الأربعاء، 18 يناير، 2017

مقاييس النزعة المركزية


مقاييس النزعة المركزية ( المتوسطات)Measures of Central tendency (Averages)                                                                                    
هناك أسس مختلفة يبنى عليها استخراج أو حساب القيمة المتوسطة مما انتج مقاييس مختلفة للنزعة المركزية
سنهتم بثلاثة منها وهي :

1-      الوسط الحسابي( المتوسط الحسابي)

2-      الوسيط

3-      المنوال
أولا: الوسط الحسابي ( المتوسط الحسابي ، المعدل ) Mean
تعريف:الوسط الحسابي لمجموعة من القيم هو ناتج قسمة مجموع هذه القيم على عددها أي ان :
الوسط الحسابي ( س) = مجموع القيم
                                    عددها
1)      الوسط الحسابي لبيانات عددية :

مثال :  اذا حصل 10 طلاب على العلامات الآتية في فحص التاريخ :

85،52،62،43،80،75،68،70.،75، 60

أوجد الوسط الحسابي لهذه العلامات .

الحل :

 الوسط الحسابي =( س)  = مجموع القيم
                                          عددها
     (س) = 85 + 52 +43 +80 +75 +60 +75 +68 +70 +62
                                               10

  ( س) = 670 = 67
                10
وبشكل عام فان الوسط الحسابي للمفردات هو مجموع المفردات
ن
ملاحظة : انحراف القيمة عن الوسط الحسابي= القيمة – الوسط الحسابي

وبشكل عام : مجموع انحرافات المفردات عن وسطها الحسابي يساوي صفرا
2)      الوسط الحسابي لجداول تكرارية غير مبوبة


مثال: سئل 50 طالبا عن عدد الساعات التي يقضونها يوميا في التعامل مع برامج الحاسوب فكانت

اجاباتهم كما يأتي :


عدد الساعات (س)      1       2       3       4       5       6       المجموع
عدد الطلاب (ك)        5       12     15     8       6       4       50


احسب الوسط الحسابي لعدد الساعات .

الحل: لايجاد عدد الساعات التي يقضيها جميع الطلبة في التعامل مع الحاسوب ، نكون حاصل الضرب

( س× ك) وهو عبارة عن حاصل ضرب عدد الساعات ( س) في التكرار المقابل كما في الجدول الآتي .

(س) =  مجموع الساعات
           عدد الطلاب                                 


= مجموع ( س× ك)
                     مجموع ك

عدد الساعات ( س)     عدد الطلاب (ك)        س× ك


  (س) = 160            (س) =   23
  50

طريقة ثانية مختصرة : الهدف من هذه الطريقة هو تفادي عمليات الضرب المطولة ان وجدت وخطوات هذه

الطريقة :
1-      نختار قيمة من القيم ونعتبرها وسطا فرضيا ونسميه ويفضل ان يكون الوسط الفرضي من بين

 قيم ( س) الموجودة في الجدول وأن يتوسط هذه القيم .

2-      نستخدم عمودا ثالثا لايجاد انحرافات القيم (ح) عن الوسط الفرضي .

3-      نستحدث عمودا رابعا لايجاد حاصل ضرب تكرار كل قيمة في الانحراف المقابل لها


 ( ك × ح) لايجاد جميع انحرافات القيم عن وسطها الفرضي .



عدد الساعات   عدد الطلاب( ك)        الانحراف عن الوسط الفرضي ( ح)     ك×ح
1       5       1-3=-2        -10    -22
2       12     2-3 = -1      -12
3       15     3-3 = 0       0
4       8       4-3 = 1       8       32
5       6       5-3 =2        12
6       4       6-3 =3        12
المجموع        50               10




نطبق القاعدة :
قاعدة :
الوسط الحسابي ( س) = الوسط الفرضي + مجموع الانحرافات عن الوسط الفرضي

                    التكرار

         أي أن س = ف +      مجموع ( ك + ح)                 
             مجموع (ك)
اذن   س = 3 +   10   = 23
                       50
                    
لاحظ أن الجواب النهائي هو الجواب نفسه الذي حصلنا عليه في الطريقة الاولى ( الطريقة المطولة) .

3)      الوسط الحسابي للجداول التكرارية المبوبة :

مثال: كانت الرواتب الشهرية ل100 موظف من موظفي احدى الشركات كما في الجدول الآتي بالدنانير :


فئات الرواتب   280-  290-  300-  310-  320-  330-  340-  المجموع
عدد الموظفين (ك)      7       10     22     30     18     8       5       100


أوجد الوسط الحسابي لرواتب هؤلاء الموظفين.

الحل :

فئات الرواتب   عدد الموظفين (ك)      مراكز الفئات (س)      س×ك
280-  7       285   1995
290-  10     295   2950
300-  22     305   6710
310-  30     315   9450
320-  18     325   5850
330-  8       335   2680
340-  5       345   1725
المجموع        100             31360


الوسط الحسابي= 31360 = 6313 دينارا
         100
تمارين ومسائل:

1)      تقدم طالب لامتحان شهادة الدراسة الثانوية العامة وكانت علاماته في ستة مباحث كما يلي:

82، 75 ، 83 ، 70 ، 92 ، 78 . جد الوسط الحسابي لعلامات هذا الطالب وأثبت أن مجموع انحرافات العلامات عن الوسط الحسابي يساوي صفرا .

2)      اذا كان الوسط الحسابي لاعمار ثلاثة طلاب هو 13 سنة والوسط الحسابي لأعمار أربعة طلاب آخرين

هو 15 سنة فاذا انضم الى المجموعتين طالبان عمراهما 10 سنوات ، 17 سنة ، ما الوسط الحسابي

لأعمار الطلاب التسعة .
ثانيا: الوسيط  Median    

تعريف:الوسيط لمجموعة من القيم : هو القيمة التي يكون عدد القيم التي تقل عنها مساويا لعدد القيم التي تزيد عنها.

وباختصار هو القيمة التي تقع في منتصف مجموعة القيم بعد ترتيبها تصاعديا أو تنازليا .


1)      ايجاد الوسيط لقيم غير مبوبة :

لايجاد الوسيط لقيم غير مبوبة نتبع الخطوات التالية :

أ‌)       نرتب القيم تصاعدي أو تنازلي

ب‌)     نجد رتبة الوسيط

ت‌)     نجد قيمة الوسيط أو الوسيطين

ث‌)     اذا وجد وسيطان فان قيمة الوسيط = الوسط الحسابي للوسيطين = مجموع الوسيطين
                                           
                                                                                              2

مثال: حصل 7 طلاب على العلامات التالية في فحص اللغة العربية :

52 ، 70 ، 64 ، 70 ، 30 ، 44 ، 80

احسب العلامة الوسيطية .

الحل:

1) نرتب العلامات تصاعديا أو تنازليا

               30 ، 44 ، 52 ، 64 ، 70 ، 70 ، 80

      2) بما ان عدد العلامات فردي وهو 7 فيوجد لمجموعة العلامات وسيط واحد رتبته 7 + 1    
         2
         = 4 أي أن علامة الطالب الرابع هي العلامة الوسيطية

                  3) العلامة التي رتبتها 4 هي العلامة 64 وهي العلامة الوسيطية

2)      ايجاد الوسيط للقيم المبوبة بيانيا ( بالرسم) :
مثال: كانت أجور 60 عاملة في الشهر في أحد مصانع الملابس بالدنانير كما في الجدول الآتي . احسب

الأجر الوسيطي لهذا الجدول ؟


فئات الأجور    عدد العاملات ( ك)
120-  5
124-  7
128-  141
132-  18
136-  12
140-  4
المجموع        60
الحل:

1)      نكون الجدول التكراري المتجمع الصاعد كما هو في الجدول أدناه

الحدود العليا للفئات      التكرار المتجمع الصاعد
أقل من 120   0
أقل من124    5
أقل من128
12
أقل من132    26
أقل من136    44
أقل من140    56
أقل من 144   60

3)      نرسم المنحنى المتجمع الصاعد .

3)    نجد رتبة الوسيط =  مجموع التكرارت
                                         2                             = 60    = 30
                                                                   2
4)      نعين رتبة الوسيط بنقطة على المحور العمودي (أ) ونرسم من هذه النقطة خطا أفقيا يقطع المنحنى
المنحنى التكراري المتجمع الصاعد
المتجمع الصاعد في نقطة (ب) ونسقط منها عمودا على المحور الأفقي يقابله في نقطة (ج) وتكون قيمتها

هي الأجر الوسيطي كما في الشكل أدناه


الأجر الوسيطي = 133 دينار تقريبا
التكرار المتجمع الصاعد


                     الحدود العليا للفئات




تمارين ومسائل:

1)      كانت درجات الحرارة في سبع عواصم في أيام الشتاء كما ياتي:

5 ، 8 ، -3 ، 10 ، 6 ، -4 ، -7  جد درجة الحرارة الوسيطة .


2)      اشترى تاجر 10 ساعات من أنواع مختلفة وكان ثمنها كما يأتي بالدولار :

20 ، 52 ، 44 ، 63 ، 34 ، 50 ، 60 ، 72 ، 36 ، 54 جد ثمن الساعة الوسيطي
ثالثا: المنوالMode     :

تعريف:
المنوال لمجموعة من القيم هو : القيمة التي تتكرر أكثر من غيرها ( القيمة الأكثر تكرارا )

وقد يكون لمجموعة القيم منوال واحد ، أو أكثر من منوال ، وقد لا يكون لها منوال .

1)      المنوال لقيم غير مبوبة :

مثال: أوجد المنوال للعلامات في كل حالة مما يأتي :

أ‌-       70 ، 82 ، 50 ، 73 ، 82 ، 90 ، 65

ب‌-     70 ، 82، 50، 73، 82، 90، 50

ت‌-     70، 82، 55، 73، 85، 90، 50

الحل:


1)      يوجد منوال للعلامات الواردة في فرع أ وهو  82 لأنها تكررت مرتين وبذلك تكون قد تكررت أكثر من غيرها من العلامات

2)      يوجد منوالان للعلامات الواردة في فرع ب وهما 82 ، 50 لان كلا منهما تكرر مرتين

3)      لا يوجد منوال للعلامات الواردة في فرع ت  لانه لا توجد علامة تكررت اكثر من غيرها من العلامات

2) المنوال للجداول التكرارية :


لايجاد المنوال في الجدول التكراري نبحث عن الفئة التي تكون تكراراتها أكبر عددا من تكرارات غيرها

وتسمى هذه الفئة بالفئة المنوالية ( وهي التي تضم المنوال) وفي هذه الحالة فان:

المنوال التقريبي = مركز الفئة

وقد يكون للجدول التكراري منوال واحد أو اكثر وقد لا يكون له منوال على الاطلاق








مثال: أوجد المنوال في كل من الجداول الآتية التي تمثل توزيع أعمار (40) طالبا في احدى المدارس :

جدول رقم (1)                         جدول رقم (2)                                     جدول رقم (3)

فئات الأعمار   التكرار
8-      7
10-    9
12-    7
14-    9
16-    8
فئات الاعمار   التكرار
8       6
10-    8
12-    10
14-    9
16-    7

فئات الأعمار   التكرار
8-      8
10-    8
12-    8
14-    8
16-    8

الحل:

في الجدول رقم (1) نلاحظ أن الفئة 12- يقابلها أكبر تكرار وهو 10 وعليه فهي الفئة المنوالية

ويكون مركزها هو المنوال.

اذن المنوال = 12 + 14 = 13
            2


        في الجدول رقم (2) نلاحظ أن كلا من الفئتين (10-) (14-) يقابلها أكبر تكرار وهو 9 وعليه تسمى

كل منهما بالفئة المنوالية ويوجد منوالان .

المنوال الأول = مركز الفئة (10-) = 10 + 12 = 11
            2

     المنوال الثاني = مركز الفئة (14-) = 14+16 = 15
         2
        في الجدول رقم (3) لا يوجد منوال


تمارين ومسائل:

1-      كانت أعمار 6 طلاب كما يأتي بالسنوات،احسب كلا من الوسط والوسيط والمنوال لهذه الأعمار

12 ، 13، 16، 12، 15، 17


2-      سئل 15 طالب في الصف الثامن عن عدد الساعات التي يقضونها في الدراسة يوميا فكانت اجاباتهم كما

في الجدول الآتي:

عدد ساعات الدراسة     1       2       3       4       5       6
عدد الطلاب     1       2       2       5       3       2


احسب كلا من الوسط الحسابي والوسيط والمنوال لعدد ساعات الدراسة .
المئيناتPercentiles :


لقد درست سابقا مقاييس النزعة المركزية ومنها الوسيط الذي يعرف بانه القيمة التي يقل عناه أو يساويها نصف

القيم ويزيد عنها أو يساويها نصف القيم الآخر وذلك بعد ترتيب تلك القيم تصاعديا أو تنازليا . واذا استخدمت

النسبة المئوية في تعريف الوسيط فهو القيمة التي يقل عنها أو يساويها 50 % من القيم ويزيد عنها أو يساويها

 50% من القيم ( بعد الترتيب تصاعديا او تنازليا) وفي هذه الحالة يسمى الوسط ايضا المئين 50 ويرمز له

بالرمز م 50 والعدد 50 يسمى الرتبة المئينية .

المئين:

اذا تم ترتيب مجموعة من المشاهدات تصاعديا فان القيمة التي يكون اقل منها أو يساويها

س% من المشاهدات وأعلى منها أو يساويها ( 100 – س) % من تلك المشاهدات تسمى

المئين س ويرمز له بالرمز م س حيث تأخذ س القيم 1، 2، 3 ....99 .

ان حساب المئينات مفيد في كثير من التطبيقات العملية فقد يقر معلم اعطاء أحسن 10 % من الطلبة في امتحان

الرياضيات جوائز تقديرية ويحتاج بذلك معرفة العلامة الفاصلة التي تحد من يستحق هذه الجائزة أي أنه بحاجة

لمعرفة العلامة التي تقل عنها أو يساويها 90% من الطلبة . اذن فهو بحاجة لمعرفة المئين 90 .

سيتم شرح كيفية حساب بعض المئينات المشهورة مثل م 25 ، م 50 ، م 75  لجداول التوزيع التكرارية حسابيا

وبيانيا ، وسيستحسن حساب المئينات عندما يكون عدد القيم كبيرا نسبيا حتى لا يشترك أكثر من مئين بنفس

القيمة.


المئينات للبيانات المبوبة في جداول توزيع تكرارية :

يمكن استخدام التناسب لحساب قيم تقريبية لهذه المئينات كما هو مبين في المثال الآتي :
ملاحظة:   ( بمكن ايجاد المئين بالرسم من المنحنى التراكمي)
                     المدى الربعي = الربغ الثالث م 75   – الربع الاول م 25
مثال: الجدول التكراري المجاور يمثل علامات 40 طالبا في امتحان
الاحصاء : احسب لهذا التوزيع التكراري :

الفئات  التكرار
30-39          1
40-49          2
50-59          5
60-69          11
70-79          14
80-89          5
90-99          2
أ‌-       Lower quartile  م 25           
ب‌-     م 50
ت‌-     م 75 Upper Quartile
ث‌-     الرتبة المئينية  للعلامة  86 .


الحل: 
لارتباط المئينات بالتكرار التراكمي ، فاننا نكون جدولا بالتكرارت التراكمية للحدود الفعلية للفئات كما يأتي :

الحدود الفعلية للفئات    التكرار التراكمي
أقل من 539   1
أقل من 549   3
أقل من 559
م 25
8                  
10          
أقل من 569   19
أقل من 579   33

أقل من 589   38

أقل من599    40


أ‌-       المئين 25 ( م 25)Lower (first)  Quartile 

حيث أن الرتبة المئينة تساوي 25 فان عدد القيم التي تقل عن م 25 يساوي 25   × 40 = 10 قيم
                                                                                            10
بما أن عدد القيم التي تقل عن 559 يساوي 8 قيم وعدد القيم التي تقل عن أقل من 569 يساوي 19 قيمة ، اذن

القيمة العاشرة تقع بين 559 و  569 وباستخدام التناسب نجد أن :

م 25 -  559 = 10 - 8       
      569- 559        19 -8

م 25 -  559   =  2

         10      11

11(م 25 -  559) = 2× 10

         م 25 -  559 = 20   
           11
م 25 = 559 + 81= 361


أي 25% من العلامات تقل عن العلامة 361 .
ب‌-     م 50 الوسيط : Median (second Quartile) 50th percentile

عدد القيم التي تقل عن م 50 يساوي    50  × 40 = 20 قيمة .
                                             100

        
الحدود الفعلية للفئات    التكرار التراكمي
أقل من 539   1
أقل من 549   3
أقل من 559
         8

م50    أقل من 569
19                 
أقل من 579   33

أقل من 589   38

أقل من599    40







10

كما سبق في حساب م 25  فان عدد القيم هي أقل من 569 يساوي 19 قيمة وعدد القيم التي هي   أقل من 579



هو 33 قيمة اذن القيمة العشرون تقع بينهما وباستخدام التناسب نجد أن :


أي أن 50 % من العلامات تقل عن العلامة 270

ج- م 75: عدد القيم التي تقل عن م 75 يساوي  75 × 40 = 30 قيمة
                                                            100

الحدود الفعلية للفئات    التكرار التراكمي
أقل من 539   1
أقل من 549   3
أقل من 559
         8

م50    أقل من 569
19                 
أقل من 579   33

أقل من 589   38

باستخدام التناسب كما سبق فان: م 75 -    569 = 30 – 19 =   11  

            579 -  569    33- 19         14

14 (م 75 -    569) = 10× 11

م 75 -    569 =   10 × 11
        
                     14

م 75 = 569  +     10 × 11
           14
      = 569+ 97 = 477

أي 75% من العلامات تقل عن العلامة  477 .

د- الرتبة المئينية للقيمة 86 :  القيمة 86 تقع بين 579 ، 589 وباستخدام التناسب فان:

الحدود الفعلية للفئات    التكرار التراكمي
أقل من 539   1
أقل من 549   3
أقل من 559
         8

         أقل من 569   19                 
86     أقل من 579
33
   
أقل من 589   38


589 - 579    =   38   - 33
   86- 579    ك - 33

10      =         5 
56     ك -33

ك – 33 = 5 × 56
           10

ك = 33 + 253 = 2536 عدد القيم التي تقل عن 86 وعليه فان نسبة القيم التي تقل عن 86 تساوي :

2536    × 100% = 690 % أي ان رتبة المئينة للعلامة 86 هي 91% تقريبا .
   40

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق