مقاييس الترعة المركزية

مقاييس الترعة المركزية

Central Tendency

1/3 مقدمة

في كثير من النواحي التطبيقية يكون الباحث في حاجة إلى حساب بعض المؤشرات التي يمكن

الاعتماد عليها في وصف الظاهرة من حيث القيمة التي تتوسط القيم أو تترع إليها القيم ، ومن حيث

التعرف على مدى تجانس القيم التي يأخذها المتغير، وأيضا ما إذا كان هناك قيم شاذة أم لا . والاعتماد

على العرض البياني وحدة لا يكفى ، ولذا يتناول هذا الفصل، والذي يليه عرض بعض المقاييس

الإحصائية التي يمكن من خلالها التعرف على خصائص الظاهرة محل البحث، وكذلك إمكانية مقارنة

ظاهرتين أو أكثر ، ومن أهم هذه المقاييس ، مقاييس الترعة المركزية والتشتت .

2/3 مقاييس الترعة المركزية

تسمى مقاييس الترعة المركزية بمقاييس الموضع أو المتوسطات ، وهى القيم التى تتركز القيم

حولها ، ومن هذه المقاييس ، الوسط الحسابي ، والمنوال ، والوسيط ، والوسط الهندسي ، والوسط

التوافقي ، والرباعيات ، والمئينات ، وفيما يلي عرض لأهم هذه المقاييس

Arithmetic Mean 1/2/3 الوسط الحسابي

من أهم مقاييس الترعة المركزية ، وأكثرها استخداما في النواحي التطبيقية ، ويمكن حسابه

للبيانات المبوبة وغير المبوبة ، كما يلي :

أولا: الوسط الحسابي للبيانات غير المبوبة

يعرف الوسط الحسابي بشكل عام على أنه مجموع القيم مقسوما على عددها . فإذا كان لدينا

x x , , xn : من القيم ، ويرمز لها بالرمز n

2

1, . ...

يحسب بالمعادلة التالية : x فإن الوسط الحسابي لهذه القيم ، ونرمز له بالرمز

على اموع . حيث يدل الرمز

(1 - مثال ( 3

32

فيما يلي درجات 8 طلاب في مقرر 122 إحصاء تطبيقي .

34 32 42 37 35 40 36 40

والمطلوب إيجاد الوسط الحسابي لدرجة الطالب في الامتحان .

الحل

1) كما يلي: - لإيجاد الوسط الحسابي للدرجات تطبق المعادلة رقم ( 3

8 37

أي أن الوسط الحسابي لدرجة الطالب في اختبار مقرر 122 إحص يساوي 37 درجة

ثانيا: الوسط الحسابي للبيانات المبوبة

من المعلوم أن القيم الأصلية ، لا يمكن معرفتها من جدول التوزيع التكراري ، حيث أن هذه

القيم موضوعة في شكل فئات ، ولذا يتم التعبير عن كل قيمة من القيم التي تقع داخل حدود الفئة

بمركز هذه الفئة ، ومن ثم يؤخذ في الاعتبار أن مركز الفئة هو القيمة التقديرية لكل مفردة تقع في هذه

الفئة.

هي مراكز هذه الفئات، x1, x2 ,...,xk هي عدد الفئات ، وكانت k فإذا كانت

f , f ,..., fk 1 2 هي التكرارات ، فإن الوسط الحسابي يحسب بالمعادلة التالية:

(2 - مثال ( 3

الجدول التالي يعرض توزيع 40 تلميذ حسب أوزام .

32-34 34-36 36-38 38-40 40-42 42-44 فئات الوزن

4 7 13 10 5 1 عدد التلاميذ

والمطلوب إيجاد الوسط الحسابي.

الحل

33

2) يتم إتباع الخطوات التالية : - لحساب الوسط الحسابي باستخدام المعادلة رقم ( 3

. x -2 حساب مراكز الفئات . f -1 إيجاد مجموع التكرارات

xf وحساب اموع ،(xf) -3 ضرب مركز الفئة في التكرار المناظر له

. (2 - -4 حساب الوسط الحسابي بتطبيق المعادلة رقم ( 3

مراكز الفئات x f

x

التكرارات

f

فئات الوزن

(C )

32-34 4 2=33 (32+34) 33=1324

34-36 7 35 35=2457

36-38 13 37 37=48113

38-40 10 39 39=39010

40-42 5 41 41=2055

42-44 1 43 43=431

40 1496 اموع

إذا الوسط الحسابي لوزن التلميذ هو :

k g

37.4 k.g أي أن متوسط وزن التلميذ يساوي

خصائص الوسط الحسابي

يتصف الوسط الحسابي بعدد من الخصائص ، ومن هذه الخصائص ما يلي :

هي : x -1 الوسط الحسابي للمقدار الثابت يساوى الثابت نفسه ، أي أنه إذا كانت قيم

فإن الوسط الحسابي هو: ، x : a , a ,..., a

ومثال على ذلك ، لو اخترنا مجموعة من 5 طلاب ، ووجدنا أن كل طالب وزنه 63 كيلوجرام

، فإن متوسط وزن الطالب في هذه اموعة هو :

x 5 63 k.g

315

5

6363636363 

-2 مجموع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوى صفرا ، ويعبر عن هذه الخاصية بالمعادلة .

1) ، نجد أن درجات الطلاب هي - ويمكن التحقق من هذه الخاصية باستخدام بيانات مثال ( 3

34

إذا : ، x 34, 32, 42, 37, 35, 40 ، والوسط الحسابي للدرجة هو 37 , 36, 40:

x 34 32 42 37 35 40 36 40 296

34-37 32-37 42-37 37-37 35-37 40-37 36-37 40-37

0

-3 -5 5 0 -2 3 -1 3

(x x)

(x 37)

(x37) أي أن : 0

-3 إذا أضيف مقدار ثابت إلى كل قيمة من القيم ، فإن الوسط الحسابي للقيم المعدلة (بعد الإضافة)

يساوى الوسط الحسابي للقيم الأصلية (قبل الإضافة) مضافا إليها هذا المقدار الثابت . فإذا كانت

إلى كل قيمة من القيم ، ونرمز للقيم (a) وتم إضافة مقدار ثابت ، x1 , x2 ,..., xn : القيم هي

القيم بعد الإضافة) ) y فإن : الوسط الحسابي لقيم ، y xa أي أن ، y الجديدة بالرمز

هو:

هو الوسط الحسابي للقيم الجديدة ، ويمكن التحقق من هذه الخاصية باستخدام y حيث أن

. (1 - بيانات مثال رقم ( 3

إذا قرر المصحح إضافة 5 درجات لكل طالب ، فإن الوسط الحسابي للدرجات المعدلة يصبح قيمته

37+5 )} ، والجدول التالي يبين ذلك . )=42}

x 34 32 42 37 35 40 36 40 296

34+5 32+5 42+5 37+5 35+5 40+5 36+5 40+5

336

39 37 47 42 40 45 41 45

y (x5)

ومن ثم يكون الوسط الحسابي للقيم الجديدة ، y نجد أن مجموع القيم الجديدة هو : 336

هو :

42 ( 5 37 5 42)

8

336 x 

y

y n

في كل قيمة من القيم ، فإن الوسط الحسابي للقيم المعدلة (القيم الناتجة (a) -4 إذا ضرب مقدار ثابت

بعد الضرب) يساوى الوسط الحسابي للقيم الأصلية (القيم بعد التعديل) مضروبا في هذا المقدار

هو : y ويكون الوسط الحسابي للقيم الجديدة ، y a x : الثابت . أى أنه إذا كان

35

ويمكن للطالب أن يتحقق من هذه الخاصية باستخدام نفس بيانات المثال السابق . فإذا كان

تصحيح الدرجة من 50 ، وقرر المصحح أن يجعل التصحيح من 100 درجة ، بمعنى أنه سوف

ويصبح الوسط الحسابي الجديد هو : ، (a= يضرب كل درجة في قيمة ثابتة ( 2

ya x 2(37) 74

-5 مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي أقل ما يمكن ، أي أن:

a لجميع قيم 37 (x 37)2 (x a) وفي المثال السابق فإن : 2

ثالثا: الوسط الحسابي المرجح

في بعض الأحيان يكون لكل قيمة من قيم المتغير أهمية نسبية تسمى أوزن ، أو ترجيحات ،

وعدم أخذ هذه الأوزان في الاعتبار عند حساب الوسط الحسابي ، تكون القيمة المعبرة عن الوسط

الحسابي غير دقيقة ، فمثلا لو أخذنا خمسة طلاب ، وسجلنا درجات هؤلاء الطلاب في مقرر الإحصاء

التطبيقي ، وعدد ساعات الاستذكار في الأسبوع .

1 2 3 4 5 مسلسل sum

الدرجة) ) x 23 40 36 28 46 173

عدد ساعات الاستذكار ) ) w 1 3 3 2 4

نجد أن الوسط الحسابي غير المرجح للدرجة الحاصل عليها الطالب هي :

34.6

5

173

يتم تطبيق ، w المرجحة بعدد ساعات الاستذكار x وإذا أردنا أن نحسب الوسط الحسابي للدرجات

المعادلة التالية :



وهذا الوسط المرجح أكثر دقة من الوسط الحسابي غير المرجح .

يحسب بتطبيق المعادلة التالية : wإذا الوسط الحسابي المرجح

36

مزايا وعيوب الوسط الحسابي

يتميز الوسط الحسابي بالمزايا التالية :

أنه سهل الحساب . •

يأخذ في الاعتبار كل القيم . •

أنه أكثر المقاييس استخداما وفهما . •

ومن عيوبه .

أنه يتأثر بالقيم الشاذة والمتطرفة . •

يصعب حسابه في حالة البيانات الوصفية . •

يصعب حسابه في حالة الجداول التكرارية المفتوحة . •

Median 2/2/3 الوسيط

هو أحد مقاييس الترعة المركزية، والذي يأخذ في الاعتبار رتب القيم ، ويعرف الوسيط بأنه

أي أن ، (n ويزيد عنها النصف الآخر ( 2 ، (n القيمة التي يقل عنها نصف عدد القيم ( 2

50% من القيم أقل منه، % 50 من القيم أعلى منه. وفيما يلي كيفية حساب الوسيط في حالة البيانات

غير مبوبة ، والبيانات المبوبة.

أولا: الوسيط للبيانات غير المبوبة

لبيان كيف يمكن حساب الوسيط للبيانات غير المبوبة ، نتبع الخطوات التالية:

ترتب القيم تصاعديا . •

•= رتبة الوسيط : تحديد رتبة الوسيط، وهي 







2

n 1

فردي فإن الوسيط هو: (n) إذا كان عدد القيم •

والقيمة رقم ، (n / زوجي، فإن الوسيط يقع بين القيمة رقم ( 2 (n) إذا كان عدد القيم •

ومن ثم يحسب الوسيط بتطبيق المعادلة التالي: ، ((n / 2) 1)

37

(3 - مثال ( 3

تم تقسيم قطعة أرض زراعية إلى 17 وحدة تجريبية متشاة ، وتم زراعتها بمحصول القمح ،

(b) وجرب على 7 وحدات تجريبية ، والنوع (a) وتم استخدام نوعين من التسميد هما : النوع

وجرب على 10 وحدات تجريبية ، وبعد انتهاء الموسم الزراعي ، تم تسجيل إنتاجية الوحدة بالطن /

هكتار ، وكانت على النحو التالي :

(a) 1.2 2.75 3.25 2 3 2.3 1.5 النوع

(b) 4.5 1.8 3.5 3.75 2 2.5 1.5 4 2.5 3 النوع

والمطلوب حساب وسيط الإنتاج لكل نوع من السماد المستخدم، ثم قارن بينها.

الحل

(a) أولا : حساب وسيط الإنتاج للنوع الأول

ترتيب القيم تصاعديا : •

(n عدد القيم فردى ( 7 •

. (n 1) / 2 (7 1) / 2 4إذا رتبة الوسيط هي: •

هو: a ويكون ____________الوسيط هو القيمة رقم 4 ، أي أن وسيط الإنتاج للنوع •

Meda طن / هكتار 2.3

: (b) ثانيا : حساب وسيط الإنتاج للنوع الثاني

ترتيب القيم تصاعديا . •

38

إذا (n عدد القيم زوجي ( 10 •

. (n 1) / 2 (10 1) / 2 5.5رتبة الوسيط هي : •

. (6 ، الوسيط = الوسط الحسابي للقيمتين الواقعتين في المنتصف (رقم 5 •

طن / هكتار 2.75

2

2.5 3 



b Med

أقل من وسيط إنتاجية النوع (a) وبمقارنة النوعين من السماد ، نجد أن وسيط إنتاجية النوع

. Medb Meda : أي أن ، (b)

ثانيا: الوسيط للبيانات المبوبة

لحساب الوسيط من بيانات مبوبة في جدول توزيع تكراري ، يتم إتباع الخطوات التالية .

تكوين الجدول التكراري المتجمع الصاعد . •

•: تحديد رتبة الوسيط 

f

تحديد فئة الوسيط كما في الشكل التالي : •

(A) الحد الأدنى لفئة الوسيط f تكرار متجمع صاعد سابق 1

Med الوسيط (n رتبة الوسيط ( 2

الحد الأعلى لفئة الوسيط f تكرار متجمع صاعد لاحق 2

ويحسب الوسيط ، بتطبيق المعادلة . •

حيث أن :

هي طول فئة الوسيط، وتحسب بالمعادلة التالية: L

طول الفئة = الحد الأعلى – الحد الأدنى

L = Upper - Lower

(4 - مثال ( 3

فيما يلي توزيع 50 عجل متوسط الحجم ، حسب احتياجاته اليومية من الغذاء الجاف

بالكيلوجرام

1.5 - فئات الاحتياجات اليومية 4.5 - 7.5 - 10.5 - 13.5 – 16.5

f 4 12 19 10 5 عدد العجول

39

والمطلوب : حساب الوسيط : أ - حسابيا ب- بيانيا

الحل

أولا : حساب الوسيط حسابيا

رتبة الوسيط : 25 •

2

50

2 2

n f 

الجدول التكراري المتجمع الصاعد : •

من (n/ تحديد فئة الوسيط : وهى الفئة التي تشمل قيمة الوسيط ، وهي قيمة أقل منها ( 2 •

القيم ، ويمكن معرفتها بتحديد التكرارين المتجمعين الصاعدين الذين يقع بينهما رتبة الوسيط

( وفى الجدول أعلاه نجد أن رتبة الوسيط ( 25 ) تقع بين التكرارين المتجمعين , 35 ، (n/ 2)

، 16 ، ويكون الحد الأدنى لفئة الوسيط هو المناظر للتكرار المتجمع الصاعد السابق 7.5 )

والحد الأعلى لفئة الوسيط هو المناظر للتكرار المتجمع الصاعد اللاحق 10.5 . أى أن فئة

. (7.5- الوسيط هي : ( 10.5

11 ) على هذا المثال نجد أن : - وبتطبيق معادلة الوسيط رقم ( 3 •

7.5 , 16 , 35 , 10.5 7.5 3 1 2 Af f L

إذا الوسيط قيمته هي :

40

ثانيا :حساب الوسيط بيانيا

تمثيل جدول التوزيع التكراري المتجمع الصاعد بيانيا . •

تحديد رتبة الوسيط ( 25 ) على المنحنى التكراري المتجمع الصاعد . ثم رسم خط مستقيم •

. (a) أفقي حتى يلقى المنحنى في النقطة

على المحور الأفقي . (a) إسقاط عمود رأسي من النقطة •

نقطة تقاطع الخط الرأسي مع المحور الأفقي تعطى قيمة الوسيط . •

. Med = الوسيط كما هو مبين في الشكل 8.6 •

مزايا وعيوب الوسيط

من مزايا الوسيط

-1 لا يتأثر بالقيم الشاذة أو المتطرفة .

-2 كما أنه سهل في الحساب .

-3 مجموع قيم الانحرافات المطلقة عن الوسيط أقل من مجموع الانحرافات المطلقة عن أي قيم

| x Med | | x a | , a Med : أخرى . أي أن

ومن عيوب الوسيط

41

-1 أنه لا يأخذ عند حسابه كل القيم في الاعتبار، فهو يعتمد على قيمة أو قيمتين فقط .

nominal -2 يصعب حسابه في حالة البيانات الوصفية المقاسة بمعيار اسمي

Mode 3/2/3 المنوال

يعرف المنوال بأنه القيمة الأكثر شيوعا أو تكرارا ، ويكثر استخدامه في حالة البيانات الوصفية

، لمعرفة النمط ( المستوى ) الشائع، ويمكن حسابة للبيانات المبوبة وغير المبوبة كما يلي:

أولا: حساب المنوال في حالة البيانات غير المبوبة

ثانيا: حساب المنوال في حالة البيانات المبوبة (طريقة الفروق)

حيث أن :

الحد الأدنى لفئة المنوال (الفئة المناظرة لأكبر تكرار) . : A

1 الفرق الأول = (تكرار فئة المنوال – تكرار سابق) : d

2 الفرق الثاني = ( تكرار فئة المنوال – تكرار لاحق) : d

طول فئة المنوال . : L

فئة المنوال = الفئة المناظرة لأكبر تكرار

(5 - مثال ( 3

اختيرت عينات عشوائية من طلاب بعض أقسام كلية علوم الأغذية والزراعة ، وتم رصد

درجات هؤلاء الطلاب في مقرر 122 إحصاء التطبيقي ، وكانت النتائج كالتالي:

80 77 75 77 77 77 65 70 58 67 قسم وقاية النباتات

88 68 60 75 93 65 77 85 95 90 قسم علوم الأغذية

80 65 69 80 65 88 76 65 86 80 قسم الاقتصاد

85 73 69 85 73 69 69 73 72 85 قسم الإنتاج الحيواني

42

والمطلوب حساب منوال الدرجات لكل قسم من الأقسام :

الحل

هذه البيانات غير مبوبة ، لذا فإن :

المنوال = القيمة الأكثر تكرارا

والجدول التالي يبين منوال الدرجة لكل قسم من الأقسام .

القيمة المنوالية القيمة الأكثر تكرار القسم

المنوال = 77 درجة الدرجة 77 تكررت 4 مرات قسم وقاية النباتات

لا يوجد منوال جميع القيم ليس لها تكرار قسم علوم الأغذية

يوجد منوالان هما :

المنوال الأول = 65

المنوال الثاني = 80

الدرجة 65 تكررت 3

مرات

الدرجة 80 تكررت 3

مرات

قسم الاقتصاد

يوجد ثلا____________ث منوال هي :

المنوال الأول = 69

المنوال الثاني = 73

المنوال الثالث = 85

الدرجة 69 تكررت 3

مرات

الدرجة 73 تكررت 3

مرات

الدرجة 85 تكررت 3

مرات

قسم الإنتاج الحيواني

(6 - مثال ( 3

فيما يلي توزيع 30 أسرة حسب الإنفاق الاستهلاكي الشهري لها بالألف ريال .

2 - فئات الإنفاق 5 - 8 - 11 - 14 - 17

f 4 7 10 5 4 عدد الأسر

والمطلوب حساب منوال الإنفاق الشهري للأسرة، باستخدام طريقة الفروق .

الحل

12 ) ، ويتم إتباع الآتي : - لحساب المنوال لهذه البيانات يتم استخدام المعادلة رقم ( 3

تحديد الفئة المنوالية •

(8- الفئة المنوالية هي الفئة المناظرة لأكبر تكرار : ( 11

43

حيث أن : ، d حساب الفروق •

(10 7) 3 (10 5) 5 1 2 d d 

(L وكذلك طول الفئة ( 3 ، (Aتحديد الحد الأدنى للفئة المنوالية ( 8 •

وبتطبيق المعادلة الخاصة بحساب المنوال فى حالة البيانات المبوبة . نجد أن : •

3 5 3 8 1.125 9.125

Mod A d

3/3 استخدام مقاييس الترعة المركزية في تحديد شكل

توزيع البيانات

يمكن استخدام الوسط الحسابي والوسيط والمنوال في وصف المنحنى التكراري، والذي يعبر عن

شكل توزيع البيانات ، كما يلي :

(1 - شكل ( 3

يكون المنحنى متماثل إذا كان : •

الوسط = الوسيط = المنوال .

يكون المنحنى موجب الالتواء (ملتوي جهة اليمين ) إذا كان: •

الوسط > الوسيط > المنوال

يكون المنحنى سالب الالتواء (ملتوي جهة اليسار) إذا كان : •

الوسط < الوسيط < المنوال

(7 - مثال عام ( 3

44

قام مدير مراقبة الإنتاج بسحب عينة من 10 عبوات من المياه المعبأة للشرب ، ذات الحجم

5 لتر ، والمنتجة بواسطة إحدى شركات تعبئة المياه لفحص كمية الأملاح الذائبة، وكانت كالتالي :

115 123 119 123 124 119 123 121 123 121

والمطلوب : حساب الوسط الحسابي، والوسيط، والمنوال، ثم حدد شكل الالتواء لهذه البيانات .

الحل

حساب الوسط الحسابي :

حساب الوسيط : •

(n 1) / 2 (10 1) / 2 رتبة الوسيط : 5.5

ترتيب القيم تصاعديا

(6 , عدد القيم = 10 ، وهو عدد زوجي. الوسيط = الوسط الحسابي للقيمتين رقم ( 5

122

المنوال يساوى القيمة الأكثر تكرارا: القيمة 123 تكررت أكثر من غيرها ، إذا

Mod 123

وبمقارنة الوسط والوسيط و المنوال نجد أن :

نجد أن : الوسط < الوسيط < المنوال ، إذا توزيع بيانات كمية الأملاح سالبة الالتواء.

(8 - مثال ( 3

45

الجدول التكراري التالي يعرض توزيع 100 عامل في مزرعة حسب الأجر اليومي بالريال .

50 - الأجر 70 - 90 - 110 - 130 - 150 - 170 - 190

8 15 28 20 15 8 6 عدد العمال

والمطلوب :

حساب الوسط والوسيط والمنوال . •

بيان شكل توزيع الأجور في هذه المزرعة . •

الحل

حساب الوسط والوسيط والمنوال . •

x أولا : الوسط الحسابي

فئات الأجر ( f ) التكرارات (x ) مراكز الفئات f x

50 – 70 8 60 480

70 – 90 15 80 1200

90 – 110 28 100 2800

110 - 130 20 120 2400

130 - 150 15 140 2100

150 – 170 8 160 1280

170 - 190 6 180 1080

100 11340 اموع

Med ثانيا : الوسيط

(n/2 =100/2 = رتبة الوسيط : ( 50

تكوين التوزيع التكراري المتجمع الصاعد .

تكرار متجمع صاعد أقل من

0 أقل من 50

8 أقل من 70

1 23 أقل من 90 f

( رتبة الوسيط ( 50

1 51 أقل من 110 f

71 أقل من 130

86 أقل من 150

94 أقل من 170

100 أقل من 190

من الجدول أعلاه نجد أن :

46

50 , 23 , 51 , 90 , 110 90 20

2 1 2 n f f AL 

إذا الوسيط قيمته هى :

Mod ثالثا : المنوال

الفئة المنوالية ، هى الفئة المناظرة لأكبر تكرار

. (90 - أكبر تكرار = 28 ، وهو يناظر الفئة التقريبية ( 110

d2 28 20 8 , d1 28 15 حساب الفروق : 13

L 110 90 طول الفئة : 20 Aالحد الأدنى للفئة : 90

إذا المنوال

من النتائج السابقة ، نجد أن :

Mod المنوال : 1024 Med الوسيط : 109.3 x الوسط الحسابي : 113.4

أى أن : الوسط > الوسيط > المنوال إذا توزيع بيانات الأجور موجب الالتواء. كما هو مبين

في الشكل التالي:

Quartiles 4/3 الرباعيات

عند تقسيم القيم إلى أربع أجزاء متساوية، يوجد ثلاث إحصاءات ترتيبي تسمى بالرباعيات،

وهي:

الربيع الأول: وهو القيمة التي يقل عنها ربع عدد القيم، أي يقل عنها % 25 من القيم، ويرمز له •

47

.Q بالرمز 1

الربيع الثاني: وهو القيمة التي يقل عنها نصف عدد القيم، أي يقل عنها % 50 من القيم، ويرمز له •

ومن ثم يعبر هذا الربيع عن الوسيط. ،Q بالرمز 2

الربيع الثالث: وهو القيمة التي يقل عنها ثلاث أرباع عدد القيم، أي يقل عنها % 75 من القيم، •

.Q ويرمز له بالرمز 3

3) يبين أماكن الرباعيات الثلاث. - والشكل ( 3

(3 - شكل ( 3

الرباعيات

ولحساب أي من الرباعيات الثلاث، يتم إتباع الآتي:

وأا مرتبة كالتالي: ،n بفرض أن عدد القيم عددها •

القيم مرتبة: X(1) < X(2) < X(3) < X(n)

1 2 3 : الرتبة n

•تحديد رتبة الرباعي رقم i ، ) ( i Q : 

R (n 1) i

.Qi = X(R) : عددا صحيحا فإن قيمة الربيع هو R إذا كانت •

ومن ، X(l)< Qi < X(u) : يقع في المدى (Qi ) عدد كسري، فإن الرباعي R إذا كانت •

بالمعادلة التالية: (Qi ) ثم يحسب

(9 - مثال ( 3

فيما يلي كمية الإنتاج اليومي من الحليب باللتر للبقرة الواحدة لعينة حجمها 10 أبقار اختيرت من

مزرعة معينة:

25 23 29 32 34 29 20 18 27 30

احسب الرباعيات الثلاث لكمية الإنتاج، وما هو تعليقك؟

الحل:

لحساب الرباعيات الثلاث، يتم إتباع الآتي:

ترتيب القيم تصاعديا: •

22.25 28 30.5 قمة الربيع

48

18 20 23 25 27 29 29 30 32 34 القيم

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 الرتبة

2.75 5.5 8.25 رتبة الربيع

: (Q حساب الربيع الأول ( 1 •

رتبة الربيع الأول هي: 2.75

R n

14 ) نجد أن: - 20 ) ، وبتطبيق المعادلة ( 3 Q1 يقع الربيع الأول بين القيمتين: ( 23

2, 2.75 , 20 . 23 ( ) ( ) l u l R x x

إذا :

( ) ( ) 20 0.75(23 20) 22.25 1 ( ) ( ) ( ) l u l Q x R l x x

Q حساب الربيع الثاني (الوسيط) 2 •

رتبة الربيع الثاني هي: 5.5

4

(10 1

14 ) نجد أن: - 27 ) ، وبتطبيق المعادلة ( 3 Q2 يقع الربيع الثاني بين القيمتين: ( 29

5, 5.5 , 27 . 29 ( ) ( ) l u l R x x

إذا :

( ) ( ) 27 0.5(29 27) 28 2 ( ) ( ) ( ) l u l Q x R l x x

Q حساب الربيع الثالث 3 •

رتبة الربيع الثالث هي: 8.25

4

14 ) نجد أن: - 30 ) ، وبتطبيق المعادلة ( 3 Q3 يقع الربيع الثالث بين القيمتين: ( 32

8, 8.25 , 30 . 32 ( ) ( ) l u l R x x

إذا :

( ) ( ) 30 0.25(32 30) 30.5 3 ( ) ( ) ( ) l u l Q x R l x x

من النتائج السابقة نجد أن:

25% من الأبقار يقل إنتاجه عن 22.25 لتر يوميا. •

50% من الأبقار يقل إنتاجه عن 28 لتر يوميا. •

75% من الأبقار يقل إنتاجه عن 30.5 لتر يوميا. •

49

تمارين

أولا : استخدم البيانات التالية ، ثم أجب عما هو مطلوب باختيار الإجابة الصحيحة من بين الإجابات

لعدد 10 ، (x) الأربعة : فيما يلى الطاقة التصديرية من المياه بالألف كيلومتر مكعب يوميا

محطات تحلية .

x: 342 216 105 291 107 216 210 165 90 216

-1 هذه البيانات من النوع :

الوصفى الترتيبى (d) الوصفى (c) الكمى المتصل (b) الكمى المنفصل (a)

قيمتها: x -2

216 (d) 195.8 (c ) 1958 (b) 1000 (a)

-3 قيمة الطاقة التصديرية التى أقل منها % 50 من القيم تسمى :

المدى (d) التباين (c) الوسط (b) الوسيط (a)

-4 القيمة الأكثر تكرارا تسمى :

الانحراف (d) المنوال (c) الوسط (b) الوسيط (a)

-5 الوسط الحسابى للطاقة التصديرية قيمته :

213 (d) 195.8 (c) 1958 (b) 216 (a)

-6 المنوال قيمته

347 (d) 195.8 (c) 1958 (b) 216 (a)

-7 الوسيط قيمته

216 (d) 195.8 (c) 1958 (b) 213 (a)

-8 تعتبر بيانات الطاقة التصديرية أعلاه لها توزيع

سالب الالتواء (b) متماثل (a)

موجب (c)

الالتواء

غير معروف . (d)

-9 إذا تم إدخال تعديل على هذه المحطات لزيادة الطاقة التصديرية لكل محطة 50 ألف كيلو متر

مكعب ، يكون الوسط الحسابى للطاقة التصديرية بعد التطوير هو .

245.8 (d) 195.8 (c) 1958 (b) 216 (a)

هو : y فإن الوسط الحسابى للقيم التى يأخذها المتغير الجديد y 0.5x -10 إذا كانت

245.8 (d) 195.8 (c) 97.9 (b) 216 (a)

50

ثانيا : فيما يلى التوزيع التكرارى لعدد 50 مزرعة حسب المساحة المتررعة بمحصول الطماطم بالألف

دونم .

4.5 المساحة بالألف دونم – 7.5 – 10.5 - 13.5 - 16.5- 19.5 – 22.5

3 8 12 15 10 2 عدد المزارع

(20 - استخدم بيانات الجدول أعلاه للإجابة على الأسئلة من ( 11

-11 طول الفئة قيمته

5 (d) 3 (c) 2 (b) 1 (a)

-12 الحد الأدنى للفئة الرابعة هو

13.5 (d) 15 (c ) 16 (b) 14.5 (a)

-13 مركز الفئة الثانية قيمته

3 (d) 10 (c) 8 (b) 9 (a)

-14 مجموع التكرار النسبى للفئات يساوى :

1.50 (d) 1 (c) 0.20 (b) 0.30 (a)

قيمته تساوى fx هو تكرار الفئة فإن f ، هى مركز الفئة x -15 إذا كانت

681 (d) 50 (c) 225 (b) 225 (a)

-16 الوسط الحسابى قيمته تساوى

681 (d) 13.62 (c) 13.5 (b) 8.33 (a)

-17 الفئة التى يقع فيها قيمة الوسيط هى :

13.5 – (a)

16.5- 19.5 (b) 16.5 14 – (c)

10.5 – 13.5 (d) 17

-18 رتبة الوسيط هى :

1 (d) 25 (c) 10 (b) 50 (a)

-19 الوسيط قيمته تساوى .

12.5 (d) 15 (c) 13.5 (b) 13.9 (a)

-20 المنوال قيمته تساوى :

14.625 (d) 13.5 (c) 15 (b) 14 (a)

-21 من الإجابة 20 ، 19 ، 16 يكون شكل التوزيع .

غير محدد (d) سالب (c) متماثل (b) ملتوى جهة (a)

51

اليمين الإلتواء

ثالثا : قم بتسجيل البيانات التالية :

الإسم : الرقم الجامعي:

21 ) ، ولا ينظر للإجابة التى ا مربعين مظللين : – قم بتظليل الاختيار الصحيح من ( 1