Les personnages Rational valeur du Groupe (Q2m × C2)
lorsque m = 2h, h∈Z +
1.Abstract
Le but principal de cet article est de trouver le rationnel tableau du groupe (Q2m × C2), lorsque m = 2h, h∈Z +, qui est désignée par ≡ * (toutes les 2 heures + 1 × C2), où Q2m est notée caractères évalués de groupe des quaternions, et C2 est le groupe cyclique d'ordre 2.
En outre, nous avons trouvé la forme générale du rationnel tableau du groupe (toutes les 2 heures + 1 × C2) des caractères évalués.
2.Introduction
Soit G un groupe fini, on dit que deux éléments de G d'être conjugué si les sous-groupes cycliques qu'ils génèrent sont conjugués dans G; ce -relation définit une relation d'équivalence sur les classes de G.Its sont appelés - cours
La fonction de la classe Z-valeur sur le groupe G, qui est constante sur les classes de - forme un groupe abélien de type fini cf (G, Z) d'un rang égal au nombre de - cours
L'intersection des cf (G, Z) avec le groupe de tous les caractères généralisés de G, R (G) est un sous-groupe de CF (G, Z) désigné par chaque élément en peut être écrit comme u1θ1 + u2θ2 + ...... + u θ, où est le nombre de
-classes,
U1, U2, ..., u Z et =, où est un caractère irréductible du groupe G et est un élément dans le groupe Galios.
Soit ≡ * (G) désigne la matrice qui le
lignes correspond à l ' et colonnes correspondent aux classes de G - .En 1995
NR Mahamoud [3] a étudié le groupe de facteurs cf (Q2m, Z) / (Q2m). Le but de ce papier est de trouver ≡ * (toutes les 2 heures + 1 × C2) et déterminer général
() Sous forme de matrice du rationnel tableau du groupe (toutes les 2 heures + 1 × C2) des caractères évalués.
3.Preliminaries
Le généralisé Quaternion Groupe Q2m (3.1) [3]
Pour tout entier positif m, La généralisée Quaternion Groupe Q2m de l'ordre de 4 m avec deux générateurs et satisfait
Q2m =
qui présente les propriétés suivantes
La table de caractères du groupe Q2m de quaternion lorsque m = 2h, h∈Z + (3.2) [3]
Il existe deux types de caractères irréductibles .one d'entre eux est le caractère des représentations linéaires R1, R2, R3 et R4 qui sont désignés par ψ1, ψ2, ψ3 et ψ4.
respectivement dans le tableau suivant:
xk xKy
ψ1 1 1
ψ2 1 -1
ψ3 (-1) k (-1) k
Ψ4 (-1) k (-1) k + 1
Tableau (1)
Où 0 ≤ k ≤ 2m-1.
Les personnages de repos de représentations irréductibles de degré 2 Th sont désignés par χh tels que:
χh (xk) = ωhk + ω-hk
= eπihk / m + e-πihk / m
= 2cos (πhk / m)
Nous sommes notée à ωhk + ω-hk par VHK, ainsi VHK = V2m-hk, Vm = -2, V2M = 2 .also nous écrire VJ (HK) tels que
J (hk) = min {hk (2m mod), 2m-hk (2m mod)},
dans la table de caractères du groupe de quaternion Q2m lorsque m = 2h, où VJ (hk) = 2cos (πJ (hk) / m),
χh (xKy) = 0
Où 0 ≤ k ≤ 2m-1, 1 ≤ h ≤ m-1
et ω = e2πi / 2m.
Il ya donc m + 3 caractères irréductibles de Q2m. Ensuite, la forme générale de la table de Q2m caractères lorsque m = 2h, h∈Z + est donnée dans le tableau (2).
Théorème (3.3) [1]
Laissez T1: G1 → GL (n, K) et T2: G2 → GL (m, K) sont deux représentation irréductible du groupe G1 et G2 avec caractères χ1 et χ2 respectivement, alors T1 T2 est la représentation irréductible des × groupe G1 G2 avec la χ1.χ2 de caractère.
Le Groupe Q2m × C2 (3.4)
Le groupe produit direct Q2m × C2, où C2 est un groupe cyclique d'ordre 2 alors
| Q2m × C2 | = 8m.
Depuis, les représentations irréductibles du groupe Q2m × C2 sont les produits tensoriels de ceux de Q2m et ceux du groupe C2.The C2 a deux représentations irréductibles, leurs caractères σ1 et σ2 sont donnés dans le tableau (2):
CLα une r
| CLα | 1 1
σ1 1 1
σ2 1 -1
Selon le théorème (3.3), chaque χi de caractère irréductible de Q2m définit deux caractères irréductibles χi1, χi2 tels que χi1 = χiσ1, χi2 = χiσ2 de Q2m × C2.
Puis ≡ (Q2m × C2) = ≡ (Q2m) ≡ (C2)
Exemple (3,5)
Pour trouver des personnages tableau de Q16 × C2.
De (3.3), nous avons la table de caractères de Q16 sous forme de tableau (3), où vi = 2cos (πi / 8), V2m = 2,
Vm = -2, V4 = 2cos (4π / 8) = 0.
et
R 1 CLα
| CLα | 1 1
σ1 1 1
σ2 1 -1
D'après le théorème (3.3), la table de Q16 × C2 caractères peut être écrite comme suit:
≡ (Q16 × C2) = ≡ (Q16) ≡ (C2),
Puis ≡ (Q16 × C2) est donnée dans le tableau (4).
Où vi = 2cos (πi / 8), V2m = 2, Vm = -2, V4 = 2cos (4π / 8) = 0.
4. Les principaux résultats
Proposition (4.1) [2]
Le rationnel caractères évalués forme base pour, où sont les caractères irréductibles de G et leur nombre est égal au nombre de toutes les Γ-classes distinctes de G.
Le tableau de caractère rationnel du groupe Q2m de quaternion lorsque m = 2h, h∈Z + (4.2) [3]
le rationnel tableau de Q2m caractères lorsque m = 2h, h∈Z + est donnée dans le tableau suivant (après le changement pour les lignes et les colonnes):
≡ * (toutes les 2 heures + 1) =
1 1 1 1 1. . . 1 1 1
-1 -1 1 1 1. . . 1 1 1
-1 -1 1 1 1. . . 1 1 1
1 -1 -1 1 1. . . 1 1 1
0 0 0 -2 2. . . 2 2 2
0 0 0 0 -4. . . 4 4 4
0 0 0. . . . 2H-0 1 1 2h-2h-1
0 0 0. . . . 0 0 -2H 2h
Exemple (4.3)
Pour construire la valeur rationnelle tableau de Q16 × C2 caractères, quand avoir à faire ce qui suit:
Dans l'exemple (3.5), nous avons la table de Q16 × C2 caractères.
Par la définition de Q2m × C2:
≡ (Q16 × C2) = (≡Q16) (≡C2)
Pour calculer la table de caractères d'une valeur rationnelle de Q16 × C2,
θ11 = 11, θ12 = 12, θ21 = 41, θ22 = 42, θ31 = 21, θ32 = 22, θ41 = 31, θ42 = 32,
θ51 = χ41, θ52 = χ42.
Les éléments de Gal (χ1i) / Q, sont les suivants:
{σ1i, σ3i, σ5i, σ7i}
Où σ1i (χ1i) = χ1i, σ3i (χ1i) = χ3i,
σ5i (χ1i) = χ5i, σ7i (χ1i) = χ7i et i = 1,2.
Par la proposition (4.1)
1- (I) si i = 1
θ71 = σ11 (χ11) + σ31 (χ11) + σ51 (χ11) + σ71 (χ11)
θ71 ([1,1]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ71 ([1, r]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ71 ([x8,1]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ71 ([x8, r]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ71 ([x, 1]) = V1 + V3 + V5 + V7 = 0
θ71 ([x, r]) = V1 + V3 + V5 + V7 = 0
θ71 ([x2,1]) = V2 + V6 + V6 + V2 = 0
θ71 ([x2, r]) = V2 + V6 + V6 + V2 = 0
θ71 ([x4,1]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ71 ([x4, r]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ71 ([y, 1]) = 0
θ71 ([y, r]) = 0
θ71 ([xy, 1]) = 0
θ71 ([xy, r]) = 0
1- (II) si i = 2
θ72 = σ12 (χ12) + σ32 (χ12) + σ52 (χ12) + σ72 (χ12)
θ72 ([1,1]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ72 ([1, r]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ72 ([x8,1]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ72 ([x8, r]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ72 ([x, 1]) = V1 + V3 + V5 + V7 = 0
θ72 ([x, r]) = (-V1) + (-V3) + (-V5) + (- V7) = 0
θ72 ([x2,1]) = V2 + V6 + V6 + V2 = 0
θ72 ([x2, r]) = (V2) + (-V6) + (-V6) + (V2) = 0
θ72 ([x4,1]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ72 ([x4, r]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ72 ([y, 1]) = 0
θ72 ([y, r]) = 0
θ72 ([xy, 1]) = 0
θ72 ([xy, r]) = 0
Aussi σ1i (χ2i) = χ2i, σ3i (χ2i) = χ6i, σ5i (χ1i) = χ6i, σ7i (χ1i) = χ2i et i = 1,2.
Par la proposition (4.1) puis θ4i = χ2i + χ6i
2- (I) si i = 1
θ61 = χ21 + χ61
θ61 ([1,1]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([1, r]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([x8,1]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([x8, r]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([x, 1]) = V2 + V6 = 0
θ61 ([x, r]) = V2 + V6 = 0
θ61 ([x2,1]) = 0 + 0 = 0
θ61 ([x2, r]) = 0 + 0 = 0
θ61 ([x4,1]) = (-2) + (-2) = -4
θ61 ([x4, r]) = (-2) + (-2) = -4
θ61 ([y, 1]) = 0
θ61 ([y, r]) = 0
θ61 ([xy, 1]) = 0
θ61 ([xy, r]) = 0
2- (II) si i = 2
θ62 = χ22 + χ62
θ62 ([1,1]) = 2 + 2 = 4
θ62 ([1, r]) = (-2) + (-2) = -4
θ62 ([x8,1]) = 2 + 2 = 4
θ62 ([x8, r]) = (-2) + (-2) = -4
θ62 ([x, 1]) = V2 + V6 = 0
θ62 ([x, r]) = (V2) + (- V6) = 0
θ62 ([x2,1]) = 0 + 0 = 0
θ62 ([x2, r]) = 0 + 0 = 0
θ62 ([x4,1]) = (-2) + (-2) = -4
θ62 ([x4, r]) = 2 + 2 = 4
θ62 ([y, 1]) = 0
θ62 ([y, r]) = 0
θ62 ([xy, 1]) = 0
θ62 ([xy, r]) = 0
Les éléments [x, 1], [x3,1], [x5,1], [x7,1]
sont dans le même г-conjugué et [x, r],
[x3, r], [x5, r], [x7, r] sont dans le même
г-conjugué et [x2,1], [x6,1] sont dans le même
г-conjugué et [X2, r], [x6, r] sont dans le même
г-conjugué tel que le tableau (6).
Théorème (4.4)
Le tableau rationnel du groupe Q2m × C2 lorsque m = 2h, h∈Z + est donnée comme suit caractères évalués:
* ≡ (Q2m × C2) ≡ = * (Q2m) ≡ * (C2)
Preuve: -
depuis
1 1
1 -1
* ≡ (C2) =
De la définition de Q2m × C2, (théorème (3.4)),
≡Q2m × C2 = (≡Q2m) (≡C2)
chaque élément à Q2m × C2
Q2m, C2 n = 1,2,3, ..., 4m, s = 1,2
et chaque caractère irréductible de Q2m × C2 est
Où est un caractère irréductible de Q2m et est un caractère irréductible de C2, puis
De la proposition (4.1)
Où est le rationnel évalués de table de caractères de Q2m × C2
Ensuite,
(I) si j = 1 et s = 1,2
Où est le caractère d'une valeur rationnelle des Q2m.
(II) (a) si j = 2 et s = 1
(b) si j = 2 et s = 2
A partir de (I) et (II), on a
Puis ≡ * (Q2m × C2) ≡ = * (Q2m) ≡ * (C2)
Le tableau de caractère rationnel du groupe de quaternion (Q2m × C2) lorsque m = 2h, h∈Z + (4,5)
D'après le théorème (4.4) et la forme de ≡ * (toutes les 2 heures + 1) = puis à table (5) puis la table de caractère rationnel du groupe de quaternion (Q2m × C2) lorsque m = 2h, h∈Z + est donné dans le grand () sous forme de matrice ≡ * (toutes les 2 heures + 1 × C2) sous forme de tableau (7).
Exemple (4.3)
En utilisant le théorème (4.4) de la table de Q16 × C2 caractères rationnels valeur, depuis h = 3, il est même à la table exemple (4.3), (après le changement pour les lignes et les colonnes) sous forme de tableau (8).
références
[1] CW Curtis et «théorie des représentations des groupes finis et associative algèbres 'I. Reiner' ', AMS Chelsea édition 1962, imprimés par l'AMS 2006.
[2] MS Kirdar '' Le groupe de facteur de la fonction de la classe Z-valeur modulo le groupe des caractères généralisées '', Ph.D. thèse, Université de Birmingham, 1982.
[3] NR Mahamoud '' La décomposition cyclique du Groupe Facteur de (Q2m) / (Q2m) ''. M. Sc thèse, Université de Technologie 1995
lorsque m = 2h, h∈Z +
1.Abstract
Le but principal de cet article est de trouver le rationnel tableau du groupe (Q2m × C2), lorsque m = 2h, h∈Z +, qui est désignée par ≡ * (toutes les 2 heures + 1 × C2), où Q2m est notée caractères évalués de groupe des quaternions, et C2 est le groupe cyclique d'ordre 2.
En outre, nous avons trouvé la forme générale du rationnel tableau du groupe (toutes les 2 heures + 1 × C2) des caractères évalués.
2.Introduction
Soit G un groupe fini, on dit que deux éléments de G d'être conjugué si les sous-groupes cycliques qu'ils génèrent sont conjugués dans G; ce -relation définit une relation d'équivalence sur les classes de G.Its sont appelés - cours
La fonction de la classe Z-valeur sur le groupe G, qui est constante sur les classes de - forme un groupe abélien de type fini cf (G, Z) d'un rang égal au nombre de - cours
L'intersection des cf (G, Z) avec le groupe de tous les caractères généralisés de G, R (G) est un sous-groupe de CF (G, Z) désigné par chaque élément en peut être écrit comme u1θ1 + u2θ2 + ...... + u θ, où est le nombre de
-classes,
U1, U2, ..., u Z et =, où est un caractère irréductible du groupe G et est un élément dans le groupe Galios.
Soit ≡ * (G) désigne la matrice qui le
lignes correspond à l ' et colonnes correspondent aux classes de G - .En 1995
NR Mahamoud [3] a étudié le groupe de facteurs cf (Q2m, Z) / (Q2m). Le but de ce papier est de trouver ≡ * (toutes les 2 heures + 1 × C2) et déterminer général
() Sous forme de matrice du rationnel tableau du groupe (toutes les 2 heures + 1 × C2) des caractères évalués.
3.Preliminaries
Le généralisé Quaternion Groupe Q2m (3.1) [3]
Pour tout entier positif m, La généralisée Quaternion Groupe Q2m de l'ordre de 4 m avec deux générateurs et satisfait
Q2m =
qui présente les propriétés suivantes
La table de caractères du groupe Q2m de quaternion lorsque m = 2h, h∈Z + (3.2) [3]
Il existe deux types de caractères irréductibles .one d'entre eux est le caractère des représentations linéaires R1, R2, R3 et R4 qui sont désignés par ψ1, ψ2, ψ3 et ψ4.
respectivement dans le tableau suivant:
xk xKy
ψ1 1 1
ψ2 1 -1
ψ3 (-1) k (-1) k
Ψ4 (-1) k (-1) k + 1
Tableau (1)
Où 0 ≤ k ≤ 2m-1.
Les personnages de repos de représentations irréductibles de degré 2 Th sont désignés par χh tels que:
χh (xk) = ωhk + ω-hk
= eπihk / m + e-πihk / m
= 2cos (πhk / m)
Nous sommes notée à ωhk + ω-hk par VHK, ainsi VHK = V2m-hk, Vm = -2, V2M = 2 .also nous écrire VJ (HK) tels que
J (hk) = min {hk (2m mod), 2m-hk (2m mod)},
dans la table de caractères du groupe de quaternion Q2m lorsque m = 2h, où VJ (hk) = 2cos (πJ (hk) / m),
χh (xKy) = 0
Où 0 ≤ k ≤ 2m-1, 1 ≤ h ≤ m-1
et ω = e2πi / 2m.
Il ya donc m + 3 caractères irréductibles de Q2m. Ensuite, la forme générale de la table de Q2m caractères lorsque m = 2h, h∈Z + est donnée dans le tableau (2).
Théorème (3.3) [1]
Laissez T1: G1 → GL (n, K) et T2: G2 → GL (m, K) sont deux représentation irréductible du groupe G1 et G2 avec caractères χ1 et χ2 respectivement, alors T1 T2 est la représentation irréductible des × groupe G1 G2 avec la χ1.χ2 de caractère.
Le Groupe Q2m × C2 (3.4)
Le groupe produit direct Q2m × C2, où C2 est un groupe cyclique d'ordre 2 alors
| Q2m × C2 | = 8m.
Depuis, les représentations irréductibles du groupe Q2m × C2 sont les produits tensoriels de ceux de Q2m et ceux du groupe C2.The C2 a deux représentations irréductibles, leurs caractères σ1 et σ2 sont donnés dans le tableau (2):
CLα une r
| CLα | 1 1
σ1 1 1
σ2 1 -1
Selon le théorème (3.3), chaque χi de caractère irréductible de Q2m définit deux caractères irréductibles χi1, χi2 tels que χi1 = χiσ1, χi2 = χiσ2 de Q2m × C2.
Puis ≡ (Q2m × C2) = ≡ (Q2m) ≡ (C2)
Exemple (3,5)
Pour trouver des personnages tableau de Q16 × C2.
De (3.3), nous avons la table de caractères de Q16 sous forme de tableau (3), où vi = 2cos (πi / 8), V2m = 2,
Vm = -2, V4 = 2cos (4π / 8) = 0.
et
R 1 CLα
| CLα | 1 1
σ1 1 1
σ2 1 -1
D'après le théorème (3.3), la table de Q16 × C2 caractères peut être écrite comme suit:
≡ (Q16 × C2) = ≡ (Q16) ≡ (C2),
Puis ≡ (Q16 × C2) est donnée dans le tableau (4).
Où vi = 2cos (πi / 8), V2m = 2, Vm = -2, V4 = 2cos (4π / 8) = 0.
4. Les principaux résultats
Proposition (4.1) [2]
Le rationnel caractères évalués forme base pour, où sont les caractères irréductibles de G et leur nombre est égal au nombre de toutes les Γ-classes distinctes de G.
Le tableau de caractère rationnel du groupe Q2m de quaternion lorsque m = 2h, h∈Z + (4.2) [3]
le rationnel tableau de Q2m caractères lorsque m = 2h, h∈Z + est donnée dans le tableau suivant (après le changement pour les lignes et les colonnes):
≡ * (toutes les 2 heures + 1) =
1 1 1 1 1. . . 1 1 1
-1 -1 1 1 1. . . 1 1 1
-1 -1 1 1 1. . . 1 1 1
1 -1 -1 1 1. . . 1 1 1
0 0 0 -2 2. . . 2 2 2
0 0 0 0 -4. . . 4 4 4
0 0 0. . . . 2H-0 1 1 2h-2h-1
0 0 0. . . . 0 0 -2H 2h
Exemple (4.3)
Pour construire la valeur rationnelle tableau de Q16 × C2 caractères, quand avoir à faire ce qui suit:
Dans l'exemple (3.5), nous avons la table de Q16 × C2 caractères.
Par la définition de Q2m × C2:
≡ (Q16 × C2) = (≡Q16) (≡C2)
Pour calculer la table de caractères d'une valeur rationnelle de Q16 × C2,
θ11 = 11, θ12 = 12, θ21 = 41, θ22 = 42, θ31 = 21, θ32 = 22, θ41 = 31, θ42 = 32,
θ51 = χ41, θ52 = χ42.
Les éléments de Gal (χ1i) / Q, sont les suivants:
{σ1i, σ3i, σ5i, σ7i}
Où σ1i (χ1i) = χ1i, σ3i (χ1i) = χ3i,
σ5i (χ1i) = χ5i, σ7i (χ1i) = χ7i et i = 1,2.
Par la proposition (4.1)
1- (I) si i = 1
θ71 = σ11 (χ11) + σ31 (χ11) + σ51 (χ11) + σ71 (χ11)
θ71 ([1,1]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ71 ([1, r]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ71 ([x8,1]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ71 ([x8, r]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ71 ([x, 1]) = V1 + V3 + V5 + V7 = 0
θ71 ([x, r]) = V1 + V3 + V5 + V7 = 0
θ71 ([x2,1]) = V2 + V6 + V6 + V2 = 0
θ71 ([x2, r]) = V2 + V6 + V6 + V2 = 0
θ71 ([x4,1]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ71 ([x4, r]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ71 ([y, 1]) = 0
θ71 ([y, r]) = 0
θ71 ([xy, 1]) = 0
θ71 ([xy, r]) = 0
1- (II) si i = 2
θ72 = σ12 (χ12) + σ32 (χ12) + σ52 (χ12) + σ72 (χ12)
θ72 ([1,1]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ72 ([1, r]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ72 ([x8,1]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ72 ([x8, r]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ72 ([x, 1]) = V1 + V3 + V5 + V7 = 0
θ72 ([x, r]) = (-V1) + (-V3) + (-V5) + (- V7) = 0
θ72 ([x2,1]) = V2 + V6 + V6 + V2 = 0
θ72 ([x2, r]) = (V2) + (-V6) + (-V6) + (V2) = 0
θ72 ([x4,1]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ72 ([x4, r]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ72 ([y, 1]) = 0
θ72 ([y, r]) = 0
θ72 ([xy, 1]) = 0
θ72 ([xy, r]) = 0
Aussi σ1i (χ2i) = χ2i, σ3i (χ2i) = χ6i, σ5i (χ1i) = χ6i, σ7i (χ1i) = χ2i et i = 1,2.
Par la proposition (4.1) puis θ4i = χ2i + χ6i
2- (I) si i = 1
θ61 = χ21 + χ61
θ61 ([1,1]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([1, r]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([x8,1]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([x8, r]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([x, 1]) = V2 + V6 = 0
θ61 ([x, r]) = V2 + V6 = 0
θ61 ([x2,1]) = 0 + 0 = 0
θ61 ([x2, r]) = 0 + 0 = 0
θ61 ([x4,1]) = (-2) + (-2) = -4
θ61 ([x4, r]) = (-2) + (-2) = -4
θ61 ([y, 1]) = 0
θ61 ([y, r]) = 0
θ61 ([xy, 1]) = 0
θ61 ([xy, r]) = 0
2- (II) si i = 2
θ62 = χ22 + χ62
θ62 ([1,1]) = 2 + 2 = 4
θ62 ([1, r]) = (-2) + (-2) = -4
θ62 ([x8,1]) = 2 + 2 = 4
θ62 ([x8, r]) = (-2) + (-2) = -4
θ62 ([x, 1]) = V2 + V6 = 0
θ62 ([x, r]) = (V2) + (- V6) = 0
θ62 ([x2,1]) = 0 + 0 = 0
θ62 ([x2, r]) = 0 + 0 = 0
θ62 ([x4,1]) = (-2) + (-2) = -4
θ62 ([x4, r]) = 2 + 2 = 4
θ62 ([y, 1]) = 0
θ62 ([y, r]) = 0
θ62 ([xy, 1]) = 0
θ62 ([xy, r]) = 0
Les éléments [x, 1], [x3,1], [x5,1], [x7,1]
sont dans le même г-conjugué et [x, r],
[x3, r], [x5, r], [x7, r] sont dans le même
г-conjugué et [x2,1], [x6,1] sont dans le même
г-conjugué et [X2, r], [x6, r] sont dans le même
г-conjugué tel que le tableau (6).
Théorème (4.4)
Le tableau rationnel du groupe Q2m × C2 lorsque m = 2h, h∈Z + est donnée comme suit caractères évalués:
* ≡ (Q2m × C2) ≡ = * (Q2m) ≡ * (C2)
Preuve: -
depuis
1 1
1 -1
* ≡ (C2) =
De la définition de Q2m × C2, (théorème (3.4)),
≡Q2m × C2 = (≡Q2m) (≡C2)
chaque élément à Q2m × C2
Q2m, C2 n = 1,2,3, ..., 4m, s = 1,2
et chaque caractère irréductible de Q2m × C2 est
Où est un caractère irréductible de Q2m et est un caractère irréductible de C2, puis
De la proposition (4.1)
Où est le rationnel évalués de table de caractères de Q2m × C2
Ensuite,
(I) si j = 1 et s = 1,2
Où est le caractère d'une valeur rationnelle des Q2m.
(II) (a) si j = 2 et s = 1
(b) si j = 2 et s = 2
A partir de (I) et (II), on a
Puis ≡ * (Q2m × C2) ≡ = * (Q2m) ≡ * (C2)
Le tableau de caractère rationnel du groupe de quaternion (Q2m × C2) lorsque m = 2h, h∈Z + (4,5)
D'après le théorème (4.4) et la forme de ≡ * (toutes les 2 heures + 1) = puis à table (5) puis la table de caractère rationnel du groupe de quaternion (Q2m × C2) lorsque m = 2h, h∈Z + est donné dans le grand () sous forme de matrice ≡ * (toutes les 2 heures + 1 × C2) sous forme de tableau (7).
Exemple (4.3)
En utilisant le théorème (4.4) de la table de Q16 × C2 caractères rationnels valeur, depuis h = 3, il est même à la table exemple (4.3), (après le changement pour les lignes et les colonnes) sous forme de tableau (8).
références
[1] CW Curtis et «théorie des représentations des groupes finis et associative algèbres 'I. Reiner' ', AMS Chelsea édition 1962, imprimés par l'AMS 2006.
[2] MS Kirdar '' Le groupe de facteur de la fonction de la classe Z-valeur modulo le groupe des caractères généralisées '', Ph.D. thèse, Université de Birmingham, 1982.
[3] NR Mahamoud '' La décomposition cyclique du Groupe Facteur de (Q2m) / (Q2m) ''. M. Sc thèse, Université de Technologie 1995
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