الاقترانات المثلثية الدائرية

الاقترانات المثلثية( الدائرية)

  Circular Functions

الزاوية وقياسها: Angle and Measure

سبق وأن تعرفت مفهوم الزاوية على أنها اتحاد شعاعين ، لهما نفس نقطة البداية تسمى رأس

الزاوية ، وأن قياس الزاوية يكون موجبا فهل يمكن أن يكون قياس الزاوية سالبا ؟ هذا ما

سنجيب عليه في هذا البند ،في الشكل المجاور اذا دار الشعاع د أ بعكس اتجاه عقارب الساعة

حتى ينطبق على الشعاع د ب فان قياس الزاوية أ د ب في هذه الحالة يعتبر قياسا موجبا .

أما اذا دار الشعاع د أ باتجاه عقارب الساعة حتى ينطبق على الشعاع د ب كما في الشكل

المجاور فان قياس أ د ب يعتبر قياسا سالبا .

وفي كلتا الحالتين نسمي الشعاع د أ الشعاع الذي يبدأ بالدوران ضلع الابتداء للزاوية ونسمي

الشعاع د ب ( الشعاع الذي ينتهي عنده الدوران ) ضلع الانتهاء وتسمى الزاوية أ د ب في

هذه الحالة ( زاوية موجهة )Directed Angle    .

مثال: أوجد قياس الزاوية المشار اليها بالرموز في الاشكال التالية :

الحل:

(1)   س = - 330

(2)   ص = 320

الوضع القياسي للزاويةStandard position of the angle :

تكون الزاوية أ في الوضع القياسي اذا كان رأسها في نقطة الاصل وضلع الابتداء منطبقا

على محور السينات الموجب .

موقع الزاوية في المستوى :

يقسم المستوى الى أربعة أرباع كما هو في الشكل أدناه

 

                        (1) الربع الاول      (2) الربع الثاني        

 

                         (4) الربع الرابع    (3) الربع الثالث

اذا رسمنا زاوية في الوضع القياسي فان ضلع الانتهاء يحدد الربع الذي تقع فيه كما في الاشكال التالية :

 

1)                                                          الزاوية ﻫ في الربع الاول

                     ﻫ      

 

2)

                    ﻫ                                        الزاوية ﻫ في الربع الثاني

 

3)

                           ﻫ                                الزاوية ﻫ في الربع الثالث

 

4)       ﻫ                                             الزاوية ﻫ في الربع الرابع

 

تعريف : تسمى الزاوية القياسية التي يقع ضلع الانتهاء فيها على أحد المحورين

الاحداثيين زاوية ربعية .

ومن الأمثلة على الزاوية الربعية : 90 ، 180 ، 270 ، 360 .

وحدات قياس الزاوية :

أولا: النظام ( التقدير ) الستيني ( الدرجات) :

وهي الطريقة المألوفة لقياس الزاوية ، حيث تم تقسيم الدورة الكاملة الى 360 والدرجة

الى 60 دقيقة وتكتب (1 = 60 ^/ ).

مثال: حول 7,55 الى درجات ودقائق

الحل: 7,55 = 55 + 7,0 = 55 +  7,0× 60 ^/ = 55 +42 ^/

                                 = 42 ^/  55

ثانيا: النظام ( التقدير ) الدائري :CIRCULAR MEASURE RADIAN

وفيه يكون قياس الزاوية مساويا  لطول القوس المقابل لها في دائرة الوحدة ( الدائرة التي

نصف قطرها وحدة واحدة ) ووحدة القياس في هذا النظام هي ( الزاوية النصف قطرية)

أو ( الراديان) ويرمز لها بالرمز د .

تعريف : الزاوية النصف قطرية ( التي قياسها 1 راديان) هي الزاوية المركزية في

دائرة الوحدة التي تقابل قوسا طوله وحدة واحدة ( انظر الشكل ) .

 

ملاحظة: بشكل عام الزاوية النصف قطرية ( التي قياسها 1 راديان) هي الزاوية

المركزية التي طول قوسها يساوي نصف قطر الدائرة المرسومة فيها .

العلاقة بين التقدير الدائري والستيني:

نعلم أن محيط الدائرة = 2p نق وهو يقابل زاوية 360 وفي دائرة الوحدة فان محيط

الدائرة = 2  p × 1 = 2p اذن 360 في النظام الستيني تعادل 2p  في التقدير الدائري

أي أن 180 في النظام الستيني تعادل p ^د في التقدير الدائري .

لتحويل الزاوية س الى تقدير دائري  نقول 180تعادل p ^د

                                س ^ه تعادل  ﻫ  اذن ﻫ ^د = س  × p

                                                               180

             وعليه لتحويل أي زاوية من التقدير الستيني الى دائري نطبق القانون

         ﻫ ^د = س  × p

                  180

مثال: حول الزاويا التالية الى تقدير دائري :

1-            30

2-            60

الحل:

1- 30 تعادل     30    × p = p ^د

                        180             6

    2- 60 تعادل  60    × p ^د

                   180       6

أما عند تحويل زوايا نصف قطرية ﻫ ^د ليست بدلالة p الى درجات فاننا نلجأ الى الطريقة

التالية :

p تكافئ 180 ⁵

ﻫ ^د تكافئ س ⁵

اذن س ⁵  =   ﻫ     × 180 حيثp    النسبة التقريبية المعروفة .

                 p

وعليه فان 1 ^د =   1  × 180 » 3,⁵57

                              p

تمارين ومسائل:

1-    حدد الربع الذي تقع فيه الزوايا التالية :

أ) - 150                           ب) 840

2) أوجد قياس كل من الزوايا التالية بالتقدير الدائري بدلالة p :

   أ) – 225 ⁵                          ب) 135 ⁵

الزوايا المتكافئة Equivalent Angles:

يقال لزاويتين أنهما متكافئتان اذا كان لهما نفس ضلع الابتداء ونفس ضلع الانتهاء وعليه فان:

زاوية ﻫ  تكافئ زاوية  ﻫ + 2 p

زاوية  ﻫ  تكافئ زاوية  ﻫ + 4 p

زاوية  ﻫ  تكافئ زاوية  ﻫ + 6 p

زاوية  ﻫ تكافئ زاوية ﻫ  - 2 p

وبشكل عام:

زاوية ﻫ تكافئ زاوية  ﻫ + 2 p ن  ( ﻫ بالتقدير الدائري ) .

أو

زاوية ﻫ تكافئ  ﻫ  + 360 ن        ( ﻫ بالتقدير الستيني ) . حيث ن عدد صحيح .

مثال: أوجد زاوية مكافئة للزاوية التي قياسها 50 ⁵ .

الحل:  50 تكافئ  50 + 360 ⁵ = 410  ⁵

الاقترانات المثلثية : Cirular(trigonometric) Function

سبق لك وأن درست النسب الاساسية المثلثية للزاوية الحادة ( انظر الشكل أدناه) حيث أن :

جا ﻫ = المقابل     = أ ب                         أ

                الوتر        أ ج

   جتا ﻫ = المجاور   =   ب ج

 

                الوتر         أ ج

                                                          ب                                     ﻫ        ج

ظا ﻫ =  المقابل      = أ ب

          المجاور         ب ج

وسنقوم في هذا البند بدراسة النسب المثلثية لأي زاوي مهما كان قياسها تذكر أن معادلة دائرة

 

الوحدة هي : س² + ص² =1  وأن بيانها كما في الشكل المجاور:

                                                                                                                         ب(س،ص)

لنفرض ان زاوية أ  و ب في وضعها القياسي وان قياسها ﻫ ،                 

                                                                                           أ      و

حيث ب نقطة تقاطع ضلع انتهائها مع الدائرة ، واحداثيات ب

هي ( س، ص) فمن تعريف النسب المثلثية ، يكون:

جا ﻫ =  المقابل   =  ص   = جا ﻫ = ص

             الوتر      1

جتا ﻫ = المجاور  =   س       = جتا ﻫ =   س .

 

 الوتر           1

احداثيات النقطة ب هي ( س، ص) = ( جتا ﻫ ، جا ﻫ )

وهذا يقودنا للتعريف الآتي:

اذا كانت النقطة ب ( س، ص) نقطة تقاطع ضلع انتهاء الزاوية القياسية ﻫ مع دائرة الوحدة فان

الاقترانات المثلثية الاساسية للزاوية ﻫ  هي :

جتا ﻫ = س ، جا ﻫ = ص ، ظا ﻫ  =  ص    = ، س    ¹0

                                             س

ملاحظة : بما ان معادلة درائرة الوحدة هي س² + ص² = 1 فان جتا ² + جا ² ﻫ = 1

وحيث ان -1 ³ س ³ 1 فان -1 ³ جتا ﻫ ³ 1 ،    -1 ³ جا ﻫ ³ 1

تعريف:

اذا كانت ﻫ زاوية في الوضع القياسي وضلع الانتهاء يقطع دائرة الوحدة في النقطة

 ب ( س، ص)

فان الاقتران المثلثية الثانوية للزاوية ﻫ هي :

* قاطع الزاوية ﻫ ويرمز له قا ﻫ =   1 ،     جتا ﻫ ¹ 0    أو  قا ﻫ = 1     ، س ¹ 0

                                          جتا ﻫ                                س

* قاطع تمام الزاوية ﻫ ويرمز له قتا ﻫ =  1   ، جا ﻫ ¹ 0

                                                  جاﻫ

* ظل تمام الزاوية ﻫ ويرمز له ظتا ﻫ =    1      =  جتا ﻫ  ،  جاﻫ ¹  0

                                                 ظا ﻫ       جاﻫ

لاحظ أن الاقترانات المثلثية هي مقلوب للاقترانات المثلثية الأساسية بيحث أن الاقتران الذي لا

يحتوي الحرف ت هو مقلوب لاقتران يحتوي الحرف ت والعكس صحيح .

مثال: اكتب قيمة النسب المثلثية الاساسية للزاوية صفر

الحل: الشكل المجاور يبين تقاطع ضلع الانتهاء للزوايا مع دائرة الوحدة ، احداثيات نقطة تقاطع

ضلع انتهاء الزاوية 0 مع دائرة الوحدة هي ( 1، 0 )

 

اذن جتا 0 = 1 ( الاحداثي السيني للنقطة)                                 (0، 1)

     جا 0 = 0 ( الاحداثي الصادي للنقطة)

    ظا 0 = جا 0  =  0    = 0               (1 ،0)                                         (-1،0)

              جتا0       1

                                                                                  (0 ،-1)

ملاحظة: تتحدد اشارة الاقترانات المثلثية للزاوية ﻫ المرسومة في الوضع القياسي بالربع الذي

يقع فيه ضلع الانتهاء للزاوية ، على النحو التالي :

أ‌)       اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الاول فان كلا من س ، ص

موجبة وبالتالي جميع الاقترانات المثلثية موجبة .

ب‌)  اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الثاني فان س أصغر من

صفر ، ص أكبر من صفر ، وعلى ذلك يكون الجيب فقط موجب ، ( باقي

الاقترانات المثلثية الأساسية سالبة ) .

ت‌)  اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الثالث فان كلا من س ، ص

سالبة وبالتالي فان النسبة بين س وص موجبة أي ان الظل فقط موجب

( باقي الاقترانات المثلثية الاساسية سالبة )

ث‌)  اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الرابع فان س أكبر من صفر

                           ، ص أصغر من صفر . وبالتالي جيب التمام فقط موجب ( باقي

                         ا لاقترانات المثلثية الاساسية سالبة )

 والشكل المجاور يلخص ذلك حيث أنه تم ذكر الاقترانات الاساسية الموجبة فقط .

              ويمكن تلخيص الملاحظات اعلاه في الجملة : كل جيب يظلله جتاه

 

                    +            +

                   كل          جاﻫ

 

                   +             +

                   جتا ﻫ       ظا ﻫ

تمارين ومسائل:

1)    اذا كان جا ﻫ = 1    وكانت  ﻫ زاوية ضلع انتهائها في الربع الثاني ، اجد قيمة جميع

                        2 

         النسب المثلثية للزاوية ﻫ .

2)    بين ان 1 + ظا ²  45 = قا² 45 .

3) بين أن 1 + ظتا ² 45 = قتا² 45