الاثنين، 24 أبريل 2017

الزوايا المتكافئة

الزوايا المتكافئة Equivalent Angles:

يقال لزاويتين أنهما متكافئتان اذا كان لهما نفس ضلع الابتداء ونفس ضلع الانتهاء وعليه فان:

زاوية ﻫ  تكافئ زاوية  ﻫ + 2
زاوية    تكافئ زاوية  ﻫ + 4
زاوية    تكافئ زاوية  ﻫ + 6
زاوية  ﻫ تكافئ زاوية ﻫ  - 2

وبشكل عام:
زاوية ﻫ تكافئ زاوية  ﻫ + 2 ن  ( ﻫ بالتقدير الدائري ) .
أو
زاوية ﻫ تكافئ    + 360 ن        ( ﻫ بالتقدير الستيني ) . حيث ن عدد صحيح .

مثال: أوجد زاوية مكافئة للزاوية التي قياسها 50 5 .

الحل:  50 تكافئ  50 + 360 5 = 410  5
الاقترانات المثلثية : Cirular(trigonometric) Function

سبق لك وأن درست النسب الاساسية المثلثية للزاوية الحادة ( انظر الشكل أدناه) حيث أن :

جا ﻫ = المقابل     = أ ب                         أ
             الوتر     أ ج
   جتا ﻫ = المجاور   =   ب ج
            الوتر        أ ج
ظا ﻫ =  المقابل      = أ ب
            المجاور              ب ج
وسنقوم في هذا البند بدراسة النسب المثلثية لأي زاوي مهما كان قياسها تذكر أن معادلة دائرة
الوحدة هي : س2 + ص2 =1  وأن بيانها كما في الشكل المجاور:
                                                                                                                         ب(س،ص)
لنفرض ان زاوية أ  و ب في وضعها القياسي وان قياسها ﻫ ،                
                                                                                           أ      و
حيث ب نقطة تقاطع ضلع انتهائها مع الدائرة ، واحداثيات ب

هي ( س، ص) فمن تعريف النسب المثلثية ، يكون:

جا ﻫ =  المقابل   =  ص   = جا ﻫ = ص
            الوتر      1
جتا ﻫ = المجاور  =   س       = جتا ﻫ =   س .

 الوتر     1
احداثيات النقطة ب هي ( س، ص) = ( جتا ﻫ ، جا ﻫ )
وهذا يقودنا للتعريف الآتي:
اذا كانت النقطة ب ( س، ص) نقطة تقاطع ضلع انتهاء الزاوية القياسية ﻫ مع دائرة الوحدة فان
الاقترانات المثلثية الاساسية للزاوية ﻫ  هي :

جتا ﻫ = س ، جا ﻫ = ص ، ظا ﻫ  =  ص    = ، س    0
             س

ملاحظة : بما ان معادلة درائرة الوحدة هي س2 + ص2 = 1 فان جتا 2 + جا 2 ﻫ = 1

وحيث ان -1 س  1 فان -1 جتا ﻫ  1 ،    -1  جا ﻫ  1

تعريف:

اذا كانت ﻫ زاوية في الوضع القياسي وضلع الانتهاء يقطع دائرة الوحدة في النقطة
 ب ( س، ص)

فان الاقتران المثلثية الثانوية للزاوية ﻫ هي :

* قاطع الزاوية ﻫ ويرمز له قا ﻫ =   1           ،     جتا ﻫ  0    أو  قا ﻫ = 1     ، س  0
            جتا ﻫ        س
* قاطع تمام الزاوية ﻫ ويرمز له قتا ﻫ =  1   ، جا ﻫ  0
                                                  جاﻫ

* ظل تمام الزاوية ﻫ ويرمز له ظتا ﻫ =    1      =  جتا ﻫ  ،  جاﻫ   0
            ظا ﻫ      جاﻫ


لاحظ أن الاقترانات المثلثية هي مقلوب للاقترانات المثلثية الأساسية بيحث أن الاقتران الذي لا

يحتوي الحرف ت هو مقلوب لاقتران يحتوي الحرف ت والعكس صحيح .


مثال: اكتب قيمة النسب المثلثية الاساسية للزاوية صفر

الحل: الشكل المجاور يبين تقاطع ضلع الانتهاء للزوايا مع دائرة الوحدة ، احداثيات نقطة تقاطع

ضلع انتهاء الزاوية 0 مع دائرة الوحدة هي ( 1، 0 )


اذن جتا 0 = 1 ( الاحداثي السيني للنقطة)                                 (0، 1)

     جا 0 = 0 ( الاحداثي الصادي للنقطة)

    ظا 0 = جا 0  =  0    = 0               (1 ،0)                                         (-1،0)
              جتا0       1

ملاحظة: تتحدد اشارة الاقترانات المثلثية للزاوية ﻫ المرسومة في الوضع القياسي بالربع الذي

يقع فيه ضلع الانتهاء للزاوية ، على النحو التالي :

أ‌)          اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الاول فان كلا من س ، ص

موجبة وبالتالي جميع الاقترانات المثلثية موجبة .

ب‌)        اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الثاني فان س أصغر من

صفر ، ص أكبر من صفر ، وعلى ذلك يكون الجيب فقط موجب ، ( باقي
الاقترانات المثلثية الأساسية سالبة ) .

ت‌)        اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الثالث فان كلا من س ، ص

سالبة وبالتالي فان النسبة بين س وص موجبة أي ان الظل فقط موجب
( باقي الاقترانات المثلثية الاساسية سالبة )

ث‌)        اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الرابع فان س أكبر من صفر
                           ، ص أصغر من صفر . وبالتالي جيب التمام فقط موجب ( باقي
                         ا لاقترانات المثلثية الاساسية سالبة )
 والشكل المجاور يلخص ذلك حيث أنه تم ذكر الاقترانات الاساسية الموجبة فقط .
              ويمكن تلخيص الملاحظات اعلاه في الجملة : كل جيب يظلله جتاه


                    +            +
                   كل          جاﻫ

                   +             +
                   جتا ﻫ       ظا ﻫ
تمارين ومسائل:

1)         اذا كان جا ﻫ = 1    وكانت  ﻫ زاوية ضلع انتهائها في الربع الثاني ، اجد قيمة جميع
                        2 
         النسب المثلثية للزاوية ﻫ .

2)         بين ان 1 + ظا 2  45 = قا2 45 .

3) بين أن 1 + ظتا 2 45 = قتا2 45

زاوية الاسناد والنسب المثلثيةReference Angle
تعريف :
زاوية الاسناد (المرجع) هي الزاوية الحادة والمحصورة بين محور السينات وضلع انتهاء الزاوية .
وسنبحث في هذا البند العلاقة بين النسب المثلثية لأي زاوية مع النسب المثلثية لزاوية الاسناد.
أولا :
اذا كان ضلع انتهاء الزاوية يقع في الربع الثاني ، فإن الزاوية تكافئ زاوية على الصورة ( ∏ - ﮬ ) حيث ﮬ زاوية الاسناد والرسم ادناه يوضح النسب المثلثية الاساسية لها مقارنة بنسب الزاوية ﮬ .


جتا (∏ - ﮬ ) = - س =                                                 120     60
جا (∏ - ﮬ ) = ص =  جا ﮬ
ظا (∏ - ﮬ ) = ص = - ظا ﮬ ( بفرض ان ظا ﮬ معرف)
                  -  س√
             2
495 تكافئ  495 – 1× 360 = 13   اذن جتا 495 = جتا = -جتا 45 =- 1
                                                                                            2 √ 
ثانيا :
اذا كان ضلع انتهاء الزاوية يقع في الربع الثالث ، فإن الزاوية تكافئ زاوية على الصورة (  ∏ + ﮬ )حيث ﮬ زاوية اسنادها .
والرسم ادناه يبين النسب المثلثية الاساسية لها مقارنة بنسب الزاوية ﮬ .
جا(  ∏ + ﮬ ) = - ص = - جاﮬ
جتا(  ∏ + ﮬ ) = - س= - جتاﮬ
ظا (  ∏ + ﮬ ) = - ص = - ظاﮬ
  مثال :اوجد قيمة كل من النسب المثلثية :
   أ) جتا 225                          ب) ظا 600
الحل : أ) جتا 225 =( 180 +45) = -جتا 45 = -1                  45
                                                                2
ب) لاحظ ان 600 = 360 + 240 وتكافئ 240
اذن ظا 600 = ظا 240 = (180+60) = ظا 60 =      3                                                                         


ثالثا :
      اذا كانت الزاوية تقع في الربع الرابع ، فانها تكافئ زاوية على الصورة
(2∏- ﮬ ) أو (-ﮬ) حيث ﮬ زاوية اسنادها .
والرسم ادناه يوضح النسب المثلثية لها مقارنة بنسب الزاوية ﮬ

      جا( 2∏- ﮬ ) = -  ص = - جا ﮬ = جا(-ﮬ)
جا( 2∏- ﮬ ) = - س= - جتاﮬ = جتا(-ﮬ)
جا( 2∏- ﮬ ) = - ص = - ظاﮬ = ظا(-ﮬ)
                      -  س
ملاحظة : جا(-ﮬ) = -جاﮬ ، جتا (-ﮬ) = جتاﮬ ، ظا ( -ﮬ) =- ظا (ﮬ )
ملاحظة : مما سبق نلاحظ ان النسب المثلثية لأي تساوي نظائرها لزاوية الاسناد مع مراعاة الاشارة
مثال: اوجد قيمة النسب المثلثية الاتية :
أ) جا 330              ب) جتا -60

الحل : أ)جا 330 = 360 – 30 = -جا 30 = -1
                                                           2
ب) جتا -60 = جتا 60 = 1
                                  2

اسئلة :
1)         ارسم كل من الزوايا الاتية محددا الربع الذي يقع فيه ضلع انتهائها وزاوية اسنادها:
            أ) 800                     ب) 1280           ج)  - 610


     2) اوجد قيمة كل من النسب المثلثية الاتية :
       أ) 240                         ب) جتا 610         


     3) اذا كان جا 50 = 75‚0 اوجد قيمة :
        أ) جا 130                   ب) جتا 230          ج) ظا -50


     4) اوجد قيمة كل من النسب المثلثية الثانوية للزاوية 150.

المتطابقات المثلثية Trigonometric Identities

لقد اثبتنا سابقا القاعدة : جا2ﮬ + جتا 2 ﮬ = 1    . . . (1) حيث انها صحيحة مهما يكن قياس الزاوية ﮬ ، مثل هذه العلاقات تسمى متطابقات ، ومن الامثلة المشهورة الاخرى على هذه المتطابقات،
اولا : المتطابقة ظا 2ﮬ+ 1 = قا2 ﮬ              . . .(2)
والتي يمكن الحصول عليها بقسمة طرفي المتطابقة (1) اعلاه على جتا2ﮬ ،
حيث جتا ﮬ ≠ 0
ثانيا : المتطابقة 1+ ظتا2ﮬ = قتا2ﮬ             . . . (3)
والتي يمكن الحصول عليها بقسمة طرفي المتطابقة (1) اعلاه بقسمة طرفي المتطابقة (1) اعلاه على جا 2ﮬ ، حيث جاﮬ ≠ 0
ملاحظة : يمكن استخدام المتطابقات الثلاث اعلاه وغيرها من الحقائق الرياضية في اثبات صحة متطابقات اخرى:

مثال : اثبت ان جتا2ﮬ - جا2ﮬ = 2جتا2ﮬ - 1
الحل: الطرف الايمن = جتا 2ﮬ - جا 2ﮬ ، لكن من المتطابقة (1) اعلاه ينتج ان : جا2ﮬ = 1- جتا 2ﮬ
       = 2جتا2ﮬ -1
       =الطرف الايسر ، وهو المطلوب

مثال : اثبت ان 1 + ظا2ﮬ = ظا2ﮬ    ( لكن 1+ظا2ﮬ =قا2ﮬ ،1+ظتا2ﮬ =قتا2ﮬ)
                  1 + ظتا 2ﮬ

الحل : الطرف الايمن = 1 + ظا2ﮬ  ( لكن 1+ظا2ﮬ =قا2ﮬ ،1+ظتا2ﮬ =قتا2ﮬ)
                              1 + ظتا 2ﮬ
                                        1
                                       جتا2ﮬ
                          = قا2ﮬ = 1
                            قتا2ﮬ   جا2ﮬ
                        =جا2ﮬ = ظا 2ﮬ = الطرف الايسر ، وهوالمطلوب
                          جتا2ﮬ 
مثال : اثبت صحة المتطابقة 1 - جتا2ﮬ = 1 - جتاﮬ
                                   1 + جتاﮬ
الحل: الطرف الايمن = 1 - جتا2ﮬ = ( 1-جتاﮬ )(1+جتاﮬ) = 1-جتاﮬ
                              1 + جتاﮬ         ( 1+جتاﮬ )
                           = الطرف الايسر

مثال : اثبت صحة المتطابقة جتاﮬ = 1 - جاﮬ
                               1 + جاﮬ    جتا ﮬ
الحل: الطرف الايمن = جتاﮬ = ( جتاﮬ )(1-جا ﮬ)=(جتاﮬ )(1-جاﮬ)
                              1 + جاﮬ  (1 + جاﮬ )( 1-جا ﮬ )  1 – جا 2ﮬ
                           =(جتاﮬ )(1-جا ﮬ ) من المتطابقة (1)
                              (جتا ﮬ )2
                         = 1 – جا ﮬ  = الطرف الايسر
                             جتا ﮬ

لاحظ اننا اثبتنا صحة المتطابقات في الامثلة السابقة اعلاه وذلك بالبدء بأحد الطرفين والحصول على الطرف الآخر ، ويمكن استخدام طرق اخرى لاثبات المتطابقات بأن نأخذ كل طرف على حدة ونبين أنهما يساويان كمية واحدة:


اسئلة :


اثبت صحة المتطابقات الاتية :
أ‌)          جتا 2ﮬ - جا2ﮬ = 1 -2جا2ﮬ  

ب‌)        قا4 س - قا2 س = ظا 2س+ظا4 س

ت‌)        ظتا س قاس = قتا س

ث‌)        ظا ﮬ + ظتا ﮬ = قاﮬ × قتا ﮬ

ج‌)        (جاﮬ+جتاﮬ) 2 = 1+ 2 جاﮬ جتاﮬ

المعادلات المثلثيةTrigonometric equations  
سبق وان درست المعادلات وطرق حلها ، وسندرس بشيء من التفصيل كيفية حل المعادلات المثلثية ايجاد قياس الزاوية التي تجعل الطرفين متساويين ( تجعل الجملة المفتوحة عبارة صائبة)
مثال : اوجد مجموعة الحل للمعادلة المثلثية 1 – جتا ﮬ = صفر اذا
كانت 0 ≤  ﮬ ≤ 360
الحل : بما ان 1 – 2جتا ﮬ = صفر فان جتا ﮬ = 1 زاوية الاسناد = 60
                                                            2
وبما ان 1 – 2جتا ﮬ يكون موجبا في الربعين الاول والرابع فان ﮬ  60 او 300
اذن مجموعة الحل {60 ، 300 }
مثال : حل المعادلة المثلثية : جا2 ﮬ + 2جاﮬ - 3 =صفر (1)
الحل : جا2 ﮬ + 2جاﮬ -3 = صفر على صورة أس2 + ب س + ج = صفر (2) ، حيث س = جا ﮬ ( فتكون المعادلة (1) هي معادلة مثلثية من الدرجة الثانية ينطبق عليها ما ينطبق على معادلة (2) اي ينطبق عليها التحليل الى العوامل واكمال المربع وتطبيق القانون لايجاد جذور المعادلة )
جا2 ﮬ + جا ﮬ -  3 = صفر               ( جا ﮬ + 3)(جاﮬ - 1) = صفر
 جاﮬ + 3 = صفر                           أو   جاﮬ  = 0
اذن جا ﮬ = -3 ( غير مقبول ) . . . ( لماذا )    جاﮬ = 1         ﮬ =∏      
                                                                                     2

اسئلة :
اوجد مجموعة الحل للمعادلات المثلثية الاتية:
         أ) 2 جتا 2ﮬ - 5جتا ﮬ - 3 = 0      0 ≤      2∏ 

        ب) ظا2ﮬ - 2ظاﮬ + 1 = 0           0 ≤      360  

       ج) جتا 2ﮬ + 2جتا ﮬ = 3                 0 ≤      2∏  

       د) ظا 2 س – 1 = 2                         0 ≤  س ≤  2∏

التمثيل البياني للاقترانات المثلثيةGraphs of trig Functions
ستحاول في هذا البند رسم منحنى كل من الاقترانات المثلثية جاس ،جتاس ،ظاس

اولا : اقتران الجيب y= sinx
ارسم منحنى الاقتران ص = جا س ، حيث عبرنا عن قياس الزاوية    بالرمز س ،  نكون جدولا لبعض قيم س ، ص كما هو ادناه :
س         0           
   4      
2          3∏
   4      
             5∏
    4      3∏
   2       7∏
   4       2∏

ص       0          7‚         1          7 ‚        0          -7 ‚      -1         7‚         0

نعين النقاط اعلاه على المستوى الديكارتي ونرسم منحنى الاقتران كما هو في الشكل ادناه:


ملاحظات 1) بما ان الزوايا المتكافئة لها نفس النسب المثلثية المناظرة فان منحنى ص = جاس يكرر نفسه في فترات متساوية طول كل منها 2 ∏ . ومثل هذه الاقترانات تسمى الاقترانات دوريةPeriodic  ، ومقدار الدورة لهذا الاقتران = 2∏
1)         القيمة العظمى لهذا الاقتران هي 1 والقيمة الصغرى هي -1 ، مثل هذه  الاقترانات  الدورية لها سعةAltitude  وتعرف سعة الاقتران كما يلي :
          السعة = القيمة العظمى – القيمة الصغرى
                                        2
وعليه فان سعة الاقتران اعلاه = 1 –(-1) =  1
                                              2
3) مجال الاقتران هو ح
4) ان منحنى الاقتران ص = جا س متماثل حول نقطة الاصل لذا فهو اقتران فردي.

ثانيا : اقتران جيب التمام Y= cosx

لرسم الاقتران ص = جتا س تكون جدولا مناسبا لبعض قيم س ، ص المناظرة كما هو ادناه

نعين هذه النقاط على المستوى الديكارتي
1) الاقتران دوري ومقدار دورته 2∏
        2) القيمة العظمى لهذا الاقتران هي 1 والقيمة الصغرى هي -1
       3) سعة الاقتران = 1 (لماذا)
       4) مجال الاقتران هو ح
       5) منحنى الاقتران ص = جتا س متماثل حول محور الصادات ولذا فهو                
            اقتران زوجي .
       6)ان منحنى الاقتران ص = جتا س هو نفس منحنى  ص = جاس بانسحاب
          قدره    ∏ الى اليسار
                    2
        7) ان منحنى الاقتران ص = جتا س هو نفس منحنى الاقتران

ص =  جتا – س لأن جتاس = جتا – س

ثالثا : اقتران الظل y= tanx

لرسم منحنى الاقتران ص = ظا س نكون جدول كما هو ادناه :


ص       0          1          غير
معرف    -1         0          1          غير
معرف    -1         0

نعين هذه النقاط ونرسم منحنى الاقتران كما هو ادناه:

ملاحظات :1) الاقتران دوري ومقدار دورته ∏
              2) مجال الاقتران هو ح –{∏ + ن∏ ، ن ينتمي الى ص }
                                                 2
             3)الاقتران غير معرف  عند ∏ + ن ∏ ، ن ينتمي الى ص ، ونسمي

           الخط تقاربيا ، اذ ان منحنى الاقتران يقترب منه ولا يقطعه كما في الشكل      

             اعلاه.

            4) مدى الاقتران هو ح 

           5) ان منحنى الاقتران ص = ظاس ، متماثل حول نقطة الاصل ولذا فهو

               اقتران فردي.



مثال : ارسم منحنى الاقتران ص = جا2س ، ما العلاقة بين منحنى ق(س) = جاس ومنحنى الاقتران ص = جا 2س .
الحل :
 لرسم منحنى الاقتران ص = جا2س  نكون جدولا مناسبا كما هو ادناه:

نعين هذه النقاط على المستوى الديكارتي ، ونرسم المنحنى كما هو ادناه
ويمكن ملاحظة الخواص التالية على هذا المنحنى دورة الاقتران = 2∏ = ∏
                                                                                      2
      سعة الاقتران = 1
     القيمة العظمى = 1
   القيمة الصغرى = -1 



اسئلة :

1)   ارسم منحنى الاقترانات التالية على الفترة [ -∏ ، ∏]:

 ا) ص = جا س -1

ب) ص = 2 جتا س
           
ج) ص = ظاس + 3

د) ص = جاس + 1

ﮬ) ص = جا( – س)

و) ص = جتا 2س 

2) في السؤال الاول اذكر الدورة ، السعة ، القيمة العظمى ، القيمة الصغرى للفروع أ،ب،د ،و

القطاع الدائري والقطعة الدائرية Sector and Segment

اولا : طول قوس في الدائرة :Arc length 
سبق وان تعلمت ان طول القوس في دائرة يقابل زاوية مركزية قياسها س ، ونصف قطرها نق يعطي بالعلاقة :
طول القوس = س × 2 ∏ نق = س ∏ نق          (1)
                   360                 180

ولكن عند تحويل س الى تقدير الدائرة فان الزاوية بالتقدير الدائري المكافئة
 لها ﮬ = س × ∏
          180
وبتعويض هذه القيمة في المعادلة (1) اعلاه يصبح طول القوس = ﮬ نق 
اي ان ل = ﮬ نق حيث ل هي طول القوس ، ﮬ الزاوية المركزية المقابلة للقوس بالتقدير الدائري، نق نصف قطر الدائرة .

مثال : اوجد طول قوس في دائرة نصف قطرها 21 سم والذي يقابل زاوية مركزية
∏ د
 3
الحل : ل ﮬ نق    اذن ل = ∏ × 21 = 7∏سم
                                  3    

ثانيا :  القطاع الدائري :
مساحة القطاع الدائري : انت تعلم ان الدورة الكاملة 360 تقابل دائرة مساحتها
∏نق2، وعليه اذا كانت الزاوية المركزية لقطاع دائري س ، ونصف القطر نق فإن : مساحة القطاع = س × ∏ نق2
                    360
وبما أن الزاوية س بالدرجات تعادل ﮬ = س ×∏ بالتقدير الدائري ، وبتعويض هذه
                                                     180  
القيمة في مساحة القطاع اعلاه ينتج :
مساحة القطاع  م = 1 ﮬ نق2       ( حيث ﮬ الزاوية المركزية بالتقدير الدائري)
                         2
وبما ان طول القوس ل =ﮬ نق
فإن  مساحة القطاع م = ل نق                  قطاع      قطاع
                                2                    اصغر     اكبر

محيط القطاع الدائري = 2نق + ل
 حيث نق : نصف قطر الدائرة ، ل : طول قوس القطاع




مثال : اوجد مساحة قطاع دائري نصف قطر دائرته 8سم ومحيطه 25سم.
الحل : محيط القطاع = 2نق + ل
        محيط القطاع = 2× 8 + ل
25        =16 + ل
                    ل = 9سم
       مساحة القطاع = ل نق = 9× 8 = 36سم3

مثال : قطاع دائري طول نصف قطر دائرته 15سم ومساحته 270سم2 اوجد:
أ‌)          الزاوية المركزية للقطاع.
ب‌)        طول القوس

الحل : أ) م = 1 ﮬ نق2
                  2
 اذن 270 =1 ﮬ × 15 2
                2
      270 =225ﮬ
                  2 
    540 = 225 ﮬ
    540 = ﮬ
         = 4‚2
ب) ل = ﮬ نق
     ل = 4‚ 2 ×15 = 36سم.

اسئلة :

1)         اوجد طول القوس في دائرة نصف قطرها 32سم وزاويته المركزية 36.

2)         اوجد مساحة قطاع دائري قياس زاويته 120 ونصف قطر دائرته 10 سم

3)         قطاع دائري قياس زاويته المركزية 2‚2 وطول 11سم . احسب مساحته.

4)         اوجد طول القوس في دائرة نصف قطرها 9 وحدة ، وزاويته المركزية ∏
                                                                                          3
ثالثا : القطعة الدائريةSegment in a circle 
القطعة الدائرية : اذا رسمنا في الدائرة التي مركزها (م) الوتر أب فإن سطح الدائرة ينقسم بهذا الوتر الى جزأين كل منهما يسمى قطعة الكبرى الآخر يسمى القطعة الصغرى كما في الشكل المقابل .

قطعة صغيرة


تعريف :
القطعة الدائرية : هي جزء من مساحة دائرة محدد بقوس فيها ووتر يمر بنهايتي ذلك القوس .

والزاوية  المركزية التي تقابل قوس القطعة الصغرى تسمى زاوية القطعة الصغرى ، بينما الزاوية  المنعكسة في زاوية الكبرى .
والقطعة الصغرى أ ى ب = القطاع م أ ى ب - ∆ م ا ب
بينما القطعة الكبرى أ د ب = القطاع م أ د ب + ∆ م أ ب
مساحة القطعة الدائرية :
مساحة القطعة الدائرية أدب= مساحة القطاع الدائري م أي ب– مساحة ∆ م ا ب
بما ان مساحة القطاع الدائري م أ ي ب = 1ﮬد نق2( نق هو نصف قطر الدائرة )
                                                    2
  مساحة المثلث = 1 حاصل ضرب اي ضلعين في جا الزاوية المحصورة بينهما
                     2
ومساحة ∆أ م ب = 1 ق× نق ، جا ﮬ = 1 نق 2 جا ﮬ
                         2                       2
اذن مساحة القطعة الدائرية أ ي ب = 1 ﮬ نق2  - 1 نق 2 جا ﮬ
                  د                           2              2
                                           = 1 نق 2 ( ﮬ د - جا ﮬ )
                                          2                                               
    أ              ع         ب

مثال : اوجد مساحة القطعة الدائرية التي طول نصف قطر دائرتها 8سم وقياس زاويتها المركزية ( اعتبر ان ∏ =3)
الحل : ﮬد( التقدير الدائري لقياس زاوية القطعة 120)
            = 120× ∏ = 2 ∏ = 2 × 3 = 2
                           180    3        3
   
    مساحة القطعة الدائرية = 1 نق 2 ( ﮬ د - جا ﮬ )
                                    2      
                                = 1  × 64 ( 2 -    3     )                                   
                                    2                     2
                               = 32 ( 2 -     3     )
                                                        2
                                   = 16 ( 4 -      3   ) سم 2

أسئلة :

1)         دائرة ومساحتها6 ‚53سم2, اوجد مساحة قطاع من هذه الدائرة زاويته 67



2)         قطاع دائري طول محيطه 12سم ومساحته 8سم2 . احسب طول نصف قطر


دائرته وقياس زاويته المركزية بالتقديرين الدائري والستيني



3)         أ نقطة خارج دائرة مركزها م ونصف قطرها 6سم بحيث كان م أ = 12سم ،

رسم من أ مماسان للدائرة يمسانها  في ب ، ج اوجد لأقرب سم2 مساحة الجزء

المحصور بين المماسين والقوس الاصغر ب ج .
4)         قطعة دائرية ارتفاعها 3سم ، وطول نصف قطر دائرتها 5 سم فما مساحتها        لأقرب سم2 ؟

الاحصاء والاحتمالات   Statistics and probability:
مقدمة :
درست في السابق  بعض المواضيع الاحصائية ، مثل كيفية انشاء الجداول التكرارية وتمثيلها
بيانيا بالمدرج التكراري ، والمضلع التكراري ، كما مر معك كيفية حساب الوسط الحسابي لقيم غير مبوبة
وللجداول التكرارية وسوف تدرس في هذا العام بعض هذه المواضيع وغيرها وبمزيد من التوسع .0

مقاييس التشتتMeasures of Spread          :

هناك ثلاثة مقاييس للتشتت وهي:

1-         المدى   Range

2-         الانحراف المعياريStandard Deviation     

3-         التباين Variance  

أ‌-          المدى :
يعرف المدى بأنه: الفرق بين أكبر القيم وأصغرها لمجموعة من البيانات ويعتبر المدى أبسط مقاييس التشتت وأسهلها حسابا، وبالطبع كلما كان المدى صغيرا كان ذلك دليلا على تجانس القيم وانخفاض التشتت .

مثال: أحسب المدى للبيانات الآتية : 16 ، 15، 12 ، 20، 19، 7 ، 13، 5 ، -1

الحل:
المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة
                               20 - - 1 = 21

في حالة الجداول التكرارية ذات الفئات فان المدى يعرف بأنه الفرق بين الحد الأعلى للفئة الأخيرة والحد الأدنى للفئة الأولى ( على فرض أن الفئات مرتبة تصاعديا) + 1

مثال: الجدول التكراري الآتي يمثل علامات طلبة الصف التاسع في الرياضيات
احسب المدى للعلامات

فئة العلامة           30- 39  40-49   50-59   60-69   70-79   80-89   90-99
التكرار   2          3          6          13        8          5          3


الحل:

المدى= الحد الأعلى للفئة الأخيرة – الحد الأدنى للفئة الأولى + 1
       = 99- 30 +1
       = 70

يعتبر المدى أقل مقاييس التشتت دقة لأنه يعتمد في حسابه على قيمتين فقط وهذا يؤدي الى نتائج مضللة وخاصة

في حالة وجود قيم فمثلا: اذا كانت علامات مجموعة من طلبة الصف التاسع في مدرسة ما كما يأتي:

81، 74 ، 79، 85، 20، 77، 86، 100، 80

فان المدى = 100- 20= 80 بينما معظم العلامات تقع بين 74 و86 أي أنها متقاربة بعضها من بعض وهذا

عكس ما يستنتج من قيمة المدى .


الانحراف المعياري:

يعرف الانحراف المعياري بأنه الجذر التربيعي لمتوسط مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي فاذا كانت س1 ، س2 .......س ن مفردات عددها ن ووسطها الحسابي س :

                                              ( مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي )  
فان الانحراف المعياري =                               ( عدد القيم )

                                    
أو بالرموز =         (س1 – س) 2 + (س 2 – س ) 2 + ...... (س ن – س ) 2                             

            ن


    أو =                        (س – س ) 2
           
مثال: احسب الانحراف المعياري لمجموعة البيانات 1، 2، 3، 4، 5

الحل:
         نحسب الوسط الحسابي   س =  1 + 2+ 3+ 4+ 5 =    15  = 3
         5                    5

         نحسب الانحرافات عن الوسط الحسابي وتوزيعها :

 ( س –  س) 2
1          3          -2         4
2          3          -1         1
3          3          صفر     صفر
4          3          1          1
5          3          2          4
المجموع 10

         نجد مجموع مربعات الانحرافات ونحسب متوسطها :

= 4 + 1 + 0 + 1 +4     = 2
              5

         نجد الجذر التربيعي لمتوسط مجموع مربعات الانحرافات عن وسطها الحسابي فيكون الانحراف

المعياري يساوي      2    



أو بالرموز  =        10      = 2
               5


اما في حالة حساب الانحراف المعياري للجداول التكرارية فاننا نستعمل الصيغة الآتية :


=                ت ( س- س ) 2
           
حيث : س: تمثل القيمة أو مركز الفئة          س : الوسط الحسابي                            ت: التكرار                                         
       
         ن : مجموع التكرارت

مثال : الجدول التكراري الآتي يمثل عدد الأطفال لكل عائلة من 50 عائلة قطرية

الحل:

عدد الأطفال (س)  عدد العائلات (ت) 
ت × س 
س – س
           
(س – س) 2
           
ت ×(س – س) 2

                  
         نحسب الوسط الحسابي لعدد الأطفال :  س = مجموع  (ت × س) = 150= 3
            ن         50

         نحسب الانحرافات عن الوسط الحسابي (س – س)

         نربع الانحرافات عن الوسط الحسابي (س – س) 2

         نضرب مربع الانحرافات عن الوسط الحسابي في التكرار ونجد مجموع هذا العمود والذي يساوي

 142

         نطبق قانون الانحراف المعياري فتصبح النتيجة

 =          142    = 691
              50

التباين :

يعرف التباين بأنه مربع الانحراف المعياري ويعتبر أحد مقاييس التشتت ويستخدم في كثير من
الدراسات الاحصائية المتقدمة

مثال: اذا كان الانحراف المعياري لعدد من المفردات = 4 فما هو التباين ؟

الحل:

التباين = مربع الانحراف المعياري

التباين =  2= 4 2= 16

تمارين ومسائل:

1-         اذا كان مستوى السكر في الدم لثمانية مرضى ادخلوا الى مستشفى ما كما يأتي :

80 ،76 ، 81 ، 71 ، 73 ، 89 ، 74 ، 108
أحسب:

أ‌-          المدى

ب‌-        التباين

ت‌-        الانحراف المعياري


2-         الجدول التكراري الآتي يمثل توزيع علامات 40 طالبا في أحد المباحث الدراسية:


فئات العلامات      40-44   45-49   50-54   55-59   60-64   65-69   70-74
التكرار   2          6          8          4          10        6          4

أحسب الانحراف المعياري للأعمار


ملاحظات على الانحراف المعياري :

         عند اضافة ( أو طرح) عدد ثابت لكل قيمة من المشاهدات فان قيمة الانحراف المعياري لا تتغير.

         عند ضرب ( أو قسمة) كل قيمة من المشاهدات في عدد ثابت فان الانحراف المعياري الجديد يساوي

الانحراف المعياري الأصلي مضروبا ( أو مقسوما ) بالقيمة المطلقة لهذا العدد الثابت.


المئيناتPercentiles :


لقد درست سابقا مقاييس النزعة المركزية ومنها الوسيط الذي يعرف بانه القيمة التي يقل عناه أو يساويها نصف

القيم ويزيد عنها أو يساويها نصف القيم الآخر وذلك بعد ترتيب تلك القيم تصاعديا أو تنازليا . واذا استخدمت

النسبة المئوية في تعريف الوسيط فهو القيمة التي يقل عنها أو يساويها 50 % من القيم ويزيد عنها أو يساويها

 50% من القيم ( بعد الترتيب تصاعديا او تنازليا) وفي هذه الحالة يسمى الوسط ايضا المئين 50 ويرمز له

بالرمز م 50 والعدد 50 يسمى الرتبة المئينية .


المئين:

اذا تم ترتيب مجموعة من المشاهدات تصاعديا فان القيمة التي يكون اقل منها أو يساويها

س% من المشاهدات وأعلى منها أو يساويها ( 100 – س) % من تلك المشاهدات تسمى

المئين س ويرمز له بالرمز م س حيث تأخذ س القيم 1، 2، 3 ....99 .

ان حساب المئينات مفيد في كثير من التطبيقات العملية فقد يقر معلم اعطاء أحسن 10 % من الطلبة في امتحان الرياضيات جوائز تقديرية ويحتاج بذلك معرفة العلامة الفاصلة التي تحد من يستحق هذه الجائزة أي أنه بحاجة لمعرفة العلامة التي تقل عنها أو يساويها 90% من الطلبة . اذن فهو بحاجة لمعرفة المئين 90 .

سيتم شرح كيفية حساب بعض المئينات المشهورة مثل م 25 ، م 50 ، م 75  لجداول التوزيع التكرارية حسابيا وبيانيا ، وسيستحسن حساب المئينات عندما يكون عدد القيم كبيرا نسبيا حتى لا يشترك أكثر من مئين بنفس القيمة.
المئينات للبيانات المبوبة في جداول توزيع تكرارية :

يمكن استخدام التناسب لحساب قيم تقريبية لهذه المئينات كما هو مبين في المثال الآتي :

مثال: الجدول التكراري المجاور يمثل علامات 40 طالبا في امتحان

الاحصاء : احسب لهذا التوزيع التكراري :

الفئات     التكرار
أ‌-          م 25            
ب‌-        م 50
ت‌-        م 75
ث‌-        الرتبة المئينية  للعلامة  86 .
الحل: 
لارتباط المئينات بالتكرار التراكمي ، فاننا نكون جدولا بالتكرارت التراكمية للحدود الفعلية للفئات كما يأتي :

الحدود الفعلية للفئات           التكرار التراكمي
أقل من 539        1
أقل من 549        3
أقل من 559
م 25
8                  
10           
أقل من 569        19
أقل من 579        33

أقل من 589        38

أقل من599         40

أ‌-          المئين 25 ( م 25)Lower (first)  Quartile 

حيث أن الرتبة المئينة تساوي 25 فان عدد القيم التي تقل عن م 25 يساوي 25   × 40 = 10 قيم
                                                                                            10
بما أن عدد القيم التي تقل عن 559 يساوي 8 قيم وعدد القيم التي تقل عن أقل من 569 يساوي 19 قيمة ، اذن القيمة العاشرة تقع بين 559 و  569 وباستخدام التناسب نجد أن :
أي 25% من العلامات تقل عن العلامة 361 .
ب‌-        م 50 الوسيط : Median (second Quartile) 50th percentile

عدد القيم التي تقل عن م 50 يساوي    50  × 40 = 20 قيمة .
                                             100

الحدود الفعلية للفئات           التكرار التراكمي
أقل من 539        1
أقل من 549        3
أقل من 559
            8

م50       أقل من 569        19                 
أقل من 579        33

أقل من 589        38

أقل من599         40

كما سبق في حساب م 25  فان عدد القيم هي أقل من 569 يساوي 19 قيمة وعدد القيم التي هي   أقل من 5  79  هو 33 قيمة اذن القيمة العشرون تقع بينهما وباستخدام التناسب نجد أن :
أي أن 50 % من العلامات تقل عن العلامة 270

ج-    م 75  عدد القيم التي تقل عن م 75 يساوي  75 × 40 = 30 قيمة
                                                            100

الحدود الفعلية للفئات           التكرار التراكمي
أقل من 539
1
أقل من 549        3
أقل من 559
            8

م50       أقل من 569        19                 
أقل من 579        33

أقل من 589        38

باستخدام التناسب كما سبق فان: م 75 -    569 = 30 – 19 =   11  
أي 75% من العلامات تقل عن العلامة  477 .





د- الرتبة المئينية للقيمة 86 :  القيمة 86 تقع بين 579 ، 589 وباستخدام التناسب فان:

الحدود الفعلية للفئات           التكرار التراكمي
أقل من 539        1
أقل من 549        3
أقل من 559
            8

            أقل من 569        19                 
            أقل من 579
33
   
أقل من 589        38

5
ك = 33 + 253 = 2536 عدد القيم التي تقل عن 86 وعليه فان نسبة القيم التي تقل عن 86 تساوي :

2536    × 100% = 690 % أي ان رتبة المئينة للعلامة 86 هي 91% تقريبا .
   40

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق