الاقتران التربيعي

الاقتران التربيعي

تعريف :

الاقتران التربيعي هو كل دالة (x) يمكن كتابته على الصورة:

Ax 2+bx+c

مثال :

 ليكن  x2 +5x-6 =f(x)اوجد:

f(0) ,f(-1),f(1),f(2),f(-3)

الحل :

f(0)=02 +5 0-6=-6

f(-1)=(-1) 2 +5-1-6= 1-5-6=-10

f(1)= 12 +51-6=1+5-6=0

f(2)22 +52-6=4+10-6=8

f(-3) =(-3) 2 +5-3-6=9+-15-6=-12

مثال :

 اذا كان f(x) =3-x2 ، اوجد :

f(1), f(-1),f(2),f(0),f(-2),f(a+1)

الحل :

f(1) =3-12 =2 ,f(-1)=3-(-1) 2 =2 ,f(2) =3-(2) 2 =-1

f(0)=3-02 =3 ,f(-2)=3-(-2) 2 =-1 ,f(a+1)=3-(a+1) 2 

اذا لم يحدد المجال في السؤال ، يعتبر المجال جميع الاعداد الحقيقية ح ، اما مدى الاقتران فهو مجموعة جميع القيم الممكنة للاقتران.

التمثيل البياني للدالة التربيعي الذي مجاله R:

 Graph of Quadratic function

 لنأخذ ابسط اقتران تربيعي  f(x)=x2 ولنحاول رسمه بيانيا.

-3         -2         -1         3          2          1          0          X

9          4          1          9          4          1          0          Y

واذا حاولنا دراسة هذا الدالة بشكل اكثر فاننا نلاحظ ما يأتي :

1)         اصغر قيمة يأخذها الدالة هي 0 وتحدث عند النقطة (0,0)

2)         الاقتران متماثل حول محور y

3)         مدى الاقتران { y:y  0}

4)         النقطة (0,0) تسمى الرأس

5)         يسمى المنحنى المرسوم اعلاه قطعا مكافئا.

تعميم :

ان التمثيل البياني لأي دالة تربيعي هو قطع مكافئ.( Parabola)

مثال :

 ارسم الدوال التربيعية الاتية :

1)f(x)=x 2 +2                     2)f(x)=x2 -2

نلاحظ ان :

أ‌)          جميع هذه الدوال متماثلة حول محور Y .

ب‌)        عندما a> 0 فان : المنحنى مقعر للأعلى ،  وعندما a< 0 ، فان المنحنى مقعر للاسفل .

تعميم :

الدالة f(x)=x2 +nهو انسحاب للدالة  x2=f(x) بمقدار n وحدة باتجاه محور y الموجب اذا كانت n موجبة ، والسالب اذا كانت n سالبة.

مثال :

 ارسم الدوال التربيعية التالية :

1)f(x)=(x+2) 2                                2)f(x)=(x-1) 2          

ا)جميع المنحنيات لها قيمة صغرى واحدة هي صفر .

2)محور التماثل لكل منها خط عمودي هو x =-2,x=1، وايضا  x=3على الترتيب .

تعميم :

الدالة f(x)=(x-m)2 هو انسحاب للدالة  f(x)=x2 بمقدار m باتجاه محور x الموجب اذا كانت m موجبة والسالب اذا كانت m سالبة .

مثال : مثل الدوال الاتية بيانيا:

1)f(x)=(x-1) 2 +2                                              2)f(x)=(x+2) 2 -3

   الحل:

1)f(x)=(x-1) 2 +2          

3

من المثال السابق نلاحظ ان :

1)         جميع هذه المنحنيات هي نفس منحنى y=x2 بعد انسحابه افقيا ثم عموديا .

2)         رأس القطع المكافئ على الترتيب هو ،(1,2),(-2,-3)

مثال :

مثل الدوال الاتية بيانيا:

1)f(x)=x2                        2)f(x)=2x2

الحل:

أ) f(x)=x2

مثال:

 مثل الاقترانات الاتية بيانيا :

               1)f(x)=-2x2                                            2) f(x)=    

الحل :

1)f(x)=-2x2

من المثالين السابقين نلاحظ ان :

ا)هذه الاقترانات هي تمدد للدالة f(x)=x2باتجاه محور y

2) رأس القطع المكافئ لكل هذه الاقترانات هو((0,0

الهندسة Geometry

مفاهيم أولية في الهندسة : Elementary Concepts

سبق أن تعلمت مفاهيم في الهندسة مثل النقطة ، والشعاع، والقطعة المستقيمة ، والخط المستقيم وتعرفت على الفروق بينها.

وستتعرف في هذا البند على المستوى . فالورقة هي مستوى ، وسطح اللوح هو مستوى ، وسطح الحائط هو مستوى ، أما سطح الكرة أو سطح الاستطوانة، وتسمى  النقاط التي تقع في المستوى واحد نقاط مستوية ، أما النقاط التي لا تقع في المستوى واحد فتسمى نقاط غير مستوية .

خصائص المستوى : Properties of Plane

1)         يمكن مده من الجوانب الى ما لا نهاية .

2)         يحتوي على عدد لا نهئي من النقاط .

3)         يتحدد أما بثلاث نقاط أو نقطة والخط .

العلاقة بين المستقيمات في المستوى:Lines in Plane

تكون المستقيمات على حلاة من الحالات الاتية:

1)         المستقيمات المتوازية وهي لا تتقاطع مهما امتدت .

2)         المستقيمات غير المتوازنة وهي تتقاطع .

الزاوية وقياسها :  Angles and measure

تعريف :

الزاوية شكل هندسي ناتج من اتحاد شعاعين لهما نقطة البداية نفسها ،وتسمى هذه النقطة رأس الزاوية ، ويسمى الشعاعان ضلعي الزاوية .

أنواع الزاوية وفق قياساتها:Types of angles

تقسم الزوايا وفق قياساتها الى الانواع التالية :

أ)الزاوية الحادة : Acute Angleوتكون قياسها بين صفر و90.    

ب)الزاوية القائمة وقياسها 90   (Quarter Turn )Right Angle 

ج)الزاوية المنفرجةObtuse Angle  : ويكون قياسها بين 90 الى 180

د)الزاوية المستقيمة :Straight Angle Half turn  ويكون قياسها 180

ﮬ)الزاوية المنعكسة Reflex Angle:ويكون قياسها أكبرمن 180

والمثال الاتي يوضح هذه الأنواع :

مثال: اذكر نوع كل زاوية مما يلي  وفق قياسها المعطى:

1)                                                     2)                                       3)

              30                                                 90                                                  150

4)                           180                             5)                                220             

 

الحل : الشكل (1): يمثل زاوية حادة وقياسها 30

        الشكل (2):يمثل زاوية قائمة وقياسها 90

        الشكل (3):يمثل زاوية منفرجة وقياسها 150

        الشكل(4):يمثل زاوية مستقيمة وقياسها 180

       الشكل(5): يمثل زاوية منعكسة وقياسها 220

مثال : حدد نوع كل زاوية من الزاويا الاتية دون قياسها بالمنقلة:  

الحل : (1) زاوية حادة لأنها أقل من 90 .                (2) زاوية منفرجة لأنها أقل من 180 وأكبر من 90

         (3) زاوية حادة لأتها أقل من 90                  (4) زاوية منعكسة لأنها أكبر من 180                             

                                                 (5) زاوية مستقيمة لأنها = 180

نلاحظ من المثال السابق أن زاوية 1 وزاوية 3 زاويتان حادتان لكن قياس زاوية( 3 )أكبر من قياس زاوية( 1 )        

 ويمكن تقدير قياس زاوية بمقارنتها بزاوية أخرى معلومة القياس دون الحاجة الى قياسها بالمنقلة ومن الزاويا الاساسية التي يمكن اعتمادها في هذه المقارنة : الزاوية القائمة ، والزاوية التي تمثل نصف القائمة 45 ، والزاوية المستقيمة ، وبالتدريب المتكرر على هذه المهارة سيكون التقدير أكثر قربا الى الجواب الصحيح.

مثال : قدر قياس الزاويا الاتية بالدرجات دون استخدام المنقلة:

        1)                                                                                   2)

الحل:(1)الزاوية في هذه الحالة زاوية حادة  قياسها قريب من قياس الزاوية القائمة أي من 90 ، فيكون تقدير قياس هذه الزاوية المناسب من 75-85.

       (2) هذه الزاوية منفرجة قريبة من الزاوية المستقيمة فيكون تقدير قياس هذه المناسب 175- 185 .

أسئلة :

1)         في الشكل ادناه  ، اذا كان قياس M N O=90 ، ما قياس الزوايا الاخرى

2)         في الشكل الآتي ،إذا كان :

قياس زواية (1)+ قياس زواية (2)= 80

قياس زواية (2)+ قياس زواية (3)=80

أبين أن قياس زاوية 1 = زاوية 3

3)         قسمت زاوية مستقيمة الى ثلاث زاويا بنسبة 2: 3: 5 ،جد قياس هذه الزاويا وأرسمها.

الزاويا الناتجة من تقاطع مستقيمات في المستوى

* الزوايتان المتكاملتان Angles Supplementary هما كل زاويتيين يكون مجموعهما يساوي 180.

* الزاويتان المتقابلتان بالرأسVertically Opposite هما كل زاويتين لهما الرأس نفسه ، وتقعان في جهتين مختلفتين (متقابلتين )، وكل ضلعمن احداهما امتداد لضلع من الاخرى .

* المستقيمان المتعامدانPerpendicular Lines هما كل مستقيمين ينتج من تقاطعهما زاوية قائمة.

                                                                      1L

*الزاويتان المتتامتان Complementary Angles هما كل زاويتين مجموع قياسهما 90 .

أسئلة :

1)         لماذا لا يمكن اعتبار النقاط  H M T في الشكل السابق نقاطا مستقيمة؟

2)         زاويتان متتامتان قياس الاولى (X3) وقياس الثانية (30) ما قيمة المجهول X بالدرجات ؟

3)         قياس إحدى زاويتين متكاملتين أقل من 45 ، ما القياسات الممكنة للزاوية الاخرى ؟

4)         اذا تقاطع مستقيمان وكان قياس احدى الزاويا الناتجة من التقاطع 93 ، ما قياسات الزاويا الثلاث الباقية؟

الزاويا الناتجة من مستقيمين يقطعهما مستقيم 

*الزاويتـان المتبادلتان ِAlternate Angles:هما كل  زاويتين تقعان في جهتين مختلفتين من القاطع ، وتقعان داخل الخطين الاخرين ويشكلان حرف z تقريبا .

* الزاويتان المتناظرتانCorresponding angles: هما كل زاويتين تقعان على الجهة نفسها من التقاطع وتقع احداهما داخل الخطين والاخرى خارجمها

ويشكلان الحرفF تقريبا.

*الزاويتان المتحالفتان:Supplementary angles هما كل زاويتين تقعان في الجهة نفسها من القاطع وكلاهما داخل الخطين الاخرين.

مثال: لاحظ الشكل ادناه وأجب عن الاسئلة التي تليه

أ) ما العلاقة بين الزاوية (1)والزاوية (2)؟

ب) سم زاويتين متكاملتين.

ج) ما العلاقة بين الزاوية (4)،والزاوية (3)؟

د)سم زوجين من الزاويا المتبادلة.

الحل :

أ‌)          الزاوية (1)،والزاوية (2) زاويتان متناظرتان ؛ لأنهما في الجهة نفسها من التقاطع وتقع احداهما خارج الخطين والاخرى بينهما.

ب‌)        الزاوية (1)، الزاوية(6) زاويتان متكملتان لأن مجموعهما 180.  

ج)زاوية (4)، والزاوية (3)زاويتان متحالفتان لأنهما في الجهة نفسها من القاطع وكلاهما داخل الخطين.

د)الزاوية (5)، والزاوية (3)، والزاوية (4) والزاوية (2) زاويتان متبادلتان ،في جهتين مختلفتين من القاطع وكلاهما داخل الخطين.

أسئلة :

1) في ادناه1K //2 K، 1N// 2N  اذا علمت أن قياس

الزاوية (1) = 115                                         1N            2N

ما قياس كل من الزاويا : 2، 3 ،4 ،5 ،6 ؟

                                                         1K           6                  1

                                                                         5

2) في الشكل ادناه  //   //  إذا كان

قياس زاوية 1 =100 ، ما قياس الزاويا 2 ، 3، 4، 5؟

                                      L            M         K

                   المثلث Triangle

عرفت سابقا أن المستوى سطح يمتد بلا نهاية من أطرافه ، وأنه يتحدد بثلاث نقاط واقعة عليه ، وعرفت أن هذه النقاط تسمى ثلاث نقاط مستوية . ولو حاولت رسم القطع المستقيمة الثلاث الواصلة بين تلك النقاط ستحصل على الشكل ادناه:

يسمى الشكل الناتج مثلثا ، ومن صفات هذا الشكل أن له ثلاثة رؤوسVerices تمثلها ثلاث نقاط ، كما ان له ثلاثة أضلاعSides تمثلها القطع المستقيمة الثلاث ، وله ثلاث زاويا كما هو موضح من الشكل ونسمي الاضلاع والزاويا عناصر المثلث.

ويمكن أن يسمى المثلث برؤوسه ، ويرمز له بالرمز ∆ تسهيلا.

           

مثال :     سم المثلثات الاتية:

1) X                 2)      A                        3)       L

الحل:

المثلث الاول : هو المثلث  X Y T (هل هناك تسميات أخرى؟)

المتلث الثاني: هو المثلث  A B C( هل هناك تسميات أخرى؟)

المثلث الثالث :هو المثلث L M N(هل هناك تسميات أخرى؟)

يمكن وصف المثلث حسب زواياه كما يأتي:

1)         مثلث حاد زوايا.

2)         مثلث قائم الزاوية.

3)         مثلث منفرج الزاوية.

كما يمكن وصف المثلث وفق أضللاعه كما يأتي:

1)         متساوي الأضلاع .

2)         متساوي الضلعين .

3)         مختلف الأضلاع.

مثال :

 أي مجموعة من الزاويا الاتية يمكن أن تكون زوايا مثلث:

أ‌)          30 ، 30 ، 60

ب‌)        90 ، 45 ، 45

ت‌)        180 ، 20 ،80

ث‌)        70 ، 60 ، 50.

الحل:

أ‌)          مجموع الزويا الثلاث =120 ≠ 180 وهذا يعني أن هذه الزوايا لا تتشكل زوايا مثلث.

ب‌)        مجموع الزوايا الثلاث =180 وتتشكل هذه الزوايا زوايا مثلث.

ت‌)        مجموع الزويا الثلاث 280≠ 180 فلا يمكنأن تتشكل زوايا مثلث.

ث‌)        مجموع الزوايا الثلاث = 180 وتشكل زوايا مثلث.

الزاوية الخارجية للمثلثExterior angle

الزاوية الخارجية للمثلث هي كل زاوية مكملة لإحدى زوايا المثلث.

ويمكن التعميم بأن لكل مثلث يوجد ست زوايا خارجية.(لماذا؟)

ولكن ، ما العلاقة بين الزاوية الخارجية للمثلث وباقي زوايا المثلث؟

للإجابة عن هذا التساؤل لاحظ الشكل الاتي :

                                      

           

مجموع قياس زاوية 4 + قياس 3 = 180 ( لماذا؟)

مجموع قياس زاوية 1 + زاوية 2 +زاوية 3 =180 (لماذا؟)

فيمكن أن تكتب زاوية 4 + زاوية 3 = زاوية 1 +زاوية 2 +زاوية 3

          فيكون زاوية 4 = زاوية 1 + زاوية 2

لكن زاوية 4 تععتبر زاوية خارجية عن المثلث ، وهذه الحالة يمكن ان تعميم على أي زاوية خارجية أخرى.

تعميم:

قياس الزاوية الخارجية في  المثلث تساوي مجموع قياس الزاويتين الداخليتين غير المجاورة لها.

مثال : في الاشكال الاتية أوجد قيمة الزاوية س

1)                                         2)

                              X               X

الحل:

1) في الحالة الأولى :120 =75 + X لأنها زاوية خارجية ومنه

 X =120- 75 = 45

2)في الحالة الثانية : X+90 =150 ، X= 150 -90 =60

3) في الحالة الثانية :X= 60+60 =120 لأنها زاوية خارجية.

أسئلة :

1)مثلث قائم الزاوية ، النسبة بين الزوايتين الاخريين كالنسبة بين 4: 5 ،أجد قياس الزوايتين.

2)مثلث فيه قياس احدى الزوايا ضعف قياس الزاوية الاخرى ، وثلاثة أضعاف

الزاوية الثالثة ، ما قياس زوايا هذا المثلث ؟

3) قياس زاويتين في مثلث 50 و60 ، ما أكبر قياس لزاوية خارجية لهذا

المثلث؟(وضح طريقة الحل)

4) مثلث فيه قياس زاوية =45+X ، وقياس الزاوية 45- X، ماذا يمكن أن تقول

عن الزاوية الثالثة لهذا المثلث؟

5) في المضلع الخماسي ، ما مجموع الزوايا الداخلية لهذا المضلع ؟(يمكن تقسيم

المضلع الى مثلثات غير متداخلة )

6)هل يمكن استنتاج قاعدة لحساب مجموع الزاويا الداخلية لمضلع عدد أضلاعه

6،7أو N من الأاضلاع؟

تطابق المثلثات  Congruency of triangles

سنبدأ موضوع التطابق بتعريف مفهوم التطابق القطع المستقيمة ومفهوم تطابق الزوايا.

لو لاحظت القطعتين المستقيمتين في الشكل المجاور            أ *

وفي هذه الحالة تقول أن أب تطابق ج د                                  5سم   *ب                                                               

                                                                     *ج     5سم      *D 

ولو لاحظت الشكل المجاور لوجدت أن

  قياس زاوية أ ب ج=60                                                *ج

  قياس زاوية ﮬ م ن  =60                                              60

                                                                           *أ          ب    

                                                                  

                                                                    م *  60  *ﮬ 

                                                                             *  ن  

وفي هذه الحالة نقول إن الزاويتين متطابقتان .

ويمكن الاعتماد على تطابق الزوايا في البحث عن تطابق أشكال هندسية أخرى.

وسيكون تطابق المثلثات أحد الأمثلة على تطابق الاشكال الهندسية نظرا لأن عناصر المثلث عبارة عن ثلاثة أضلاع وثلاثة أضلاع وثلاث زوايا .

شروط تطابق المثلثات :

تتطابق المثلثات اذا توفرت الشروط في كل حالة مما ياتي 1) تساوي ثلاثة أضلاع في مثلث مع نظائرها في مثلث آخر في الشكل ادناه (ض،ض،ض)

2)تساوي ضلعين وزاوية محصورة بينهما في مثلث مع نظائرها في مثلث آخر كما في الشكل المجاور (ض ز ض)

( sas)

           

3) تساوي زاويتين وضلع في مثلث مع نظائرها في مثلث آخر (ززض) ، كما في   الشكلين أدناه:      (aas)              6سم                                  ○

                        

                                                                                   ×    ○

                                                                                               ×

          6سم      

                هذان المثلثان متطابقان                   وهذان المثلثان متطابقان أيضا      

4) تساوي وتر وضلع في مثلث قائم الزاوية مع تظائرها في المثلث الآخر ، كما هو في الشكل ادناه. (RHS)

أسئلة :

1) في الشكل  المثلثان س ص ع ، ع ن س متطابقان ؟ بين السبب.

ع

2) أبحث عن مثلثات متطابقة من المثلثات الاتية:

تشابه المثلثات Similar triangles

المثلثان المتشابهان هما مثلثان تتساوى فيهما قياسات الزوايا المماثلة.

ويرمز للتشابه بالرمز ((≈)) وتقرأ ((يشابه))

مثال : في الشكل الاتي ∆ أب ج يشابه∆ س ص ع (لماذا؟)              أ

ما العلاقة بين أب وطول س ص ؟                                                                           

ما العلاقة  بين ب ج وطول ص ع؟                                         60

ما العلاقة بين طول أج وطول س ع؟                        14 سم               10سم

الحل: ∆ أ ب ج ≈ ∆س ص ع لان قياس الزوايا المماثلة       50           70         

                                                                         ب      12سم        ج

 النسبة بين طول أب وطول س ص =7 : 14 =1: 2        

النسبة بين طول ب ج وطول ص ع =6: 12= 1 :2                 س                                                                                     النسبة بين أج وطول س ع =5 :10 = 1: 2                    7سم   60  5سم

                                                                     

                      50         70

                                                                       ص                    ع

من المثال السابق تجد أن النسبة بين أطوال الاضلاع المتماثلة متساوية ، ويمكن تعميم ذلك على كل مثلثين متشابهين

في المثلثين المتشابهين تكون أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة ، .

ويمكن تلخيص الحالات التي يتشابه فيها مثلثان بما يلي:

أ‌)          يتشابه المثلثان اذا كانت قياسات زواياهما المتماثلة متساوية.

ب‌)        يتشابه المثلثان اذا كانت أطوال أضلاعهما الكتماثلة متناسبة.

ت‌)        يتشابه المثلثان اذا كانا متطابقين .

التشابه والمساحة والحجم : في حال تشابه شكلين فان

                                             النسبة بين مساحتيهما = ( نسبة الاضلاع)2

                                            النسة بين حجميهما  =  ( نسبة الاضلاع)3

أسئلة

1) في الشكل ادناه بﮬ // ج د :

أ) اذكر مثلثين متشابهين.

ب) ما الفائدة من توازي بﮬ مع ج د

ج) أكتب تناسبين بين أضلاع المثلثين المتشابهين

      أ

3)         المثلث أب ج يتشابه ك ل م ،اذا كان طول أب  =10سم ، وطول ك ل = 14سم، وكان طول محيط المثلث أب ج=25سم.

         ما طول محيط المثلث ك ل م؟ 

4)         بركتا سباحة متشابهتان محيط الصغرى 40 م والكبرى 60 م اوجد

ا)     النسبة بين ارتفاعهما

 ب)   واذا كانت الصغرى تتسع 64 م3 اوجد سعة الكيرى

القطاع الدائري والقوسSector and arc in a circle :

لتكن أ، ب نقطتين على محيط دائرة .اذا وصلنا كلا من النقطتين أ،ب ومركز الدائرة فإننا نقسم الدائرة الى جزئيين نسمي كلا منهما قطاعا دائريا.

يمكن استنتاج بعض العلاقات والتناسبات الهامة واذا كان (ج) قطاعا دائريا في دائرة (د) حيثﮬ قياس زاوية القطاع ، نرى أن نسبة طول قوس القطاع الى محيط الدائرة تساوي نسبة مساحة القطاع الى مساحة الدائرة وتساوي نسبة قياس زاوية القطاع الى 360 ، أي أن :

زاوية القطاع ﮬ  = طول قوس القطاع ج = مساحة القطاع الدائري ج

      360               محيط الدائرة د              مساحة الدائرة د

ولحساب طول قوس القطاع نتتبع القانون الاتي :

طول قوس القطاع =  ﮬ   × محيط الدائرة

                        360

وبالتعويض بدل المحيط =2نق ط يصبح القانون:

   طول قوس القطاع = ﮬ   × 2نق ط

                            360

حيث ﮬ زاوية القطاع ونق نصف قطر القطاع.

ويمكننا ايجاد مساحة هذا القطاع إذ إن:

             مساحة القطاع الدائري = ﮬ ط (نق)2

                                                360

مثال :

 ما طول قوس قطاع دائري في دائرة نصف قطرها 5سم اذا علمت ان قياس زاوية القطاع 42؟

الحل: طول قوس القطاع = ط نقﮬ

                                    180 

                               = 22 × 5 × 42  حيث استخدمنا 22 كقيمة تقريبية ل(ط)

                                       7×180                         7 

أسئلة:

1) أ) أوجد مساحة قطاعا دائري نصف قطره 4سم وزاويته 70 .

ب) اوجد نصف قطر قطاع دائري له 4 أضعاف مساحة القطاع الدائري في الفرع(أ) على أن تكون زوايته 70.

2) ما طول قوس قطاع دائري نصف قطره 7سم اذا كانت مساحته 77سم2؟

3) طول عقرب الدقائق في ساعة حائط 10سم.

أ) ما الزاوية اذا كانت الساعة الثالثة؟

ب) ما الزاوية التي يدور فيها هذا العقرب بين الساعة 13 :8 والساعة 42 :8؟

ج) ما المساحة التي غطاها هذا العقرب

المثلث المتساوي الساقينIsosceles Triangle

في الشكل المجاور أب ج مثلث متساوي الساقين.

 لهذا المثلث محور تماثل واحد هو أد وهو العمود النازل من   أ

الرأس أ على القاعدة ب ج ،(يمكن التحقق من ذلك باستخدام

الطي ).

إن محور التماثل هذا يشبه المرآة ويمكنك الاعتماد عليه

للاجابة على الاسئلة التالية:

                                                              ب          د           ج

* ما صورة أب ؟                                         * ما صورة ب د؟

*ما صورة أد؟                                            * ما صورة زاوية أد ب؟

*ما صورة زاوية ب أ د؟                               * ما صورة زاوية أ ب د؟

* ما صورة المثلث أ ج د؟                              *ما صورة المثلث أ ب ج؟

هل يساعدك التماثل لاستنتاجات حول :

أولا: العلاقة بين زاويتي القاعدة في المثلث المتساوي الساقين ؟

ثانيا: العلاقة بين طول بد وطول ج د؟

ثالثا: العلاقة بين محور التماثل وزاوية الرأس ؟

خصائص المثلث المتساوي الساقين  :

1)         اذا كان المثلث متساوي الساقين فإن زاويتي القاعدة متساويتان .

 وهناك نتائج لهذه الخاصية:

أ‌)          العمود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقين على قاعدته ينصف هذه القاعدة .

ب‌)        العمود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقين على قاعدته ينصف زاوية الرأس.

ت‌)        منصف زاوية الرأس في المثلث المتساوي الساقين يكون عموديا على القاعدة وينصفها .

مثال : أب ج مثلث متساوي الساقين ، فيه أب =أج  أخذت النقطتان د،ﮬ على

ب ج  ، بحيث كان ب د = جﮬ ، أبرهن أن أد =أﮬ

الحل: نطبق المثلثين أب د ، أجﮬ:

            أب =أج ( معطى)

فيهما     ب د = جﮬ ( معطى)

            زاوية ب =زاوية ج ( نظرية 1)

ينطبق المثلثان بضلعين وزاوية محصورة وينتج أن أد =أﮬ.

تساوي زاويتين في مثلث:

عرفنا في البند السابق أنه اذا كان المثلث متساوي ،فإن زاويتي القاعدة تكونان متساويتان ولكن ماذا لو كان لدينا في المثلث زاويتان متساويتان ، هذا ما ستناوله الخاصية التالية:

2)         اذا تساوت زاويتان في مثلث كان المثلث متساوي الساقين .

مثال : المثلث أب ج، حيث زاوية أ = 55 ، وزاوية ج = 55 ، وزاوية ب= 70 ، اكتب الضلعين المتساويين .

الحل: بما أن زاوية أ = زاوية ج

        إذن بناء على النظرية السابقة يكون المثلث ب أ ج متساوي الساقين .

          أي أن ب أ =ب ج.                                             ا  

                                                                                55

1)         أ ب ج مثلث متساوي الساقين ، قياس زاوية رأسه 120 . أجد قياس كل من زاويتي القاعدة.

2)         اذا كان قياس إحدى قاعدة مثلث متساوي الساقين ضعفي قياس زاوية رأسه ، فما قياس زاوية الرأس ؟

    

3)         أ ب ج مثلث متساوي الساقين فيه أب = أج . نصفت زاويتا ب ،ج بمستقيمين تلاقيافي د ،(كما في الشكل ادناه ) فإذا كانت زاوية ب= 64 أجد كل زاوية من  الزوايا التي وضع بداخلهما رمز.

             ما العلاقة بين د ب د ج ؟ لماذا؟                 أ

حقيقة هامة :

اذا كان منصف زاوية الرأس في مثلث عمودا على القاعدة فإن المثلث متساوي الساقين.

مثال : في الشكل المجاور أج عمود على ب د وينصفه :

احسب  طول كل من ج د،أد .                  

ألحل :  من الحفيقة اعلاه                       أ

            اد = 5                        5سم

أسئلة :

1)         أ ب ج مثلث متساوي الساقين فيه أب =أج ، د نقطة على أب .

رسم دﮬ يوازي أج فقطع ب ج في ﮬ .اذا كانت زاوية ج = 70 

ما قيمة زاوية ب ؟ لماذا؟           أ

ما قيمة زاوية د ﮬ ب ؟ لماذا؟

ما نوع المثلث دﮬ ب ؟ لماذا؟  

                                                                             د

ﮬ

2) أ ب ج مثلث متساوي الساقين فيه أب=أج =10سم .

نصف الضلعان أب،أج في ع،ص على الترتيب (انظر الى الشكل )           أ

أ‌)          اجد كلا مما يلي : ب ع،أع ،ج ص ،أص 

ب‌)        هل يمكن تطبيق المثلثين ع ب ج ، ص ج ب؟ ما هي الشروط ؟

ت‌)        ما العلاقة بين ع ج ، ب ص ؟                                       ع    ع     ص                 

المثلث المتساوي الأضلاعEquilateral triangle

المثلث المتساوي الأضلاع : هو مثلث جميع أضلاعه متساوية.

وبما أن مجموع الزوايا الثلاث يساوي 180 ،فإن كل زاوية من الزوايا الثلاث

180 = 60                                                                                       

  3   

محاور تماثل المثلث المتساوي الاضلاع :                                 أ

للمثلث المتساوي الاضلاع ثلاثة محاور تماثل . 

وهي أد ، بﮬ ، ج و كما في الشكل المجاور . 

ب                د              ج

نصف المثلث المتساوي الاضلاع :

المثلث أب د في الشكل المجاور هو نصف المثلث المتساوي الاضلاع أ ب ج. أد ينصف زاوية الرأس ، لماذا؟                                           أ

أي أن زاوية ب أ د = زاوية ج أد = 30                            30

لاحظ أن ب د = 1  أب لأن ب ج = أب

                     2

يبين هذا ان المثلث القائم الزاوية الذي

زوايا 30 ،60، 90 هو نصف المثلث متساوي         60       

الاضلاع.                                                 ب                د                    ج

كما يبين ان الضلع الذي يقابل زاوية 30 في مثلث قائم الزاوية يساوي 1 الوتر.

                                                                                أ      2 

أسئلة :                                                                  أ

1)في المثلث المتساوي الاضلاع أ ب ج

المجاور ، طول أب =6وحدات ،أجد ما يلي             6سم

مع ذكر السبب؟ أ) طول أج ، طول ب س                ب          س      ج

                   ب)زاوية ب أ س ، زاوية ج أ س                

  2) ارسم المثلث المجاور في دفترك وأضيف له مثلثا       أ

أخر حتى ينتج مثلث متساوي الاضلاع                         30

ما طول ضلع مثلث المتساوي الاضلاع؟            س      60         ص

الانشاءات الهندسية والمحل الهندسيConstructions and locus  

رسم زاوية قياسها 60 باستخدام حافة مستقيمة وفرجار

اذا أردنا رسم زاوية قياسها 60 ورأسها أ مثلا وضلعها يقع

على أب، فكل ما نحتاج عمله هو رسم مثلث متساوي الاضلاع تكون النقطة أ احدى رؤوسه.

نفتح الفرجار فتحه مناسبه ونركز في أ ، ونقطع أب في نقطة مثل س.

نركز في س وبنفس الفتحة نرسم قوسا ثم نركز في أ وبنفس

الفتحة نرسم قوسا يقطع القوس الاول في ص نصل ص أ ،

 ص س .

المثلث ص س أ متساوي الاضلاع والزاوية ص أ س =60 .

الانشاءات المطلوبة :

رسم مثلث علمت اضلاعه الثلاثة

رسم مثلث علمت زاويتان وضلع

رسم منصف لزاوية

اقامة عمود على مستقيم

المحل الهندسي : هو الشكل الهندسي لنقطة متحركة في شروط معينة

مثال : صف المحل الهندسي لنقطة تتحرك على بعد 5 سم من نقطة ثابتة

الحل : دائرة نصف قطرها 5 سم   

أسئلة :

1)         ارسم زاوية قياسها 120 باستخدام الحافة المستقيمة الفرجار.

2)         ارسم زاوية قياسها 30 باستخدام الحافة المستقيمة والفرجار.

3)         ارسم شكلا سداسيا منتظما باستخدام عيدان الثقاب.

           

التباين وخصائص المتباينة:Properties of inequality

المتباينة هي دلالة على التباين أو الاختلاف أو عدم التساوي.

خصائص المتباينة :

1) خاصية الاضافة  : اذا اضفنا مقادير متساوية الى طرفي متباينة تبقى المتباينة صحيحة.أي اذا كانت أ> ب فإن أ+ ج> ب+ ج

2)         خاصية الطرح : اذا طرحنا مقادير متساوية من طرفي متباينة تبقى المتباينة صحيحة . أي اذا كانت أ> ب  فإن أ - ج > ب- ج

3)         خاصية الضرب بعدد موجب : اذا ضرب طرفا متباينة بنفس العدد الموجب تبقى المتباينة صحيحة , أ > ب فإن أ× ج > ب ×ج بشرط ج عدد موجب.

4)         خاصية القسمة على عدد موجب :اذا قسم طرفا على نفس العدد الموجب تبقى المتباينة صحيحة . أي اذا كانت أ> ب فإن   أ   > ب بشرط ج عدد

موجب .                                                 ج    ج   

5)         خاصية التعدي: اذا كان أ> ب ، ب> ج فإن أ>ج . حيث أ، ب، ج أعداد حقيقة.

6)         خاصية جمع الطرفين المتناظرين في متباينتن : اذا كان أ> ب،ج> د فإن أ+ج > ب+ د

حيث أ، ب، ج، د اعداد حقيقة.

مثال : المثلث أب ج قائم الزاوية في ب . نصفت كل من زاويتي ب،ج فتقاطع المنصفان في د . قارن بين زاويتي د ب ج ود ج ب. 

الحل: زاوية د ب ج هي نصف الزاوية القائمة ب   .          ا

   زاوية د ج ب هي نصف الزاوية أ ج ب

   لكن زاوية ب > زاوية ج ( زاوية ب قائمة ، زاوية ج حادة)

   ولهذا فإن 1 زاوية ب>1 زاوية ج.                 ب                        ج                                        

              2                2

أي أن : زاوية د ب ج > زاوية د ج ب .

تدريب :

1)         اعطي مثالا يوضح صحة العبارة التالية:

اذا كان أ ، ب عددان حقيقيان ، وكان أ< ب فإن أ+ب > أ

                                                             2

 اضلاع المثلث وزواياه Sides and Angles of triangle                                                  

نظرية :

اذا اختلف طولا ضلعين في مثلث فإن الضلع الاكبر يقابل زاوية أكبر من التي يقابلها الضلع الاخر .

وعكس هذه النتيجة ايضا صحيح ،أي أنه:

اذا اختلف قياسا زاويتين في مثلث فإن الزاوية الاكبر تقابل ضلعا أكبر من الضلع الذي يقابل الزاوية الاصغر.

مثال : في الشكل المقابل أج> ب ج، ب ج> أب         أ

رتب زوايا المثلث من الكبرى الى الصغرىمن

حيث القياس.

الحل: أج> ب ج          زاوية ب، زاوية أ.

       ب ج> أب        زاوية أ ، زاوية ج               ب                       ج

إذن زوايا المثلث من الكبرى الى الصغرى من حيث القياس هي على الترتيب:

زاوية  ب ، زاوية أ ، زاوية ج.        

                                                              ب                                                                  

أسئلة :                                                                            

1)         أثبت أن الوتر في المثلث القائم                      أ                          ج     

الزاوية هو أكبر الاضلاع طولا.      

2)أعطي مثالا يوضح خطأ كل من العبارات التالية:

أ) اذا كان أ2> ب2، أ> ب، حيث أ،ب ينتمي الى ح .

ب)اذا كان أ> ب ، ج > د ،فإن أج > ب د حيث أ،ب،ج ،د  ينتمي الى ح.

ج)اذا كان أ> ب فإن 1 >  1  حيث أ،ب ينتمي الى ح.

                          ا       ب

متباينة المثلث

  متباينة المثلث : مجموع طولي أي ضلعين في مثلث أكبر من طول ضلعه الثالث.

مثال : أ ب ج مثلث ، فيه أب =5سم ، ب ج =7سم . ما القيم الممكنة لطول الضلع أج؟

الحل : من النظرية السابقة :

         أج < أب + ب ج

  اذن  أج < 5+ 7

ايضا ب ج < أب+أج

7          <5+أج

   اذن  2سم< أج

أي أن ينحصر بين 2 ،12سم

أي أن الطول الممكن للضلع أجهو أي عدد حقيقي محصور بين 2 ،12

وقد تعلمت كتابة هذه المجموعة على شكل فترة مفتوحة     2، 12   

أسئلة :

1) أ ب ج مثلث متساوي الساقين فيه أب =أج . زاوية ب = س .

ن نقطة على ب ج . زاوية ن أ ج= ص   

أجد زاوية أ ن ب.

أقارن بين زاوية ب ، زاوية أ ن ب

ايهما أكبر أب أم أن ؟ ولماذا؟

2) مثلث متساوي الساقين ، طول كل من الضلعين المتساويين 3 وحدات . أجد الاطوال الممكنة للضلع الثالث.