السبت، 14 يناير، 2017

الوسيط

الوسيط ( و)  :Median 
يعرف الوسيط على أنه القيمة التي يصغرها 50% من البيانات ويكبرها 50% من البيانات . أي أنه القيمة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها . أو القيمة التي يسبقها عدد من الدرجات مساويا ً لعدد الدرجات التي تليها بشرط أن ترتب هذه البيانات ( الدرجات ) ترتيبا ً تصاعديا ً أو تنازليا ً , فإذا عرفنا قيمة الوسيط لمجموعة من الدرجات مثلا ً استطعنا أن نحكم بأن هناك 50% أفضل من درجة الوسيط و50% أقل مستوى من درجة الوسيط .
طرق حساب الوسيط :
يمكن أن نحسب الوسيط في الحالتين :
أولا ً : من البيانات الخام ( غير المبوبة ) :
لحساب الوسيط من القيم غير المصنفة في جدول تكراري هناك حالتان :
إما أن يكون عد القيم فرديا ً أو زوجيا ً ولنأخذ كل حالة على حدة :
(أ) إذا كان عدد القيم فرديا ً :
تتلخص الخطوات فيما يلي :
1- ترتب القيم تصاعديا ً أو تنازليا ً أي من الصغير إلى الكبير أو بالعكس .
2- نجد رتبة الوسيط ( و ) من العلاقة .
رتبة و  =             حيث ن = عدد البيانات ( عدد أفراد المجموعة ) .
              فيكون الرقم أو الدرجة المقابلة لهذه الرتبة هو الوسيط المطلوب .
مثال :
احسب الوسيط للبيانات التالية :
12, 17 , 8 , 29 , 25 , 15 , 19 .
الحل :
نرتب البيانات :  8 , 12 , 15 , 17 , 19 , 25 , 29 .
رتبة و = 
=   = 4
إذن القيمة التي ترتيبها الرابعة هي الوسيط = 17
(ب) إذا كان عدد القيم زوجيا ً :
في هذه الحالة سيكون لدينا وسيطين ( قيمتين وسطيتين ) و1 , و2 , والوسيط المطلوب هو متوسط هذين الوسيطين وإليك خطوات حسابها :
1- ترتب البيانات تصاعديا ً أو تنازليا ً .
2- نجد رتبة الوسيط الأول    و1   من العلاقة
رتبة   و1  =         والرقم المقابل لهذه الرتبة هو الوسيط الأول  و1
3- نجد رتبة الوسيط الثاني  و2  من العلاقة 
رتبة   و2  =        +1          والرقم المقابل هذه الرتبة هو الوسيط الثاني   و2
4- نجد الوسيط المطلوب من العلاقة :
                                             و = 
مثال :
احسب الوسيط للقيم التالية :
12 ,  17 , 15 , 8 ,19 , 25 , 29 , 22 .
الترتيب :
8 , 12 , 15 , 17 , 19 , 22 , 25 , 29 .
رتبة   و1  =       = 4        قيمة  و1  = 17 .
إذن قيمة  و1 = 17
رتبة  و2  =      +1  =     4+1   = 5
إذن قيمة  و2 = 19
                    إذن  و =          = 18
ثانيا ً : حساب الوسيط من البيانات المصنفة في جدول تكراري
ولحساب الوسيط من جدول تكراري نتبع الخطوات التالية :
1- نجد التكرار المتجمع الصاعد .
2- نجد ما يسمى برتبة الوسيط عموما ً من العلاقة :
رتبة الوسيط =              
لاحظ أنها منتصف التكرارات .
ومنها نحدد فئة الوسيط وهي الفئة المقابلة للتكرار المتجمع الذي يساوي أو يزيد عن رتبة الوسيط عموما ً
3- نجد رتبة الوسيط من فئته من العلاقة .
رتبة الوسيط في فئته =  رتبة الوسيط عموما ً – التكرار المتجمع الصاعد السابق لفئة الوسيط
4- نطبق القانون التالي لحساب الوسيط :
                                        الحد الأدنى الحقيقي لفئة و +     × طول الفئة
والمثال التالي تطبيق على هذه الخطوات .
ف      ك       ك       ص  
25 – 34      3       3      
35 – 44      4       7      
45 – 54      6       13     التكرار المتجمع الصاعد السابق لفئة و
55 – 64      7       20    
65 – 74      11     31    
75 – 84      7       38    
85 – 94      2       40    
المجموع        40             

1- وجدنا   ك ص    ( التكرار المتجمع الصاعد )
2- رتبة    و  عموما ً     أو       =      =  20
إذن نجد أن فئة الوسيط  هي 55 - 64
3- رتبة  و  في فئة الوسيط  =   20 -  3  = 17
بما أن الوسيط =   الحد الأدنى الحقيقي لفئة   و   +      ×  طول الفئة
4-   و  = 54و5  +    × 10  = 64,5 
كما يمكن كتابة العلاقة  بالصورة التالية :
و = أ +         ×  ل
حيث أ = الحد الأدنى الحقيقي لفئة الوسيط .
 وبتطبيقها نرى :
                          و =  54,5  +   ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    × 10
                             =   54,5  +     × 10  =  64,5 
كما يمكن إيجاد الوسيط باستخدام التكرار المتجمع النازل بنفس الخطوات تقريبا ً مع تعديل صيغة العلاقة
إلى :
       و = الحد الأعلى الحقيقي لفئة    و  -                        × ل
أي نجد رتبة الوسيط عموما ً  =     
ومنها نحدد فئة الوسيط وهي الفئة المقابلة للتكرار المتجمع الذي يساوي أو يقل عن رتبة الوسيط عموما ً .
ثم نجد رتبة الوسيط في فئته وهي :  رتبة الوسيط عموما ً – التكرار المتجمع اللاحق لفئة الوسيط .
ثم تطبيق العلاقة أعلاه كما في المثال التالي
احسب الوسيط بطريقة التكرار المتجمع النازل لنفس المثال السابق :
ف      ك       ك       ن     
25 – 34      3       40    
35 – 44      4       37    
45 – 54      6       33     التكرار المتجمع الصاعد السابق لفئة و
55 – 64      7       27    
65 – 74      11     20    
75 – 84      7       9      
85 – 94      2       2      
المجموع        40             

رتبة  و عموما ً  =            = 20
ومنها  فئة  و =  65-74
رتبة  و عموما ً  =  20  -  9  = 11
إذن  و  =   74,5  -       × 10
        =  74,5  - 10 
                      =   64,5    وهو نفس الجواب السابق .
مزايا وعيوب الوسيط :
مزايا الوسيط :
1- لا يتأثر الوسيط بالقيم المتطرفة من البيانات لذا يستخدم بدل المتوسط في مثل هذه الحالات .
2- لا تتأثر قيمة الوسيط كثيرا ً عند إعادة التوزيع التكراري .
3- يمكن استخدامه في حالة الجداول ذات الفئات المفتوحة لأنه لا يعتمد على مراكز الفئات .
عيوب الوسيط :
1- لا يأخذ في الاعتبار جميع البيانات بل يعتمد على جزء منها كما رأينا في طريقة حسابه .
2- تختلف قيم الوسيط من عينة إلى أخرى لنفس المجتمع بعكس المتوسط .
المنوال ( مل ) : Mode 
هو أقل مقاييس النزعة المركزية دقة لذا يستعمل هذا المقياس في حالة المقارنات السريعة التي لا تتطلب دقة , بل أن بعض الحالات لا يوجد لها منوال .
وبعرف المنوال لمجموعة من البيانات بأنه القيمة التي لها أكبر تكرار أو الخاصية الأكثر انتشارا ً أو شيوعا ً . فلو كان لدينا القيم التالية :
                             8 , 7 , 5 , 8 , 4 , 8 , 9 , 7
نجد أن المنوال هو 8 لأن القيمة 8 تكررت أكثر من أية قيمة أخرى . كما يمكن أن يكون لمجموعة من القيم أكثر من منوال واحد , فلو افترضنا أن لدينا مجموعة القيم التالية :
                        9 , 8 , 12 , 9 , 5 , 9 , 12 , 7 , 12 .
نرى أن كل من الرقم  9 والرقم 12 تكرر ثلاث مرات إذن في هذه الحالة لدينا منوالين هما 12,9 .. وهكذا ..
طرق حسابه :
يحسب من الدرجات الخام ( غير المبوبة ) كما مر معنا ويعبر عنه بأنه القيمة التي لها أكبر تكرار أو الأكثر شيوعا ً , أما في حالة البيانات المصنفة في جدول تكرار فيمكن حسابه كما يلي :
1- الطريقة الحسابية :
وبها يمكن اعتبار مركز الفئة المقابلة لأكبر تكرار في التوزيع هو المنوال كما في المثال التالي :
            مثال : احسب المنوال من الجدول التكراري التالي :
ف      ك       مركز الفئة ( س )
5-9    2       7
10-14         5       12
15-19         8       17
20—24      12     22
25-29         9       27
30-34         7       32
35-39         2       37

          نرى أن الفئة 20 – 24 مقابلة للتكرار 12 وهو أكبر تكرار ومركزها هو 22 .           
                                        إذن المنوال = 22
ويمكن إيجاد المنوال حسابيا ً وفقا ً للخطوات التالية :
أ- نعين الفئة لأكبر تكرار ( الفئة المنوالية ) وليكن تكرارها (  ك )
ب- نحدد التكرار السابق لهذه الفئة وليكن ك1 .
ج – نحدد التكرار اللاحق لهذه الفئة وليكن ك2.
د- نعين الحد الأدنى الحقيقي للفئة المنوالية وليكن أ .
ثم نطبق القانون :
مل =  أ+            × ل
حيث         د1 =   ك – ك 1
              د2 =  ك  – ك2
               ل = طول الفئة .
مثال :
أوجد المنوال حسابيا ً للجدول في المثال السابق
الحل :
الفئة المنوالية هي 20 – 24
  الحد الأدنى الحقيقي لها = 19,5   وتكرارها ( ك ) = 12
التكرار السابق لها ( ك 1) = 8
التكرار اللاحق لها ( ك 2 ) = 9
طول الفئة (ل ) = 5
إذن مل =  19,5       ×5
=  19,5 +  
= 19,5 + 2,86 = 22,36
مزايا المنوال : 1- يتميز المنوال بسهولة حسابه . - 2لا يتأثر بالقيم المتطرفة في البيانات .
عيوب المنوال : 1- لا يأخذ في الاعتبار جميع البيانات . 2- تتأثر قيمته عند إعادة التوزيع واستخدام فئات جديدة .
3- أقل مقاييس النزعة المركزية دقة .
4- قد لا نجد منوالا ً لبعض التوزيعات .

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق