مقاييس التشتت

مقاييس التشتت

1/4 مقدمة

عند مقارنة مجموعتين من البيانات ، يمكن استخدام شكل التوزيع التكراري، أوالمنحنى التكراري ،

وكذلك بعض مقاييس الترعة المركزية ، مثل الوسط الحسابي والوسيط ، والمنوال ، والإحصاءات

الترتيبية ، ولكن استخدام هذه الطرق وحدها لا يكفي عند المقارنة ، فقد يكون مقياس الترعة المركزية

للمجموعتين متساوي ، وربما يوجد اختلاف كبير بين اموعتين من حيث مدى تقارب وتباعد البيانات

من بعضها البعض ، أو مدى تباعد أو تقارب القيم عن مقياس الترعة المركزية .

ومثال على ذلك ، إذا كان لدينا مجموعتين من الطلاب ، وكان درجات اموعتين كالتالي :

63 70 78 81 85 67 88 اموعة الأولى

73 78 77 78 75 74 77 اموعة الثانية

لو قمنا بحساب الوسط الحسابي لكل مجموعة ، نجد أن الوسط الحسابي لكل منهما يساوي 76

درجة ، ومع ذلك درجات اموعة الثانية أكثر تجانسا من درجات اموعة الأولى . من أجل ذلك لجأ

الإحصائيون إلى استخدام مقاييس أخرى لقياس مدى تجانس البيانات، أو مدى انتشار البيانات حول

مقياس الترعة المركزية، ويمكن استخدامها في المقارنة بين مجموعتين أو أكثر من البيانات، ومن هذه

المقاييس ، مقاييس التشتت ، والالتواء ، والتفرطح ، وسوف نركز في هذا الفصل على هذه المقاييس .

Dispersion Measurements 2/4 مقاييس التشتت

من هذه المقاييس: المدى، والانحراف الربيعي، والانحراف المتوسط، والتباين، والانحراف

المعياري .

Rang 1/2/4 المدى

هو أبسط مقاييس التشتت ، ويحسب المدى في حالة البيانات غير المبوبة بتطبيق المعادلة التالية .

وأما المدى في حالة البيانات المبوبة له أكثر من صيغة، ومنها المعادلة التالية:

53

(1 - مثال ( 4

تم زراعة 9 وحدات تجريبية بمحصول القمح ، وتم تسميدها بنوع معين من الأسمدة الفسفورية

، وفيما يلي بيانات كمية الإنتاج من القمح بالطن/ هكتار .

4.8 6.21 5.4 5.18 5.29 5.18 5.08 4.63 5.03

والمطلوب حساب المدى .

الحل

المدى = أكبر قراءة – أقل قراءة

أكبر قراءة = 6.21 أقل قراءة = 4.63

إذا المدى هو :

Rang=Max-Min=6.21-4.63 =1.58

المدى يساوي 1.58 طن / هكتار.

(2 - مثال ( 4

الجدول التكراري التالي يبين توزيع 60 مزرعة حسب المساحة المتررعة بالذرة بالألف دونم .

15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 المساحة

3 9 15 18 12 3 عدد المزارع

والمطلوب حساب المدى للمساحة المتررعة بالذرة .

الحل

المدى = مركز الفئة الأخيرة – مركز الفئة الأولى

(15+20)/2=35/2= 40 ) مركز الفئة الأولى: 17.5 +45)/2=85/2= مركز الفئة الأخيرة: 42.5

Rang 42.5 17.5 إذا 25

أي أن المدى قيمته تساوي 25 دونم

مزايا وعيوب المدى

من مزايا المدى

-1 أنه بسيط وسهل الحساب

-2 يكثر استخدامه عند الإعلان عن حالات الطقس، و المناخ الجوي، مثل درجات الحرارة،

والرطوبة، والضغط الجوي.

-3 يستخدم في مراقبة الجودة .

-2 ومن عيوبه

54

أنه يعتمد على قيمتين فقط ، ولا يأخذ جميع القيم في الحسبان . •

يتأثر بالقيم الشاذة . •

Quartile Deviation (Q) 2/2/4 الانحراف الربيعي

يعتمد المدى على قيمتين متطرفتين ، هما أصغر قراءة ، وأكبر قراءة ، فإذا كان هناك قيم

شاذة، ترتب على استخدامه كمقياس للتشتت نتائج غير دقيقة، من أجل ذلك لجأ الإحصائيون، إلى

استخدام مقياس للتشتت يعتمد على نصف عدد القيم الوسطى، ويهمل نصف عدد القيم المتطرفة، ولذا

ويحسب الانحراف ،(Q) لا يتأثر هذا المقياس بوجود قيم شاذة، ويسمى هذا المقياس بالانحراف الربيعي

الربيعي بتطبيق المعادلة التالية .

هو الربيع الثالث ، وقد بينا في الفصل الثالث كيف يمكن حساب Q هو الربيع الأول ، 3 Q حيث أن 1

هذان الرباعيان ، ومن المعادلة أعلاه ، يعرف الانحراف الربيعي بنصف المدى الربيعي ، أي أن :

الانحراف الربيعي = نصف المدى الربيعي

(3 - مثال( 4

1) ، ثم احسب الانحراف الربيعي لكمية الإنتاج من القمح . - استخدم بيانات مثال ( 4

الحل

ترتيب القيم تصاعديا •

4.63 4.8 5.03 5.08 5.18 5.18 5.29 5.4 6.21 الإنتاج

1 2 3 4 5 6 7 8 9 الرتبة

Q حساب الربيع الأول 1 •

إذا الانحراف الربيعي قيمته تساوي 0.215 طن/ هكتار .

(4 - مثال( 4

2) في حساب نصف المدى الربيعي . - استخدم بيانات مثال رقم ( 4

الحل:

عند حساب الربيع الأول أو الثالث يتبع نفس الأسلوب المستخدم في حساب الوسيط.

تكوين الجدول التكراري المتجمع الصاعد •

(Q حساب الرباعي الأول ( 1 •

n(1/4)= 60(0.25)= رتبة الربيعي الأول : 15

15 , 12 , 27 , 25 , 5 1 2 f f f AL

Q

إذا الانحراف الربيعي للمساحة 4.5 ألف دونم.

مزايا وعيوب الانحراف الربيعي

من مزايا الانحراف الربيعي، يفضل استخدامه كمقياس للتشتت في حالة وجود قيم شاذة ، كما

أنه بسيط وسهل في الحساب . ومن عيوبه ، أنه لا يأخذ كل القيم في الاعتبار .

Mean Deviation (MD) 3/2/4 الانحراف المتوسط

هو أحد مقاييس التشتت، ويعبر عنه بمتوسط الانحرافات المطلقة للقيم عن وسطها الحسابي ،

x x n ) هي القراءات التي تم أخذها عن ظاهرة معينة ، وكان x1,x2,...,xn فإذا كانت

يحسب بتطبيق المعادلة التالية: (MD) ) عبارة عن الوسط الحسابي لهذه القراءات، فإن الانحراف المتوسط

وهذه الصيغة تستخدم في حالة البيانات غير المبوبة .

(5 - مثال( 4

إذا كانت الطاقة التصديرية لخمس محطات لتحلية المياه بالمليون متر مكعب كما يلي:

4 5 2 10 7

أوجد قيمة الانحراف المتوسط للطاقة التصديرية

الحل

(4 - لحساب قيمة الانحراف المتوسط يتم استخدام المعادلة ( 4

الوسط الحسابي : •

5 5.6

وفي حالة البيانات المبوبة، يحسب الانحراف المتوسط باستخدام المعادلة التالية .

هو الوسط الحسابي. x ، هو مركز الفئة x ، هو تكرار الفئة f حيث أن

(6 - مثال( 4

يبين الجدول التكراري التالي توزيع 40 أسرة حسب الإنفاق الشهري بالألف ريال.

2 - الإنفاق 5 5 - 8 8 - 11 11 – 14 14 – 17

1 8 13 10 8 عدد الأسرة

أوجد الانحراف المتوسط .

الحل

5)، ويتبع الآتي - لحساب الانحراف المتوسط ، يتم تطبيق المعادلة ( 4

تكوين جدول لحساب مكونات المعادلة: •

الانحراف المتوسط للإنفاق الشهري هو 2.82 ألف ريال .

مزايا وعيوب الانحراف المتوسط

من مزايا الانحراف المتوسط أنه يأخذ كل القيم في الاعتبار، ولكن يعاب عليه ما يلي:

يتأثر بالقيم الشاذة . •

يصعب التعامل معه رياضيا. •

Variance 4/2/4 التباين

هو أحد مقاييس التشتت ، وأكثرها استخداما في النواحي التطبيقية ، ويعبر عن متوسط

مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي.

( s أولا: التباين في اتمع ( 2

فإن التباين ، x1,x2,...,xN : إذا توافر لدينا قراءات عن كل مفردات اتمع ، ولتكن

(سيجما) يحسب باستخدام المعادلة التالية : s في اتمع ، ويرمز له بالرمز 2

. m x N: هو الوسط الحسابي في اتمع ، أى أن m حيث أن

(7 - مثال( 4

مصنع لتعبئة المواد الغذائية ، يعمل به 15 عامل ، وكانت عدد سنوات الخبرة لهؤلاء العمال

كما يلي :

5 13 7 14 12 9 6 8 10 13 14 6 11 12 10

بفرض أن هذه البيانات تم جمعها عن كل مفردات اتمع ، فأوجد التباين لعدد سنوات الخبرة .

الحل

.(6 - لحساب تباين سنوات الخبرة في اتمع ، يتم استخدام المعادلة ( 4

m الوسط الحسابي في اتمع •

(150) 10

(xm) حساب مربعات الانحرافات 2 •

(xm)2 بما أن: 130

إذا تباين سنوات الخبرة للعمال في المصنع هو :

8.67

. (6 - وهي نفس النتيجة التي تم الحصول عليها باستخدام الصيغة ( 4

150 1630

(s ثانيا: التباين في العينة ( 2

غير معلوم، وعندئذ يتم سحب عينة من هذا s في كثير من الحالات يكون تباين اتمع 2

اتمع ، ويحسب التباين من بيانات العينة كتقدير لتباين اتمع ، فإذا كانت قراءات عينة عشوائية

هو: s فإن تباين العينة ويرمز له بالرمز 2 ، x1,x2 ,...,xn ، هي n حجمها

وتباين العينة ، x x n : هو الوسط الحسابي لقراءات العينة ، أي أن x حيث أن

8) هو التقدير غير المتحيز لتباين اتمع . - المبين بالمعادلة ( 4

61

(8 - مثال( 4

7) السابق ، إذا تم سحب عينة من عمال المصنع حجمها 5 عمال ، وسجل عدد - في المثال ( 4

سنوات الخبرة ، وكانت كالتالي .

8 13 10 5 9

احسب تباين سنوات الخبرة في العينة .

الحل

8)، ويتبع الآتي : - لحساب التباين في العينة يتم تطبيق المعادلة ( 4

الوسط الحسابي في العينة : •

(45) 9

x x حساب مربعات الانحرافات 2 •

x 8 13 10 5 9 45 سنوات الخبرة

x x -1 4 1 -4 0 0

x x 2 1 16 1 16 0 34

، x x2 أي أن : 34

إذا تباين سنوات الخبرة في العينة قيمته هي : •

8 .5

تبسيط العمليات الحسابية

8) إلى صيغة سهلة يمكن - يمكن تبسيط الصيغة الرياضية لتباين العينة الموضحة بالمعادلة ( 4

التعامل معها، وخاصة إذا كانت البيانات تحتوي على قيم كسرية، ولاستنتاج هذه الصيغة يتم إتباع

الآتي.

كالتالي: (xx) يمكن فك اموع 2

62















2 2

2 2 2

إذا التباين في العينة يمكن صياغته كالتالي .

9) تأخذ الشكل التالي: - كما يمكن إث____________بات أن المعادلة ( 4

وبالتطبيق على بيانات المثال السابق ، نجد أن :

x 8 13 10 5 9 45 سنوات الخبرة

x 2 64 169 100 25 81 439

9) هو : - تباين العينة باستخدام المعادلة ( 4 •

34 8 .5

Standard Deviation الانحراف المعياري

عند استخدام التباين كمقياس من مقاييس التشتت، نجد أنه يعتمد علي مجموع مربعات

الانحرافات، ومن ثم لا يتمشى هذا المقياس مع وحدات قياس المتغير محل الدراسة ، ففي المثال السابق ،

نجد أن تباين سنوات الخبرة في العينة 8.5 ، فليس من المنطق عند تفسير هذه النتيجة أن نقول ، " تباين

سنوات الخبرة هو 8.5 سنة تربيع "، لأن وحدات قياس المتغير هو عدد السنوات، من أجل ذلك لجأ

الإحصائيين إلى مقياس منطقي يأخذ في الاعتبار الجذر التربيعي للتباين ، لكي يناسب وحدات قياس

المتغير، وهذا المقياس هو الانحراف المعياري.

إذا الانحراف المعياري ، هو الجذر التربيعي الموجب للتباين ، أي أن:

ومثال على ذلك :

7) نجد أن الانحراف المعياري لسنوات الخبرة لعمال المصنع (اتمع) ، ويرمز له بالرمز - في مثال (

أي أن الانحراف المعياري لسنوات الخبرة في العينة هو 2.92 سنة .

الانحراف المعياري في حالة البيانات المبوبة

إذا كانت بيانات الظاهرة ، مبوبة في جدول توزيع تكراري ، فإن الانحراف المعياري يحسب

بتطبيق المعادلة التالية .

64

n ، xf nهو الوسط الحسابي x ، هو مركز الفئة x ، هو تكرار الفئة f حيث أن

. (s والمقدار الذي تحت الجذر يعبر عن التباين ( 2 ، n f هي مجموع التكرارات

(9 - مثال( 4

6) ، احسب الانحراف المعياري للإنفاق الشهري للأسرة ، ثم قارن بين - في بيانات مثال ( 4

الانحراف المتوسط ، والانحراف المعياري للإنفاق الشهري للأسرة .

الحل

12 )، وسوف نطبق - لحساب الانحراف المعياري للإنفاق الشهري ، تستخدم المعادلة رقم ( 4

. xf , x2 f : الصيغة الثانية ، ولذا نكون جدول لحساب اموعين

xf x2 f مركز

x الفئة

عدد

الأسر

f

أي أن الانحراف المعياري للإنفاق الشهري 3.314 ألف ريال ، ووفقا لهذا المقياس ، فإن

. ( تشتت بيانات الإنفاق أكبر من تشتت بيانات الإنفاق وفقا لمقياس الانحراف المتوسط ( 2.88

خصائص الانحراف المعياري

من خصائص الانحراف المعياري ، ما يلي :

أولا : الانحراف المعياري للمقدار الثابت يساوي صفرا ، أي أنه إذا كان لدينا القراءات التالية: •

تعبر عن الانحراف sx حيث أن ، sx مقدار ثابت فإن : 0 a حيث أن x: a, a, a, …,a

. x المعياري لقيم

ثانيا : إذا أضيف مقدار ثابت إلى كل قيمة من قيم المفردات ، فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة •

(القيم بعد الإضافة) تساوي الانحراف المعياري للقيم الأصلية (القيم بعد الإضافة) ، فإذا كانت

فإن ، x إلى كل قيمة من قيم a وتم إضافة مقدار ثابت ، x1,x2 ,...,xn القيم الأصلية هي

هي : (y xa) : x1 a,x2 a,...,xn a : الانحراف المعياري للقيم الجديدة

y x : s s

(10 - مثال( 4

إذا كان من المعلوم أن تطبيق برنامج غذائي معين للتسمين لفترة زمنية محددة سوف يزيد من وزن

الدجاجة 0.5 كيلوجرام، سحبت عينة عشوائيا من مزرعة دجاج حجمها 5 دجاجات، وكانت أوزاا

. 1 , 1.75 , 2 , 1.25 , كالتالي: 2.5

-1 احسب الانحراف المعياري لوزن الدجاجة.

-2 إذا طبق البرنامج الغذائي المشار إليه، ما هو الانحراف المعياري لوزن الدجاجة في هذه

العينة؟

الحل

-1 حساب الانحراف المعياري للوزن قبل تطبيق البرنامج .

x x2

-2 حساب الانحراف المعياري لوزن الدجاجة بعد تطبيق البرنامج .

كل دجاجة بعد تطبيق البرنامج، من المتوقع أن تزيد 0.5 كيلوجرام ، وهذا معناه أن الوزن

ويكون الانحراف المعياري للوزن الجديد مساويا ، y xبعد البرنامج هو : 0.5

أيضا للانحراف المعياري للقيم الأصلية ، أى أن :

0.534 y x s s

الانحراف المعياري للوزن بعد تطبيق البرنامج يساوي 0.534 كيلوجرام .

ثالثا : إذا ضرب كل قيمة من قيم المفردات في مقدار ثابت ، فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة •

هي القيم x ، يساوي الانحراف المعياري للقيم الأصلية مضروبا في الثابت ، أى أن إذا كان قيم

مقدار ثابت ، فإن : a حيث أن ، y ax : الأصلية ، وكانت القيم الجديدة هي

y x . s as

ومثال على ذلك ، إذا كان الانحراف المعياري لدرجات عينة من الطلاب هي 4 درجات ، وإذا كان

التصحيح من 50 درجة ، ويراد تعديل الدرجة ليكون التصحيح من 100 درجة، ومعنى يتم ضرب

كل درجة من الدرجات الأصلية في 2 ، ومن ثم يحسب الانحراف المعياري للدرجات المعدلة كالتالي

.

2 2(4) 8

2





y x s s

y x

إذا الانحراف المعياري للدرجات المعدلة 8 درجات .

هو y فإن الانحراف المعياري للمتغير ، y axb : رابعا: إذا كان لدينا التوليفة الخطية •

67

وفي المثال السابق ، لو أضاف المصحح لكل طالب 5 درجات بعد تعديل ، sy asx : أيضا

فإن الانحراف المعياري هو : ، y 2xالدرجة من 100 ، أى أن الدرجة الجديدة هي : 5

2 2(4) 8

2 5





y x s s

y x

مزايا وعيوب الانحراف المعياري

من مزايا الانحراف المعياري

-1 أنه أكثر مقاييس التشتت استخداما .

-2 يسهل التعامل معه رياضيا .

-3 يأخذ كل القيم في الاعتبار .

ومن عيوبه ، أنه يتأثر بالقيم الشاذة .

68