السبت، 14 يناير، 2017

مقاييس التشتت

:مقاييس التشتت
تمهيد:
مسالة تجانس البيانات من الأشياء الهامة جدا في الإحصاء فمن الهام جدا أن نعرف أن البيانات التي تم جمعها متجانسة أو غير متجانسة لذلك مقاييس التشتت تحدد لنا تجانس البيانات من عدمه
أولا: المدى :خطوات ايجاد المدي
1 – نرتب البيانات ترتيبا تصاعديا او تنازليا
2 – نوجد اعلى قيمة في القيم Max واقل قيمة في القيم Min فيكون المدى يساوي:

كلما زادت قيمة المدى كلما كانت القيم غير متجانسة والعكس صحيح .
مثال (4-1): اوجد المدى للقيم التالية 2،4،6،,7،8،10 القيم مرتبة . أعلى قيمة 10 اقل قيمة 2 فيكون المدى w = 10 – 2 = 8
ثانيا: الانحراف المتوسط: هو الوسط الحسابي لفروقات القيم عن وسطها الحسابي بالقيمة المطلقة، وتختلف طريقة حسابه باختلاف طريقة تقديم البيانات:
1)      بيانات غير مبوبة: اذا كانت لدينا القيم التالية:  ،فإن انحرافها المتوسط يعطى بالمعادلة التالية:

مثال(4-2): اليك القيم التالية لإيجاد الانحراف المتوسط:6، 4، 16، 5، 21، 10.

ومنه :

2)      البيانات المبوبة: اذا كانت لدينا البيانات التالية:  ، تكراراتها على التوالي :  ، فان انحرافها المتوسط يعطى كالتالي:
         حالة البيانات المتقطعة:

مثال(4-3): اليك جدول المسودة التالي:
                                     
1       7       7       1,85  12,95
2       5       10     0,85  4,25
5       8       40     2,15  17,2
المجموع        20     57              34,4


         حالة البيانات المستمرة: تجدر الاشارة الى انه في حالة البيانات التي مدى فئاتها اكبر من الصفر، يتم استخدام مراكز الفئات ، وتكون معادلة الانحراف المتوسط كمايلي:

ملاحظة:الخاصية الايجابية للانحراف المتوسط انه يأخذ جميع القيم، لذلك درجة تأثره بالقيم الشاذة ضعيفة. على عكس المدى.
ثالثا:التباين والانحراف المعياري، والعزوم:
1)      التباين: هو عبارة عن متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي، ويسمى هذا المتوسط بالتباين:
أ‌.        البيانات غير المبوبة: اذا كانت لدينا القيم التالية:  ،فإن تباينها يعطى بالمعادلة التالية:

الطريقة الثانية:                    
مثال(4-4): المثال السابق(4-2):اليك البيانات التالية: ، 4، 16، 5، 21، 10:


ب‌.     البيانات المبوبة: اذا كانت لدينا البيانات التالية:  ، تكراراتها على التوالي :  ، فان التباين يعطى كالتالي:
         حالة البيانات المتقطعة:

مثال (4-5):نعود الى نفس المثال السابق رقم(4-3):
                                     
1       7       7       3,42  23,94
2       5       10     0,493         2,465
5       8       40     4,622         36,98
المجموع        20     57              63,385

         حالة البيانات المستمرة: تجدر الاشارة الى انه في حالة البيانات التي مدى فئاتها اكبر من الصفر، يتم استخدام مراكز الفئات ، وتكون معادلة التباين كمايلي:


الطريقة الثانية:                              
أي أنه عبارة عن: 

2)      الانحراف المعياري: من أهم مقاييس التشتت الانحراف المعياري و يرمز له بالرمز سيقما   و يعرف بأنه الجذر التربيعي للتباين  ويحسب بالطريقة التي تم حساب التباين بها.
         فوائد الانحراف المعياري:
-معرفة طبيعة توزيع أفراد العينة. ..أي مدى انسجامها .
-يفيدنا في مقارنة مجموعة بمجموعة أخرى.

أ‌.        البيانات غير المبوبة: اذا كانت لدينا القيم التالية:  ،فإن انحرافها المعياري يعطى بالمعادلة التالية:


مثال(4-6): المثال السابق(4-2):اليك البيانات التالية: ، 4، 16، 5، 21، 10:


ب‌.     البيانات المبوبة: اذا كانت لدينا البيانات التالية:  ، تكراراتها على التوالي :  ، فان الانحراف المعياري يعطى كالتالي:
         حالة البيانات المتقطعة:

مثال (4-7):نعود الى نفس المثال السابق رقم(4-3):
                                     
1       7       7       3,42  23,94
2       5       10     0,493         2,465
5       8       40     4,622         36,98
المجموع        20     57              63,385




         حالة البيانات المستمرة: تجدر الاشارة الى انه في حالة البيانات التي مدى فئاتها اكبر من الصفر، يتم استخدام مراكز الفئات ، وتكون معادلة الانحراف المعياري كمايلي:

ملاحظة:
ياخذ الانحراف المعياري في الحسبان جميع القيم، كما ان قيمته صغيرة وبالتالي يمكن ان تعطي خلاصة واضحة عن مدى تباعد القيم، اذ كلما كانت هذه القيمة صغيرة دل ذلك على ان القيم ليست متباعدة عن الوسط الحسابي وبالتالي فهي اقل تشتتا ووسطها الحسابي يمثلها تمثيلا جيدا، وعلى العموم يمكننا القول ان القيم غير مشتة اذا كان الانحراف المعياري يمثل اقل من   من وسطها الحسابي.
3)      العزوم: اذا كانت لدينا البيانات التالية:  ، حيث N عدد القيم، فان العبارة:


تسمى بالعزوم من الدرجة q.(حيث qعدد طبيعي)، اذا كان  يكون العزم مساويا للوسط الحسابي.
يسمى العزم من الدرجة q بالنسبة للوسط الحسابي، بالعزم المركزي، ويعرف كما يلي:µ
         حالة البيانات غير المبوبة:

         حالة البيانات المبوبة:

ملاحظة:
اذا كان:   يكون: .
اذا كان:   يكون:  اي التباين.


رابعا:الانحراف الربيعي ومعامل الاختلاف.
1)      الانحراف الربيعي: اذا كان لدينا بيانات احصائية ربيعها الاول هو  زربيعها الثالث هو  ، فان انحرافها الربيعي يعطى كمايلي:

         الانحراف الربيعي النسبي:

ملاحظة: الانحراف المتوسط=اربعة اخماس الانحراف المعياري، اي: 
و الانحراف الربيعي= ثلثي الانحراف المعياري، اي: 
2)      معامل الاختلاف: هو عبارة عن النسبة المئوية للانحراف المعياري على الوسط الحسابي ، ويعطى بالمعادلة التالية:

خامسا: الربيعات، العشيرات، والمؤينات:
1)      الربيعات: يمكننا تقسيم اي مجموعة من البيانات الى اربع اقسام متساوية بعد ترتيبها تصاعديا، يفصل بين كل قسم وقسم مايسمى بالربيع ونرمز للربيعات ب  حيث:  .
أ‌.        الربيع الاول(الادنى):
         حالة البيانات غير المبوبة:   نقوم بترتيب القيم تصاعديا، ثم نقوم بحساب رتبة الربيع الاول:

مثال(4-8): اليك البيانات بعدما تم ترتيبها تصاعديا:2، 4، 5، 8، 10، 13، 15.

وعليه 
بنفس الطريقة يمكننا الحصول على الربيع الثاني، والربيع الثالث:
الربيع الثاني:


الربيع الثالث(الاعلى):


2)      العشيرات: يمكننا تقسيم اي مجموعة من البيانات الى 10 اقسام متساوية بعد ترتيبها تصاعديا، يفصل بين كل قسم وقسم مايسمى بالعشير ونرمز للعشيرات ب  حيث:
  .
ب‌.     العشير الاول:
         حالة البيانات غير المبوبة:   نقوم بترتيب القيم تصاعديا، ثم نقوم بحساب رتبة العشير الاول:

مثال(4-8): اليك البيانات بعدما تم ترتيبها تصاعديا:2، 4، 5، 8، 10، 13، 15.

وعليه 
بنفس الطريقة يمكننا الحصول على العشير السادس، والعشير التاسع:
العشير السادس:


العشير التاسع:


)        المئوينات: يمكننا تقسيم اي مجموعة من البيانات الى 100 قسم متساوية بعد ترتيبها تصاعديا، يفصل بين كل قسم وقسم مايسمى بالمؤين ونرمز للمؤينات ب  حيث:
  .
ت‌.     المؤين الخامس والاربعون:
         حالة البيانات غير المبوبة:   نقوم بترتيب القيم تصاعديا، ثم نقوم بحساب رتبة المؤين الخامس والاربعون:

مثال(4-8): اليك البيانات بعدما تم ترتيبها تصاعديا:2، 4، 5، 8، 10، 13، 15.

وعليه 
بنفس الطريقة يمكننا الحصول على المؤين الثمانون، والمؤين التاسع والتسعون:
المؤين الثمانون:


المؤين التاسع والتسعون:



         حالة البيانات المبوبة:  في هذه الحالة يتم استبدال بمجموع التكرارات :
نحسب الرتبة:

K في الربيعيات تاخذ القيم من1،...،4.
K في العشيرات تاخذ القيم من1،...،10.
Kفي المؤينات تاخذ القيم من 1،...،100.
ثم نبحث عن الرتبة في التكرار المتجمع الصاعد ، ونستخرج القيمة  المقابلة لها.
في الحالة المتقطعة:
مثال(4_9): اليك الجدول التالي:
                   
0       71     71
1       146   217
2       269   486
3       414   900
4       414   1314
5       233   1547
6       145   1692
7       73     1765
8       35     1800
المجموع        1800
الربيع الاول:

بالعودة الى التكرار المتجمع الصاعد نحدد الرتبة وعليه يمكننا الحصول على قيمة الربيع الاول  .
الربيع الثاني:

 الربيع الثالث:


العشير السادس:

بالعودة الى التكرار المتجمع الصاعد نحدد الرتبة وعليه يمكننا الحصول على قيمة العشير السادس  .
العشير التاسع:



المؤين الخامس والعشرين:

بالعودة الى التكرار المتجمع الصاعد نحدد الرتبة وعليه يمكننا الحصول على قيمة المؤين الخامس والعشون  .
المؤين الخامس والثمانون:

حالة البيانات المستمرة: تجدر الاشارة بانه في هذه الحالة يتم حساب الربيعيات او العشيرات او المؤينات تتم بنفس طريقة ايجاد الوسيط.
يتم حساب اولا الرتبة :

K في الربيعيات تاخذ القيم من1،...،4.
K في العشيرات تاخذ القيم من1،...،10.
Kفي المؤينات تاخذ القيم من 1،...،100.
ثم نبحث عن الرتبة في التكرار المتجمع الصاعد ، ونستخرج الفئة المقابلة لها، ثم نحسب هذه المقاييس بالصيغة التالية:

B       القيمة المراد حسابها ( الربيعيات، العشيرات، المؤينات)
D      الحد الادنى للفئة المعينة
         الرتبة المراد ايجادها
L       طول هذه الفئة
         التكرار المتجمع السابق لترتيب القيمة
         التكرار المطلق للفئة المعينة.


مثال (4-10): لتوضيح عملية حساب هذه المقاييس بالمعادلة اعلاه نعتمد على الجدول التالي:
الفئات           
         55     55
         115   170
         200   370
         80     450
         150   600
         125   725
         100   825
         175   1000
         1000
         حساب الربيع الاول:


         حساب الربيع الثالث:


         حساب العشير الرابع:



         حساب العشير التاسع:


         حساب المؤين 30:


         حساب المؤين 65:


ملاحظة:    


ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق