معامل الارتباط

الارتباط Correlation   :

سبق وأن تعرضنا لموضوع الاحصاء والذي يهتم بجمع البيانات وعرضها بيانيا أو بطرق أخرى ومعالجتها من

خلال ايجاد بعض المقاييس المتعلقة بها مثل مثل مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت وسوف نكمل دراستنا

حول العلاقة بين بيانات لظواهر مختلفة لنفس المجتمع الاحصائي .

أولا: شكل الانتشارScatter Diagram  : 

مثال: الجدول التالي يمثل عدد أفراد 10 اسر أخذت عشوائيا من احدى المدن واستهلاك هذه الاسر شهريا من الماء بالمتر المكعب .

رقم الأسرة	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
عدد أفراد الأسرة (س)	4	6	5	3	8	6	9	10	2	4
كمية استهلاك الماء (ص)	8	10	9	6	10	12	15	18	6	7

ان عدد أفراد الأسرة يأخذ قيما مختلفة ، ولذلك فانه بامكاننا التعبير عن ذلك بمتغير وليكن س .

كذلك فان استهلاك الماء يأخذ قيما متغيرة أيضا ، وبامكاننا ايضا التعبير بمتغير آخر وليكن ص .

يمكن ملاحظة أيضا أن هناك علاقة ما بين كمية استهلاك الماء (ص) وعدد أفراد الاسرة (س) وأن استهلاك الماء يعتمد بصورة ما على عدد أفراد الأسرة ، في هذه الحالة فاننا نطلق اسم المتغير المستقل على س ، والمتغير التابع على ص .

وعند تمثيل الجدول السابق بيانيا ، فانن نختار قيم س كمتغير مستقل لتكون الاحداثيات السينية للنقاط التي سنعينها بينما نختار قيم ص كمتغير تابع لتكون الاحداثيات الصادية لتلك النقاط كما يلي :

(4 ، 8) (6، 10) - - - ، (4، 7)

أما الشكل الناتج من تعيين هذه النقاط فاننا نطلق عليه اسم شكل الانتشار كما هو موضح فيما يلي:

                                                                                         كمية استهلاك الماء

                                                                                         بالمتر المكعب

                                                                                                                      ص

عدد افراد الأسرة  س .

تعريف: شكل الانتشار هو الشكل الناتج من تعيين النقاط ( س₁ ، ص₁ ) ، (س₂، ص₂) ،

للمتغيرين المستقل س والتابع ص حيث ( س₁ ، ص₁ ) تمثل قيم المتغيرين للعنصر الأول في

العينة ، (س₂، ص₂) تمثل قيم المتغيرين للعنصر الثاني وهكذا.

أنظر شكل الانتشار السابق ، ولاحظ انه يمكننا القول بأنه كلما زادت قيم س زادت قيم ص في

أغلب الحالات وكذلك فانه كلما نقصت قيم س تنقص قيم ص مع ملاحظة أن ذلك لا يحدث

بصورة كاملة في هذه الحالة تقول بان العلاقة أو الارتباط بين المتغيرين س وص هو ايجابي .

مثال:

الجدول التالي يمثل عدد الطلاب س الذين يقومون بتنظيف ملعب مدرستهم وعدد الساعات ص التي يحتاجونها لانهاء العمل خلال اسبوع من التنظيف اليومي . أرسم شكل الانتشار لهذا الجدول .

اليوم	الاول	الثاني	الثالث	الرابع	الخامس	السادس	السابع
عدد الطلاب س	8	7	6	10	5	9	4
عدد الساعات ص	4	5	6	3	6	4	7

الحل: نعين النقاط كما هو في الشكل المقابل فيكون شكل الانتشار المطلوب .

عدد الساعات ص
                                   عدد الطلاب س

لاحظ أنه كلما زاد عدد الطلاب س نقصت ساعات العمل ص في أغلب الحالات وبالمثل كلما

نقص عدد الطلاب زادت ساعات العمل نقول بأن العلاقة أو الارتباط بين س ، ص هو سلبي .

ان شكل الانتشار لا يعطي صورة واضحة ودقيقة عن طبيعة العلاقة أو الارتباط بين المتغيرين

بل يعطيان فكرة عن سلبية أو ايجابية أو عدم وجود علاقة كذلك يبين فيما اذا كانت العلاقة اما

خطية أو غير ذلك كما هو موضح بين المتغيرين في الأشكال التالية :

مثال:

 اعط مثالا لمتغيرين يرتبطان بارتباط

1- ايجابي قوي                 2- سلبي قوي

الحل:

1-    ارتباط ايجابي بين متغيرين س، ص حيث

                          س: عدد الأيام التي يعمل بها أحد العمال في الشهر.

                        ص: الدخل الشهري

                           كلما زادت ايام العمل التي يعمل بها ذلك العامل كلما زاد الدخل الشهري         

                            للعامل

2-    ارتباط سلبي بين متغيرين س، ص حيث:

س: عدد الدقائق التي تضاء بها شمعة

ص: طول الشمعة

كلما زادت عدد الدقائق التي تضاء بها الشمعة ، كلما قل طول تلك الشمعة .

تمارين ومسائل:

1-    الجدول التالي يمثل المتغيرين بين عمر طالب والمتغير ص : معامل الذكاء له .

س	8	9	10	11	12	13
ص	90	110	100	112	115	105

ارسم شكل الانتشار وحدد ان كان الارتباط بين المتغيرين ايجابيا ام سلبيا .

2- اذا كان ص = 2س + 1 كون جدولا بقيم س، ص حيث³1   س ³ 7 ، س تنتمي الى ص ثم

حدد نوع الارتباط بين س ، ص

ثانيا: معامل الارتباطCorrelation coefficient :

يمكن الحكم على قوة الارتباط الخطي وبين المتغيرين س وص من خلال شكل الانتشار كما أوضحنا في الدرس

السابق .

ان الاحكام على قوة الارتباط بين المتغيرين هي احكام غير دقيقة ولا يمكن الاعتماد عليها في بناء علاقة رياضية

يستفاد منها ولذلك فسوف نتعرف على مقياس لتحديد العلاقة بين المتغيرين بصورة دقيقة تبين درجة الارتباط

وتحدد ان كان الارتباط ايجابيا ام سلبيا.

وهذا المقياس هو معامل الارتباط ويرمز له بالرمز ر  ]-1، 1[ وسنتعرف على طريقتين لحساب معامل

الارتباط هما : 1- معامل ارتباط بيرسون         2- معامل ارتباط سبيرمان .

ومن الجدير بالذكر أن معامل الارتباط لنفس العينة يمكن أن يختل باختلاف طريقة حسابه.

معامل ارتباط بيرسونPereson :

اذا كان س ، ص متغيرين لظاهرة في عينة حجمها ن ، وكانت الازواج المرتبة ( س₁، ص₁) ....( س _ن، ص _ن)

هي قيم المتغيرين فان معامل ارتباط بيرسون يعطى بالعلاقة.

ر =            س ص – ن  س ص

 

       

                                        

           س ² - ن  س  ²                 ص ² – ن ص ²

 

حيث : س = الوسط الحسابي للمتغير س =        س

                                                           

                                                           ن

 

ص = الوسط الحسابي للمتغير ص =        ص

                                                     ن

مثال: احسب معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرين س ، ص واللذان يمثلان درجات الحرارة في خمسة أيام من شهر كانون الثاني في احدى السنوات في مدينتي رام الله والقدس على الترتيب .

اليوم	3/12	4/12	5/12	6/12	7/12
رام الله س	-3	0	4	8	11
القدس ص	2	-1	3	5	6

الحل:  نكون الجدول لتالي:

س	ص	س2	ص 2	س ص
-3	2	9	4	-6
0	-1	0	1	0
4	3	16	9	12
8	5	64	25	40
11	6	121	36	66
المجموع = 20	المجموع = 15	المجموع = 210	المجموع = 75	المجموع = 112

                                                    

الوسط الحسابي للمتغير س =  20     = 4

                                        5

 

الوسط الحسابي للمتغير ص =       ص   =   15   = 3

                                                          5

                                             ن

ر =            س ص –  ن  س ص

 

       

 

           س ² - ن  س  ²                 ص ² – ن ص ²

=              112 – 5 × 3 × 4                    =            52                    = 52

 

      210- 5 × 4 ²       75 – 5× 3 ²                   130         30                 3900

    

نستطيع القول بان هناك ارتباطا ايجابيا قويا بين درجة الحرارة في القدس ورام الله كما هو موضح من الجدول اذ

تزداد الحرارة في رام الله عندما تزداد في القدس .

معامل ارتباط سبيرمان ( الرتب)Sperman( Rank)  :

عندما لا تتوفر القياسات الحقيقية للمتغيرين المراد ايجاد معامل الارتباط بينهما . ويوفر ترتيبهما كمثل درجة

ملوحة كمية من المياه وعلاقة ذلك بدرجة حرارتها فاننا نلجأ لاستخدام معادلة سبيرمان وهي:  

 

ر =   1 -     6         ف ²

 

                 ن ( ن ² – 1)

حيث ف هي الفرق بين رتب المتغيرين المتناظرين ، ن حجم العينة .

مثال: كانت رتب علامات 5 طلاب في امتحاني الرياضيات والفيزياء .

اسم الطالب	رتبته في الرياضيات س ن	رتبته في الفيزياء ص ن
سلوى	الثاني	الاول
أحمد	الاول	الثالث
قاسم	الرابع	الخامس
علي	الخامس	السادس
جورج	السادس	الرابع
سامي	الثالث	الثاني

اوجد معامل ارتباط سبيرمان بين علامتي الرياضيات والفيزياء وحدد ان كان الارتباط ايجابيا ام سلبيا.

الحل:

رتب س	رتب ص	ف	ف 2
2	1	1	1
1	3	-2	4
4	5	-1	1
5	6	-1	1
6	4	2	4
3	2	1	1 12

 

ر =   1 -     6         ف ²           = 1 – 6 × 12            = 1 – 72

                                                                                    210

                 ن ( ن ² – 1)                     6(35)

نلاحظ أن الارتباط ايجابي .

ملاحظات عامة على معامل الارتباط:

v    قد تختلف قيمة معامل الارتباط لنفس العينة باختلاف طريقة حسابه.

v   لا يتأثر معامل الارتباط بالاضافة أو الطرح الذي يطرأ على المشاهدات الأصلية .

v   يتأثر معامل الارتباط في حالة واحدة فقط وهي ضرب قيم أحد المتغيرين في عدد موجب ، وقيم

      المتغير الآخر في عدد سالب وعندها تنعكس اشارة معامل الارتباط فقط ، فاننا نستطيع تعميم

      الملاحظتين2،3 كما يلي:

اذا كان معامل الارتباط بين المتغيرين س، ص يساوي ر ، وتغيرت س الى  س^* = أس +ج ، وتغيرت

ص الى ص^* = ب ص + د

أ ، ب، ج، د ح ، أ ، ب ¹ 0 .

فان معامل الارتباط س^* ، ص^*  =       ر      عندما أب < 0

                                                       - ر     عندما أب > 0

v     عند اعطاء رتبة المتغير فيجوز ترتيب كلا المتغيرين تصاعديا  أو تنازليا .

v     اذا كانت ر موجبة ، فان الارتباط بين س ، ص ايجابي

v     اذا كانت ر سالبة ، فان الارتباط بين س ، ص سلبي.

v     كلما زادت قيمة | ر |  ، كلما كان الارتباط أقوى سلبا أم ايجابيا .

v     يعتبر معامل بيرسون للارتباط أكثر دقة للعلامة بين المتغيرين من معامل سبيرمان كونه يعتمد على

القيم الأصلية في حين يعتمد معامل سبيرمان على رتب القيم .

مثال: اذا كان معامل الارتباط بين المتغيرين س ، ص هو 56,0 احسب معمل الارتباط بين س^* ، ص^* 

في حالة  : س^* = 3س ،  ص^*  = 5 س

الحل:  ر = 56,0

تمارين ومسائل:

1- يبين الجدول التالي العلاقة بين كمية السماد وكمية الانتاج بالطن لمجموعة من القطن الزراعية :

قطعة للأرض	الأولى	الثانية	الثالثة	الرابعة
س	3	4	3	2
ص	8	9	7	4

أ‌-        ارسم شكل الانتشار للعلاقة بين المتغيرين أعلاه .

ب‌-    احسب معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرين

2-      حسب معامل ارتباط سبيرمان للرتب فكان 17/ 33 فاذا علمت أن مجموع مربعات الفروق بين

الرتب المتناظرة للمتغيرين هو 80 احسب حجم العينة .