المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية

المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية

المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية

المتغيرات العشوائية المتصلة والمنفصلة

اسئلة على المتغير العشوائي المنفصل

المتغير العشوائي المنفصل

شرح مادة الاحتمالات المتغيرات العشوائية

دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي المتصل

دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي

مسائل عن المتغير العشوائي المتصل

المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية

Random Variables and Probability Distributions

1/8 مقدمة

يهتم هذا الفصل بدراسة المتغيرات العشوائية، من حيث تعريفها، وأنواعها، والتوزيعات

الاحتمالية لها، وخصائص هذه التوزيعات، والتوزيعات الاحتمالية للمتغيرات العشوائية الخاصة.

:Random Variable 2/8 المتغير العشوائي

المتغير العشوائي هو الذي يأخذ قيما حقيقية مختلفة تعبر عن نتائج فراغ العينة، ومن ثم مجال

هذا المتغير، يشمل كل القيم الممكنة له، ويكون لكل قيمة من القيم التي يأخذها المتغير احتمال معين،

وينقسم المتغير العشوائي إلى قسمين هما:

Discrete Random Variables -1 المتغيرات العشوائية المنفصلة

Continuous Random Variables ( -2 المتغيرات العشوائية المتصلة(المستمرة

3/8 المتغيرات العشوائية المنفصلة

المتغير العشوائي المنفصل هو الذي يأخذ قيم بينية، ومتباعدة، ويرمز للمتغير العشوائي بشكل عام

ويرمز للقيم التي يأخذها المتغير بالحروف الأبجدية X, Y, Z,…. بحرف من الحروف الأبجدية الكبيرة

ومن أمثلة هذه المتغيرات: ،x, y, z, …، الصغيرة

. X:{x= 0,1,2,3,4} ،X -1 عدد الأولاد الذكور في الأسرة المكونة من أربع أولاد

.Y:{y= 0,1,2,3,….} ،Y -2 عدد العملاء الذين يتم إاء خدمتهم البنكية كل 10 دقائق

-3 عدد مرات استخدام نوع معين من الأسمدة خلال الدورة الزراعية.

-4 عدد الوحدات التالفة من إنتاج مزرعة معينة تنتج 200 وحدة كل موسم.

-5 عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة من سلعة معينة خلال الشهر.

وهكذا..... الأمثلة كثيرة

1/3/8 التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل

التوزيع الاحتمالي، هو الذي يبين احتمالات حدوث القيم التي يمكن يأخذها المتغير، والتي ترتبط

باحتمالات النتائج الممكنة في فراغ العينة، وبمعنى آخر هو التكراري النسبي للقيم التي يمكن أن يأخذها

المتغير.

وكان ، X :{x x1, x2 ,..., xn} ، يأخذ القيم X فإذا كان المتغير العشوائي المنفصل

106

( ) ( ) i i فإنه، يمكن تكوين ، xi هو احتمال أن المتغير العشوائي يأخذ القيمة P X x f x

وهو جدول مكون من عمودين، الأول به القيم ، X ج____________دول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي

والثاني به القيم الاحتمالية لهذا المتغير ، X :{x x1, x2 ,..., xn} الممكنة للمتغير

( ) ( ) i i أي أن: ، P X x f x

(1 - جدول ( 8

جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل

بدالة الاحتمال، ومن خصائص هذه الدالة ما يلي: f (xi ) وتسمى الدالة

(1 - مثال ( 8

إذا كان من المعلوم أن نسبة مبيعات أحد المراكز التجارية من التفاح الأمريكي 0.60 ، بينما

يكون نسبة مبيعاته من الأنواع الأخرى للتفاح 0.40 ، اشترى أحد العملاء عبوتين، والمطلوب:

-1 كون فراغ العينة.

بأنه عدد العبوات المشتراة من التفاح الأمريكي، فأوجد الآتي: X -2 إذا عرف المتغير العشوائي

. X التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي •

ارسم دالة الاحتمال لهذا المتغير. •

كون التوزيع الاحتمالي التجميعي. •

P(X 1.5) ، P(X 1.5) ، P(X 1) ، P(X ما هو احتمال ( 1 •

حدد قيمة الوسيط، والمنوال لعدد العبوات المشتراة. •

الحل:

تكوين فراغ العينة:

التجربة هنا هو شراء وحدتين من عبوات التفاح، ومن ثم فراغ العينة يتكون من أربع نتائج، هي:

107

X التوزيع الاحتمالي لعدد العبوات المشتراة من التفاح الأمريكي •

من المعلوم أن العميل اشترى عبوتين، وأن المتغير العشوائي هو عدد العبوات المشتراة من التفاح

الأمريكي، لذا تكون القيم الممكنة للمتغير العشوائي هي:

إذا كانت العبوتين من النوع الآخر، أى إذا كانت نتيجة التجربة (آخر، آخر) x= 0

إذا كان أحد العبوتين من النوع الأمريكي، أي إذا كانت نتيجة التجربة (آخر، أمريكي) x= 1

أو (أمريكي،آخر)

إذا كان العبوتين من النوع الأمريكي، أي إذا كانت نتيجة التجربة (أمريكي ، أمريكي) x= 2

ويرتبط احتمالات هذه القيم باحتمالات نتائج ، X:{x= ومن ثم يأخذ المتغير القيم: { 0,1,2

هو: X التجربة المناظرة لها كما هو مبين أعلاه، ومن ثم يكون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي

جدول التوزيع الاحتمالي لعدد العبوات المشتراة من التفاح الأمريكي

:f(x) رسم دالة الاحتمال •

تكوين التوزيع الاحتمالي التجميعي: •

ويرمز ، P(X x) التوزيع التجميعي، هو جدول يشمل الاحتمالات الناتجة من حساب الاحتمال

108

أي أن دالة التوزيع الاحتمالي التجميعي تأخذ الصورة التالية: ، F (x) له بالرمز

ومن ثم يمكن تكوين جدول التوزيع الاحتمالي التجميعي لعدد الوحدات المشتراة من التفاح

الأمريكي كما يلي:

جدول التوزيع الاحتمالي، والتوزيع التجميعي لعدد العبوات المشتراه من التفاح الأمريكي

( ) i ( ) F x i f x i x

تحديد قيمة الوسيط، والمنوال. •

هو القيمة التي تحقق الاحتمال: M الوسيط:- رتبة الوسيط هو 0.50 ، إذا الوسيط

وهذا الاحتمال يقع بين القيمتين ( 1,0 ) كما هو مبين بالرسم ، P(X M) F (M) 0.50

التالي:

( ) i F x i x

0 0.16

حساب المنوال:

المناظرة لأكبر قيمة احتمالية. xi القيمة = Mode المنوال

. f (1) حيث أنه يناظر أكبر قيمة احتمالية هي: 0.48 Mode = إذا المنوال هو: 1

109

2/3/8 الوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي المنفصل

(ميو)، ويحسب بتطبيق المعادلة التالية: m أ- يرمز للوسط الحسابي للمتغير العشوائي بالرمز

(سيجما)، فيحسب بتطبيق المعادلة التالية: s ب- وأما التباين ويرمز له بالرمز 2

(2 - مثال ( 8

في المثال السابق احسب ما يلي:

أ- الوسط الحسابي لعدد العبوات المشتراة من النوع الأمريكي:

ب- احسب الانحراف المعياري لعدد العبوات المشتراة من النوع الأمريكي.

ت- أوجد معامل الاختلاف النسبي:

الحل

أ- الوسط الحسابي لعدد العبوات من النوع الأمريكي:

4) وهذا يتطلب -8) ،(3 - لحساب الوسط الحسابي والانحراف المعياري يتم استخدام المعادلة ( 8

( ) , تكوين جدول يشمل ااميع التالية: ( ) 2

i i i i وذلك كما يلي: ، x f x x f x

2 ( )

i i ( ) x f x i i ( ) x f x i f x i x

0 0.16 0 0

1 0.48 0.48 0.48

2 0.36 0.72 1.44

1 1.20 1.92

m xi f (xi ) إذا الوسط الحسابي هو: 1.20

ب- ولحساب الانحراف المعياري يجب أولا حساب التباين وهو:

s 2 2 ( ) m2 1.92 (1.20)2 0.48 i i x f x

إذا الانحراف المعياري قيمته هي:

s s 2 0.48 0.693

ت- معامل الاختلاف النسبي هو:

110

100 57.7

1.2

. 100 0.693 

m

s

CV

واجب مترلي:-

فيما يلي التوزيع الاحتمالي لعدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة من أحد مساحيق النظافة

X :{x 0,1,2,3,4,5} ، X خلال الشهر

عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة) ) x 0 1 2 3 4 5

f (x) 0.15 0.30 0.25 0.23 0.05 0.02

والمطلوب:

-1 حدد نوع هذا المتغير (عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة)

-2 احسب الوسط والوسيط والمنوال والانحراف المعياري لعدد الوحدات المستهلكة.

ثم أوجد الآتي: F (x) -3 كون جدول التوزيع التجميعي

أ- نسبة الأسر التي يقل استهلاكها عن وحدتين

ب- نسبة الأسر التي يزيد استهلاكها عن 3 وحدات

ت- إذا كان لدينا 500 أسرة، فما هو عدد الأسر المتوقع أن يكون استهلاكها على الأقل

3 وحدات؟

-4 احسب معامل الالتواء، وكذلك معامل الاختلاف النسبي، وعلق على النتائج.

4/8 التوزيعات الاحتمالية المنفصلة الخاصة

في كثير من النواحي التطبيقية، تتبع بعض الظواهر توزيعات احتمالية خاصة، وهي التوزيعات

وهذه ، f (x) التي يمكن حساب احتمالات قيم المتغير عن طريق معادلة رياضية، تسمى بدالة الاحتمال

المعادلة لها معالم معينة، تسمى بمعالم اتمع الذي ينسب له هذا التوزيع، وهذه المعالم ما هي إلا حقائق

ثابتة مجهولة، وهي الأساس في حساب القيم الاحتمالية للتوزيع الاحتمالي للمجتمع محل الدراسة.

ومن أهم التوزيعات التي سيتم دراستها في هذا المقرر، توزيع ثنائي الحدين، والتوزيع

البواسون.

The Binomial Distribution 1/4/8 التوزيع ثنائي الحدين

يستخدم هذا التوزيع في الحالات التي يكون للظاهرة محل الدراسة نتيجتان فقط متنافيتان،

النتيجة محل الاهتمام وتسمى بحالة النجاح، والأخرى تسمى بحالة الفشل، ومن أمثلة ذلك:

عند إعطاء مريض نوع معين من الأدوية، لها نتيجتان: ( استجابة للدواء، أو عدم استجابة) •

عند فحص عبوة بداخلها نوع معين من الفاكهة، لها نتيجتان ( الوحدة إما أن تكون سليمة، أو •

تكون معيبة)

عند إلقاء قطعة عملة، لها نتيجتان (ظهور الوجه الذي يحمل الصورة، أو الوجه الذي يحمل الكتابة) •

نتيجة الطالب في الاختبار ( نجاح، رسوب) •

111

استخدام المزارع لبرنامج معين في الزراعة ( يستخدم، أو لا يستخدم). •

شكل التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين

من المرات، بحيث أن كل محاولة لها نتيجتان فقط متنافيتان هما: n إذا كررت محاولة

p النتيجة محل الاهتمام " حالة نجاح " وتتم باحتمال ثابت في كل محاولة هو •

q 1p النتيجة الأخرى " حالة فشل " وتتم باحتمال ثابت أيضا هو •

وبافتراض أن هذه المحاولات مستقلة، بمعنى أن نتيجة كل محاولة ليس لها علاقة بنتيجة المحاولة الأخرى،

n يعبر عن عدد حالات النجاح "عدد النتائج محل الاهتمام" في ال X وإذا كان المتغير العشوائي

والذي يعبر عن عدد حالات النجاح هو: X محاولة، فإن مدي المتغير العشوائي

بتطبيق المعادلة التالية: P(X x) f (x) ومن ثم يحسب الاحتمال ، X :{x 0,1,2,...,n}

n حيث أن

مع إهمال الترتيب، وتحسب كما يلي: n من x هي عدد طرق اختيار x

إذا كان من المعلوم أن نسبة الشفاء من مرض معين باستخدام نوع معين من العقاقير الطبية هو

بأنه عدد الذين X 0.60 ، إذا تناول هذا العقار 5 مصابين ذا المرض. إذا عرف المتغير العشوائي

المستجيبين (حالات الشفاء) لهذا العقار.

المطلوب:

أ- ما هو نوع المتغير؟

لهذا المتغير. f (x) ب- اكتب شكل دالة الاحتمال

ت- احسب الاحتمالات التالية:

ما احتمال استجابة 3 مرضى لهذا العقار؟ •

ما هو احتمال استجابة مريض واحد على الأقل؟ •

ما هو احتمال استجابة 2 مرضى على الأكثر؟ •

ث- احسب الوسط الحسابي، والانحراف المعياري لعدد حالات الاستجابة.

112

ج- حدد شكل التوزيع.

الحل:

متغير كمي منفصل ، ومدى هذا المتغير في هذه الحالة هو: X أ- عدد حالات الاستجابة

: X :{x 0,1,2,3,4,5}

إذا: q 1p 0.40 ، p 0.60 ، n ب- شكل دالة الاحتمال: 5

5 (0.6) (0.4)5 , 0,1,2,3,4,5

( ) ( ) ( )

ت- حساب الاحتمالات:

P(x 3) f ( حساب احتمال استجابة 3 مرضى لهذا الدواء: ( 3 •



P(x حساب احتمال استجابة مريض واحد على الأقل: ( 1 •

1 (0.6) (0.4) 1 1 1 0.01024 0.98976

( 1) (1) (2) (3) (4) (5) 1 (0)

ث- حساب الوسط الحسابي، والانحراف المعياري لعدد حالات الاستجابة:

- ) في حالة التوزيع ثنائي الحدين يحسب بتطبيق المعادلة ( 8 m الوسط الحسابي ( •

3)، وباستخدام العمليات الرياضية يمكن الوصول إلى النتيجة التالية:

إذا الوسط الحسابي هو:

m np 5(0.60) 3

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي الموجب للتباين، ولحساب التباين في •

4)، ومنها يمكن التوصل إلى - التوزيع ثنائي الحدين يتم تطبيق المعادلة ( 8

113

الصورة التالية:

إذا تباين عدد حالات الاستجابة هو:

5(0.60)(0.40) 1.2

2



s npq

ومن ثم يأخذ الانحراف المعياري الصورة التالية:

1.2 1.095

s npq

ويمكن حساب معامل الاختلاف النسبي، بتطبيق المعادلة التالية:

100 36.5%

3

. 100 1.095 

m

s VC

ج- تحديد شكل التوزيع:

كما يلي: p يتحدد شكل التوزيع ثنائي الحدين وفقا لقيمة احتمال النجاح

فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون متماثل. p إذا كان 0.5

فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون موجب الالتواء. p إذا كان 0.5

فإن التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين يكون سالب الالتواء. p إذا كان 0.5

فإن توزيع عدد حالات الاستجابة سالب الالتواء. p 0.6 وحيث أن 0.5

Poisson Distribution 2/4/8 التوزيع البواسوني

يكثر استخدام هذا التوزيع في الحالات التي تقع فيها الأحداث وفقا لمعدلات زمنية، وكذلك في

حالة الأحداث نادرة الوقوع، ومن أمثلة ذلك:

X :{x عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة من سلعة معينة خلال الشهر. {..., 0,1,2 •

X :{x عدد مرات ري نوع معين من المحاصيل الزراعية خلال الموسم. {..., 0,1,2 •

X :{x عدد العملاء الذين يتم خدمتهم البنكية كل 10 دقائق. {..., 0,1,2 •

X :{x عدد مرات زيارة المريض للطبيب كل سنة. {..., 0,1,2 •

X :{x عدد مرات تناول الأسرة للحوم الحمراء خلال الأسبوع. {..., 0,1,2 •

X :{x عدد أخطاء الطباعة لكل صفحة من صفحات الكتاب. {..., 0,1,2 •

وهكذا الأمثلة كثيرة

شكل التوزيع الاحتمالي البواسوني

، وكان المتغير m إذا كان متوسط عدد مرات وقوع حادث وفقا لمعدل زمني معين هو

هو: X يعبر عن عدد مرات وقوع الحادث وفقا لهذا المعدل، فإن مدي المتغير العشوائي X العشوائي

وهذا المدى عبارة عن فئة مفتوحة من اليمين، فإن الاحتمال ، X :{x 0,1,2,...}

114

من المرات وفقا لهذا المعدل، x والذي يعبر عن احتمال وقوع الحادث عدد P(X x) f (x)

يحسب بتطبيق المعادلة التالية:

e هي أساس اللوغاريتم الطبيعي، وتوجد في بعض الآلات الحاسبة، وقيمتها هي: 2.718 e حيث أن

تقريبا، ويمكن حساب قيمتها باستخدام الآالة الحاسبة باتباع الخطوات التالية من الشمال إلى اليمين:

eمثلا إيجاد 1.5

x!x(x1)(x 2)...32ويساوي: 1 " x فتسمى "مضروب العدد x! وأما

(4 - مثال ( 8

إذا كان من المعلوم أن عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة من سلعة معينة خلال الشهر تتبع

بأنه عدد الوحدات التي X توزيع بواسون بمتوسط 3 وحدات شهريا، إذا عرف المتغير العشوائي

تستهلكها الأسرة خلال الشهر من هذه السلعة.

المطلوب:

أ- ما هو نوع المتغير العشوائي؟

لهذا المتغير. f (x) ب- اكتب شكل دالة الاحتمال

ح- احسب الاحتمالات التالية:

احتمال أن الأسرة تستهلك وحدتين خلال الشهر؟ •

احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدة واحد على الأقل خلال الشهر؟ •

احتمال أن أسرة ما تستهلك 3 وحدات على الأكثر خلال الشهر؟ •

خ- احسب الوسط الحسابي، والانحراف المعياري لعدد الوحدات المستهلكة.

د- حدد شكل التوزيع.

الحل:

متغير كمي منفصل ، ومدى هذا المتغير في هذه X أ- عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة

: X :{x الحالة هو: {..., 0,1,2,3

ب- شكل دالة الاحتمال:

، إذا m بما أن متوسط عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة خلال الشهر هو: 3

دالة الاحتمال هي:

115

, 0,1,2,...

ح- حساب الاحتمالات:

f( حساب احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدتين خلال الشهر، ( 2 •

احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدة واحد على الأقل خلال الشهر هو: •

1 0.0498 0.9502

خ- حساب الوسط الحسابي، والانحراف المعياري لعدد حالات الاستجابة:

) في حالة التوزيع البواسون هو معلمة معطاة هي: m الوسط الحسابي ( •

m 3

في هذا التوزيع، فإن التباين يساوي الوسط الحسابي:

s 2 m أي أن: 3

ومن ثم يكون الانحراف المعياري هو:

s m 3 1.732

ويمكن حساب معامل الاختلاف النسبي، بتطبيق المعادلة التي سبق استخدامها في

الفصل السابق، وهو:

100 57.7%

3

. 100 1.732 

m

s VC

د- تحديد شكل التوزيع:

دائما التوزيع البواسون موجب الالتواء.

116

Continuous Random Variables 5/8 المتغيرات العشوائية المستمرة

المتغير العشوائي المستمر، هو الذي يأخذ قيما متصلة، ويأخذ عدد لاائي من القيم الممكنة له

أي ،(a,b) متغير عشوائي مستمر، ويقع في المدى X داخل مجاله، فإذا كان

عدد لاائي من القيم تقع بين الحدين الأدنى والأعلى X فإن للمتغير ،{X x : a x b} : أن

ومن الأمثلة على المتغيرات الكمية المستمرة ما يلي: ،(a,b)

{X x :10 x كمية الألبان التي تنتجها البقرة في اليوم باللتر: { 40 •

{X x :1000 x المساحة المتررعة بالأعلاف في المملكة بالألف هكتار { 15000 •

{X x :1 x فترة صلاحية حفظ الدجاج المبرد بالأيام، { 5 •

{X x : 55 x 80} ،(40- وزن الجسم بالكيلوجرام للأعمار من ( 30 •

وهكذا الأمثلة على المتغير الكمي المستمر كثيرة.

Continuous Probability 1/5/8 التوزيع الاحتمالي للمتغير المستمر

عند تمثيل بيانات المتغير الكمي المستمر في شكل مدرج تكراري النسبي، نجد أن شكل هذا المدرج

هو أقرب وصف لمنحنى التوزيع الاحتمالي للمتغير المستمر، وكلما ضاقت الفترات بين مراكز الفئات،

يمكن الحصول على رسم دقيق للمنحنى الخاص بدالة احتمال المتغير المستمر، كما هو مبين بالشكل

التالي:

(1 - شكل ( 8

شكل منحنى التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر

117

والمساحة أسفل المنحنى تعبر عن مجموع الاحتمالات الكلية، ولذا تساوي هذه المساحة الواحد

Probability Distribution بدالة كثافة الاحتمال f(x) الصحيح، وتسمى الدالة

وأن ، X {x: a x b} : وبفرض المتغير العشوائي المستمر يقع في المدى ، Function(p.d.f)

منحنى هذه الدالة يأخذ الصورة التالية:

ما يلي: f (x) فإن من خصائص دالة كثافة الاحتمال

x(a,b) ، f (x) أي أن: 0 (a,b) موجبة داخل المدى f (x) -1 الدالة

يعبر عن مجموع b حتى الحد الأعلى a -2 التكامل على حدود المتغير من الحد الأدنى

الاحتمالات الكلية، لذا يساوي الواحد الصحيح ، أي أن:

وهذا يعني ، x b حتى x a حيث أن الشكل الرياضي أعلاه يسمى بالتكامل المحدد من

. (a,b) إيجاد المساحة أسفل المنحني بين

أي حساب الاحتمال (d,c) -3 لحساب احتمال أن المتغير العشوائي المستمر يقع في المدى

كما هي x d حتى x c يجب حساب المساحة أسفل المنحني من ، p(c x d)

مبينة في الشكل البياني التالي:

118

ويتم ذلك بإيجاد التكامل المحدد في هذا المدى، كما يلي:

مساويا للصفر، أي أن: p(x value) -4 في المتغير المستمر، يكون الاحتمال

ولكي يمكننا حساب الاحتمالات، يجب عرض بعض قواعد التكامل التالية:

(2 - جدول ( 8

بعض قواعد التكامل



(5 - مثال ( 8

إذا كان الإنفاق الشهري للأسرة بالألف ريال على المواد الغذائية له دالة كثافة احتمال تأخذ

الصورة التالية:

(10 ) 0 10

c -1 حساب قيمة الثابت

119

-2 احسب احتمال أن إنفاق الأسرة يتراوح ____________ما بين ( 8,5 ) ألف ريال خلال الشهر.

-3 إذا كان لدينا 600 أسرة، فما هو عدد الأسر المتوقع أن يقل إنفاقها عن 3 آلاف خلال

الشهر؟

الحل

c -1 حساب قيمة

من خصائص دالة كثافة الاحتمال:

1 ) ( 

-2 حساب أن إنفاق الأسرة يتراوح بين ( 8,5 ) ألف ريال خلا الشهر هو.



0.006(66) 0.396

حوالي 130 أسرة.

2/5/8 المتوسط والتباين في التوزيع الاحتمالي المستمر

120

فإن التوقع a x b ، x هي دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي f (x) إذا كانت

تأخذ الصورة التالية: h(x) الرياضي للدالة

ومن ثم يمكن كتابة معادلة الوسط والتباين كما يلي.

(5 - تابع مثال ( 8

في المثال السابق أوجد المتوسط والانحراف المعياري ومعامل الاختلاف النسبي للإنفاق الشهري.

الحل

-1 المتوسط الحسابي



(C.D.F) Cumulative Distribution Function دالة التوزيع التجميعي

وتحسب بإيجاد الاحتمال: (C.D.F)= F(x) يرمز لهذه الدالة بالرمز

ويمكن توضيحها بيانيا بالرسم التالي:

(5 - تابع مثال ( 8

ثم استخدم هذه الدالة لحساب ،C.D.F 5) أوجد دالة التوزيع التجميعي - في المثال ( 8

احتمال أن إنفاق الأسرة يقل عن 5 آلاف جنيه.

الحل

C.D.F إيجاد دالة التوزيع التجميعي •

كما هو مبين بالرسم التالي: ، F (5) p(x حساب الاحتمال المطلوب ( 5 •

التي تم التوصل إليها، أي F(x) في الدالة x ويمكن حساب هذا الاحتمال بالتعويض عن 5

أن:

خصائص دالة التوزيع التجميعي

p(xx) 1F (x) -4 F (b) 1 -3 F (a) 0 -2 F (x) 0 -1

f (x) dF (x) dx -5

6/8 التوزيعات الاحتمالية المستمرة الخاصة

Continuous Probability Distributions

هناك بعض التوزيعات الاحتمالية المستمرة الخاصة، ولها دوال كثافة احتمال محددة، وفيما يلي بعض هذه

التوزيعات:

Uniform distribution 1/6/8 التوزيع المنتظم

p.d.f شكل دالة كثافة الاحتمال

هو توزيع له دالة احتمال ثابتة، ويستخدم في حالة الظواهر التي يمكن أن تحدث بشكل منتظم،

فإن دالة كثافة a x b مداه هو ،Uniform متغير عشوائي له توزيع منتظم x فإذا كان المتغير

احتماله هي:

ويمكن تمثيل هذه الدالة بيانيا كما يلي:

123

معالم هذا التوزيع

x ~U(a,b) ولذا يكتب رمز لهذا التوزيع الصورة ، (b,a) توجد معلمتان لهذا التوزيع هما

خصائص التوزيع المستطيل

لهذا المتغير هما : s ، والتباين 2 m الوسط الحسابي

على الطالب إثبات ذلك:

C.D.F دالة التوزيع التجميعي

الشكل الآتي F (x) تأخذ دالة التوزيع التجميعي

(6 - مثال ( 8

استورد أحد المراكز التجارية 1500 طن بطاطس، ووضعها في مخزن، وقام ببيعها بكميات

متساوية على مدار شهور السنة. إذا كانت الفترة الزمنية للبيع تتبع توزيع منتظم، فأوجد الآتي:

دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الفترة الزمنية للبيع. •

بعد مرور سبعة أشهر من بداية البيع، ما هي الكمية الموجودة بالمخزن؟ •

الحل

دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الزمن: •

، 0 x يعبر عن الفترة الزمنية للبيع مقاسة بالشهر، أي أن 12 x بفرض أن المتغير

ومن ثم تأخذ دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الزمن الصورة التالية:

حساب الكمية الموجودة بالمخزن بعد سبعة أشهر من بداية البيع. •

هي كمية البطاطس المستوردة ، تكون الكية المتبقية بالمخزن بعد مرور Q بفرض أن

سبعة أشهر من بداية البيع هي :

Q p x Q F ) 625 Ton

12 0

Negative Exponential distribution 2/6/8 التوزيع الأسي السالب

p.d.f شكل دالة كثافة الاحتمال

0 فإن دالة x متغير عشوائي له توزيع أسي سالب ، مداه هو x إذا كان المتغير

كثافة احتماله هي:

ويمكن تمثيل هذه الدالة بيانيا كما يلي:

معالم هذا التوزيع

)q توجد معلمة واحدة هي (

خصائص التوزيع الأسى السالب

لهذا المتغير هما: s ، والتباين 2 m الوسط الحسابي

2

( ) 1 , 2 1

q q m E x s 

C.D.F دالة التوزيع التجميعي

الشكل الآتي F (x) تأخذ دالة التوزيع التجميعي

F x p X x f x dx e x

x ( ) ( ) ( ) 1q

0

(7 - مثال ( 8

إذا كانت الفترة الزمنية لإاء خدمة العميل في البنك تتبع توزيع أسي بمتوسط 2 دقيقة، فأوجد ما

يلي.

دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الفترة الزمنية لإاء خدمة العميل. •

ما احتمال إاء خدمة العميل في أقل من دقيقة. •

الحل

دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الزمن: •

125

يعبر عن الفترة الزمنية لإاء خدمة العميل بالدقيقة، أي أن x بفرض أن المتغير

، (q ) هي: ( 0.5 q 1 ، ومن ثم تصبح قيمة ( q 0 ، فإن المتوسط 2 x 

وتكتب دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الزمن على الصورة التالية:





f (x) 0.5 e 0.5 x, 0 x

حساب احتمال إاء خدمة العميل في أقل من دقيقة. •

p(x 1) (1e0.5x) (1e0.5(1)) 0.3935

The Normal Distribution 3/6/8 التوزيع الطبيعي

يعتبر هذا التوزيع من أكثر التوزيعات الاحتمالية استخداما في النواحي التطبيقية، ومنها

الاستدلال الإحصائي شاملا التقدير، واختبارات الفروض، كما أن معظم التوزيعات يمكن تقريبها إلى

هذا التوزيع، وفيما يلي عرض لهذا التوزيع.

p.d.f شكل دالة كثافة الاحتمال

فإن دالة كثافة x متغير عشوائي له توزيع طبيعي ، مداه هو x إذا كان المتغير

احتماله هي:

وهذا التوزيع له منحنى متماثل يأخذ الصورة التالية:

. m فهذا المنحنى متماثل على جانبي الوسط الحسابي

معالم هذا التوزيع

توجد معلمتين لهذا التوزيع هما :

var(x) s والتباين : 2 E(x) m : الوسط الحسابي

x ويعني ذلك أن المتغير العشوائي x ~ N(m,s بالرموز : ( 2 x ومن ثم يعبر عن توزيع المتغير

126

. s ، وتباين 2 m يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط

خصائص التوزيع الطبيعي

هذا التوزيع من أكثر التوزيعات الاحتمالية استخداما، بل يشتق منه كل التوزيعات الاحتمالية

الأخرى المستخدمة في الاستدلال الإحصائي، ومن خصائص هذا التوزيع ما يلي:

s 2- والتباين 2 m -1 الوسط الحسابي

m -3 منحني هذا التوزيع متماثل على جانبي الوسط

p(x1 xx كيفية حساب الاحتمالات ( 2

وهذا الاحتمال يحدد بالمساحة ، p(x1 xx بفرض أن الاحتمال المطلوب حسابه هو ( 2

التالية:

وحيث أن هذا التوزيع من التوزيعات المستمرة، فإن هذه المساحة ( الاحتمال) تحسب بإيجاد التكامل

ي z ويعرف المتغير الجديد

المتغير له دالة كثافة احتمال تأخذ الصورة التالية:

ومن خصائص هذا التوزيع ما يلي:

var(z) -2 تباينه هو: 1 E(z) -1 متوسطه هو: 0

127

يتبع x ويعني ذلك أن المتغير العشوائي z ~ N( بالرموز : ( 0,1 z ومن ثم يعبر عن توزيع المتغير

. ( التوزيع الطبيعي القياسي بمتوسط ( 0 ) ، وتباين ( 1

-3 يأخذ المنحنى الشكل الناقوس المتماثل على جانبي الصفر:

كما هو ، F (z) P(Z z) : وصمم الإحصائييون جداول إحصائية لحساب دالة التوزيع التجميعي

مبين بالرسم التالي:

: z (x m) s باستخدام التحويلة p(x1 xx ونعود الآن إلى خطوات حساب الاحتمال ( 2

إلى قيم طبيعية قياسية: (x1, x -1 يتم تحويل القيم الطبيعية ( 2

( m) s , ( m) s 1 1 2 2 . z x z x 

: p(x1 xx2 ) p(z1 z z -2 ومن ثم يكون الاحتمال: ( 2

-3 تستخدم جداول التوزيع الطبيعي القياسي، والذي يعطي المساحة الخاصة بالاحتمال

F (z) P(Z z)

-4 طريقة استخدام جدول التوزيع الطبيعي القياسي في حساب الاحتمالات

أوجد الاحتمالات التالية:

د- P(z ج- ( 1.96 P(z ب- ( 2.33 P(z أ- ( 1.57

128

P(2.01 z 1.28)

الحل

أسفل المنحنى كما يلي P(z 1.57) F ( أ- تحدد المساحة المعبرة عن الاحتمال ( 1.57

ويتم استخدام الجدول كما هو مبين :

P(z 1.57) F (1.57) ويكون الاحتمال المطلوب هو: 0.9418

موضحة P(z 2.33) F (ب- المساحة أسفل المنحنى المعبرة عن الاحتمال ( 2.33

كالتالي:

P(z<-2.33)

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

كالتالي: P(z ج- تحدد المساحة المعبرة عن الاحتمال ( 1.96

وهذا الاحتمال يحسب باستخدام خصائص دالة التوزيع التجميعي ، حيث أن :

P(z 1.96) 1p(z 1.96) 1F (1.96)

وبالكشف في الجدول بنفس الطريقة السابقة على القيمة 1.96 نجد أن :

ومن ثم يكون الاحتمال المطلوب هو: ، p(z 1.96) 0.9750

P(z 1.96) 10.9750 0.0250

هي: P(2.01 z د- المساحة أسفل المنحنى المعبرة عن الاحتمال ( 1.28

وباستخدام أيضا خصائص دالة التوزيع التجميعي يمكن حساب هذا الاحتمال ، حيث أن :

P(2.01 z 1.28) F (1.28) F (2.01)

وبالكشف في الجدول عن هاتين القيمتين ، نجد أن:

P(2.01z 1.28) 0.8997 0.0222 0.8775

(8 - مثال( 8

إذا كان الدخل السنوي للأسرة في أحد مناطق المملكة يتبع توزيع طبيعي متوسطه 80 ألف

ريال، وتباينه 900 . والمطلوب:

-1 كتابة قيمة معالم التوزيع الاحتمالي للدخل السنوي.

130

-2 كتابة شكل دالة كثافة الاحتمال.

-3 ما هي نسبة الأسر التي يقل دخلها عن 60 ألف ريال ؟

-4 ما هو الدخل الذي أقل منه 0.975 من الدخول؟

الحل

-1 كتابة قيمة معالم التوزيع الاحتمالي للدخل السنوي.

متغير عشوائي يعبر عن الدخل السنوي بالألف ريال، وهو يتبع التوزيع الطبيعي، x بفرض أن

ومعالمه هي:

Var (x) s 2 ب- التباين هو: 900 E(x) m أ- المتوسط 80

x ~ N( أي أن : ( 80,900

-2 شكل دالة كثافة الاحتمال

وبالكشف مباشرة عن هذه القيمة في جدول التوزيع الطبيعي القياسي ، نجد أن

P(x 60) Pz 0.670.2514

الذي أقل منه (x) -4 الدخل الذي أقل منه 0.975 من الدخول: في هذه الحالة يبحث عن قيمة المتغير

فإن : ، (x 0.975 ، بفرض أن هذا المتغير هو ( 1

، بالكشف بطريقة عكسية ، حيث نبحث عن المساحة 0.9750 نجدها تقع عند تقاطع الصف 1.9

ويكون : ، z والعمود 06 . أي أن قيمة 1.96

, 30(1.96) 80 138.8