حساب الانحدار

يهدف الانحدار إلى الإفادة من الارتباط فى التنبؤ ، فإذا علمنا معامل ارتباط درجات اختبار الحساب بدرجات اختبار الجبر ، وعلمنا درجة أى طالب فى اختبار الحساب فإننا نستطيع أن نتنبأ بدرجته فى الجبر وإذا علمنا درجة أى طالب آخر فى اختبار الجبر فإننا نستطيع أن نتنبأ بدرجته فى الحساب .

وقد سمى هذا المفهوم الإحصائي بالانحدار لأنه ينحدر فى تقديره الدرجات المختلفة نحو المتوسط ولذا تسمى معادلات الانحدار أحياناً بمعادلات خطوط المتوسطات .

حساب الانحدار :

تعتمد معادلات الانحدار معاملات الارتباط وعلى الانحرافات المعيارية وعلى المتوسطات فهى بذلك تستعين بأهم المقاييس الإحصائية فى حسابها لهذا التنبؤ .

أولاً : معادلة خط انحدار ص/س :

تتلخص معادلة خط انحدار ص على س فى الصورة التالية :

               ع _ص

ص = ر × ــــــ ( س – م _س ) + م _ص

               ع _س

حيث :

ر = معامل ارتباط بيرسون ويحسب من العلاقة :

                     ن مجـ (س×ص) – مجـ س × مجـ ص

ر = 

       ] ن مجـ س² – (مجـ س)²[ × ] ن مجـ ص² – (مجـ ص)²[

ع _ص  = الانحراف المعياري لقيم ص ويحسب من العلاقة :

 

              مجـ ح² _ص

ع _ص =     ــــــــ

                ن

ع _س  = الانحراف المعياري لقيم س ويحسب من العلاقة :

 

              مجـ ح² _س

ع _س =     ــــــــ

                ن

م _س = متوسط قيم المتغير س

م _ص = متوسط قيم المتغير ص

مثال :

الجدول التالى يوضح درجات خمس طلاب فى اختبارين الأول س والثانى ص والمطلوب حساب معادلة خط انحدار ص/س ثم حساب قيمة ص عندما س = 10 .

الأفراد	أ	ب	ج	د	هـ
س	2	3	7	18	20
ص	5	7	6	12	10

الحل :

حساب معامل ارتباط بيرسون :

نكون الجدول التالى :

س	ص	س × ص	س2	ص2
2	5	10	4	25
3	7	21	9	49
7	6	42	49	36
18	12	216	324	144
20	10	200	400	100
50	40	489	786	354

                     ن مجـ (س×ص) – مجـ س × مجـ ص

ر = 

       ] ن مجـ س² – (مجـ س)²[ × ] ن مجـ ص² – (مجـ ص)²[

                     5 × 489 – 50 × 40

ر = 

       ] 5 × 786 – (50)²[ × ] 5 × 354 – (40)²[

ر= 0.9

حساب المتوسطات :

          مجـ س           50

م _س = ــــــ    =  ـــــ  = 10

             ن                5

          مجـ ص           40

م _ص = ــــــ    =  ـــــ  = 8

             ن                5

حساب الانحراف المعياري :

نكون الجدول التالى :

س	ص	ح س	ح2 س	ح ص	ح2 ص
2	5	-8	64	-3	9
3	7	-7	49	-1	1
7	6	-3	9	-2	4
18	12	8	64	4	16
20	10	10	100	2	4
			286		34

 

            مجـ ح² _س            286

ع _س =   ــــــــ    =  ـــــ          = 7.56

             ن                     5

 

            مجـ ح² _ص           34

ع _ص =  ــــــــ    =  ـــــ           = 2.61

             ن                    5

حساب معادلة خط انحدار ص/س :

              ع _ص

ص = ر × ـــــ  ( س – م _س ) + م _ص

              ع _س

                 2.61

ص = 0.9 × ـــــ  ( س – 10 ) + 8

                7.56

ص = 0.31 (س – 10 ) + 8

ص = 0.31 س – 3.1 + 8

معادلة خط انحدار ص/س هى

 

عندما س = 10 نستطيع التنبؤ بقيمة ص كالتالى :

ص = 0.31 × 10 + 4.9 = 8