GEOMETRIE ELEMENTAIRE 1
1. Géométrie élémentaire
1.1. Le triangle
Définitions
Un triangle ayant deux côtés de même longueur (ou deux angles de même grandeurs)
est dit isocèle.
Un triangle ayant ses trois côtés de même longueur (ou ses trois angles de même
grandeurs) est dit équilatéral.
Un triangle ne présentant pas de symétrie particulière est dit scalène.
Un triangle présentant un angle droit est qualifié de triangle rectangle. Dans ce cas, le
côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse.
Médianes On appelle médiane du triangle toute droite passant par un sommet et par le milieu du
côté opposé. Chacune des trois médianes divise le triangle en deux triangles d'aires
égales.
Les trois médianes d'un triangle se coupent en un même point G qui est le centre de
gravité triangle. Si le triangle était une plaque solide homogène, on pourrait le faire
tenir en équilibre sur une pointe en le posant exactement sur le point G.
Hauteurs On appelle hauteur l'une des trois droites passant par un sommet du triangle et
perpendiculaire au côté opposé. L'intersection de la hauteur et du côté opposé s'appelle
le pied de la hauteur.
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection s'appelle
l'orthocentre du triangle.
Médiatrices et
cercle circonscrit
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
On appelle médiatrice du triangle l'une quelconque des médiatrices des trois segments
[AB], [AC] et [BC].
Si on note Ω l'intersection des deux médiatrices des segments [AB] et [AC] alors Ω est à
égale distance de A, B et C : par suite Ω est aussi sur la médiatrice du segment [BC]. Les
trois médiatrices d'un triangle sont donc concourantes.
CHAPITRE 1
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
2
Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle. C'est le seul
cercle passant à la fois par les trois sommets du triangle.
Bissectrices et
cercle inscrit
La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui
partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe
de symétrie de cet angle.
Les bissectrices du triangle sont simplement les trois bissectrices des angles du
triangles.
La bissectrice de deux droites est l'ensemble des points à égale distance des deux
droites : de ce fait le point d'intersection O de deux bissectrices est à égale distance des
droites (AB), (AC) et (BC). Ce point est donc sur la troisième bissectrice : les trois
bissectrices sont concourantes.
D'après les propriétés des bissectrices, on peut tracer un cercle de centre O qui est
tangent aux trois droites (AB), (AC) et (BC) : c'est le cercle inscrit dans le triangle.
1.2. Théorèmes importants
Théorème de Pythagore
Pythagore de Samos
(Samos, env. -569 - env. -475)
Dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté
opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Ce théorème est nommé d'après Pythagore de Samos qui était un mathématicien,
philosophe et astronome de la Grèce antique.
Que la propriété de Pythagore soit connue depuis l'antiquité est un fait dont on peut
trouver trace dans l'histoire. Il suffit pour cela d'observer la corde à treize noeuds dont se
servaient les arpenteurs égyptiens et dont on retrouve des illustrations dans de
nombreuses représentations des travaux des champs. Cette corde permettait de mesurer
des distances mais aussi de construire, sans équerre, un angle droit puisque les 13
noeuds (et les douze intervalles) permettaient de construire un triangle dont les
dimensions étaient (3 - 4 - 5), triangle qui s'avère être rectangle. Cette corde restera un
outil de géomètre pendant encore tout le Moyen Âge.
GEOMETRIE ELEMENTAIRE 3
DM - LCP - 2006 Cahier Géométrie
Euclide d'Alexandrie
(?, env. -325 -
Alexandrie, -265)
La plus ancienne représentation de triplets pythagoriciens (triangle rectangle dont les
côtés sont entiers) se trouve sur des mégalithes (vers 2500 av. J.-C., Grande-Bretagne).
On retrouve aussi la trace de triplets pythagoriciens sur des tablettes babyloniennes
(tablette Plimpton 322, vers 1800 av. J.-C.) qui prouvent que, plus de 1000 ans avant
Pythagore, les géomètres connaissaient l'existence de triplets pythagoriciens.
Mais entre la découverte d'une propriété : « on observe que certains triangles rectangles
vérifient cette propriété », sa généralisation : « il semble que tous les triangles
rectangles vérifient cette propriété » et sa démonstration : « il est vrai que tous les
triangles rectangles (et eux seuls) dans un plan euclidien vérifient cette propriété », il
faut souvent attendre plusieurs siècles.
Les preuves historiques de la vie de Pythagore sont déjà si rares qu'il n'est pas étonnant
qu'on ne puisse pas lui attribuer avec certitude la paternité de la démonstration. La
première trace écrite figure dans les Éléments d'Euclide sous la forme suivante :
« Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l'angle droit, est égal aux
carrés des deux autres côtés. »
(Livre I, proposition XLVII)
Une preuve moderne
Le mathématicien américain
Elisha Scott Loomis (1852-
1940) proposa 370
démonstrations du théorème de
Pythagore dans la seconde
édition de son livre publié en
1940 « The Pythagorean
proposition ».
Considérons un triangle rectangle dont les côtés sont de longueurs a, b et c. Ensuite
recopions ce triangle trois fois et plaçons le triangle et ses copies de manière à avoir le
côté a de chacun aligné au côté b d’un autre, et pour que les jambes des triangles
forment un carré dont le côté est a+b, comme dans l'image ci-dessous.
Puis, nous essayons de trouver l'aire du carré formé par les côtés c. Évidemment, c'est
c2, mais c'est aussi égal à la différence entre l'aire du carré extérieur et la somme des
aires des triangles. L'aire du carré est (a+b)2 (car son côté est a+b) et l'aire totale des
triangles est quatre fois l'aire d'un seul, c'est-à-dire 4(ab/2), donc la différence est
(a+b)2 − 4(ab/2), ce qu'on peut simplifier comme a2+2ab+b2−2ab, ou bien a2+b2. Nous
avons démontré que l'aire du carré de côté c est égale à a2+b2 ; en effet, c2=a2+b2.
Théorème de Thalès
Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au
mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est davantage
intéressé aux angles opposés dans des droites sécantes, aux triangles isocèles et aux
cercles circonscrits. Les Anglo-Saxons nomment d'ailleurs théorème de Thalès une
propriété plus proche de la réalité historique (voir théorème de Thalès (cercle)).
Cette propriété de proportionnalité était connue des Babyloniens. Mais la première
démonstration de ce théorème est attribuée à Euclide qui la présente dans ses Éléments
(proposition 2 du livre VI) : il le démontre par proportionnalité d'aires de triangles de
hauteur égale.
Le Théorème de Thalès sert notamment à calculer des longueurs dans un triangle, à
condition d'avoir deux droites parallèles.
CHAPITRE 1
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
4
Thalès de Milet
(Milet, env. -624 -
Milet, env. -547)
AD AE DE
AB AC BC
= =
Théorème de l’angle
inscrit
Deux angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle ont la même
mesure.
Théorème de Thalès
(cercle)
Un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est un triangle
rectangle.
Théorème de l'angle
inscrit et de l'angle au
centre
Dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit qui intercepte le
même arc.
Angles alterne-interne Sur la figure suivante, les droites a et b sont parallèles, s est une sécante quelconque.
Les angles α et β sont égaux et appelés angles alterne-interne.
GEOMETRIE ELEMENTAIRE 5
DM - LCP - 2006 Cahier Géométrie
1.3. Mini-formulaire
Carré Diagonale = 2 ⋅ c Aire = 2 c
Triangle Aire = base hauteur
2
⋅
Cercle, disque Périmètre = 2π r Aire = 2 π r
Cube Grande diagonale = 3 ⋅ c Aire = 2 6c Volume = 3 c
Sphère Aire = 2 4π r Volume = 4 3
3
π r
Parallélépidède
rectangle
Grande diagonale = 2 2 2 a + b + c
Aire = 2(ab + ac + bc)
Volume = abc
Cône circulaire droit
(ou cône de révolution)
Apothème du cône : 2 2 s = r + h
sin
2
r
s
ϑ
=
Angle de développement : 2 sin
2
ϑ
ϕ = π
Aire latérale = 1 2
2
π rs = s ϕ
Aire totale = π r(r + s)
Volume = 1 2
3
π r h
Cylindre circulaire
droit (ou cylindre de
révolution)
Aire latérale = 2π rh
Aire totale = 2π r(r + h)
Volume = 2 π r h
1.4. Exercices
Exercice 1.1
Attention ! Ce théorème
ne marche qu'avec des
triangles rectangles !
Démontrez le théorème de la hauteur qui dit que, dans un triangle rectangle, h2 = a’b’.
b a h
b’ a’
c
Exercice 1.2 Quelle est la valeur de la hauteur h d'un triangle équilatéral de côté a ?
Que vaut son aire A ?
CHAPITRE 1
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
6
Exercice 1.3 Un pare-brise est balayé par deux essuie-glaces de longueur L articulés autour de deux
points distants de L. Chacun d'eux couvre ainsi un demi-disque. Quelle est la surface
totale balayée ?
Exercice 1.4 Soit un triangle inscrit dans un cercle de rayon 15. Un de ses côtés passe par le centre
du cercle. Un autre de ses côtés a une longueur de 24. Quelle est la longueur du
troisième côté ?
Exercice 1.5 On dispose d'une corde d'une longueur = π. Parmi les trois figures géométriques
suivantes, laquelle doit-on former avec la corde pour couvrir la plus grande surface : un
triangle équilatéral, un carré ou un cercle ?
Calculez les trois aires et comparez !
Exercice 1.6 Depuis la Terre, la Lune et le Soleil semblent à peu près de même grosseur. Sachant que
le Soleil est environ 387 fois plus éloigné que la Lune, combien faudrait-il de Lunes
pour occuper un volume équivalent à celui du Soleil ?
Exercice 1.7 Entourez un ballon de football avec une ficelle rouge. Allongez ensuite la ficelle de
manière à entourer le ballon tout en restant à 1 mètre de sa surface. Entourez alors la
Terre (supposée sphérique) entière avec une ficelle bleue et allongez cette ficelle de
façon à entourer la Terre tout en restant à 1 m de sa surface. Quel est, selon vous, le
plus grand des deux allongements ? Celui de la ficelle rouge autour du ballon de
football ou celui de la ficelle bleue entourant la Terre ?
Exercice 1.8 Soit un cube d'arête a.
a. Calculez le volume de la sphère circonscrite au cube.
b. Calculez le volume de la sphère inscrite dans le cube.
c. Calculez l'aire de la sphère tangente aux douze arêtes du cube.
Exercice 1.9 Soit un cylindre de rayon r inscrit dans un cône circulaire droit de hauteur H et de rayon
de base R.
a. Calculez le volume V du cylindre.
b. Calculez son aire latérale A.
Exercice 1.10 Construisez le développement d'une pyramide régulière dont la base est un hexagone
régulier de 3 cm de côté et dont la hauteur est de 4 cm.
Exercice 1.11 Les diagonales d'un losange ont des longueurs de 8 et 18 cm. Comparez les volumes
des solides engendrés par la rotation du losange autour de...
a. sa petite diagonale
b. sa grande diagonale
Exercice 1.12 Calculez le volume d'un cône circulaire droit de hauteur h inscrit dans une sphère de
rayon R.
Exercice 1.13 Un lieu géométrique désigne l'ensemble des points du plan ou de l'espace possédant une
certaine propriété.
Exemple : le lieu géométrique des points M dont la distance à un point fixe A est égale
à R est le cercle de centre A et de rayon R.
Construisez le lieu géométrique des points d'où l'on voit un segment [AB] sous un angle
de 30°.
GEOMETRIE ELEMENTAIRE 7
DM - LCP - 2006 Cahier Géométrie
Exercice 1.14 La tradition rapporte que Thalès, en visite à Alexandrie, réussit à mesurer la hauteur de
la grande pyramide (qui avait déjà un millénaire et demi) grâce à un simple bâton. C’est
en hommage à l’astuce ayant permis cette mesure que le théorème correspondant fut
attribué à Thalès par les mathématiciens du 18ème siècle. Comment s’y prit-il ?
Exercice 1.15
Eratosthène de Cyrène
(Cyrène, -276 -
Egypte, -194)
Quelque part dans le monde, à midi, il n’y a pas d’ombre. Au même moment, à 800 km
de là, on voit le Soleil sous un angle de 7° avec la verticale du lieu.
Déduisez de cette observation que la Terre est ronde et estimez le rayon de la Terre.
Ératosthène de Cyrène fit une mesure étonnamment précise de la circonférence de la
Terre. Les détails furent données dans son traité Sur la mesure de la Terre qui est
aujourd’hui perdu. Cependant, on sait par d’autres auteurs qu’il a comparé l’ombre de
midi à Syène (ville qui s’appelle aujourd’hui Aswan, sur le Nil, en Égypte) et à
Alexandrie. Il a supposé que le Soleil était tellement éloigné que ses rayons sont
quasiment parallèles, et, connaissant la distance entre Syène et Alexandrie, il put donner
comme circonférence de la Terre une longueur de 250’000 stades.
1.5. Ce qu’il faut absolument savoir
Les définitions et propriétés des hauteurs, médianes, médiatrices et bissectrices ❏ ok
Le théorème de Pythagore ❏ ok
Le théorème de Thalès ❏ ok
Les théorèmes se rapportant aux angles inscrits dans un cercle ❏ ok
Les angles alterne-interne ❏ ok
Toutes les formules du formulaire par coeur ❏ ok
1. Géométrie élémentaire
1.1. Le triangle
Définitions
Un triangle ayant deux côtés de même longueur (ou deux angles de même grandeurs)
est dit isocèle.
Un triangle ayant ses trois côtés de même longueur (ou ses trois angles de même
grandeurs) est dit équilatéral.
Un triangle ne présentant pas de symétrie particulière est dit scalène.
Un triangle présentant un angle droit est qualifié de triangle rectangle. Dans ce cas, le
côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse.
Médianes On appelle médiane du triangle toute droite passant par un sommet et par le milieu du
côté opposé. Chacune des trois médianes divise le triangle en deux triangles d'aires
égales.
Les trois médianes d'un triangle se coupent en un même point G qui est le centre de
gravité triangle. Si le triangle était une plaque solide homogène, on pourrait le faire
tenir en équilibre sur une pointe en le posant exactement sur le point G.
Hauteurs On appelle hauteur l'une des trois droites passant par un sommet du triangle et
perpendiculaire au côté opposé. L'intersection de la hauteur et du côté opposé s'appelle
le pied de la hauteur.
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection s'appelle
l'orthocentre du triangle.
Médiatrices et
cercle circonscrit
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
On appelle médiatrice du triangle l'une quelconque des médiatrices des trois segments
[AB], [AC] et [BC].
Si on note Ω l'intersection des deux médiatrices des segments [AB] et [AC] alors Ω est à
égale distance de A, B et C : par suite Ω est aussi sur la médiatrice du segment [BC]. Les
trois médiatrices d'un triangle sont donc concourantes.
CHAPITRE 1
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
2
Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle. C'est le seul
cercle passant à la fois par les trois sommets du triangle.
Bissectrices et
cercle inscrit
La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui
partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe
de symétrie de cet angle.
Les bissectrices du triangle sont simplement les trois bissectrices des angles du
triangles.
La bissectrice de deux droites est l'ensemble des points à égale distance des deux
droites : de ce fait le point d'intersection O de deux bissectrices est à égale distance des
droites (AB), (AC) et (BC). Ce point est donc sur la troisième bissectrice : les trois
bissectrices sont concourantes.
D'après les propriétés des bissectrices, on peut tracer un cercle de centre O qui est
tangent aux trois droites (AB), (AC) et (BC) : c'est le cercle inscrit dans le triangle.
1.2. Théorèmes importants
Théorème de Pythagore
Pythagore de Samos
(Samos, env. -569 - env. -475)
Dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté
opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Ce théorème est nommé d'après Pythagore de Samos qui était un mathématicien,
philosophe et astronome de la Grèce antique.
Que la propriété de Pythagore soit connue depuis l'antiquité est un fait dont on peut
trouver trace dans l'histoire. Il suffit pour cela d'observer la corde à treize noeuds dont se
servaient les arpenteurs égyptiens et dont on retrouve des illustrations dans de
nombreuses représentations des travaux des champs. Cette corde permettait de mesurer
des distances mais aussi de construire, sans équerre, un angle droit puisque les 13
noeuds (et les douze intervalles) permettaient de construire un triangle dont les
dimensions étaient (3 - 4 - 5), triangle qui s'avère être rectangle. Cette corde restera un
outil de géomètre pendant encore tout le Moyen Âge.
GEOMETRIE ELEMENTAIRE 3
DM - LCP - 2006 Cahier Géométrie
Euclide d'Alexandrie
(?, env. -325 -
Alexandrie, -265)
La plus ancienne représentation de triplets pythagoriciens (triangle rectangle dont les
côtés sont entiers) se trouve sur des mégalithes (vers 2500 av. J.-C., Grande-Bretagne).
On retrouve aussi la trace de triplets pythagoriciens sur des tablettes babyloniennes
(tablette Plimpton 322, vers 1800 av. J.-C.) qui prouvent que, plus de 1000 ans avant
Pythagore, les géomètres connaissaient l'existence de triplets pythagoriciens.
Mais entre la découverte d'une propriété : « on observe que certains triangles rectangles
vérifient cette propriété », sa généralisation : « il semble que tous les triangles
rectangles vérifient cette propriété » et sa démonstration : « il est vrai que tous les
triangles rectangles (et eux seuls) dans un plan euclidien vérifient cette propriété », il
faut souvent attendre plusieurs siècles.
Les preuves historiques de la vie de Pythagore sont déjà si rares qu'il n'est pas étonnant
qu'on ne puisse pas lui attribuer avec certitude la paternité de la démonstration. La
première trace écrite figure dans les Éléments d'Euclide sous la forme suivante :
« Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l'angle droit, est égal aux
carrés des deux autres côtés. »
(Livre I, proposition XLVII)
Une preuve moderne
Le mathématicien américain
Elisha Scott Loomis (1852-
1940) proposa 370
démonstrations du théorème de
Pythagore dans la seconde
édition de son livre publié en
1940 « The Pythagorean
proposition ».
Considérons un triangle rectangle dont les côtés sont de longueurs a, b et c. Ensuite
recopions ce triangle trois fois et plaçons le triangle et ses copies de manière à avoir le
côté a de chacun aligné au côté b d’un autre, et pour que les jambes des triangles
forment un carré dont le côté est a+b, comme dans l'image ci-dessous.
Puis, nous essayons de trouver l'aire du carré formé par les côtés c. Évidemment, c'est
c2, mais c'est aussi égal à la différence entre l'aire du carré extérieur et la somme des
aires des triangles. L'aire du carré est (a+b)2 (car son côté est a+b) et l'aire totale des
triangles est quatre fois l'aire d'un seul, c'est-à-dire 4(ab/2), donc la différence est
(a+b)2 − 4(ab/2), ce qu'on peut simplifier comme a2+2ab+b2−2ab, ou bien a2+b2. Nous
avons démontré que l'aire du carré de côté c est égale à a2+b2 ; en effet, c2=a2+b2.
Théorème de Thalès
Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au
mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est davantage
intéressé aux angles opposés dans des droites sécantes, aux triangles isocèles et aux
cercles circonscrits. Les Anglo-Saxons nomment d'ailleurs théorème de Thalès une
propriété plus proche de la réalité historique (voir théorème de Thalès (cercle)).
Cette propriété de proportionnalité était connue des Babyloniens. Mais la première
démonstration de ce théorème est attribuée à Euclide qui la présente dans ses Éléments
(proposition 2 du livre VI) : il le démontre par proportionnalité d'aires de triangles de
hauteur égale.
Le Théorème de Thalès sert notamment à calculer des longueurs dans un triangle, à
condition d'avoir deux droites parallèles.
CHAPITRE 1
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
4
Thalès de Milet
(Milet, env. -624 -
Milet, env. -547)
AD AE DE
AB AC BC
= =
Théorème de l’angle
inscrit
Deux angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle ont la même
mesure.
Théorème de Thalès
(cercle)
Un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est un triangle
rectangle.
Théorème de l'angle
inscrit et de l'angle au
centre
Dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit qui intercepte le
même arc.
Angles alterne-interne Sur la figure suivante, les droites a et b sont parallèles, s est une sécante quelconque.
Les angles α et β sont égaux et appelés angles alterne-interne.
GEOMETRIE ELEMENTAIRE 5
DM - LCP - 2006 Cahier Géométrie
1.3. Mini-formulaire
Carré Diagonale = 2 ⋅ c Aire = 2 c
Triangle Aire = base hauteur
2
⋅
Cercle, disque Périmètre = 2π r Aire = 2 π r
Cube Grande diagonale = 3 ⋅ c Aire = 2 6c Volume = 3 c
Sphère Aire = 2 4π r Volume = 4 3
3
π r
Parallélépidède
rectangle
Grande diagonale = 2 2 2 a + b + c
Aire = 2(ab + ac + bc)
Volume = abc
Cône circulaire droit
(ou cône de révolution)
Apothème du cône : 2 2 s = r + h
sin
2
r
s
ϑ
=
Angle de développement : 2 sin
2
ϑ
ϕ = π
Aire latérale = 1 2
2
π rs = s ϕ
Aire totale = π r(r + s)
Volume = 1 2
3
π r h
Cylindre circulaire
droit (ou cylindre de
révolution)
Aire latérale = 2π rh
Aire totale = 2π r(r + h)
Volume = 2 π r h
1.4. Exercices
Exercice 1.1
Attention ! Ce théorème
ne marche qu'avec des
triangles rectangles !
Démontrez le théorème de la hauteur qui dit que, dans un triangle rectangle, h2 = a’b’.
b a h
b’ a’
c
Exercice 1.2 Quelle est la valeur de la hauteur h d'un triangle équilatéral de côté a ?
Que vaut son aire A ?
CHAPITRE 1
Cahier Géométrie DM - LCP - 2006
6
Exercice 1.3 Un pare-brise est balayé par deux essuie-glaces de longueur L articulés autour de deux
points distants de L. Chacun d'eux couvre ainsi un demi-disque. Quelle est la surface
totale balayée ?
Exercice 1.4 Soit un triangle inscrit dans un cercle de rayon 15. Un de ses côtés passe par le centre
du cercle. Un autre de ses côtés a une longueur de 24. Quelle est la longueur du
troisième côté ?
Exercice 1.5 On dispose d'une corde d'une longueur = π. Parmi les trois figures géométriques
suivantes, laquelle doit-on former avec la corde pour couvrir la plus grande surface : un
triangle équilatéral, un carré ou un cercle ?
Calculez les trois aires et comparez !
Exercice 1.6 Depuis la Terre, la Lune et le Soleil semblent à peu près de même grosseur. Sachant que
le Soleil est environ 387 fois plus éloigné que la Lune, combien faudrait-il de Lunes
pour occuper un volume équivalent à celui du Soleil ?
Exercice 1.7 Entourez un ballon de football avec une ficelle rouge. Allongez ensuite la ficelle de
manière à entourer le ballon tout en restant à 1 mètre de sa surface. Entourez alors la
Terre (supposée sphérique) entière avec une ficelle bleue et allongez cette ficelle de
façon à entourer la Terre tout en restant à 1 m de sa surface. Quel est, selon vous, le
plus grand des deux allongements ? Celui de la ficelle rouge autour du ballon de
football ou celui de la ficelle bleue entourant la Terre ?
Exercice 1.8 Soit un cube d'arête a.
a. Calculez le volume de la sphère circonscrite au cube.
b. Calculez le volume de la sphère inscrite dans le cube.
c. Calculez l'aire de la sphère tangente aux douze arêtes du cube.
Exercice 1.9 Soit un cylindre de rayon r inscrit dans un cône circulaire droit de hauteur H et de rayon
de base R.
a. Calculez le volume V du cylindre.
b. Calculez son aire latérale A.
Exercice 1.10 Construisez le développement d'une pyramide régulière dont la base est un hexagone
régulier de 3 cm de côté et dont la hauteur est de 4 cm.
Exercice 1.11 Les diagonales d'un losange ont des longueurs de 8 et 18 cm. Comparez les volumes
des solides engendrés par la rotation du losange autour de...
a. sa petite diagonale
b. sa grande diagonale
Exercice 1.12 Calculez le volume d'un cône circulaire droit de hauteur h inscrit dans une sphère de
rayon R.
Exercice 1.13 Un lieu géométrique désigne l'ensemble des points du plan ou de l'espace possédant une
certaine propriété.
Exemple : le lieu géométrique des points M dont la distance à un point fixe A est égale
à R est le cercle de centre A et de rayon R.
Construisez le lieu géométrique des points d'où l'on voit un segment [AB] sous un angle
de 30°.
GEOMETRIE ELEMENTAIRE 7
DM - LCP - 2006 Cahier Géométrie
Exercice 1.14 La tradition rapporte que Thalès, en visite à Alexandrie, réussit à mesurer la hauteur de
la grande pyramide (qui avait déjà un millénaire et demi) grâce à un simple bâton. C’est
en hommage à l’astuce ayant permis cette mesure que le théorème correspondant fut
attribué à Thalès par les mathématiciens du 18ème siècle. Comment s’y prit-il ?
Exercice 1.15
Eratosthène de Cyrène
(Cyrène, -276 -
Egypte, -194)
Quelque part dans le monde, à midi, il n’y a pas d’ombre. Au même moment, à 800 km
de là, on voit le Soleil sous un angle de 7° avec la verticale du lieu.
Déduisez de cette observation que la Terre est ronde et estimez le rayon de la Terre.
Ératosthène de Cyrène fit une mesure étonnamment précise de la circonférence de la
Terre. Les détails furent données dans son traité Sur la mesure de la Terre qui est
aujourd’hui perdu. Cependant, on sait par d’autres auteurs qu’il a comparé l’ombre de
midi à Syène (ville qui s’appelle aujourd’hui Aswan, sur le Nil, en Égypte) et à
Alexandrie. Il a supposé que le Soleil était tellement éloigné que ses rayons sont
quasiment parallèles, et, connaissant la distance entre Syène et Alexandrie, il put donner
comme circonférence de la Terre une longueur de 250’000 stades.
1.5. Ce qu’il faut absolument savoir
Les définitions et propriétés des hauteurs, médianes, médiatrices et bissectrices ❏ ok
Le théorème de Pythagore ❏ ok
Le théorème de Thalès ❏ ok
Les théorèmes se rapportant aux angles inscrits dans un cercle ❏ ok
Les angles alterne-interne ❏ ok
Toutes les formules du formulaire par coeur ❏ ok
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