يتوزع عمر 10000 بطارية توزيعا طبيعيا

يتوزّع عمر 10000 مصباح كهربائي توزيعًاا طبيعيًّا بمتوسط 300 يوم

وانحراف معياري 40 يومًاا. كم مصباحًاا يقع عمره بين 260 يومًاا ،

340 يومًاا؟

6800 D

ما الوصف الأفضل للتمثيل أدناه؟

واء توزيع سالب الالت A

اط لا يوجد ارتب B

طبيعي توزيع C

واء توزيع موجب الالت  D

الأقراص المدمجة تتوزع قياسات أقطار مجموعة من 􀀹صناعة:

التي تصنعها إحدى الشركات توزيعًاا طبيعيًّا بانحراف معياري مقداره

. 120 mm 1. وبمتوسط يبلغ mm

120 ؟ mm ( ما نسبة الأقراص المتوقع أن يزيد طول قطرها عن a ( إذا كانت الشركة تصنع 1000 قرص في الساعة، فما عدد b الأقراص المصنوعة في الساعة الواحدة، والتي يتراوح قطر كل

1؟ 19 mm, 122 mm منها بين

99% من البيانات ستكون ضمن انحراف معياري واحد، أو انحرافين , 95% , 68% عند معرفة المتوسط والانحراف المعياري لتوزيع طبيعي، تستنتج أن

معياريين أو ثلثة انحرافات معيارية عن المتوسط على الترتيب، وهذا ما يُسمّى القانون التجريبي. ويمكنك استعمال القانون التجريبي لتجد المئينات.

والمئين يبين النسبة المئوية من البيانات التي تقل عنه أو تساويه.

في اختبار للرياضيات لطلاب الصف الثالث الثانوي وجد أن درجات الطلاب تتوزع توزيعًاا طبيعيًّا بمتوسط 30 ، وانحراف معياري 5.

الخطوة 1 ارسم منحنى طبيعيًّا لدرجات الطلب مشابه للشكل المجاور، وعيّن عليه

المتوسط مضافًاا إليه أو مطروحًاا منه مضاعفات الانحراف المعياري كما هو موضح

في الشكل.

الخطوة 2 الدرجة 30 هي المتوسط، وبالرجوع إلى الشكل يمكن أن ترى أن % 50 من الدرجات أقل من الدرجة 30 أو تساويها؛ لذا يمكنك القول:

تُمثّل المئين 50 . إن الدرجة 30

ما المئين الذي يقابل الدرجة 35 ؟

الخطوة 3 ما المئين الذي يقابل الدرجة 40 ؟

الخطوة 4 ما قيمة المئين 99 ؟

تمارين:

ارسم منحنيات تشبه المنحنى في الخطوة 1، ثم حدّد المئينات والدرجات التي تقابلها في كل مما يأتي:

1( إذا كانت درجات الطلب في اختبار مادة الفيزياء موزّعة توزيعًاا طبيعيًّا بمتوسط 15 ، وانحراف معياري 2 ، فأوجد المئينات التي تقابل الدرجات

. 21 , 15 , 13

2( إذا كانت درجات الطلب في اختبار مادة الكيمياء موزّعة توزيعًاا طبيعيًّا بمتوسط 40 ، وانحراف معياري 4 ، فأوجد الدرجات التي تقابل المئينات

. 84 , 50 , 99

الجبر: معمل

12 على الصورة الديكارتية. cos اكتب المعادلة θ

)2 -2 )تا 􀁝ر 􀀶س

يحتوي صندوق على 3 كرات بيضاء و 4 كرات حمراء. سحبت

كرتان على التوالي دون إرجاع. ما احتمال أن تكون الثانية بيضاء إذا

)3 -3 كانت الأولى حمراء. )تا 􀁝ر 􀀶س

GNˆ„ƒQ Y¸Å J~Qj…

يحتوي صندوق على 4 كرات حمراء و 6 كرات صفراء، و 4 كرات

خضراء، وكرتين زرقاوين. ما احتمال سحب كرة ليست صفراء؟

_1 8 A

_3 8 B

_1 4 C

_5 8 D

إذا علمت أن كلًّ من x, y عدد موجب، فأي العبارات التالية

؟ ( 5 x )

y

التوزيع الطبيعي

The Normal Distribution

تتراوح قوة الدم )الهيموجلوبين( الطبيعية عند الرجال البالغين في العالم بين

13 إلى 18 جرام/ديسيلتر.

لتوزيعات الاحتمالية المتصلة ، يمكن للنواتج أن تأخذ أي قيمة في فترة من ا التوزيعات الطبيعية والملتوية في

الأعداد الحقيقية، ومثال ذلك أطوال أشخاص وأوزانهم، ومستوى الدهنيات عند الأشخاص البالغين. وأفضل مثال

على التوزيعات الاحتمالية المتصلة هو التوزيع الطبيعي.

مع أن التوزيع الطبيعي متصل، فإن التوزيعات المنفصلة أيضًاا يمكن أن يكون لها شكل التوزيع الطبيعي. ويمكن

للتوزيعات أن تظهر بأشكال أخرى تُسمّى توزيعات ملتوية.

التواء 􀀷صالب التواء موجب توزيع طبيعي

)ملتوٍ اإلى الي 􀂁صار( اإلى اليمين ( ) ملتوٍ

التوزيع مكثّف في اليمين التوزيع مكثّف في اليسار شكل جرس ومتماثل

والذيل إلى اليمي ن والذيل إلى اليسار

حدد ما إذا كانت البيانات الآتية تظهر التواءًا موجبًاا، أو التواءًا سالبًاا، أو موزعة توزيعًاا طبيعيًّا:

استعمل الجدول التكراري؛ لتمثيل البيانات بالأعمدة.

ماثل ويبدو كأنه إلى حد ما مت الوسط، في عالٍ وبما أن التمثيل

حول المتوسط، فإن البيانات تُعتبر موزعة توزيعًاا طبيعيًّا.

استعمل الجدول التكراري لتمثيل البيانات بالأعمدة،

وبما أن التمثيل عالٍ في جهة اليسار ومنخفض في كل من

الوسط وعلى اليمين، فإن التوزيع يبدو كأنه ملتوٍ إلى اليمين

)التواء موجب(.

تحق ³ من فهم ¶

( حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول المجاور تُظهر 1 طبيعيًّا . ا توزيعًا أو موزعة لبًاا، سا واءًا أو الت وجبًاا، م واءًا الت

القانون التجريبي يصف القانون التجريبي خصائص أخرى للتوزيع الطبيعي.

المتوسط لتوزيع طبيعي 34 ، وانحرافه المعياري 5. أوجد احتمال أن تزيد قيمة ل xعشوائيًّا في هذا التوزيع عن 24

(أي أوجد ( .(P(x > 24

μ = 34 , σ = 5

احتمال أن تكون قيمة تم اختيارها عشوائيًّا أكبر من μ - 2σ ، أي

أكبر من 24 = ( 5) 2 - 34 ، هي المنطقة المظللة في الشكل تحت

المنحنى الطبيعي.

P(x > 24) = (13.5 + 34 + 34 + 13.5 + 2 + 0.5)%

= 97.5%

تحق ³ من فهم ¶

2( أوجد احتمال أن تكون قيمة تم اختيارها عشوائيًّا في التوزيع الوارد في المثال 2 أقل من 49 .

 التوزيع الطبيعي

التوزيع الطبيعي

تُمَثَّل العينة التي يكون توزيعها توزيعًاا طبيعيًّا بمنحنى طبيعي، وكأنها مجتمعًاا كليًّا.

.2 in اأطوال: توزّع أطوال 1800 يافع توزيعًاا طبيعيًّا بمتوسط 66 in ، وانحراف معياري يساوي

a( ما عدد اليافعين اللذين تتراوح أطوالهم بين 62 in و 70 in ؟

ارسم منحنى طبيعيًّا.

62 عن المتوسط انحرافين معياريين؛ لذا فإن , 70 تبعد كل من

.62 , 70 95% من البيانات واقعة بين الطولين

ولأن 1710 = % 1800 × 95 ، لذا يوجد 1710 يافعين تقع

.70 in 62 و in أطوالهم بين

68 ؟ in b( ما احتمال اختيار أحد اليافعين عشوائيًّا، بحيث يزيد طوله على

من الشكل المجاور، القيمة الأكبر من 68 تبعد أكثر من انحراف

معياري واحد عن المتوسط، وتتوزّع الأعمار كالآتي: % 13.5

بين انحراف معياري واحد وانحرافين معياريين، % 02 بين

انحرافين معياريين وثلثة انحرافات معيارية، % 0.5 فوق 3

انحرافات معيارية.

68 in لذا فاحتمال اختيار يافع يكون طوله أكبر من

(13.5 + 2 + 0.5)% = 16%

تحق ³ من فهم ¶

ظف في شركة تتوزع توزيعًاا طبيعيًّا بمتوسط مقداره 70 كيلوجرامًاا وانحراف مو درجات: إذا علمت أن كتل 100

معياري 10 كيلوجرامات، فاعتمد على ذلك في الإجابة عن السؤالين الآتيين :

3A ( ما العدد التقريبي للموظفين اللذين تقع كتلهم بين 80 , 60 كيلوجرامًاا؟

3B ( ما احتمال أن يتمّ اختيار موظف بصورة عشوائية، وتكون كتلته أقل من 90 كيلوجرامًاا؟

G×ǃI hGbª e¿ 33 e‹ƒº عينة موزَّعة توزيعًا طبيعيًّا

68 70 6664 62

66 68 70 6462

درجات: يوضّح الجدول أدناه نتائج أحد الاختبارات )النهاية

العظمى للختبار 40 (. حدّد ما إذا كانت البيانات تظهر التواءًا موجبًاا،

أو التواءًا سالبًاا، أو موزَّعة توزيعًاا طبيعيًّا. )مثلل 1(

ف €ات الدرجات الن 􀂁صبة الم €وية للطلاب

تتوزّع مجموعة بيانات توزيعًاا طبيعيًّا بمتوسط 161 ، وانحراف

معياري 12 . أوجد احتمال اختيار قيمة ل x عشوائيًّا من هذا التوزيع،

بحيث تكون أقل من 149 ، أي أوجد ( P (x < 149 . )مثلل 2(

مدار 􀀷س: أعطى عمران اختبارًاا قصيرًاا لطلبته، وكانت الدرجات

موزعة توزيعًاا طبيعيًّا بمتوسط 21 ، وانحراف معياري 2 . )مثلل 3(

( ما النسبة التي تتوقّعها لعدد الطلب الذين تقع درجاتهم بين a 19 ؟ , 23

( ما احتمال أن تقع درجة أحد الطلب بين 17 و 25 ؟ bGٝ¡ƒF¹ hM¹ J~Q†

)2 )1

3)

3 تاج 􀂡ز 􀁊ª تاال م 113 - 5 الدر 􀀷س

حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول أدناه تُظهر التواءًا موجبًاا، أو

التواءًا سالبًاا، أو موزعة توزيعًاا طبيعيًّا:

المتنزهات التي ت 􀂂صهد اأعدادًا كبيرة في زيارتها

عدد الزوار بالاBلا ± عدد المتنزهات

ثلجإث 4 􀁸

5 توزيعًاا طبيعيًّا، وكان المتوسط - 8 إذا توزّعت البيانات في الأسئلة

والانحراف المعياري لكل منها كما هو موضّح، فأوجد الاحتمال

المطلوب.

μ = 74 , σ = 6 , P(x > 86)

μ = 13 , σ = 0.4 , P(x < 12.6)

μ = 63 , σ = 4 , P(59 < x < 71)

μ = 91 , σ = 6 , P(73 < x < 103)

بطاريات ال 􀂁صيارة: إذا حُدِّد ع ْ مرُ بطارية السيارة بالمسافة التي

تقطعها باستعمال هذه البطارية، وعلمت أن عمر أحد أنواع بطاريات

100000 ، وانحراف km السيارات يتوزع توزيعًاا طبيعيًّا بمتوسط

10000 . وتنتج إحدى الشركات 20000 بطارية في km معياري

الشهر، فأجب عما يأتي:

( ما عدد البطاريات التي يتراوح عمرها بين a 90000 ؟ km - 110000 km

120000 ؟ km ( ما عدد البطاريات التي يزيد عمرها على b 90000 ؟ km ( ما عدد البطاريات التي يقل عمرها عن c ( ما احتمال أن تشتري بطارية عشوائيًّا ويتراوح عمرها بين d 80000 ؟ km - 110000 km

􀀹صحة: يتوزع مستوى الدهنيات )الكولسترول( في فئة الشباب

الذكور في إحدى الدول توزيعًاا طبيعيًّا بمتوسط 158.3 ، وانحراف

معياري 6.6 .

( ما نسبة الشباب الذكور الذين تقل نسبة الكولسترول عندهم عن a 151.7 ؟

( كم شخصًاا من بين 900 شخص شملتهم الدراسة يتراوح b - 145.1 ؟ 171.5 مستوى الكولسترول عندهم بين

طعام: تتوزع مدة صلحية نوع معين من البطاطس توزيعًاا طبيعيًّا

بمتوسط 180 يومًاا، وانحراف معياري 30 يومًاا.

( ما نسبة المنتج الذي تقع مدة صلحيته بين 150 يومًاا، 210 أيام؟ a ( ما نسبة المنتج الذي تقع مدة صلحيته بين 180 يومًاا، 210 أيام؟ b ( ما نسبة المنتج الذي تقل مدة صلحيته عن 90 يومًاا؟ c ( ما نسبة المنتج الذي تزيد مدة صلحيته على 210 أيام؟ dطول: تتخذ أطوال 880 طالبًاا في إحدى الجامعات شكل التوزيع

.2.5 in وانحرافٍ معياري مقداره ، 67 in الطبيعي بمتوسط مقداره

72 ؟ in ( كم طالبًاا تقريبًاا يزيد طوله على a 69.5 ؟ in 59.5 و in ( ما نسبة الطلبة الّذين تقع أطوالهم بين b لمياه المعدنية، وتختلف ستعمل آلة لتعبئة عبوات با 􀀹صناعة: تُ

كمية الماء اختلفًاا ضئيلًا بين العبوات. إذا كان حجم الماء في 120

1.1 ، وانحراف معياري L عبوة يتخذ شكل التوزيع الطبيعي بمتوسط

.0.02 L

1.06 ؟ L ( كم عبوة تقريبًاا يكون حجم الماء فيها أقل من a 1.08 L ( كم نسبة العبوات التي يكون فيها حجم الماء بين b 1.14 ؟ L و

اكت 􀂂صف الخطاأ: تتوزّع أطوال أقطار نوع من الأشجار توزيعًاا

2.5 cm 1 ، وانحراف معياري مقداره 1.5 cm طبيعيًّا بمتوسط مقداره

3.6 ، وقد حاولت كل من مريم وأمينة إيجاد مدى , 19.8 ومدى بين

68% من البيانات التي تقع في وسط التوزيع. أيهما كانت إجابتها

صحيحة؟ فسّر إجابتك.

تحدٍّ: في مستودع للأدوات الكهربائية عدد من المسجلت

التي تعمل على البطارية. إذا كانت أعمار البطاريات تتوزع توزيعًاا

8.0 ، وانحراف معياري 0.7 h ، فما عدد h طبيعيًّا بمتوسط حسابي

المسجلت في المستودع إذا علمت أن هناك 8 مسجّلت يزيد عمر

10.1 ؟ h بطارياتها على

اكتب: اشرح الفرق بين التوزيعات الموجبة الالتواء، والتوزيعات

السالبة الالتواء، والتوزيعات الطبيعية لمجموعة بيانات. أعطِ مثالًاا

على كل منها.

ن معظم البيانات في التوزيع فإ تبرير: حسب القانون التجريبي،

] . هل هذا صحيح أم الطبيعي تقع ضمن الفترة [ μ - σ , μ + σ

خاطئ؟ برِّر إجابتك.

كأنها تتوزع أوجد بيانات واقعية تبدو م 􀂁صاألة مفتوحة:

توزيعًاا طبيعيًّا، أعطِ خصائص هذا التوزيع فيما يتعلق بالمتوسط،

والانحراف المعياري. ومثِّل البيانات بيانيًّا.

زيع احتمالي منفصل، وآخر على تو م 􀂁صاألة مفتوحة: أعطِ مثالًاا

متصل. وصف الفرق بينهما.

طلاب: رُشِّح 3 طلب من الصف الأول الثانوي ، و 11 طالبًاا

من الصف الثاني الثانوي لتوزيع بعض الطرود على الفقراء. إذا

اختير من بينهم 4 طلب عشوائيًّا، فما احتمال أن تتضمّن العينة

طالبين من الصف الأول الثانوي وطالبين من الصف الثاني

الثانوي؟ )تا 􀁝ر 􀀶س 4- 3(

األعاب: اتفق الأصدقاء عادل وعبد الكريم ومحمد أن يتناوبوا

على قيادة سيارة كهربائية. ولتحديد من يقود السيارة أولًاا اتفق أن

يلقي كل منهم حجري نرد، ومن يحصل على أعلى مجموع يكون

هو من يبدأ بقيادة السيارة. وقد حصل عادل على المجموع 5،

وحصل عبد الكريم على المجموع 7 . على افتراض أنه لا يوجد

تعادل في نواتج رمي حجري النرد، فما احتمال أن يبدأ محمد

اللعب؟ )تا 􀁝ر 􀀶س 3- 3(

ئي له شكل قوس قطع جسر لعبور المشاة فوق مسطح ما ج 􀂁صور:

مكافئ فتحته إلى أسفل، أوجد معادلة نموذج الجسر، مفترضًاا أن

نقطة الأصل على سطح الماء تحت رأس القطع. )مملرة 􀀶سلبقة(