TRIGONOMETRIE
DM - LCP - 2006 Cahier Géométrie
22.. TTrriiggoonnoomééttrriiee
2.1. Utilité de la trigonométrie
Théodolite du 19ème siècle
Le problème de base de la trigonométrie est à peu près celui-ci :
Vous vous tenez sur la rive d'un fleuve large et vous voulez savoir par exemple la
distance d'un arbre situé de l'autre côté , désigné sur le schéma par la lettre C (pour
simplifier ignorons la 3ème dimension). Comment faire sans traverser réellement le
fleuve ?
La démarche habituelle consiste à planter deux poteaux aux points A et B, et avec un
décamètre ou une chaîne d'arpenteur et à mesurer la distance c qui les sépare (la ligne
de base).
Remplacez ensuite le poteau A par une lunette d'arpenteur (un théodolite) comme celui
ci-contre, munie d'un plateau divisé en 360 degrés permettant de repérer sa direction
(son azimut). En visant successivement l'arbre puis le poteau B, vous obtenez l'angle A
du triangle ABC par soustraction des chiffres lus sur le plateau d'azimut. A partir du
point B on mesure l'angle B de façon analogue. La longueur c de la ligne de base et les
deux angles A et B sont suffisantes pour tout connaître sur le triangle ABC, assez, par
exemple, pour construire un triangle de même taille et de même forme sur un terrain
identique.
La trigonométrie (en grec τριγον = triangle) était à l'origine l'art de préciser
uniquement par le calcul les informations absentes. Avec suffisamment d'informations,
la trigonométrie vous permet de calculer les dimensions et les angles d'un triangle
préalablement défini.
Pourquoi des triangles ? Parce que ce sont les figures de base qui permettent de
construire toutes les autres formes ayant des côtés rectilignes. Un carré, un pentagone
ou un polygone peuvent être divisés en triangles, en menant des lignes droites d'un
angle à tous les autres.
CHAPITRE 2
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
10
Jost Bürgi
(Lichtensteig, 28/2/1552 -
Kassel, 31/1/1632)
La gravure ci-dessous montre un instrument de triangulation du suisse Jost Bürgi
utilisé pour déterminer la distance des troupes ennemies, avant de canonner.
Les arpenteurs divisent une contrée en triangles pour la cartographier et placent à
chaque sommet une balise, qui de nos jours est souvent une plaque ronde en laiton,
arrimée au sol, avec une cuvette au centre destinée à placer les tiges et les appareils de
visée (George Washington faisait ce travail dans sa jeunesse). Après avoir mesuré une
ligne de base - telle que AB dans l'exemple du fleuve - l'arpenteur évaluait les angles
formés par ces points vers un autre point C, et utilisaient la trigonométrie pour calculer
les distances AC, AB et BC. Celles-ci servaient de lignes de base pour deux nouveaux
triangles qui à leur tour fournissaient deux nouvelles lignes de base pour deux autres
triangles, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le pays entier soit couvert d'une grille ne
comportant que des distances connues.
Ultérieurement, on peut ajouter une grille secondaire subdivisant les plus grands
triangles dont on repère les angles par des mâts en ferraille ce qui permet de connaître
des distances supplémentaires et d'établir des cartes et des plans.
TRIGONOMETRIE 11
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2.2. Le cercle trigonométrique
Toute la trigonométrie est
basée sur le cercle
trigonométrique.
Le cercle trigonométrique est un cercle centré à l’origine et de rayon égal à 1.
Traçons une demi-droite partant de l’origine et formant un angle α avec la demi-droite
horizontale partant de l’origine. On définit le sinus, le cosinus, la tangente et la
cotangente de l’angle α comme les longueurs signées des segments déterminés selon le
schéma ci-dessous :
–1 0 1
1
–1
α
ctgα
cosα
sinα
tgα
le segment
déterminant la
tangente passe
toujours par ce
point.
le segment
déterminant la
cotangente passe
toujours par ce
point.
Exercice 2.1 Sur les trois cercles trigonométriques ci-dessous, représentez graphiquement le sinus, le
cosinus, la tangente et la cotangente des angles indiqués sous chaque cercle.
Pour chaque dessin, évaluez ensuite les valeurs de ces quatre mesures et contrôlez-les
sur votre calculatrice.
1
1
1
1
1
1
α = 130° α = 220° (ou α = –140°) α = 310° (ou α = –50°)
CHAPITRE 2
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
12
Exercice 2.2
Abréviations
sinus : sin(α)
cosinus : cos(α)
tangente : tg(α), tan(α)
cotangente : ctg(α), cot(α)
Le sens trigonométrique
positif est le sens inverse des
aiguilles d’une montre.
Le sens trigonométrique
négatif est le sens des aiguilles
d’une montre. On « lit » un
angle négatif dans le sens
trigonométrique négatif.
En utilisant le cercle trigonométrique puis votre calculatrice, vérifiez les relations
suivantes :
a. cos(–α) = cos(α) b. sin(–α) = –sin(α)
c. tg(–α) = –tg(α) d. ctg(–α) = –ctg(α)
e. cos(180°–α) = –cos(α) f. sin(180°–α) = sin(α)
g. tg(180°–α) = –tg(α) h. ctg(180°–α) = –ctg(α)
Trouvez des relations similaires à celles ci-dessus :
i. cos(180°+α) = ? j. sin(180°+α) = ?
k. tg(180°+α) = ? l. ctg(180°+α) = ?
Vérifiez encore les relations suivantes :
m. sin(90°–α) = cos(α) n. cos(90°–α) = sin(α)
o. sin(90°+α) = cos(α) p. cos(90°+α) = –sin(α)
Exercice 2.3
En utilisant le cercle trigonométrique et des théorèmes de géométrie élémentaire,
prouvez les relations suivantes :
a. sin2α + cos2α =1
b. tg sin
cos
α
α
α
=
c. ctg 1
tg
α
α
=
Ces trois relations sont très importantes. Il faut les savoir par coeur !
Remarquez qu’il n’y a pas de touche « ctg » sur votre calculatrice !
2.3. Unités des angles
D’autres unités d’angles
existent, par exemple les
grades :
400 gr ↔ 360°
les pour-milles :
2000π ‰ ↔ 360°
les pour-milles d’artillerie :
6400 ‰a ↔ 360°
Les calculatrices ont une
touche qui permet de faire
directement certaines de ces
conversions.
Jusqu’à présent, vous avez toujours mesuré les angles en degrés. C’est une mesure qui
est facile à se représenter, mais ce n’est pas la plus pratique mathématiquement.
Le cercle trigonométrique permet de définir une autre unité de mesure : le radian.
Comme le cercle trigonométrique a un rayon de 1 (sans unités), la longueur de son
périmètre vaut 2π (radians). On a donc la correspondance suivante :
2π ↔ 360° ou π ↔ 180°
On prononce « 2 pi radians correspondent à 360 degrés ».
Ainsi, pour convertir des degrés en radians, il faut multiplier le nombre de degrés par
π/180. Inversement, pour convertir des radians en degrés, il faut multiplier le nombre
de radians par 180/π.
Par convention, quand on ne précise pas l’unité d’un angle, il est exprimé en radians.
Si vous voulez travailler en degrés, n’oubliez pas le ° !
Exercice 2.4
Convertissez les angles suivants de degrés en radians :
a. 90° ↔ ? b. 45° ↔ ? c. 30° ↔ ?
d. 120° ↔ ? e. 270° ↔ ? f. 60° ↔ ?
g. 310° ↔ ? h. 134° ↔ ? i. 222° ↔ ?
TRIGONOMETRIE 13
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Exercice 2.5 Convertissez les angles suivants de radians en degrés :
a. 3 π
2
↔ ? b. π
4
↔ ? c. π
2
↔ ?
d. π
3
↔ ? e. π
8
↔ ? f. 7 π
9
↔ ?
g. 0.5 ↔ ? h. 3.29 ↔ ? i. 4.032 ↔ ?
Quelques valeurs
Quelques valeurs qu’il est bon
de savoir par coeur, car elles
reviennent souvent.
α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°
sin(α) 0
1
2
1
2
3
2
1 0 −1
cos(α) 1 3
2
1
2
1
2
0 −1 0
tan(α) 0
1
3
1 3 ∞ 0 ∞
cot(α) ∞ 3 1
1
3
0 ∞ 0
CHAPITRE 2
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
14
2.4. Triangles rectangles
Remarquez bien que le côté a
est opposé à l’angle α, b à β et
c à l’angle droit.
Les formules ci-dessous ne
sont valables que si les lettres
sont placées de cette façon !
Dans un triangle rectangle, on a, en utilisant les notations du dessin ci-dessus, les
relations suivantes :
sin α =
a
c
« = côté opposé sur hypoténuse »
cos α =
b
c
« = côté adjacent sur hypoténuse »
tan α =
a
b
« = côté opposé sur côté adjacent »
Complétez : sin β = cos β = tan β =
Sauriez-vous démontrer ces relations en utilisant le cercle trigonométrique et le
théorème de Thalès ?
Exercice 2.6
« Résoudre un triangle » consiste à déterminer les éléments non donnés (angles et
longueur des côtés).
Un triangle est rectangle en C (voir dessin ci-dessus). Résolvez ce triangle connaissant :
a. c = 4.75 et β = 65.8°
b. c = 25.43 et a = 12.3
c. a = 48.523 et α = 53.46°
d. a = 112.5 et β = 14.5°
e. a = 22.3 et b = 46.8
f. b = 42.8 et S = 1040.04 (S est l’aire du triangle)
g. α = 38.45° et S = 8.28
h. c = 17.3 et S = 53.44
Exercice 2.7
Un triangle est isocèle en A. Résolvez ce triangle connaissant :
a. α = 48.5° et a = 22.8
b. α = 103.48° et b = c = 4.24
c. a = 8.5 et β = γ = 72.4°
d. β = γ = 32.89° et b = c = 18.72
Exercice 2.8
Connaissant la base a et l’angle α d’un triangle isocèle, calculez les côtés égaux, les
hauteurs, les rayons des cercles inscrit et circonscrit, ainsi que l’aire du triangle. Pour
chaque question, donnez la réponse littérale ne comprenant dans le membre de droite
que a et α.
Application numérique : a = 15, α = 40°
TRIGONOMETRIE 15
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Exercice 2.9
Quelle est la hauteur d’un clocher qui a une ombre de 36 mètres lorsque le soleil est
élevé de 37.5° au-dessus de l’horizon ?
Exercice 2.10
a. Calculez le périmètre d’un polygone régulier convexe à sept côtés inscrit dans un
cercle de rayon 2.
b. Un polygone régulier convexe à quinze côtés a une aire égale à 1500. Calculez la
longueur de son côté et le rayon du cercle dans lequel il est inscrit.
Exercice 2.11
Un chat aperçoit un arbre sous un angle de 38.6°. Il recule de 25 mètres et voit alors
l’arbre sous un angle de 18.3° (on admettra que les yeux du chat et le pied de l’arbre
sont au même niveau).
a. À quelle distance de l’arbre le chat se trouvait-il au début ?
b. Quelle est la hauteur de l’arbre ?
Exercice 2.12
Un chat aperçoit de l’autre côté d’un canal un arbre, juste en face, sous un angle de 35°.
Il se déplace de 30 mètres le long de la rive et voit maintenant l’arbre sous un angle de
19°.
a. Quelle est la largeur du canal ?
b. Quelle est la hauteur de l’arbre ?
Exercice 2.13
Deux observateurs, placés à la même altitude et distants de 1350 mètres, visent au même
moment un point remarquable d’un nuage situé entre eux. Ce point est dans le plan
vertical contenant les deux observateurs. Les angles d’élévation sont de 65.4° et 76.5°.
Quelle est l’altitude du nuage ?
Exercice 2.14
Deux poulies, dont les diamètres sont 122 cm et 88 cm, sont reliées par une courroie de
transmission tendue. La distance entre les axes des poulies est 400 cm. Quelle est la
longueur de la courroie ?
Exercice 2.15
Cet angle s’appelle
l’élongation. Il est maximum
quand le Soleil, la Terre et
Vénus sont en quadrature.
Quand la planète Vénus est observée depuis la Terre pendant une certaine période, elle
paraît se mouvoir en avant et en arrière le long d’un segment de droite, le Soleil étant au
milieu. À la distance apparente maximale du Soleil, l’angle Soleil-Terre-Vénus est
d’environ 36°. Sachant que la distance Terre-Soleil vaut environ 148.64·106 km, estimez
la distance séparant Vénus du Soleil.
Exercice 2.16
Pour déterminer la largeur du Nil entre deux points M et N, les Égyptiens utilisaient un
procédé semblable à celui présenté ci-dessous (vue prise d’avion).
A M x N
C
250 m
30o
200 m
α
Calculez x et α.
Exercice 2.17
Rayon de la Terre : 6371 km
Vous venez de plaquer l’ex-amour de votre vie ! Vous l’abandonnez sans remords sur
la jetée (altitude de ses yeux humides : 4 m) et ramez vers le large (altitude de vos yeux
impitoyables : 1 m). À quelle distance du rivage échapperez-vous à son regard
déchirant, en disparaissant de son horizon ?
CHAPITRE 2
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16
Exercice 2.18
Indication :
tan 2α =
2 tan α
1 − tan2 α
Un piédestal surmonté d’un statue est érigé au bord d’une rivière. Le piédestal a pour
hauteur 12.5 m et la statue 15.2 m. Un chat placé sur l’autre bord de la rivière voit sous
un même angle la statue et le piédestal (on admettra que les yeux du chat sont au
niveau du pied du piédestal). Quelle est la largeur de la rivière ?
2.5. Triangles quelconques
Nous allons utiliser les deux triangles ci-dessous pour trouver deux théorèmes, appelés
théorème du sinus et théorème du cosinus.
B(x ; y)
D A b C(b ; 0)
c a
x
y
α
y
x
γ
B(x ; y)
A C(b ; 0)
b
D
c a
x
y
α
y
x
γ
Théorème du
cosinus
Trouvons les coordonnées du
sommet B
Appliquons le théorème de
Pythagore au triangle
rectangle BCD
Théorème du cosinus
cos α = AD
c
ou AD = x = c cosα ← coordonnée x de B
sin α = DB
c
ou DB = y = c sinα ← coordonnée y de B
a2 = (b – x)2 + y2
= (b – c cosα)2 + (c sinα)2
= (b2 – 2bc cosα + c2 cos2α) + (c2 sin2α)
= b2 + c2 (cos2α + sin2α )– 2bc·cos α
Comme cos2α + sin2α = 1, nous avons la relation :
a2 = b2 + c2 – 2bc·cosα
En faisant une permutation cyclique des lettres a, b, c et α, β, γ, nous obtenons les
formules pour b2 et c2 (voir résumé page suivante).
Théorème du sinus
Utilisons encore les deux
triangles donnés plus haut pour
trouver deux expressions de la
longueur DB.
sin α = DB
c
et sin γ = DB
a
nous conduit à deux expressions de DB :
DB = c sinα et DB = a sinγ.
Ce qui nous donne : a sinγ = c sinα ⇒
a
sin α
=
c
sin γ
Théorème du sinus
Un raisonnement similaire donne la relation
a
sin α
=
b
sinβ qui, combinée avec le
premier résultat, nous fournit :
a
sin α
=
b
sinβ
=
c
sin γ
TRIGONOMETRIE 17
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Dans un triangle quelconque, on a, en utilisant les notations du dessin ci-dessus :
α + β + γ = 180°
Résumé
Remarquez bien que a est
toujours opposé à α, b à β et c
à γ !
Attention ! Dans un triangle,
il y a deux solutions pour
l’équation sin(α) = k :
α1 = arcsin(k)
α2 = 180° − arcsin(k)
Théorème du sinus
a
sin α
=
b
sinβ
=
c
sin γ
= 2r
(r : rayon du cercle circonscrit)
Théorème du cosinus
a2 = b2 + c2 – 2bc cosα
b2 = c2 + a2 – 2ca cosβ
c2 = a2 + b2 – 2ab cosγ
Démontrez cette formule !
Héron d’Alexandrie (fin du 1er
siècle après J.-C.) a démontré
cette formule déjà connue
d’Archimède.
Aire d’un triangle quelconque
S =
1
2
ab sin γ =
1
2
bc sin α =
1
2
casin β
Formule d’Héron (aire d’un triangle connaissant ses trois côtés)
S = p(p − a)( p − b)( p − c) avec p =
1
2
(a + b + c)
Exercice 2.19
Résolvez les triangles ABC ci-dessous. Vérifiez leur aire S.
a. a = 70.24 b = 82.12 γ = 30.69° S = 1472
b. β = 58.25° γ = 39.38° a = 20.46 S = 113.91
c. a = 41.94 b = 96.92 c = 107.26 S = 2’030.5
d. a = 20.43 b = 5.63 c = 27.84
e. β = 30.65° a = 98.06 b = 364.04 S = 11’120.94
f. β = 39.37° a = 460.14 b = 335.59 S = 76’082.55 / 27’744.77
Exercice 2.20
rayon de la Terre : 6370 km
Un observateur, couché sur le sol, voit un satellite sous un angle de 35° avec la
verticale. Sachant que le satellite gravite à 1000 km au-dessus de la surface de la Terre,
quelle est la distance séparant le satellite de l’observateur ?
Exercice 2.21
Un bateau quitte le port à 13h00 et fait route dans la direction 55oW à la vitesse de 38
km/h (les angles sont mesurés avec la direction N). Un deuxième bateau quitte le même
port à 13h30 et vogue dans la direction 70oE à 28.5 km/h.
Calculez la distance séparant les bateaux à 15h00.
Exercice 2.22
Les proportions du dessin ne
sont pas exactes.
Quelle est la longueur du segment DE ?
5
5
3
5 3
A
B
C
D
E
CHAPITRE 2
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
18
Exercice 2.23
Ce pavage joue un rôle
important en cristallographie.
Roger Penrose
(Colchester, 8 août 1931 - )
Physicien et mathématicien
britannique.
Il enseigne les mathématiques
au Birkbeck College de
Londres où il élabore la
théorie décrivant
l'effondrement des étoiles sur
elles-mêmes (« Death of
stars »), entre 1964 et 1973, où
il rencontre le célèbre
physicien Stephen Hawking.
Ils travaillent alors à une
théorie de l'origine de
l'univers, Penrose y apportant
sa contribution mathématique
à la théorie de la relativité
générale appliquée à la
cosmologie et à l'étude des
trous noirs.
En 1974, il publie un article
où il présente ses premiers
pavages non périodiques : les
pavages de Penrose
(Pentaplexity, Bulletin of the
Institute for Mathematics and
its Applications, 10, 266-271,
1974).
Le pavage de Penrose
Les pavés de Penrose ont la forme d’un losange ABCD dont la longueur des côtés est 1
et dont un angle intérieur fait 72°. On situe un point P sur la diagonale AC à une
distance 1 du sommet C. De ce point partent les deux segments de droite PB et PD
rejoignant les deux autres sommets du losange, comme le montre la figure ci-dessous.
Les deux pavés ainsi formés sont appelés « fer de lance » et « cerf-volant ».
a. Calculez les mesures en degrés de ∠ABP, ∠APB et ∠BPC.
b. Calculez la longueur du segment BP à 0.001 près.
c. Calculez l’aire d’un fer de lance et d’un cerf-volant à 0.01 près.
TRIGONOMETRIE 19
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Exercice 2.24
Pour déterminer l’altitude du sommet C d’une
montagne, on choisit deux points A et B au bas de
la montagne d’où l’on voit le sommet. A et B ne
sont pas forcément à la même altitude mais ils
sont séparés d’une distance d. On mesure les
angles α = ∠BAC, β = ∠ABC, ainsi que l’angle
d’élévation θ sous lequel on voit C depuis A
(angle entre AC et l’horizontale).
Quelle est l’altitude de C si celle de A est hA ?
Application numérique :
d = 450 m, hA = 920 m, α = 35.4°, β = 105.8°,
θ = 23.5°
Exercice 2.25
Une basilique est située au sommet d'une colline (voir schéma ci-dessous). Quelle est la
hauteur de cette basilique ?
60 m
41° 48° 32°
2.6. Ce qu’il faut absolument savoir
Utiliser le cercle trigonométrique pour définir le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ❏ ok
Convertir des degrés en radians et vice-versa ❏ ok
Résoudre des triangles rectangles ❏ ok
Connaître et appliquer le théorème du sinus ❏ ok
Connaître et appliquer le théorème du cosinus ❏ ok
Résoudre des triangles quelconques ❏ ok
CHAPITRE 2
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
20
Annexe : bricoler un astrolabe
1. Coller le patron ci-dessus sur un carton fort. 2. Découper le parton.
3. Attacher une paille le long du bord indiqué 4. Fixer une ficelle lestée passant par le trou
que vous aurez fait à la place du point noir.
La ficelle indique l’angle d’inclinaison de l’objet qu’on regarde à travers la paille.
Attention ! Ne fixez jamais le Soleil ! C’est très dangereux pour vos yeux !
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22.. TTrriiggoonnoomééttrriiee
2.1. Utilité de la trigonométrie
Théodolite du 19ème siècle
Le problème de base de la trigonométrie est à peu près celui-ci :
Vous vous tenez sur la rive d'un fleuve large et vous voulez savoir par exemple la
distance d'un arbre situé de l'autre côté , désigné sur le schéma par la lettre C (pour
simplifier ignorons la 3ème dimension). Comment faire sans traverser réellement le
fleuve ?
La démarche habituelle consiste à planter deux poteaux aux points A et B, et avec un
décamètre ou une chaîne d'arpenteur et à mesurer la distance c qui les sépare (la ligne
de base).
Remplacez ensuite le poteau A par une lunette d'arpenteur (un théodolite) comme celui
ci-contre, munie d'un plateau divisé en 360 degrés permettant de repérer sa direction
(son azimut). En visant successivement l'arbre puis le poteau B, vous obtenez l'angle A
du triangle ABC par soustraction des chiffres lus sur le plateau d'azimut. A partir du
point B on mesure l'angle B de façon analogue. La longueur c de la ligne de base et les
deux angles A et B sont suffisantes pour tout connaître sur le triangle ABC, assez, par
exemple, pour construire un triangle de même taille et de même forme sur un terrain
identique.
La trigonométrie (en grec τριγον = triangle) était à l'origine l'art de préciser
uniquement par le calcul les informations absentes. Avec suffisamment d'informations,
la trigonométrie vous permet de calculer les dimensions et les angles d'un triangle
préalablement défini.
Pourquoi des triangles ? Parce que ce sont les figures de base qui permettent de
construire toutes les autres formes ayant des côtés rectilignes. Un carré, un pentagone
ou un polygone peuvent être divisés en triangles, en menant des lignes droites d'un
angle à tous les autres.
CHAPITRE 2
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10
Jost Bürgi
(Lichtensteig, 28/2/1552 -
Kassel, 31/1/1632)
La gravure ci-dessous montre un instrument de triangulation du suisse Jost Bürgi
utilisé pour déterminer la distance des troupes ennemies, avant de canonner.
Les arpenteurs divisent une contrée en triangles pour la cartographier et placent à
chaque sommet une balise, qui de nos jours est souvent une plaque ronde en laiton,
arrimée au sol, avec une cuvette au centre destinée à placer les tiges et les appareils de
visée (George Washington faisait ce travail dans sa jeunesse). Après avoir mesuré une
ligne de base - telle que AB dans l'exemple du fleuve - l'arpenteur évaluait les angles
formés par ces points vers un autre point C, et utilisaient la trigonométrie pour calculer
les distances AC, AB et BC. Celles-ci servaient de lignes de base pour deux nouveaux
triangles qui à leur tour fournissaient deux nouvelles lignes de base pour deux autres
triangles, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le pays entier soit couvert d'une grille ne
comportant que des distances connues.
Ultérieurement, on peut ajouter une grille secondaire subdivisant les plus grands
triangles dont on repère les angles par des mâts en ferraille ce qui permet de connaître
des distances supplémentaires et d'établir des cartes et des plans.
TRIGONOMETRIE 11
DM - LCP - 2006 Cahier Géométrie
2.2. Le cercle trigonométrique
Toute la trigonométrie est
basée sur le cercle
trigonométrique.
Le cercle trigonométrique est un cercle centré à l’origine et de rayon égal à 1.
Traçons une demi-droite partant de l’origine et formant un angle α avec la demi-droite
horizontale partant de l’origine. On définit le sinus, le cosinus, la tangente et la
cotangente de l’angle α comme les longueurs signées des segments déterminés selon le
schéma ci-dessous :
–1 0 1
1
–1
α
ctgα
cosα
sinα
tgα
le segment
déterminant la
tangente passe
toujours par ce
point.
le segment
déterminant la
cotangente passe
toujours par ce
point.
Exercice 2.1 Sur les trois cercles trigonométriques ci-dessous, représentez graphiquement le sinus, le
cosinus, la tangente et la cotangente des angles indiqués sous chaque cercle.
Pour chaque dessin, évaluez ensuite les valeurs de ces quatre mesures et contrôlez-les
sur votre calculatrice.
1
1
1
1
1
1
α = 130° α = 220° (ou α = –140°) α = 310° (ou α = –50°)
CHAPITRE 2
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
12
Exercice 2.2
Abréviations
sinus : sin(α)
cosinus : cos(α)
tangente : tg(α), tan(α)
cotangente : ctg(α), cot(α)
Le sens trigonométrique
positif est le sens inverse des
aiguilles d’une montre.
Le sens trigonométrique
négatif est le sens des aiguilles
d’une montre. On « lit » un
angle négatif dans le sens
trigonométrique négatif.
En utilisant le cercle trigonométrique puis votre calculatrice, vérifiez les relations
suivantes :
a. cos(–α) = cos(α) b. sin(–α) = –sin(α)
c. tg(–α) = –tg(α) d. ctg(–α) = –ctg(α)
e. cos(180°–α) = –cos(α) f. sin(180°–α) = sin(α)
g. tg(180°–α) = –tg(α) h. ctg(180°–α) = –ctg(α)
Trouvez des relations similaires à celles ci-dessus :
i. cos(180°+α) = ? j. sin(180°+α) = ?
k. tg(180°+α) = ? l. ctg(180°+α) = ?
Vérifiez encore les relations suivantes :
m. sin(90°–α) = cos(α) n. cos(90°–α) = sin(α)
o. sin(90°+α) = cos(α) p. cos(90°+α) = –sin(α)
Exercice 2.3
En utilisant le cercle trigonométrique et des théorèmes de géométrie élémentaire,
prouvez les relations suivantes :
a. sin2α + cos2α =1
b. tg sin
cos
α
α
α
=
c. ctg 1
tg
α
α
=
Ces trois relations sont très importantes. Il faut les savoir par coeur !
Remarquez qu’il n’y a pas de touche « ctg » sur votre calculatrice !
2.3. Unités des angles
D’autres unités d’angles
existent, par exemple les
grades :
400 gr ↔ 360°
les pour-milles :
2000π ‰ ↔ 360°
les pour-milles d’artillerie :
6400 ‰a ↔ 360°
Les calculatrices ont une
touche qui permet de faire
directement certaines de ces
conversions.
Jusqu’à présent, vous avez toujours mesuré les angles en degrés. C’est une mesure qui
est facile à se représenter, mais ce n’est pas la plus pratique mathématiquement.
Le cercle trigonométrique permet de définir une autre unité de mesure : le radian.
Comme le cercle trigonométrique a un rayon de 1 (sans unités), la longueur de son
périmètre vaut 2π (radians). On a donc la correspondance suivante :
2π ↔ 360° ou π ↔ 180°
On prononce « 2 pi radians correspondent à 360 degrés ».
Ainsi, pour convertir des degrés en radians, il faut multiplier le nombre de degrés par
π/180. Inversement, pour convertir des radians en degrés, il faut multiplier le nombre
de radians par 180/π.
Par convention, quand on ne précise pas l’unité d’un angle, il est exprimé en radians.
Si vous voulez travailler en degrés, n’oubliez pas le ° !
Exercice 2.4
Convertissez les angles suivants de degrés en radians :
a. 90° ↔ ? b. 45° ↔ ? c. 30° ↔ ?
d. 120° ↔ ? e. 270° ↔ ? f. 60° ↔ ?
g. 310° ↔ ? h. 134° ↔ ? i. 222° ↔ ?
TRIGONOMETRIE 13
DM - LCP - 2006 Cahier Géométrie
Exercice 2.5 Convertissez les angles suivants de radians en degrés :
a. 3 π
2
↔ ? b. π
4
↔ ? c. π
2
↔ ?
d. π
3
↔ ? e. π
8
↔ ? f. 7 π
9
↔ ?
g. 0.5 ↔ ? h. 3.29 ↔ ? i. 4.032 ↔ ?
Quelques valeurs
Quelques valeurs qu’il est bon
de savoir par coeur, car elles
reviennent souvent.
α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°
sin(α) 0
1
2
1
2
3
2
1 0 −1
cos(α) 1 3
2
1
2
1
2
0 −1 0
tan(α) 0
1
3
1 3 ∞ 0 ∞
cot(α) ∞ 3 1
1
3
0 ∞ 0
CHAPITRE 2
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
14
2.4. Triangles rectangles
Remarquez bien que le côté a
est opposé à l’angle α, b à β et
c à l’angle droit.
Les formules ci-dessous ne
sont valables que si les lettres
sont placées de cette façon !
Dans un triangle rectangle, on a, en utilisant les notations du dessin ci-dessus, les
relations suivantes :
sin α =
a
c
« = côté opposé sur hypoténuse »
cos α =
b
c
« = côté adjacent sur hypoténuse »
tan α =
a
b
« = côté opposé sur côté adjacent »
Complétez : sin β = cos β = tan β =
Sauriez-vous démontrer ces relations en utilisant le cercle trigonométrique et le
théorème de Thalès ?
Exercice 2.6
« Résoudre un triangle » consiste à déterminer les éléments non donnés (angles et
longueur des côtés).
Un triangle est rectangle en C (voir dessin ci-dessus). Résolvez ce triangle connaissant :
a. c = 4.75 et β = 65.8°
b. c = 25.43 et a = 12.3
c. a = 48.523 et α = 53.46°
d. a = 112.5 et β = 14.5°
e. a = 22.3 et b = 46.8
f. b = 42.8 et S = 1040.04 (S est l’aire du triangle)
g. α = 38.45° et S = 8.28
h. c = 17.3 et S = 53.44
Exercice 2.7
Un triangle est isocèle en A. Résolvez ce triangle connaissant :
a. α = 48.5° et a = 22.8
b. α = 103.48° et b = c = 4.24
c. a = 8.5 et β = γ = 72.4°
d. β = γ = 32.89° et b = c = 18.72
Exercice 2.8
Connaissant la base a et l’angle α d’un triangle isocèle, calculez les côtés égaux, les
hauteurs, les rayons des cercles inscrit et circonscrit, ainsi que l’aire du triangle. Pour
chaque question, donnez la réponse littérale ne comprenant dans le membre de droite
que a et α.
Application numérique : a = 15, α = 40°
TRIGONOMETRIE 15
DM - LCP - 2006 Cahier Géométrie
Exercice 2.9
Quelle est la hauteur d’un clocher qui a une ombre de 36 mètres lorsque le soleil est
élevé de 37.5° au-dessus de l’horizon ?
Exercice 2.10
a. Calculez le périmètre d’un polygone régulier convexe à sept côtés inscrit dans un
cercle de rayon 2.
b. Un polygone régulier convexe à quinze côtés a une aire égale à 1500. Calculez la
longueur de son côté et le rayon du cercle dans lequel il est inscrit.
Exercice 2.11
Un chat aperçoit un arbre sous un angle de 38.6°. Il recule de 25 mètres et voit alors
l’arbre sous un angle de 18.3° (on admettra que les yeux du chat et le pied de l’arbre
sont au même niveau).
a. À quelle distance de l’arbre le chat se trouvait-il au début ?
b. Quelle est la hauteur de l’arbre ?
Exercice 2.12
Un chat aperçoit de l’autre côté d’un canal un arbre, juste en face, sous un angle de 35°.
Il se déplace de 30 mètres le long de la rive et voit maintenant l’arbre sous un angle de
19°.
a. Quelle est la largeur du canal ?
b. Quelle est la hauteur de l’arbre ?
Exercice 2.13
Deux observateurs, placés à la même altitude et distants de 1350 mètres, visent au même
moment un point remarquable d’un nuage situé entre eux. Ce point est dans le plan
vertical contenant les deux observateurs. Les angles d’élévation sont de 65.4° et 76.5°.
Quelle est l’altitude du nuage ?
Exercice 2.14
Deux poulies, dont les diamètres sont 122 cm et 88 cm, sont reliées par une courroie de
transmission tendue. La distance entre les axes des poulies est 400 cm. Quelle est la
longueur de la courroie ?
Exercice 2.15
Cet angle s’appelle
l’élongation. Il est maximum
quand le Soleil, la Terre et
Vénus sont en quadrature.
Quand la planète Vénus est observée depuis la Terre pendant une certaine période, elle
paraît se mouvoir en avant et en arrière le long d’un segment de droite, le Soleil étant au
milieu. À la distance apparente maximale du Soleil, l’angle Soleil-Terre-Vénus est
d’environ 36°. Sachant que la distance Terre-Soleil vaut environ 148.64·106 km, estimez
la distance séparant Vénus du Soleil.
Exercice 2.16
Pour déterminer la largeur du Nil entre deux points M et N, les Égyptiens utilisaient un
procédé semblable à celui présenté ci-dessous (vue prise d’avion).
A M x N
C
250 m
30o
200 m
α
Calculez x et α.
Exercice 2.17
Rayon de la Terre : 6371 km
Vous venez de plaquer l’ex-amour de votre vie ! Vous l’abandonnez sans remords sur
la jetée (altitude de ses yeux humides : 4 m) et ramez vers le large (altitude de vos yeux
impitoyables : 1 m). À quelle distance du rivage échapperez-vous à son regard
déchirant, en disparaissant de son horizon ?
CHAPITRE 2
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
16
Exercice 2.18
Indication :
tan 2α =
2 tan α
1 − tan2 α
Un piédestal surmonté d’un statue est érigé au bord d’une rivière. Le piédestal a pour
hauteur 12.5 m et la statue 15.2 m. Un chat placé sur l’autre bord de la rivière voit sous
un même angle la statue et le piédestal (on admettra que les yeux du chat sont au
niveau du pied du piédestal). Quelle est la largeur de la rivière ?
2.5. Triangles quelconques
Nous allons utiliser les deux triangles ci-dessous pour trouver deux théorèmes, appelés
théorème du sinus et théorème du cosinus.
B(x ; y)
D A b C(b ; 0)
c a
x
y
α
y
x
γ
B(x ; y)
A C(b ; 0)
b
D
c a
x
y
α
y
x
γ
Théorème du
cosinus
Trouvons les coordonnées du
sommet B
Appliquons le théorème de
Pythagore au triangle
rectangle BCD
Théorème du cosinus
cos α = AD
c
ou AD = x = c cosα ← coordonnée x de B
sin α = DB
c
ou DB = y = c sinα ← coordonnée y de B
a2 = (b – x)2 + y2
= (b – c cosα)2 + (c sinα)2
= (b2 – 2bc cosα + c2 cos2α) + (c2 sin2α)
= b2 + c2 (cos2α + sin2α )– 2bc·cos α
Comme cos2α + sin2α = 1, nous avons la relation :
a2 = b2 + c2 – 2bc·cosα
En faisant une permutation cyclique des lettres a, b, c et α, β, γ, nous obtenons les
formules pour b2 et c2 (voir résumé page suivante).
Théorème du sinus
Utilisons encore les deux
triangles donnés plus haut pour
trouver deux expressions de la
longueur DB.
sin α = DB
c
et sin γ = DB
a
nous conduit à deux expressions de DB :
DB = c sinα et DB = a sinγ.
Ce qui nous donne : a sinγ = c sinα ⇒
a
sin α
=
c
sin γ
Théorème du sinus
Un raisonnement similaire donne la relation
a
sin α
=
b
sinβ qui, combinée avec le
premier résultat, nous fournit :
a
sin α
=
b
sinβ
=
c
sin γ
TRIGONOMETRIE 17
DM - LCP - 2006 Cahier Géométrie
Dans un triangle quelconque, on a, en utilisant les notations du dessin ci-dessus :
α + β + γ = 180°
Résumé
Remarquez bien que a est
toujours opposé à α, b à β et c
à γ !
Attention ! Dans un triangle,
il y a deux solutions pour
l’équation sin(α) = k :
α1 = arcsin(k)
α2 = 180° − arcsin(k)
Théorème du sinus
a
sin α
=
b
sinβ
=
c
sin γ
= 2r
(r : rayon du cercle circonscrit)
Théorème du cosinus
a2 = b2 + c2 – 2bc cosα
b2 = c2 + a2 – 2ca cosβ
c2 = a2 + b2 – 2ab cosγ
Démontrez cette formule !
Héron d’Alexandrie (fin du 1er
siècle après J.-C.) a démontré
cette formule déjà connue
d’Archimède.
Aire d’un triangle quelconque
S =
1
2
ab sin γ =
1
2
bc sin α =
1
2
casin β
Formule d’Héron (aire d’un triangle connaissant ses trois côtés)
S = p(p − a)( p − b)( p − c) avec p =
1
2
(a + b + c)
Exercice 2.19
Résolvez les triangles ABC ci-dessous. Vérifiez leur aire S.
a. a = 70.24 b = 82.12 γ = 30.69° S = 1472
b. β = 58.25° γ = 39.38° a = 20.46 S = 113.91
c. a = 41.94 b = 96.92 c = 107.26 S = 2’030.5
d. a = 20.43 b = 5.63 c = 27.84
e. β = 30.65° a = 98.06 b = 364.04 S = 11’120.94
f. β = 39.37° a = 460.14 b = 335.59 S = 76’082.55 / 27’744.77
Exercice 2.20
rayon de la Terre : 6370 km
Un observateur, couché sur le sol, voit un satellite sous un angle de 35° avec la
verticale. Sachant que le satellite gravite à 1000 km au-dessus de la surface de la Terre,
quelle est la distance séparant le satellite de l’observateur ?
Exercice 2.21
Un bateau quitte le port à 13h00 et fait route dans la direction 55oW à la vitesse de 38
km/h (les angles sont mesurés avec la direction N). Un deuxième bateau quitte le même
port à 13h30 et vogue dans la direction 70oE à 28.5 km/h.
Calculez la distance séparant les bateaux à 15h00.
Exercice 2.22
Les proportions du dessin ne
sont pas exactes.
Quelle est la longueur du segment DE ?
5
5
3
5 3
A
B
C
D
E
CHAPITRE 2
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
18
Exercice 2.23
Ce pavage joue un rôle
important en cristallographie.
Roger Penrose
(Colchester, 8 août 1931 - )
Physicien et mathématicien
britannique.
Il enseigne les mathématiques
au Birkbeck College de
Londres où il élabore la
théorie décrivant
l'effondrement des étoiles sur
elles-mêmes (« Death of
stars »), entre 1964 et 1973, où
il rencontre le célèbre
physicien Stephen Hawking.
Ils travaillent alors à une
théorie de l'origine de
l'univers, Penrose y apportant
sa contribution mathématique
à la théorie de la relativité
générale appliquée à la
cosmologie et à l'étude des
trous noirs.
En 1974, il publie un article
où il présente ses premiers
pavages non périodiques : les
pavages de Penrose
(Pentaplexity, Bulletin of the
Institute for Mathematics and
its Applications, 10, 266-271,
1974).
Le pavage de Penrose
Les pavés de Penrose ont la forme d’un losange ABCD dont la longueur des côtés est 1
et dont un angle intérieur fait 72°. On situe un point P sur la diagonale AC à une
distance 1 du sommet C. De ce point partent les deux segments de droite PB et PD
rejoignant les deux autres sommets du losange, comme le montre la figure ci-dessous.
Les deux pavés ainsi formés sont appelés « fer de lance » et « cerf-volant ».
a. Calculez les mesures en degrés de ∠ABP, ∠APB et ∠BPC.
b. Calculez la longueur du segment BP à 0.001 près.
c. Calculez l’aire d’un fer de lance et d’un cerf-volant à 0.01 près.
TRIGONOMETRIE 19
DM - LCP - 2006 Cahier Géométrie
Exercice 2.24
Pour déterminer l’altitude du sommet C d’une
montagne, on choisit deux points A et B au bas de
la montagne d’où l’on voit le sommet. A et B ne
sont pas forcément à la même altitude mais ils
sont séparés d’une distance d. On mesure les
angles α = ∠BAC, β = ∠ABC, ainsi que l’angle
d’élévation θ sous lequel on voit C depuis A
(angle entre AC et l’horizontale).
Quelle est l’altitude de C si celle de A est hA ?
Application numérique :
d = 450 m, hA = 920 m, α = 35.4°, β = 105.8°,
θ = 23.5°
Exercice 2.25
Une basilique est située au sommet d'une colline (voir schéma ci-dessous). Quelle est la
hauteur de cette basilique ?
60 m
41° 48° 32°
2.6. Ce qu’il faut absolument savoir
Utiliser le cercle trigonométrique pour définir le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ❏ ok
Convertir des degrés en radians et vice-versa ❏ ok
Résoudre des triangles rectangles ❏ ok
Connaître et appliquer le théorème du sinus ❏ ok
Connaître et appliquer le théorème du cosinus ❏ ok
Résoudre des triangles quelconques ❏ ok
CHAPITRE 2
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
20
Annexe : bricoler un astrolabe
1. Coller le patron ci-dessus sur un carton fort. 2. Découper le parton.
3. Attacher une paille le long du bord indiqué 4. Fixer une ficelle lestée passant par le trou
que vous aurez fait à la place du point noir.
La ficelle indique l’angle d’inclinaison de l’objet qu’on regarde à travers la paille.
Attention ! Ne fixez jamais le Soleil ! C’est très dangereux pour vos yeux !
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