Die Rational
geschätztes Zeichen des Konzerns (Q2m × C2)
wenn m = 2h, h∈Z +
1.Abstract
Der Hauptzweck dieser Arbeit ist es, die rational bewertet Zeichentabelle der Gruppe (Q2m × C2), wenn m = 2h, h∈Z +, die durch ≡ * (Q2h + 1 × C2), wo Q2m wird bezeichnet bezeichnet wird finden um Quaternionengruppe und C2 ist die zyklische Gruppe der Ordnung 2.
Darüber hinaus haben wir die allgemeine Form der rationalen geschätztes Zeichen Tabelle der Gruppe (Q2h + 1 × C2) gefunden.
2.Introduction
Sei G eine endliche Gruppe, zwei Elemente von G gesagt werden, um sein -Konjugat, wenn die zyklischen Untergruppen erzeugen sie konjugiert in G; dies -Verhältnis definiert eine Äquivalenzrelation auf G.Its Klassen aufgerufen werden - Klassen
Der Z-Wert-Klasse-Funktion auf der Gruppe G, die auf den - Klassen konstant ist bildet eine endlich erzeugte abelsche Gruppe cf (G, Z) von einem Rang gleich der Anzahl von - Klassen
Der Schnittpunkt der cf (G, Z) mit der Gruppe aller generali Zeichen G, R (G) ist ein Normalteiler von cf (G, Z) von, jedes Element in kann als u1θ1 geschrieben werden bezeichnet + u2θ2 + ...... + u θ, wobei die Anzahl der
-Klassen,
U1, U2, ..., u Z und =, wobei eine irreduzible Charakter der Gruppe G und ist ein beliebiges Element in Galios Gruppe.
Lassen ≡ * (G) bezeichnet die Matrix, die
Zeilen entspricht der 's und Spalten entsprechen den - Klassen G .In 1995
NR Mahamood [3] untersuchten die Faktorgruppe CF (Q2m, Z) / (Q2m). Das Ziel dieser Arbeit ist es, ≡ * (Q2h + 1 × C2) zu finden und festzustellen, allgemeine
() Matrixform des rationalen geschätztes Zeichen Tabelle der Gruppe (Q2h + 1 × C2).
3.Preliminaries
Die Generalized Quaternionengruppe Q2m (3.1) [3]
Für jede positive ganze Zahl m, Die verallgemeinerte Quaternionengruppe Q2m Ordnungs 4m mit zwei Generatoren und erfüllt
Q2m =
welche die folgenden Eigenschaften hat
Die Zeichentabelle der Quaternionengruppe Q2m wenn m = 2h, h∈Z + (3.2) [3]
Es gibt zwei Arten von irreduziblen Zeichen ONE von ihnen ist der Charakter der linearen Darstellungen R1, R2, R3 und R4, die durch ψ1, ψ2, ψ3 und ψ4 bezeichnet sind.
jeweils wie in der folgenden Tabelle:
xk xky
ψ1 1 1
ψ2 1 -1
ψ3 (-1) k (-1) k
Ψ4 (-1) k (-1) k + 1
Tisch (1)
Wobei 0 ≤ k ≤ 2m-1.
Der Rest Zeichen irreduzibler Darstellungen Th vom Grad 2 sind durch χh so dass bezeichnet:
χh (xk) = ωhk + ω-hk
= eπihk / m + e-πihk / m
= 2cos (πhk / m)
Wir bezeichneten bis + ω-hk ωhk von VHK, So VHK = V2m-hk, Vm = -2, V2M = 2 .also wir VJ (hk) zu schreiben, so dass
J (hk) = min {hk (mod 2m), 2m-hk (mod 2m)},
in der Zeichentabelle des Quaternionengruppe Q2m wenn m = 2h, wo VJ (hk) = 2cos (πJ (hk) / m)
χh (xky) = 0
Wobei 0 ≤ k ≤ 2m-1, 1 ≤ h ≤ m-1
und ω = e2πi / 2m.
So gibt es m + 3 irreduziblen Charaktere Q2m. Dann wird die allgemeine Form der Zeichentabelle von Q2m wenn m = 2h, h∈Z + ist in der Tabelle angegeben (2).
Theorem (3.3) [1]
Lassen T1: G1 → GL (n, K) und T2: G2 → GL (m, K) sind zwei irreduzible Darstellung der Gruppe G1 und G2 mit Charakteren χ1 und χ2 jeweils dann T1 T2 irreduzible Darstellung der Gruppe G1 × G2 mit dem Charakter χ1.χ2.
Der Konzern Q2m × C2 (3.4)
Die direkte Produktgruppe Q2m × C2, wobei C2 ist eine zyklische Gruppe der Ordnung 2 dann
| Q2m × C2 | = 8m.
Da die irreduziblen Darstellungen der Gruppe Q2m × C2 sind die Tensor-Produkte denen von Q2m und denen C2.The Gruppe C2 hat zwei irreduzible Darstellungen, ihre Charaktere σ1 und σ2 in der Tabelle angegeben sind (2):
CLα 1 r
| CLα | 1 1
σ1 1 1
σ2 1 -1
Nach Satz (3.3), die jeweils irreduziblen Charakter χi von Q2m definiert zwei irreduziblen Charaktere χi1, χi2 so dass χi1 = χiσ1, χi2 = χiσ2 von Q2m × C2.
Dann ≡ (Q2m × C2) = ≡ (Q2m) ≡ (C2)
Beispiel (3.5)
Um Zeichen Tabelle von Q16 × C2 finden.
Aus (3.3) in der Zeichentabelle von Q16 als Tabelle (3), haben wir auf dem VI = 2cos (πi / 8), V2m = 2,
Vm = -2, V4 = 2cos (4π / 8) = 0.
und
CLα 1 R
| CLα | 1 1
σ1 1 1
σ2 1 -1
Nach Satz (3.3), der Zeichentabelle von Q16 × C2 kann wie folgt geschrieben werden:
≡ (Q16 × C2) = ≡ (Q16) ≡ (C2),
Dann ≡ (Q16 × C2) ist in der Tabelle (4) angegeben.
Wo Vi = 2cos (πi / 8), V2m = 2, Vm = -2, V4 = 2cos (4π / 8) = 0.
4.Die wichtigsten Ergebnisse
Satz (4,1) [2]
Die rationale geschätztes Zeichen Form Grundlage für, wo sind die irreduziblen Charaktere von G und ihre Zahl gleich der Anzahl aller verschiedenen Γ-Klassen von G. sind
Die rationale Zeichentabelle der Quaternionengruppe Q2m wenn m = 2h, h∈Z + (4.2) [3]
die rationale Zeichen Tabelle Q2m wenn m = 2h, h∈Z + ist in der folgenden Tabelle angegeben (nach Änderung um die Zeilen und die Spalten):
* ≡ (Q2h + 1) =
1 1 1 1 1. . . 1 1 1
-1 1 -1 1 1. . . 1 1 1
-1 -1 1 1 1. . . 1 1 1
1 -1 -1 1 1. . . 1 1 1
0 0 0 -2 2. . . 2 2 2
0 0 0 0 -4. . . 4 4 4
0 0 0. . . . 0 2H-1 2h-1 2h-1
0 0 0. . . . 0 0 -2h 2h
Beispiel (4.3)
Um die rationelle geschätztes Zeichen Tabelle von Q16 × C2 zu konstruieren, als haben Sie Folgendes tun:
Aus Beispiel (3.5) haben wir die Zeichentabelle von Q16 × C2.
Durch die Definition von Q2m × C2:
≡ (Q16 × C2) = (≡Q16) (≡C2)
Um von Q16 × C2 berechnen die rationale bewertet Zeichentabelle,
θ11 = 11, θ12 = 12, θ21 = 41, θ22 = 42, θ31 = 21, θ32 = 22, θ41 = 31, θ42 = 32,
θ51 = χ41, θ52 = χ42.
Die Elemente von Gal (χ1i) / Q, sind:
{σ1i, σ3i, σ5i, σ7i}
Wo σ1i (χ1i) = χ1i, σ3i (χ1i) = χ3i,
σ5i (χ1i) = χ5i, σ7i (χ1i) = χ7i und i = 1,2.
Nach Satz (4.1)
1- (I), wenn i = 1
θ71 = σ11 (χ11) + σ31 (χ11) + σ51 (χ11) + σ71 (χ11)
θ71 ([1,1]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ71 ([1, r]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ71 ([x8,1]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ71 ([x8, r]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ71 ([x, 1]) = V1 + V3 + V5 + V7 = 0
θ71 ([x, r]) = V1 + V3 + V5 + V7 = 0
θ71 ([x2,1]) = V2 + V6 + V6 + V2 = 0
θ71 ([x2, r]) = V2 + V6 + V6 + V2 = 0
θ71 ([x4,1]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ71 ([x4, r]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ71 ([y, 1]) = 0
θ71 ([y, r]) = 0
θ71 ([xy, 1]) = 0
θ71 ([xy, r]) = 0
1- (II), wenn i = 2
θ72 = σ12 (χ12) + σ32 (χ12) + σ52 (χ12) + σ72 (χ12)
θ72 ([1,1]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ72 ([1, r]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ72 ([x8,1]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ72 ([x8, r]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ72 ([x, 1]) = V1 + V3 + V5 + V7 = 0
θ72 ([x, r]) = (V1) + (V3) + (-V5) + (- V7) = 0
θ72 ([x2,1]) = V2 + V6 + V6 + V2 = 0
θ72 ([x2, r]) = (-V2) + (-V6) + (-V6) + (-V2) = 0
θ72 ([x4,1]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ72 ([x4, r]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ72 ([y, 1]) = 0
θ72 ([y, r]) = 0
θ72 ([xy, 1]) = 0
θ72 ([xy, r]) = 0
Auch σ1i (χ2i) = χ2i, σ3i (χ2i) = χ6i, σ5i (χ1i) = χ6i, σ7i (χ1i) = χ2i und i = 1,2.
Nach Satz (4.1) dann θ4i = χ2i + χ6i
2- (I), wenn i = 1
θ61 = χ21 + χ61
θ61 ([1,1]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([1, r]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([x8,1]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([x8, r]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([x, 1]) = V2 + V6 = 0
θ61 ([x, r]) = V2 + V6 = 0
θ61 ([x2,1]) = 0 + 0 = 0
θ61 ([x2, r]) = 0 + 0 = 0
θ61 ([x4,1]) = (-2) + (-2) = -4
θ61 ([x4, r]) = (-2) + (-2) = -4
θ61 ([y, 1]) = 0
θ61 ([y, r]) = 0
θ61 ([xy, 1]) = 0
θ61 ([xy, r]) = 0
2- (II), wenn i = 2
θ62 = χ22 + χ62
θ62 ([1,1]) = 2 + 2 = 4
θ62 ([1, r]) = (-2) + (-2) = -4
θ62 ([x8,1]) = 2 + 2 = 4
θ62 ([x8, r]) = (-2) + (-2) = -4
θ62 ([x, 1]) = V2 + V6 = 0
θ62 ([x, r]) = (-V2) + (- V6) = 0
θ62 ([x2,1]) = 0 + 0 = 0
θ62 ([x2, r]) = 0 + 0 = 0
θ62 ([x4,1]) = (-2) + (-2) = -4
θ62 ([x4, r]) = 2 + 2 = 4
θ62 ([y, 1]) = 0
θ62 ([y, r]) = 0
θ62 ([xy, 1]) = 0
θ62 ([xy, r]) = 0
Die Elemente [x, 1], [x3,1], [x5,1], [x7,1]
sind in der gleichen г-Konjugat und [x, r],
[x3, R], [x5, R], [x7, r] im gleichen
г-Konjugat und [x2,1] sind [x6,1] in der gleichen
г-Konjugat und [x2, R], [x6, r] im gleichen
г-Konjugat Tabelle (6).
Satz (4.4)
Die rationale geschätztes Zeichen Tabelle der Gruppe Q2m × C2, wenn m = 2h, h∈Z + wird wie folgt angegeben:
* ≡ (Q2m × C2) = * ≡ (Q2m) ≡ * (C2)
Beweis: -
seit
1 1
1 -1
≡ * (C2) =
Aus der Definition der Q2m × C2, (Theorem (3.4)),
≡Q2m × C2 = (≡Q2m) (≡C2)
jedes Element in Q2m × C2
Q2m, C2 n = 1,2,3, ..., 4m, s = 1,2
und jeder irreduziblen Charakter Q2m × C2
Wo ist eine irreduzible Charakter Q2m und eine irreduzible Charakter C2, dann
Aus Proposition (4.1)
Wo ist das rational bewertet der Zeichentabelle von Q2m × C2
dann
(I), wenn j = 1 und s = 1,2
Wo ist der rationale bewertet Charakter Q2m.
(II) (a), wenn j = 2 und n = 1
(b), wenn j = 2 und n = 2
Aus (I) und (II) haben wir
Dann ≡ * (Q2m × C2) = * ≡ (Q2m) ≡ * (C2)
Die rationale Zeichentabelle der Quaternionengruppe (Q2m × C2), wenn m = 2h, h∈Z + (4.5)
Aus Satz (4.4) und Form ≡ * (Q2h + 1) = in dann Tisch (5), dann die rationale Zeichentabelle der Quaternionengruppe (Q2m × C2), wenn m = 2h, h∈Z + ist im allgemeinen gegeben () Matrixform ≡ * (Q2h + 1 × C2) als Tabelle (7).
Beispiel (4.3)
Durch die Verwendung von Satz (4.4) die rationelle geschätztes Zeichen Tabelle von Q16 × C2, Da h = 3, gleiche auf den Tisch Beispiel (4.3) ist es, (nach Änderung um die Zeilen und die Spalten) als Tabelle (8).
Referenzen
[1] CW Curtis & 'Darstellungstheorie endlicher Gruppen und Assoziative Algebra' ', AMS Chelsea Publishing, 1962, von der AMS 2006 gedruckt I. Reiner'.
[2] MS Kirdar '' Der Faktor Gruppe der Z-Wert-Klasse Funktion modulo der Gruppe der Generalized Zeichen '', Ph.D. Arbeit, Universität Birmingham, 1982.
[3] NR Mahamood '' Das Zyklische Zersetzung der Factor Group von (Q2m) / (Q2m) ''. M. Sc Arbeit, Universität Technologie, 1995
wenn m = 2h, h∈Z +
1.Abstract
Der Hauptzweck dieser Arbeit ist es, die rational bewertet Zeichentabelle der Gruppe (Q2m × C2), wenn m = 2h, h∈Z +, die durch ≡ * (Q2h + 1 × C2), wo Q2m wird bezeichnet bezeichnet wird finden um Quaternionengruppe und C2 ist die zyklische Gruppe der Ordnung 2.
Darüber hinaus haben wir die allgemeine Form der rationalen geschätztes Zeichen Tabelle der Gruppe (Q2h + 1 × C2) gefunden.
2.Introduction
Sei G eine endliche Gruppe, zwei Elemente von G gesagt werden, um sein -Konjugat, wenn die zyklischen Untergruppen erzeugen sie konjugiert in G; dies -Verhältnis definiert eine Äquivalenzrelation auf G.Its Klassen aufgerufen werden - Klassen
Der Z-Wert-Klasse-Funktion auf der Gruppe G, die auf den - Klassen konstant ist bildet eine endlich erzeugte abelsche Gruppe cf (G, Z) von einem Rang gleich der Anzahl von - Klassen
Der Schnittpunkt der cf (G, Z) mit der Gruppe aller generali Zeichen G, R (G) ist ein Normalteiler von cf (G, Z) von, jedes Element in kann als u1θ1 geschrieben werden bezeichnet + u2θ2 + ...... + u θ, wobei die Anzahl der
-Klassen,
U1, U2, ..., u Z und =, wobei eine irreduzible Charakter der Gruppe G und ist ein beliebiges Element in Galios Gruppe.
Lassen ≡ * (G) bezeichnet die Matrix, die
Zeilen entspricht der 's und Spalten entsprechen den - Klassen G .In 1995
NR Mahamood [3] untersuchten die Faktorgruppe CF (Q2m, Z) / (Q2m). Das Ziel dieser Arbeit ist es, ≡ * (Q2h + 1 × C2) zu finden und festzustellen, allgemeine
() Matrixform des rationalen geschätztes Zeichen Tabelle der Gruppe (Q2h + 1 × C2).
3.Preliminaries
Die Generalized Quaternionengruppe Q2m (3.1) [3]
Für jede positive ganze Zahl m, Die verallgemeinerte Quaternionengruppe Q2m Ordnungs 4m mit zwei Generatoren und erfüllt
Q2m =
welche die folgenden Eigenschaften hat
Die Zeichentabelle der Quaternionengruppe Q2m wenn m = 2h, h∈Z + (3.2) [3]
Es gibt zwei Arten von irreduziblen Zeichen ONE von ihnen ist der Charakter der linearen Darstellungen R1, R2, R3 und R4, die durch ψ1, ψ2, ψ3 und ψ4 bezeichnet sind.
jeweils wie in der folgenden Tabelle:
xk xky
ψ1 1 1
ψ2 1 -1
ψ3 (-1) k (-1) k
Ψ4 (-1) k (-1) k + 1
Tisch (1)
Wobei 0 ≤ k ≤ 2m-1.
Der Rest Zeichen irreduzibler Darstellungen Th vom Grad 2 sind durch χh so dass bezeichnet:
χh (xk) = ωhk + ω-hk
= eπihk / m + e-πihk / m
= 2cos (πhk / m)
Wir bezeichneten bis + ω-hk ωhk von VHK, So VHK = V2m-hk, Vm = -2, V2M = 2 .also wir VJ (hk) zu schreiben, so dass
J (hk) = min {hk (mod 2m), 2m-hk (mod 2m)},
in der Zeichentabelle des Quaternionengruppe Q2m wenn m = 2h, wo VJ (hk) = 2cos (πJ (hk) / m)
χh (xky) = 0
Wobei 0 ≤ k ≤ 2m-1, 1 ≤ h ≤ m-1
und ω = e2πi / 2m.
So gibt es m + 3 irreduziblen Charaktere Q2m. Dann wird die allgemeine Form der Zeichentabelle von Q2m wenn m = 2h, h∈Z + ist in der Tabelle angegeben (2).
Theorem (3.3) [1]
Lassen T1: G1 → GL (n, K) und T2: G2 → GL (m, K) sind zwei irreduzible Darstellung der Gruppe G1 und G2 mit Charakteren χ1 und χ2 jeweils dann T1 T2 irreduzible Darstellung der Gruppe G1 × G2 mit dem Charakter χ1.χ2.
Der Konzern Q2m × C2 (3.4)
Die direkte Produktgruppe Q2m × C2, wobei C2 ist eine zyklische Gruppe der Ordnung 2 dann
| Q2m × C2 | = 8m.
Da die irreduziblen Darstellungen der Gruppe Q2m × C2 sind die Tensor-Produkte denen von Q2m und denen C2.The Gruppe C2 hat zwei irreduzible Darstellungen, ihre Charaktere σ1 und σ2 in der Tabelle angegeben sind (2):
CLα 1 r
| CLα | 1 1
σ1 1 1
σ2 1 -1
Nach Satz (3.3), die jeweils irreduziblen Charakter χi von Q2m definiert zwei irreduziblen Charaktere χi1, χi2 so dass χi1 = χiσ1, χi2 = χiσ2 von Q2m × C2.
Dann ≡ (Q2m × C2) = ≡ (Q2m) ≡ (C2)
Beispiel (3.5)
Um Zeichen Tabelle von Q16 × C2 finden.
Aus (3.3) in der Zeichentabelle von Q16 als Tabelle (3), haben wir auf dem VI = 2cos (πi / 8), V2m = 2,
Vm = -2, V4 = 2cos (4π / 8) = 0.
und
CLα 1 R
| CLα | 1 1
σ1 1 1
σ2 1 -1
Nach Satz (3.3), der Zeichentabelle von Q16 × C2 kann wie folgt geschrieben werden:
≡ (Q16 × C2) = ≡ (Q16) ≡ (C2),
Dann ≡ (Q16 × C2) ist in der Tabelle (4) angegeben.
Wo Vi = 2cos (πi / 8), V2m = 2, Vm = -2, V4 = 2cos (4π / 8) = 0.
4.Die wichtigsten Ergebnisse
Satz (4,1) [2]
Die rationale geschätztes Zeichen Form Grundlage für, wo sind die irreduziblen Charaktere von G und ihre Zahl gleich der Anzahl aller verschiedenen Γ-Klassen von G. sind
Die rationale Zeichentabelle der Quaternionengruppe Q2m wenn m = 2h, h∈Z + (4.2) [3]
die rationale Zeichen Tabelle Q2m wenn m = 2h, h∈Z + ist in der folgenden Tabelle angegeben (nach Änderung um die Zeilen und die Spalten):
* ≡ (Q2h + 1) =
1 1 1 1 1. . . 1 1 1
-1 1 -1 1 1. . . 1 1 1
-1 -1 1 1 1. . . 1 1 1
1 -1 -1 1 1. . . 1 1 1
0 0 0 -2 2. . . 2 2 2
0 0 0 0 -4. . . 4 4 4
0 0 0. . . . 0 2H-1 2h-1 2h-1
0 0 0. . . . 0 0 -2h 2h
Beispiel (4.3)
Um die rationelle geschätztes Zeichen Tabelle von Q16 × C2 zu konstruieren, als haben Sie Folgendes tun:
Aus Beispiel (3.5) haben wir die Zeichentabelle von Q16 × C2.
Durch die Definition von Q2m × C2:
≡ (Q16 × C2) = (≡Q16) (≡C2)
Um von Q16 × C2 berechnen die rationale bewertet Zeichentabelle,
θ11 = 11, θ12 = 12, θ21 = 41, θ22 = 42, θ31 = 21, θ32 = 22, θ41 = 31, θ42 = 32,
θ51 = χ41, θ52 = χ42.
Die Elemente von Gal (χ1i) / Q, sind:
{σ1i, σ3i, σ5i, σ7i}
Wo σ1i (χ1i) = χ1i, σ3i (χ1i) = χ3i,
σ5i (χ1i) = χ5i, σ7i (χ1i) = χ7i und i = 1,2.
Nach Satz (4.1)
1- (I), wenn i = 1
θ71 = σ11 (χ11) + σ31 (χ11) + σ51 (χ11) + σ71 (χ11)
θ71 ([1,1]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ71 ([1, r]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ71 ([x8,1]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ71 ([x8, r]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ71 ([x, 1]) = V1 + V3 + V5 + V7 = 0
θ71 ([x, r]) = V1 + V3 + V5 + V7 = 0
θ71 ([x2,1]) = V2 + V6 + V6 + V2 = 0
θ71 ([x2, r]) = V2 + V6 + V6 + V2 = 0
θ71 ([x4,1]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ71 ([x4, r]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ71 ([y, 1]) = 0
θ71 ([y, r]) = 0
θ71 ([xy, 1]) = 0
θ71 ([xy, r]) = 0
1- (II), wenn i = 2
θ72 = σ12 (χ12) + σ32 (χ12) + σ52 (χ12) + σ72 (χ12)
θ72 ([1,1]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ72 ([1, r]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ72 ([x8,1]) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = - 8
θ72 ([x8, r]) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
θ72 ([x, 1]) = V1 + V3 + V5 + V7 = 0
θ72 ([x, r]) = (V1) + (V3) + (-V5) + (- V7) = 0
θ72 ([x2,1]) = V2 + V6 + V6 + V2 = 0
θ72 ([x2, r]) = (-V2) + (-V6) + (-V6) + (-V2) = 0
θ72 ([x4,1]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ72 ([x4, r]) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
θ72 ([y, 1]) = 0
θ72 ([y, r]) = 0
θ72 ([xy, 1]) = 0
θ72 ([xy, r]) = 0
Auch σ1i (χ2i) = χ2i, σ3i (χ2i) = χ6i, σ5i (χ1i) = χ6i, σ7i (χ1i) = χ2i und i = 1,2.
Nach Satz (4.1) dann θ4i = χ2i + χ6i
2- (I), wenn i = 1
θ61 = χ21 + χ61
θ61 ([1,1]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([1, r]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([x8,1]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([x8, r]) = 2 + 2 = 4
θ61 ([x, 1]) = V2 + V6 = 0
θ61 ([x, r]) = V2 + V6 = 0
θ61 ([x2,1]) = 0 + 0 = 0
θ61 ([x2, r]) = 0 + 0 = 0
θ61 ([x4,1]) = (-2) + (-2) = -4
θ61 ([x4, r]) = (-2) + (-2) = -4
θ61 ([y, 1]) = 0
θ61 ([y, r]) = 0
θ61 ([xy, 1]) = 0
θ61 ([xy, r]) = 0
2- (II), wenn i = 2
θ62 = χ22 + χ62
θ62 ([1,1]) = 2 + 2 = 4
θ62 ([1, r]) = (-2) + (-2) = -4
θ62 ([x8,1]) = 2 + 2 = 4
θ62 ([x8, r]) = (-2) + (-2) = -4
θ62 ([x, 1]) = V2 + V6 = 0
θ62 ([x, r]) = (-V2) + (- V6) = 0
θ62 ([x2,1]) = 0 + 0 = 0
θ62 ([x2, r]) = 0 + 0 = 0
θ62 ([x4,1]) = (-2) + (-2) = -4
θ62 ([x4, r]) = 2 + 2 = 4
θ62 ([y, 1]) = 0
θ62 ([y, r]) = 0
θ62 ([xy, 1]) = 0
θ62 ([xy, r]) = 0
Die Elemente [x, 1], [x3,1], [x5,1], [x7,1]
sind in der gleichen г-Konjugat und [x, r],
[x3, R], [x5, R], [x7, r] im gleichen
г-Konjugat und [x2,1] sind [x6,1] in der gleichen
г-Konjugat und [x2, R], [x6, r] im gleichen
г-Konjugat Tabelle (6).
Satz (4.4)
Die rationale geschätztes Zeichen Tabelle der Gruppe Q2m × C2, wenn m = 2h, h∈Z + wird wie folgt angegeben:
* ≡ (Q2m × C2) = * ≡ (Q2m) ≡ * (C2)
Beweis: -
seit
1 1
1 -1
≡ * (C2) =
Aus der Definition der Q2m × C2, (Theorem (3.4)),
≡Q2m × C2 = (≡Q2m) (≡C2)
jedes Element in Q2m × C2
Q2m, C2 n = 1,2,3, ..., 4m, s = 1,2
und jeder irreduziblen Charakter Q2m × C2
Wo ist eine irreduzible Charakter Q2m und eine irreduzible Charakter C2, dann
Aus Proposition (4.1)
Wo ist das rational bewertet der Zeichentabelle von Q2m × C2
dann
(I), wenn j = 1 und s = 1,2
Wo ist der rationale bewertet Charakter Q2m.
(II) (a), wenn j = 2 und n = 1
(b), wenn j = 2 und n = 2
Aus (I) und (II) haben wir
Dann ≡ * (Q2m × C2) = * ≡ (Q2m) ≡ * (C2)
Die rationale Zeichentabelle der Quaternionengruppe (Q2m × C2), wenn m = 2h, h∈Z + (4.5)
Aus Satz (4.4) und Form ≡ * (Q2h + 1) = in dann Tisch (5), dann die rationale Zeichentabelle der Quaternionengruppe (Q2m × C2), wenn m = 2h, h∈Z + ist im allgemeinen gegeben () Matrixform ≡ * (Q2h + 1 × C2) als Tabelle (7).
Beispiel (4.3)
Durch die Verwendung von Satz (4.4) die rationelle geschätztes Zeichen Tabelle von Q16 × C2, Da h = 3, gleiche auf den Tisch Beispiel (4.3) ist es, (nach Änderung um die Zeilen und die Spalten) als Tabelle (8).
Referenzen
[1] CW Curtis & 'Darstellungstheorie endlicher Gruppen und Assoziative Algebra' ', AMS Chelsea Publishing, 1962, von der AMS 2006 gedruckt I. Reiner'.
[2] MS Kirdar '' Der Faktor Gruppe der Z-Wert-Klasse Funktion modulo der Gruppe der Generalized Zeichen '', Ph.D. Arbeit, Universität Birmingham, 1982.
[3] NR Mahamood '' Das Zyklische Zersetzung der Factor Group von (Q2m) / (Q2m) ''. M. Sc Arbeit, Universität Technologie, 1995
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