عناصر المثلث

عنـــــــــــــــــــــــــاصر المثلث

القطع المتوسطة للمثلث

الأعمدة المقامة على أضلاع المثلث

منصفات زوايا المثلث

أنــــــــــــــــــــــــواع المثلثات 

المثلث القائم الزاوية والحاد

والمنفرج وعلاقة الاضلاع

القطعة الواصلة من رأس

القائمة الى منتصف الوتر

القطعة المستقيمة الواصلة بين

منتصف ضلعين في مثلث

الهندسة  المستوية للمثلث 

التـــــــطابق

التـــــــــــــــــــــشابه

إعداد : فتحية خالد القريني

تعريف المثلث

مضلع محدب مغلق ذو ثلاثة أضلاع

متباينة المثلث :مجموع طولي ضلعين في أي مثلث أكبر من طول الضلع الثالث 

ويمكن اثبات ذلك :

    في المثلث أ ب جـ نرسم أ د  ┴   ب جـ  فيكون

    أ ب > ب د  .... ( 1 )    وتر بالمثلث أب د

    أ جـ > جـ د .... ( 2 ) وتر بالمثلث أ د جـ

   بالجمع أ ب + أ جـ > ب جـ 

الزوايـــــــــــــــــا الداخلية والخـــــــــــــــــــارجية للمثلث

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث = 180 ْ

ق ( 1) + ق ( 2 ) + ق ( 3 ) =  180 ْ

مجموع الزوايا الخارجية للمثلث = 360 ْ

ق ( 4) + ق(5) + ق(6 )+ ق(7 )+ ق( 8 )

+ ق ( 9 ) = 360 ْ

نتيجة  :

قياس الزاوية الخارجة عند أي رأس من رؤوس المثلث

تساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين عدا

المجاورة لها

ق ( 5 ) = ق ( 2) + ق (3 )

ق ( 9 ) = ق (1  ) + ق ( 2 )

أنــــــــــــــــــــــــواع     المثـــــــــــــلــثات

هو مثلث أضلاعه متساوية. جميع زوايا المثلث متساوي الاضلاع متساوية أيضا، وقيمتها 60 درجة. 

هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتان أيضا.

هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة. زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا. 

بالنسبة للاضلاع

متساوي الاضلاع

متساوي الساقين

مختلف الاضلاع

بالنسبة للزوايا

قائم الزاوية

: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث 

منفرج الزاوية

حاد  الزاوية

له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة واصغر من 180 درجة(زاوية منفرجه) 

كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة). 

رجوع

ارتفاعات المثلث: 

ارتفاع المثلث : هو طول العمود المرسوم من رأس المثلث

على قاعدته ( أو امتدادها )

(1) في المثلث الحاد الزوايا تتلاقى 

    الارتفاعات في نقطة داخل المثلث

(2) في المثلث القائم الزاوية تتلاقى 

    الارتفاعات في نقطة هي 

    رأس الزاوية القائمة

(3) في المثلث المنفرج تتلاقى الارتفاعات

     في نقطة تقع خارج المثلث

رجوع

المثلث قائم الزاوية والحاد والمنفرج وعلاقة الاضلاع

  المثلث القـــــــــــــــــــائم

    الضلع المقابل للزاوية القائمة

في المثلث القائم الزاوية يسمى الوتر .

2- الضلعان الاخران هما ضلعي القائمة

نظرية فيثاغورث

مساحة سطح المربع المنشأ على الوتر في المثلث القائم الزاوية تساوي مجموع مساحتي

سطحي المربعين المنشأين على ضلعي القائمة   : 

س2  =   ص2  +   ع2                       ص 2    = س 2  -  ع 2                        ع 2 = س 2 -  ص 2

المثال السابق قادنا إلى أن مجموع مساحتي المربعين المرسومين على ضلعي القائمة يساوي مساحة المربع المرسوم على الوتر ويمكن الوصول إلى نتائج مماثلة بأشكال أخرى غير المربعات وللتحقق من ذلك تابع المثالين التاليين 

مساحة المستطيل المقام على الضلع أ ب=                       4 * 8 = 32 ســــــم 2 

مساحة المستطيل المقام على الضلع ب جـ =                                                                                                                                   3* 6 = 18 ســــــم 2 

مساحة المستطيل المقام على الضلع أ جـ =                                                                                                                                   5 * 10  = 50 ســــــم 2 

لاحظ أن 32 + 18 = 50 

أي أن مجموع مساحتي المستطيلين المقامين على ضلعي القائمة يساوي مساحة المستطيل المقام على الوتر

من الشكل المجاور :

مساحة شبه المنحرف المرسوم على الضلع  أ ب  = 

  1 ×   ( 1.5 + 3 ) × 1.5  = 3.375 ســـم 2

2

مساحة شبه المنحرف المرسوم على الضلع  جـ ب  = 

  1 ×   ( 2 + 4 ) × 2  = 6 ســـم 2

2

مساحة شبه المنحرف المرسوم على الضلع  أ جـ  = 

  1 ×   ( 5 + 2.5) × 2.5 = 9.375 ســـم 2

2

لاحظ أن   6 + 3.375 = 9.375

أي أن مجموع مساحتي شبهي المنحرف المرسومين على ضلعي القائمة تساوي مساحة شبه المنحرف المرسوم على الوتر

10 سم 

8 سـم

6 سـم

إن مساحة نصف الدائرة المرسومة على وتر المثلث

          1                                 1                                   1                             25

   =  ـــــــ    ×         ×  نق 2 = ــــــــ  ×       ×  ( 5 ) 2  = ـــــــــ ×   25×         =  ــــــــ

        2                                  2                                    2                             2

إن مساحة نصف الدائرة المرسومة على الضلع أ ب =

          1                                 1                                   1                               16

   =  ـــــــ    ×         ×  نق 2 = ــــــــ  ×         ×  ( 4) 2  = ـــــــــ ×   16×         =  ــــــــ

        2                                  2                                    2                               2

إن مساحة نصف الدائرة المرسومة على الضلع جـ ب =

          1                                 1                                   1                             9

   =  ـــــــ    ×         ×  نق 2 = ــــــــ  ×         ×  ( 3) 2  = ـــــــــ ×   9×         =  ــــــــ

        2                                  2                                    2                            2

لاحظ أن    16      +     9      =    25

              2                2              2  

مجموع مساحتي نصفي الدائرة المرسومين على ضلعي القائمة = مساحة نصف الدائرة المرسومة على الوتر

نشـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــاط       (   1 )

نستنتج  أن   :

    الضلع الاطول في المثلث يقابل الزاوية ذات القياس الاكبر

    الضلع الاصغر يقابل الزاوية ذات القياس الاصغر

    اذا كان مربع طول الضلع الاطول في مثلث أصغر من مجموع مربعي طولي الضــــــلعين الاخرين            فإن         المثلث حاد الزوايا  .

    اذا كان مربع طول الضلع الاطول في مثلث  أكبر من مجموع مربعي طولي الضلعين الاخرين فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون منفرجة   .

    اذا كان مربع طول الضلع الاطول في مثلث مساويا  مجموع مربعي طولي الضلعين الاخرين فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة وبالتالي المثلث قائم   .

رجوع

القطعة الواصلة من رأس القائمة الى منتصف الوتر

نشـــــــــــــــــــــــــاط ( 2 )  :

أب جـ  مثلث فيه  :  ق ( ب ) = 90 ْ  ,    م منتصف  أجـ

أثبت  أن  ب م =  1\2  أ جـ   .

طول القطعة المستقيمة الواصلة من رأس الزاوية القائمة في المثلث القائم الزاوية الى منتصف

الوتر يساوي نصف طول الوتر   (   نظـــــــــــــــــــــــــــــــــرية )

نشـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــاط ( 3 )

  أ ب جـ  مثلث قائم الزاوية في ب    , ق (  أ جـ ب ) = 30 ْ, د منتصف أ جـ برهن على أن

     أ ب د  مثلث متطابق الاضلاع .

نظرية :  في المثلث الثلاثيني الستيني يكون طول الضلع المقابل

للزاوية التي قياسها  30 ْ مساويا نصف  نصف طول الوتر   .

والعكس  صحيـــــــــــــح

رجوع

القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث

وطولها يساوي نصف طــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــوله

  م ن   =  ½   ب جـ

رجوع

المستقيمات المتوسطة  ( القطع المتوسطة للمثلث )

القطعة المتوسطة للمثلث : هي القطعة المستقيمة التي 

تصل أي رأس للمثلث بمنتصف الضلع المقابل

أ د   قطعة متوسطة للمثلث أ ب جـ

خواص بعض المثلثات

 خواص المثلث متطابق الضلعين

في الشكل المقابل :

       ق ( ب ) = ق ( جـ )

        د  منتصف ب جـ

 

    .:    ( 1 )   أ ب  =  أ جـ

          ( 2 )  أ د  ينصف  أ

          ( 3 )  أ د  محور  ب جـ

خواص المثلث المتطابق الأضلاع 

 ق ( أ ) = ق( ب ) = ق ( جـ ) = 60 ْ

   

        أ  د   محور  ب جـ

       جـ هـ  محور أ ب

        ب و   محور أ جـ

  م نقطة تقاطع محاور أضلاع المثلث ( ارتفاعات المثلث )

  وهي نقطة تقاطع منصفات زواياه

وهي نقطة تقاطع القطع المتوسطه

نظرية : القطع المتوسطة للمثلث تتلاقى في نقطة واحدة تقسم كل منها بنسبة 2 : 1  من جهة الرأس

رجوع

محور القطعة المستقيمة هو العمود المنصف لها

           و3

نظرية :  الأعمدة المقامة على أضلاع المثلث  من منتصفاتها تتقاطع في نقطة واحدة

رجوع

منصفات زوايا المثلث تتلاقى في نقطة واحدة 

 نقطة تلاقي منصفات زوايا المثلث تقع على أبعاد متساوية من أضلاعه الثلاثة

رجوع

التـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــطابق

حالات تطابق  المثلثات

المثلث القائم  ضلع ووتر

ضلعان وزاوية محصورة بينهما

زاويتان وضلع يصل بين رأسيهما

ثلاثة أضلاع

الحالة الاولى : تطابق ضلعان وزاوية محصورة ينهما مع نظائرهما في المثلث الاخر

                                            (  ض  , ز  ,ض )

الحالة الثانية : يتطابق المثلثات إذا تطابق كل ضلع 

      في أحدهما مع نظيره في الآخر

      ( ض . ض . ض )

الحالة الثالثة :يتطابق المثلثان إذا تطابق في أحدهما زاويتان

     والضلع الواصل بين رأسيهما مع نظائرها

     في المثلث الآخر

    ( ز . ض . ز )

    يتطابق المثلثان قائما الزاوية إذا تطابق

      في أحدهما وتر وضلع مع نظائرهما

      في المثلث الآخر

     (       . و . ض )

رجوع

التــــــــــــــــــــــــشابه

حالات تشابه المثلثات

1-  تطابق الزوايا المتناظرة

2-  تناسب أطوال الاضلاع المتناظرة

3- اذا طابقت زاوية في أحدهما زاوية في المثلث الاخر وتناسب

    طولا الضلعين المحددين لهاتين الزاويتين

شرط واحد يكفي لإثبات تشابه مثلثين

رجوع

تعريف المثلث 

الارتفاع 

منصف الزاوية 

العامود المتوسط 

أنواع المثلثات 

نظريات تطابق المثلث 

مساحة المثلث 

محيط المثلث 

فيثاغورس 

المثلث

تعريف المثلث:-

 المثلث هو شكل هندسي,  مكون من ثلاث أضلاع وثلاث زوايا .

مجموع زوايا المثلث أياً كان هو 180ْ .

في كل مثلث مجموع أطوال أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث .

a+b>c        a+c>b        b+c>a 

في كل مثلث :- الضلع الأكبر يقابل الزاوية الكبرى

                   الضلع الأوسط يقابل الزاوية الوسطى

                   الضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغرى

a > b > c      α > β > γ

الارتفاع

في المثلث هو مستقيم ينزل من رأس المثلث على الضلع المقابل ويعامده.

في كل مثلث ثلاث ارتفاعات تلتقي بنقطة واحدة.

الارتفاع ممكن أن يكون داخل المثلث أو خارجه أو أحد أضلاعه.

منصف الزاوية 

هو المستقيم الذي ينصف الزاوية إلى جزئين متساويين.

في كل مثلث ثلاث منصفات زوايا تلتقي كلها في نقطة واحدة, وهي مركز الدائرة الداخلية المحصورة داخل المثلث.

 

العامود المتوسط  هو المستقيم العامودي على ضلع المثلث وينصفه (لا يمر بالضرورة من رأس الزاوية المقابلة). في كل مثلث ثلاث أعمدة متوسطة تلتقي كلها بنقطة واحدة وهي مركز الدائرة الخارجية التي تحصر المثلث.

المتوسط هو المستقيم الذي رأسه في الزاوية وينصف الضلع المقابل .

في كل مثلث ثلاث متوسطات تلتقي كلها في نقطة واحدة, هذه النقطة تقسم كل متوسط منها إلى قسمين, الأصغر منها طوله يساوي نصف طول الأكبر, أو بكلمات أخرى هذه النقطة تقسم كل متوسط إلى قسمين متناسبين 1:2  بحيث أن القسم الأكبر هو الأقرب إلى الزاوية.

الزاوية الخارجية في المثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين لها.

أنواع المثلثات:-

       ·         حسب زواياها .

       ·         حسب أضلاعها .

نظريات تطابق المثلث :-

يتطابق المثلثين إذا اشتركت بينهما العوامل التالية:-

                                                                                                                             ·         ضلع , ضلع , ضلع

                                                                                                                            ·         ضلع ,زاوية , ضلع

                                                                                                                            ·         زاوية ,ضلع , زاوية

مساحة المثلث :-

محيط المثلث :-

محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاع المثلث .

 فيثاغورس

ماذا قال فيثاغورس عن المثلث القائم؟

  مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين.

هنالك مثلثات فيثاغورسية يجب أن نتذكرها دائماً:-

تمارين للمراجعة