويرمز لها بالرمز

وقبل إلقاء القطعة ، لا يمكن تحديد أي من النتيجتين سوف ،{H , T } : النتائج الممكنة هي

تظهر.

Sample Space فراغ العينة •

ويرمز لعدد النتائج المكونة لفراغ ،S هي مجموعة النتائج الممكنة للتجربة، ويرمز لها بالرمز

ومن الأمثلة على ذلك: ، n(S) العينة بالرمز

، S:{H , T } : -1 عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرة واحدة، نجد أن فراغ العينة هو

. n(S) وعدد النتائج هي: 2

91

-2 عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرتين (إلقاء قطعتين مرة واحدة )، فإن فراغ العينة يمكن

الحصول عليه من خلال شجرة الاحتمالات كما يلي:

n(S) أي أن 4

-3 عند رمي زهرة نرد غير متحيزة مرة واحدة، فإن فراغ العينة هو مجموعة عدد النقاط التي

. n(S) أي أن : 6 ، S:{1, 2, 3, 4, 5, تظهر على الوجه، وهي: { 6

-4 عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة عدد من المرات حتى نحصل على الصورة مرة واحدة، نجد

أن التجربة هي عدد من المحاولات يتم إيقافها عندما نحصل على الصورة مرة واحدة ، إذا

فراغ العينة هو :

. n(S) : ويكون ، S:{H, TH, TTH, TTTH,…….}

ثلاث كرات زرقاء ،(red) -5 عند سحب كرتين بدون إرجاع من كيس به خمس كرات حمراء

نجد أن فراغ العينة هو: ،(green) وكرتان خضراء ،(blue)

لأا حالات غير متزنة). ) ، n(S) (109) أي أن: 90

-6 عند فرز صندوق به خمس وحدات من سلعة معينة، يكون فراغ العينة لعدد الوحدات

المعيبة هو ......... واجب مترلي

Event الحادث •

هو فئة جزئية من النتائج المكونة لفراغ العينة، ويرمز للحادث بحرف من الحروف الهجائية

وينقسم الحادث إلي نوعين هما: ، […,C ,B ,A]

وهو الذي يحتوي على نتيجة واحدة من النتائج :Simple Event -1 حادث بسيط

المكونة لفراغ العينة.

92

ويشمل نتيجتين أو أكثر من النتائج المكونة :Component Event -2 حادث مركب

لفراغ العينة، أي أن الحادث المركب يمكن تقسيمه إلى حوادث بسيطة.

وهكذا. ...,n(B) ,n(A) ويرمز لعدد النتائج المكونة للحادث بالرمز

بأنه ظهور الصورة مرتين ، A فعند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرتين ، وعرف الحادث

ظهور الصورة مرة واحدة على الأقل ، نجد أن فراغ العينة في هذه الحالة هي B والحادث

فهو حادث بسيط ، يشمل نتيجة واحدة A وبالنسبة للحادث ، S:{HH, HT, TH, TT}

فهو حادث مركب يشمل ثلاث نتائج هي B أما الحادث ، n(A)= أي أن 1 ، A:{HH} هي

وهذا الحادث يمكن تقسيمه إلى أحداث بسيطة . ، n(B)= أي أن 3 ، B:{HT, TH, HH}

Union ( ) الاتحاد •

عن وقوع أحدها على الأقل، وبمعنى آخر وقوع الأول أو الثاني أو B , A يعبر اتحاد الحادثان

ويمكن الاستعانة بشكل "فن" ، A or Bأو ABكلاهما، ويعبر عن ذلك رياضيا

كما يلي: Ven. Diagram

(1 - شكل ( 7

بأنه ظهور A ومثال على ذلك ، عند إلقاء زهرة نرد متزنة مرة واحدة ، وعرف الحادث

بأنه ظهور عدد فردي، يلاحظ أن: B وجه يقبل القسمة على 3 ، والحادث

هو: B , A ويكون اتحاد الحادثان ، B:{1,3,5}, A:{3,6}, S:{1,2,3,4,5,6}

كما يلي: Ven ويعبر عن ذلك في شكل ، AB:1,3,5,6

AB:1,3,5,6

Intersection () التقاطع •

عن وقوع الاثنان في آن واحد ، ويشمل كل النتائج المشتركة B , A يعبر تقاطع الحادثان

ويظهر ذلك في شكل ، Aand Bأو ABبين الحادثين، ويعبر عن ذلك رياضيا

"فن" كما يلي :

93

(2 - شكل ( 7

. AB:{ ففي المثال السابق ، نجد أن { 3

Mutually Exclusive evens الأحداث المتنافية •

متنافيان، إذا كان وقوع أحدها ينفي وقوع الحدث الآخر، بمعنى B, A يقال أن الحادثان

استحالة وقوعهما في آن واحد، ومن ثم يكون نتيجة تقاطع الحادثان المتنافيان هي الفئة الخالية

ويمكن تمثيلها بشكل " فن " كما يلي: ، ABf أي أن f ويرمز لها بالرمز

(3 - شكل ( 7

ABf لا توجد نتائج مشتركة

Compliment Event الحادث المكمل •

هو الذي ينفي وقوعه، بمعنى آخر هو الحادث الذي يشمل كل A الحادث المكمل للحادث

ومن ثم ، A ويرمز للحادث المكمل بالرمز ،A نتائج التجربة باستثناء النتائج المكونة للحادث

: أن نستنتج f 







كما هو مبين بالشكل التالي: A A S , A A

(4 - شكل ( 7

(1 - مثال ( 7

ألقيت قطعة عملة غير متحيزة ثلاث مرات، وعرفت الأحداث التالية:

ظهور الصورة مرتين. A الحادث

ظهور الصورة مرة واحدة. B الحادث

ظهور الصورة في الرمية الأولى. C الحادث

والمطلوب:

94

-1 إيجاد الأحداث الخاصة بالاتحاد:

AB , AC , BC , ABC

-2 إيجاد الأحداث الخاصة بالتقاطعات:

AB , AC , BC , ABC

B -3 أوجد الحادث

الحل

فراغ العينة لهذه التجربة هو: •

n(S) 8

يعتمد حساب الاحتمال من الناحية النظرية على أسس وقواعد الرياضيات، ويعتبر هذا

النوع من الاحتمال هو العنصر الأساسي في الاستدلال الإحصائي، ولكن في اال التجريبي تعتمد

الاحتمالات على النتائج الفعلية لمشاهدات التجربة، وعلى تكرار الحادث محل الاهتمام، فإذا رمزنا

فإن طريقة حساب هذا الاحتمال تتحدد وفقا لنوع ،P(A) بالرمز A لاحتمال وقوع الحادث

الاحتمال، وهما نوعان:

ويعبر عنه بالتكرار النسبي، ويحسب :Empirical probability الاحتمال التجريبي •

بتطبيق المعادلة التالية:

هو تكرار الحادث :f(A) ،( هو مجموع التكرارات( العدد الكلي للمشاهدات n : حيث أن

،A

فإذا تم إلقاء قطعة عملة غير متحيزة 500 مرة، وتم ملاحظة عدد مرات ظهور كل وجه،

ولخصت كالتالي:

(Fa ce) الوجه H T SUM

260 240 500 عدد مرات ظهور الوجه

1)، والتي - يمكن تطبيق المعادلة رقم ( 7 ،H وإذا كان المطلوب حساب احتمال ظهور الصورة

تعتمد على التكرار النسبي، أي أن :

0.52

500

( ) ( ) 260 

n

P H f H

وهو الذي يعتمد في حسابه على أسس :Theoretical Probability الاحتمال النظري •

وقواعد الرياضيات، والتي تستخدم في تحديد عدد النتائج الممكنة للتجربة، وعدد النتائج

الممكنة لوقوع الحادث، ومن ثم يحسب هذا النوع من الاحتمال ، بتطبيق المعادلة التالية:

هو عدد النتائج الممكنة لوقوع n(A) ، هو عدد النتائج الممكنة للتجربة n(S) : حيث أن

S:{H, T} : فعند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرة واحدة ، نجد أن فراغ العينة هو ،A الحادث

هو ظهور صورة ، A وإذا كان الحادث ،n(S)=(2)1 = ، أي أن عدد النتائج الممكنة هي: 2

ويكون احتمال وقوع ، n(A) هي: 1 A أي أن عدد النتائج المكونة للحادث ، A: {H} نجد أن

96

هو: A الحادث

العلاقة بين الاحتمال التجريبي و الاحتمال النظري: عند زيادة عدد •

يقترب الاحتمال التجريبي من الاحتمال النظري، أي أن: n المحاولات

فعند زيادة عدد مرات رمي قطعة العملة، فإن التكرار النسبي للصورة سوف يقترب من

القيمة ( 0.5 )، وهي قيمة الاحتمال النظري لظهور الصورة عند رمي قطعة العملة مرة واحدة.

النتائج المتشاة: إذا أجريت تجربة، وكانت كل نتيجة من النتائج الممكنة للتجربة لها نفس •

، تسمى هذه النتائج بالنتائج 1 n(S)الفرصة في الظهور، بمعنى أن كل نتيجة لها احتمال هو

المتماثلة أو المتشاة، فعند إلقاء زهرة نرد متزنة مرة واحدة، نجد أن فراغ العينة هو

1) ، وعند إلقاء الزهرة مرتين نجد أن عدد / واحتمال كل نتيجة هو ( 6 ، S:{1,2,3,4,5,6}

نتيجة، وهي: n(S)=62= نتائج فراغ العينة هو: 36

.(1/ وهذه النتائج متماثلة، واحتمال كل نتيجة هو ( 36

النتائج غير المتماثلة: هي النتائج التي تحدث عند تكرار محاولة، بحيث أن احتمالات •

نتائج كل محاولة غير متساوي، ومن ثم لا تتساوى احتمالات نتائج التجربة، فعند سحب كرتين

وكرتان تحملان اللون ،(R) مع الإرجاع بطريقة عشوائية من كيس به ثلاث كرات حمراء

3 ، واحتمال ظهور / نجد أنه في كل سحب يكون احتمال ظهور كرة حمراء هو 5 ،(W) الأبيض

2 ، ومن ثم يكون نتائج فراغ العينة، واحتمال كل نتيجة في حالة سحب / كرة بيضاء هو 5

كرتين هو:

97

، فهذه الحالات غير متزنة. 1 4يلاحظ أن احتمال كل نتيجة يختلف عن

Probability Laws 4/7 بعض قوانين الاحتمالات

هناك بعض القوانين التي يمكن تطبيقها لحساب الاحتمالات المختلفة، وهي:

Addition Law قانون جمع الاحتمالات •

يمكن استنتاج معادلته كما يلي: ، P(AB) فإن الاحتمال ، B , A إذا كان لدينا الحادثان

وهي: ، PABCيمكن استنتاج معادلة الاتحاد ، C , B , A وفي حالة ثلاث أحداث

وعندما تكون الأحداث متنافية، فإن احتمالات التقاطعات تساوي أصفار، ويكون:

98

(2 - مثال( 7

عند إلقاء زهرة نرد غير متحيزة مرتين، فأوجد ما يلي:

-1 احتمال ظهور وجهين متشاين.

. -2 احتمال ظهور وجهين مجموع نقاطهما 10

. -3 احتمال ظهور وجهين متشاين أو مجموع نقاطهما 10

. -4 احتمال ظهور وجهين مجموع نقاطهما 7 أو 10

الحل:

نتائج فراغ العينة هي:

S

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

n(S)=36

هو حادث ظهور وجهين متشاين، فإن: A -1 بفرض أن الحادث

Conditional probability قانون الاحتمال الشرطي •

يستند هذا الاحتمال على فرصة وقوع حادث، إذا توافرت معلومات عن وقوع حادث آخر

له علاقة بالحادث الأول، كاحتمال نجاح الطالب في مادة الإحصاء إذا علم أنه من الناجحين في

مادة الاقتصاد، وكاحتمال استخدام المزرعة لنوع معين من السماد، إذا علم أنه يقوم بزراعة

محصول معين، وكاحتمال أن الخريجي يعمل بالقطاع الخاص، إذا علم أنه ممن تخرجوا من قسم معين

من أقسام كلية الزراعة، والأمثلة على ذلك كثيرة.

حادث آخر يراد حساب احتمال حادث معلوم، والحادث فإذا كان الحادث

، فإن هذا الاحتمال يحسب بتطبيق المعادلة التالية: وقوعه، بمعلومية الحادث

A بقانون الاحتمال الشرطي، ويقرأ "احتمال وقوع الحادث p(A| B) ويعرف الاحتمال

كما يمكن ،" B بشرط وقوع الحادث A أو يقرأ "احتمال وقوع الحادث ،" B بمعلومية الحادث

وذلك بتطبيق المعادلة التالية: ، A بمعلومية الحادث B حساب احتمال وقوع الحادث

100

7) يلاحظ أن الاحتمال الشرطي هو نسبة حادث التقاطع بين -7) ،(6 - ومن المعادلة ( 7

إلى الحادث المعلوم، حيث أن :

(3 - مثال ( 7

فيما يلي توزيع تكراري لعينة عشوائية حجمها 100 من خريجي الكلية في العامين الماضيين،

حسب التخصص، ونوع المهنة:

عمل حر قطاع خاص عمل حكومي المهنة Sum

التخصص

15 5 10 30 اقتصاد زراعي

8 17 10 35 علوم أغذية

12 10 13 35 علوم تربة

Sum 35 32 33 100

فإذا اختير أحد الخريجين بطريقة عشوائية، احسب الاحتمالات التالية:

-1 ما احتمال أن يكون من خريجي قسم الاقتصاد و يعمل بالقطاع الخاص.

-2 ما احتمال أن يكون ممن يعملون بالحكومة أو من خريجي قسم علوم الأغذية.

-3 ما احتمال أن يكون من خريجي قسم علوم الأغذية أو من قسم علوم التربة.

-4 إذا علم أن الفرد من خريجي قسم عوم الأغذية، ما احتمال أن يكون ممن يعملون عملا حرا.

الحل:

كما هو مبين بالجدول التالي: ، B ولنوع التخصص بالرمز ،A أولا: نرمز لنوع المهنة بالرمو

Sum

عمل حر

3 A

قطاع خاص

2 A

عمل حكومي

1 A

المهنة

التخصص

1 15 5 10 30 اقتصاد زراعي B

2 8 17 10 35 علوم أغذية B

3 12 10 13 35 علوم تربة B

Sum 35 32 33 100

ثانيا: التكرار في كل خلية يعبر عن عدد الخريجين الذين ينتمون لقسم معين و يعملون في مهنة

. AB معينة، أي يعبر عن عدد تكرارات حوادث التقاطع الممكنة

101

-1 حساب احتمال أن يكون من خريجي قسم الاقتصاد و يعمل بالقطاع الخاص.

0.05

100

-3 حساب احتمال أن يكون من خريجي قسم علوم الأغذية أو من قسم علوم التربة.

هذان حادثان متنافيان، لأن تخرج الفرد من أحد الأقسام ينفي تخرجه من الأقسام الآخرى،

وبمعنى آخر استحالة أن الفرد تخرج من قسمين في آن واحد، لذا يكون احتمال اتحادهما هو:

0.70

100

70

100

35

100

35

( ) ( ) ( ) 2 3 2 3



P B B p B P B

-4 إذا علم أن الفرد من خريجي قسم عوم الأغذية، ما احتمال أن يكون ممن يعملون عملا حرا،

بشرط A هذا احتمال شرطي، المطلوب هنا " حساب احتمال أن الفرد ممن يعملون عملا حرا 3

أي أن الاحتمال المطلوب هو: ، B أنه من خريجي قسم علوم أغذية 2

واجب مترلي:

الجدول التالي يبين عدد الوحدات السليمة، والتالفة من الخبز العربي بعد ثلاث أيام من تاريخ

. (C , B , A) : الإنتاج في أحد مراكز التموين التي تتعامل مع ثلاث مخابز هي

عدد الوحدات السليمة عدد الوحدات التالفة الإجمالي

60 24 36 A مخبز

123 63 60 B مخبز

87 33 54 C مخبز

الإجمالي 270 120 150

إذا اختيرت وحدة من الخبز بطريقة عشوائية، فأوجد الآتي:

؟ B -1 ما احتمال أن تكون من إنتاج المخبز

-2 ما احتمال أن تكون تالفة ؟

؟ C -3 إذا كانت الوحدة سليمة ، ما احتمال أن تكون من إنتاج المخبز

أو تكون تالفة ؟ A -4 ما احتمال أن تكون الوحدة من إنتاج المخبز

ما احتمال أن تكون تالفة ؟ ،A -5 إذا كانت الوحدة من إنتاج المخبز

102

Probability Multiplying Law قانون ضرب الاحتمالات •

، B , A ويعكس هذا القانون احتمال وقوع الأحداث معا، أي احتمال التقاطعات، فإذا كان

يمكن حسابه كحاصل ضرب احتمالين، هما: P(AB) حادثان يمكن وقوعهما معا، فإن الاحتمال

(4 - مثال ( 7

إذا كانت نسبة مزارع الخضروات التي تستخدم أسلوب معين للتسميد % 60 ، وإذا كان

نسبة المبيعات من إنتاج الخضروات المسمد % 70 ، بينما نسبة المبيعات من الخضروات غير المسمدة

80% ، إذا اختيرت أحد المزارع التي تنتج الخضروات عشوائيا ، فأوجد الآتي:

-1 ما احتمال أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد؟

-2 إذا علم أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد، ما احتمال أن تبيع إنتاجها؟

-3 ما احتمال أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد وتبيع إنتاجها؟

-4 ما احتمال أن هذه المزرعة ممن لا يستخدمون أسلوب التسميد و تبيع إنتاجها؟

الحل

إذا فحصنا حال المزرعة المسحوبة، نجد أننا نتعامل مع نتيجتين متعاقبتين هما:

{ (A أو المزرعة لا تستخدم ( 2 (A النتيجة الأولي ولها حالتان: {المزرعة تستخدم طريقة التسميد ( 1

{ (B أو المزرعة لا تبيع الإنتاج ( 2 ،(B النتيجة الثانية ولها حالتان: { المزرعة تبيع الإنتاج ( 1

لذا يمكن استنتاج شجرة الاحتمالات للحصول على النتائج الكلية كالتالي:

وفيما يلي حساب الاحتمالات:

-1 احتمال أن المزرعة تستخدم أسلوب التسميد هو:

( ) 0.6 1 P A 

103

-2 إذا علم أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد، فإن احتمال أن تبيع إنتاجهاهو:

0.7 1 1 P B A 

-3 احتمال أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد وتبيع إنتاجها عبارة عن احتمال وقوع حادثتان

8) كما يلي: - لذا يحسب هذا الاحتمال بتطبيق المعادلة ( 7 ،(B1 and A معا ( 1



0.60.70.42

( ) ( ) 1 1 1 1 1



P A B P A P B A

-4 احتمال أن المزرعة لا تستخدم أسلوب التسميد وتبيع إنتاجها هو:



0.40.80.32

( ) ( ) 2 1 2 1 2



P A B P A P B A

Independent Events الأحداث المستقلة •

يمكن وقوعهما معا، ولكن وقوع أحدهما ليس له علاقة بوقوع أو عدم B , A إذا كانت الحادثتان

يمكن التعبير عنه كالتالي: P(AB) وقوع الحادث الآخر، فإن الاحتمال

مستقلتان. B , A وفي هذه الحالة يقال أن الحاثتان

(5 - مثال( 7

، إذا كان نسبة المزارع التي تنتج خضروات % 60 ، ونسبة المزارع التي تنتج فاكهه % 75

ونسبة المزارع التي تنتج الخضروات و الفاكهة % 50 ، أوجد الآتي:

-1 ما احتمال أن مزرعة ما تنتج فاكهة أو خضروات؟

-2 ما احتمال ألا تنتج المزرعة الفاكهة ؟

-3 هل انتاج المزرعة للفاكهة مستقل عن إنتاجها للخضروات؟

الحل:

هو حادث يعبر عن " المزرعة B ،" حادث يعبر عن "المزرعة تنتج خضروات A بفرض أن

تنتج فاكهة"، فإن:

P(A) 0.6 , P(B) 0.75 , P(AB) 0.5

ويكون:

-1 احتمال أن مزرعة ما تنتج فاكهة أو خضروات هو:



0.60.750.5 0.85

( ) ( ) ( )



P AB P A P B P AB

104

-2 احتمال ألا تنتج المزرعة الفاكهة هو:

P(B) 1P(B) 10.75 0.25

- -3 لمعرفة ما إذا كان إنتاج المزرعة للفاكهة مستقل عن إنتاجها للخضروات يمكن تطبيق المعادلة ( 7

(9

P(AB) 0.5 , P(A) P(B) (0.6)(0.75) 0.45

غير مستقل عن إنتاجها ،(A) فإن إنتاج المزرعة للفاكهة ، P(AB) P(A) P(B) : وحيث أن

.(B) للخضروات

(6 - مثال( 7

فأوجد ، P(B) 0.5 , P(A) حادثان مستقلان ، وكان 0.6 B , A إذا كان الحادثان

. P(AB) الاحتمال

الحل:

مستقلان، إذا: B, A بما أن الحادثان

(0.6)(0.5) 0.3

( ) ( ) ( )



P AB P A P B

هو: P(AB) ويكون احتمال

0.6 0.5 0.3 0.8

( ) ( ) ( ) ( )



P AB P A P B P AB