المتطابقات المثلثية

المتطابقات المثلثية :Trig Identities

انت تعلم ان 3س + 2س= 5س هي جملة صحيحة مهما كانت قيمة س ، مثل هذه الجمل الصحيحة دائما تسمى متطابقات .

يمكن استنتاج بعض المتطابقات المثلثية من المثلث أ ب ج قائم الزاوية في ب:

أولا : ظا ج = جا ج

                   جتا ج

ثانيا : جا 2 ج+ جتا2 ج = 1  

مثال : اثبت صحة المتطابقة :( جاس -جتاس2 ) = 1- 2جاس جتاس

الحل : الطرف الايمن = (جاس – جتاس )2

                            =جا2 س+ جتا2 س -2جاس جتاس

                            =1 -2جاس جتاس     (لان جا2 س+ جتا2 س =1)

                            = الطرف الايسر وهو المطلوب

 أسئلة :

1)      تحقق من أن جتا2 30 - جا2 30 = جتا 60

2)      تحقق من ان 2جا30 جتا30 =جا60

3)      تحقق من ان 2جتا2 30 -1 = جتا 60

    4) اثبت صحة المتطابقة ظا س +   1  =    1

                                             ظا س   جاس جتاس

المعادلات المثلثيةtrig equations   

تعلمت أن  الجملة ((3س -4 =5 )) تسمى المعادلة ،وأن حل المعادلة هو ايجاد قيمة المجهول (س) والذي يجعل الجملة المفتوحة صحيحة ، وكذلك الحال فإن الجملة المفتوحة التي تشمل على نسبة مثلثية او اكثر تسمى معادلة مثلثية وان حلها هو ايجاد قيمة الذي يجعل هذه الجملة صحيحة.

مثال : حل المعادلة المثلثية التالية : 2جاس – 1 = صفر ، حيث س زاوية حادة.

الحل : المقصود بحل المعادلة المثلثية هو ايجاد قياس الزاوية س ، والتي تجعل الطرف الأيمن مساويا للطرف الايسر .

بما أن 2جا س-1 = صفر

2جا س =1

اذن جا س = 1  ، اي ان س = 30

                 2

مثال : حل المعادلة المثلثية التالية 3ظا س + 2 = 2ظا س +3 ، س زاوية حادة

الحل : 3ظاس + 2 = 2ظاس +3

          ظا س = 1 ، اي ان س =45(زاوية الخاصة)

اسئلة :

1)      اذا كان ظا أ = 3‚ 0 ، حل المعادلة س جا أ – جتا أ = صفر

2)      جد قيم س التقريبية التي تحقق المعادلة :( 4جاس -1)(3جاس-2) =0

3)      حل كلا من المعادلات التالية :

أ)  ظا س -1 = صفر              ب) 2جا2س -1

   

حل المثلث القائم الزاوية Solving right angled triangle

تعلم أن للمثلث ستة عناصر هي ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا ، ويتعين اي مثلث اذا

علمت قياسات اي ثلاثة عناصر فيه على ان يكون أحدها ضلعا على الاقل .

ويقصد بحل المثلث ايجاد قياسات العناصر المجهولة فيه ، وحيث ان دراستنا

ستقتصر على القائم الزاوية ،فإن أحد العناصر المعلومة لنا ستكون الزاوية القائمة ،

ويبقى عنصران اخران احدهما ضلع على الاقل ، كما نرى في الحالتين:

اولا : حل المثلث القائم الزاوية اذا علم منه طول ضلع وقياس زاوية حادة:

مثال : حل المثلث أ ب ج القائم الزاوية في ب،    أ

والذي فيه قياس زاوية أ = 60 ،

أب = 8سم .

الحل: في هذا المثلث ثلاثة عناصر معلومة هي :

قياس زاوية ب = 90 ، قياس زاوية أ = 60 ،

اب =8سم

اما عناصره المجهولة فهي :

قياس زاوية ج   ،   طول أج  ، زاوية ب ج     ب                                ج

                                                                        8سم

*قياس زاوية ج = 90 – قياس زاوية أ =

 90- 60 =30

*لايجاد طول أج نعلم ان :

جتا 60 = أب           1  = 8

          أج           2      أج

أج = 2×8 = 16سم

* لايجاد طول ب ج نعلم ان ظا 60 = ب ج

                                                أ ب

 = ب ج            ب ج= 8×  =   سم

          8

ثانيا : حل المثلث القائم الزاوية اذا علم طولا ضلعين فيه.

مثال : حل المثلث أ ب ج القائم الزاوية في ج ، والذي فيه ب ج = 16سم ،أب=20سم.               أ

                                               20سم

ج

الحل :

في هذا المثلث ثلاثة عنصر معلومة هي :

قياس زاوية ج =90 ، ب ج =16سم ، أب=20سم

أما عناصره المجهولة فهي:

قياس زاوية ب     ،        قياس زاوية أ     ،           طول أج

قياس زاوية ب ، نعلم ان جتا ب = ب ج

                                           أ ب

جتا ب = 160 = 8‚ 0 ( باستخدام الآلة الحاسبة أو الجداول)

             20                         

اذن قياس زاوية ب = 8699‚ 36 ≈ 37

لايجاد قياس زاوية أ = 90 – قياس زاوية ب = 90-37 =53

لايجاد طول أج نعلم أن : جا 37 = أج             6018‚ 0 = أج

                                           أب                              20

ومنه = أج = 20× 6018‚ 0 ≈ 12سم

أسئلة :

1) احل المثلث أ ب ج القائم الزاوية في ب ، والذي فيه قياس زاوية أ= 54 ،

ب ج =16سم.

2) أ ب ج مثلث متساوي الساقين فيه أب=أج ، قياس زاوية أ = 76 ،ب ج =80سم . اجد طول أ ب

3) سلم حريق طوله 18متر ، اسند على حائط منزل ليصل الى نافذة ، فإذا كان قياس الزاوية التي تصنعها قاعدة السلم مع الارض 32 اجد ارتفاع عن الارض.

زوايا الارتفاع والانخفاضAngle of elevation and depression

من اهم تطبيقات التي يمكن ان تستفيدها من حساب المثلثات حساب المسافات والتي لا يمكن قياسها بصورة مباشرة لسبب او لاخر فمثلا : لا نستطيع قياس ارتفاع برج عال بالمتر العادي ، وكذلك لا نستطيع معرفة بعد شخص ما عن طائرة بالمقاييس العادية المعروفة .

ولكن يمكننا حساب هذه المسافات بسهولة ، باستخدام النسب والعلاقات المثلثية وقبل ان نبدأ عملية قياس هذه المسافات يجب ان ندرس نوعا من الزوايا يسمى بزوايا الارتفاع وزوايا الانخفاض.

ملاحظة :

زاوية الارتفاع من نقطة = زاوية الانخفاض من نفس النقطة

وتكون زاوية الارتفاع محصورة بين مستوى النظر الطبيعي وشعاع العين

وكذلك زاوية الانخفاض محصورة بين مستوى النظر وشعاع العين.

مثال : من نقطة تبعد 40 مترا عن قاعدة مئذنة ، قاس شخص زاوية ارتفاع قمة المئذنة فوجد ان قياسها 32 . ما ارتفاع المئذنة لأقرب متر؟

الحل : لايجاد ارتفاع قمة المئذنة ب ج                                        ج

ظا 32 = ب ج 

              أ ب

6249‚ 0 =  ب ج

                   40

ب ج = 40 × 6249‚ = 996‚24                      32                       

اذن ارتفاع قمة المئذنة ≈ 25م.                           ا         40            ب

اسئلة :

1) من نقطة على بعد 80 مترا من قاعدة برج رأسي ، وجد أن قياس زاوية ارتفاع قمة البرج 48 . فما ارتفاع البرج؟

2) شاهد شخص من فوق قمة تل ارتفاعه 300متر أن قياس زاوية انخفاض نقطة في المستوى الافقي المار بقاعدة التل هي 37. جد بعد النقطة عن قاعدة التل لأقرب متر.

3) مئذنة ارتفاعها 35مترا. جد قياس زاوية ارتفاع  قمتها من نقطة على بعد 25 مترا وتقع في المستوى الافقي المار بقاعدتها.

4) رصدت زاوية انخفاض قارب من قمة منارة ارتفاعه 42 مترا عن سطح البحر فكان قياسها 19 .جد بعد القارب عن قاعدة المنارة.                     

                   المتتاليات والمتسلسلات

   المتتاليات ( المتتابعات) Sequences

تواجهنا في كثير من الأحوال مجموعات من الأعداد نهتم بترتيب عناصرها بحيث يكون لدينا في كل حالة : عنصر أول ، عنصر ثان ، عنصر ثالث ، . . . نسمي كلا من الأعداد من هذه المجموعات المرتبة متتالية ( متتابعة ) تمييزا لها عن المجمعات العادية التي درسناها سابقا والتي لا أهمية للترتيب بين عناصرها. 

المجموعات المرتبة متتالية ( متتابعة ) تمييزا لها عن المجمعات العادية التي درسناها سابقا والتي لا أهمية للترتيب بين عناصرها. 

مثال : المجموعة المرتبة : 2 ، 4 ،6 ، 8 ، . . . هي متتالية المعروفة ، متتالية الأعداد الزوجية الموجبة .

نسمي العدد 2 الحد الأول في المتتالية والعدد الثاني فيها ،. . . وهكذا.

مثال: المجموعة المرتبة : 1 ، 3 5 ، . . . هي متتالية الاعداد الفردية الموجبة  ، حدها الأول = 1 ، وحدها الثاني = 3 ،. . . وهكذا.

الحد العام للمتتالية : General term of a sequence

بوجه تتوالى حدود المتتالية بانتظام أي تكون هذه الحدود وفق نمط أو قاعدة معينة بحيث نستطيع في المتتالية إذا عرف ترتيب الحد . الحدالذي رتبته ن يسمى النوني أو الحد العم في المتتالية ويرمز له بالرمز ح .

مثال: اكتب المتتالية التي حدها العام ح ن= 2ن + 3

الحل : للحصول على حدود المتتالية ح1 ، ح2 ، ح3 ، . . . نعوض قيم ن: 1 ، 2 ، 3 ، . . .

 في قانون الحد العام

إذن ح 1= 2 × 1 + 3 = 5

      ح2= 2 × 2 + 3 = 7

      ح3  = 2 × 3 + 3  = 9

    وتكون المتتالية هي : 5 ، 7 ، 9 ، . . .

اسئلة :

السؤال الاول :

   اكتب الحدود الخمسة الاولى من المتتاليات التالية :

1)ح ن=3ن+ 1

2)ح ن=ن2+1

3)ح ن = (ن+1)2

4)ح1=3 ، ح ن+1 = ح ن +5

السؤال الثاني:

 اكتب الحد العام للمتاليات التالية :

أ) 

ب) 1 ،8 ،27 ،. . . .

ج)7 ،7 ،7 ،. . . . .

المتسلسلات ورمز المجموع Series and Sigma notation

عرفنا فيما سبق أن المتتالية هي مجموعة مرتبة من الأعداد الحقيقية وفق قاعدة معينة ويفصل بين حدودها الإشارة ((،)) ولكن إذا استبدلنا إشارة ((،)) بإشارة الجمع ((+)) فإن المتتالية تسمى متسلسلة فمثلا: 2 ، 5 ، 8 ، . . . متتالية أم المجموع : 2 + 5 + 8 + . . . فيسمى متسلسلة وللتعبير عن هذا المجموع نستخدم رمزا خاصا يسمى∑ ( ويقرأ سيجما )

مثال  : أوجد المجموع : ( 2ر + 5 ) 

الحل : نعوض قيم ر :  1 ، 2 ، 3 ، 4 في الحد العام

المجموع = (2 × 1+ 5) +(2 × 2+ 5) + ( 2 × 3 + 5 ) + ( 2 × 4 + 5 )

           = 7 + 9 + 11 + 13 = 40

مثال : إذا كان أ  =  3ر ، ب  =   ر  ، أوجد قيم أ ، ب . ما العلاقة بينهما ؟ ماذا نستنتج ؟

الحل :

أ = 3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = 30

ب= 1 + 2 + 3 + 4 = 10

نلاحظ أن أ = 3 ب

المتتاليات والمتسلسلات الحسابية :Arithmetic  progression

اتفق مقاول أن يحفر بئرا عمقه 6 أمتار على أن يتقاضى مبلغا قدره 50 دينارا عن أول متر يحفره ، 75 دينارا عن المتر الثاني ، 100 دينار عن المتر الثالث . . . وهكذا

يريد صاحب البئر معرفة كم يكلفه حفر المتر السادس من البئر ،/ وكم يكلفه حفر البئر كله .

كتب صاحب البئر الاجرة التي سيدفعها للمقاول عن كل متر يحفره مستخدما النمط السابق نفسه وهو زيادة منتظمة قدرها 25 دينارا  ، فكتب المتتالية :50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175.

استنتج صاحب البئر أن المتر السادس يكلفه 175 ، وأن تكاليف حفر البئر كله هي :

50 + 75 + 100 + 125 + 150 + 175 = 675 دينارا.

تسمى المتتالية : 50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175  متتالية حسابية .

مثال :

 ميز المتتاليات أو المتسلسلات الحسابية من غيرها فيما يلي :

1) 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31                               2) 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20

3) متتالية الأعداد الأولية                                 4) ر + 7 ) ∑

الحل :

1) المتتالية 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31 حسابية لأن أساسها ثابت حيث 5 – 3 = 2 ، 7 – 5 = 2

2) المتسلسلة 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20  ليست حسابية لأن أساسها غير ثابت حيث 1 / 2 – 1 = - 1 / 2  ، بينما 1/3 – 1/2 = 1/6

3) متتالية الأعداد الأولية : 2 ،3 ، 5 ، 7 ، . . . ليست حسابية لأن 3 – 2 = 1

 بينما 5 – 3= 2 فأساسها غير ثابت

4) (ر + 7 ) ∑       = (1+7) + (2+7 ) + (3+7 ) + ( 4 + 7) + . . . + ( 10+ 7)

               

                          = 8 +9+10+. . . +17

فهي متسلسلة حسابية لأن أساسها ثابت حيث 9 - 8= 10 - 9 = 1      

الحد العام للمتتالية الحسابية:

لنأخذ المتتالية الحسابية : 3 ، 7 ، 11 ، 15 ،19، 23 ، 27 التي أساسها 4 ونلاحظ النمط التالي:

الحد الثاني ح2 = 7 = 3 + 4×1 = 3 + ( 2 – 1 )×4

الحد الثالث ح3 =11 = 3 + 4× 2 = 3 (3 – 1 ) × 4

                    

الحد السابع ح7 = 27 = 3 + 6 × 4 = 3 + (7 – 1 ) × 4

لاحظ أن كل حد = العدد 3 (الحد الأول )  + ( رتبة الحد – 1 ) × الأساس وهذا ينطبق أيضا على الحد الأول ،تحقق من ذلك.

بشكل العام : إذا كان الحد الاول لمتتالية حسابية هو أ وأساسها فإن الحد الثاني = أ + د ، الحد الثالث = أ + 2د والحد العاشر = أ + 9د ،وهكذا . . . ويكون الحد العام ( الحد النوني ) هو ح = أ = ( ن – 1 ) د

مثال :

 أوجد الحد الخامس في المتتالية الحسابية التي حدها الأول 2 وأساسها 5. تحقق بكتابة الحدود الخمسة الأولى من المتتالية.

الحل :

أ = 2 ، د = 5

حن = أ + ( ن – 1 ) ن

ح5 = 2 + (5 – 1 ) ×5

ح = 2 + 4× 5 = 22

التحقق : المتتالية هي 2 ، 7 ، 12 ، 17 ، 22

الحد الخامس = 22 ، النتيجة صحيحة.

الأوساط الحسابية:Arithmetic mean

إذا أخذنا ثلاثة حدود متتالية من متتالية حسابية فإن الحد الأوسط منها يكون وسطا حسابيا للحدين الآخرين .

ففي المتتالية الحسابية : 5 ، 9 ، 13 ، 17 نلاحظ أن العدد 9 هو الوسط الحسابي للعددين المجاورين 5 ، 13 لأن 9 = 5 = 13  / 2 كما أن العدد 13 هو الحسابي للعددين المجاورين 9، 17.

مثال:

 أدخل 4 أوساط حسابية بين العددين 4 ،  29

الحل :

عند ادخال 4 أوساط حسابية بين 4 ، 29 تصبح المتتالية على النحو : 4 ، س ، س ، س، س ،29

وتكون أ = 4 ، ح = 29

ح = أ + 5د

29= 4 + 5 × د

25 = 5د          د = 5

تصبح المتتالية الحسابية : 4 ، 9 ، 14 ، 19 ، 24 ، 29 وتكون الاوساط هي 9 ،14 ، 19 ، 24

    مجموع المتسلسلة الحسابية :Sum of Arithmetic series

في عام 1787 م طلب معلم من تلاميذه أن يجمعوا جميع الاعداد الصحيحة من 1 إلى 100 أي

 1+ 2 + 3 + . . . + 100 لم تمض سوى دقائق قلقلة حتى فاجأه احد تلاميذ ويدعى جاوس ( وكان آنذاك في الصف الثالث ) بأن اعطاء الجواب الصحيح وهو 5050. سأله المعلم مندهشا كيف حصلت على الجواب ،

كتب جاوس الحل كما يلي :

ج = 1 + 2 + 3 + . . . + 100 ثم كتب المجموع نفسه بشكل معكوس

ج = 100 + 99 + 98 + . . . + 1

بالجمع 2ج = 1010 + 101+ 101 + . . . + 101    ( عدد  الحدود 100)

2ج = 101 × 100

ج = 101 × 100 / 2 = 50 ( 101 ) = 5050

مثال : أوجد مجموع أول 20 حدا من حدود المتسلسلة : 3 + 8 + 13 + . . .

الحل : المتسلسلة هي متسلسلة حسابية حدها الأول أ= 3 ، د = 5

ج = ن / 2  (2أ + ( ن – 1 ) د )

ج = 20 / 2 ( 2 × 3 + 19 × 5 ) = 10 ( 6 + 95 )

                                              = 10 × 101 = 1010

                             ألاحصاءStatistics    

مراجعة المفاهيم السابقة

مثال  : حصل 30 طالبا في الصف الثامن الاساسي في احدى المدارس على النتائج التالية في امتحان العلوم:

أ‌)       ما المدى لهذه النتائج؟

ب‌)     ضع هذه النتائج في جدول تكراري بفئات مداها 10 علامات مبتدئا بالفئة 40-

ت‌)     احسب التكرارات النسبية للفئات واثبت ان مجموعها = 1

ث‌)     من الجدول الناتج ما عدد الطلبة الذين تقل علاماتهم عن 60؟

ج‌)      من الجدول الناتج ما عدد الطلبة الذين علاماتهم 70 فأكثر ؟

الحل :

أ‌)       المدىRange = اكبر قيمة في المجموعة – اصغر قيمة في المجموعة

 = 90-40= 50

ب‌)     لانشاء الجدول التكراريFrequency table  نرسم جدولا من ثلاثة أعمدة كالتالي :

فئات العلامات  التكرار التكرار النسبيRelative frequency            

40

التكرار النسبي للفئة = تكرار الفئة 

                       التكرار الكلي                                   

                                  وعليه فمجموع التكرارات النسبية =    2 + 5 + 5  + 11 + 6+ 1 

                                                                            30  30   30 30   30   30

         = 1

د) عدد الطلاب الذين تقل علاماتهم عن 60هو : 5+2=7 ، لماذا؟

ج) عدد الطلبة الذين علاماتهم 70 فأكثر هو 11+6+1=18، لماذا؟

من الجدول السابق اكتب ما يلي :

أ‌)       الحد الاعلى للفئة الثانية

ب‌)     الحد الاعلى للفئة الرابعة

ت‌)     مركز كل من الفئات الاولى والثالثة

ث‌)     مثل الجدول بالمضلع التكراري

الحل: الحد الاعلى للفئة الثانية =50

الحد الاعلى للفئة الرابعة =80

مركز الفئة = الحد الادنى للفئة +الحد الاعلى للفئة

                                    

                                        2

مركز الفئة الاولى = 40+50

                              2

مركز الفئة الثالثة = 60+70

لتمثيل الجدول بيانيا بالمضلع التكراري :Frequency polygon

1)      نرسم محورين متعامدين ، بحيث يمثل المحور الافقي مراكز الفئات ويمثل المحور العمودي التكرارات بمقاييس رسم مناسب لكل من المحورين

2)      نجد مراكز الفئات ونعينها على المحور الافقي

3)      نضع فوق مركز كل فئة نقطة تبعد عنها رأسيا مسافة تمثل تكرار الفئة

4)      نضيف مركز الفئة السابقة وهي 30- وتكراراها صفر ومركز الفئة اللاحقة وهي 100 وتكرارها صفرايضا وذلك لاغلاق المضلع من كلا الطرفين على المحور الافقي .

5)      نصل بين كل نقطة والنقطة التي تليها بقطعة مستقيمة فيكون الشكل الناتج هو المضلع التكراري

                                    

المضلع التكراري لعلامات 30 طالبا

                                                   مراكز الفئات ( العلامات)

التمثيل بالرسم :Using Chart

أولا: التمثيل بالاعمدة    Bars:

تستخدم هذه الطريقة لتمثيل ظواهر غير مبوبة وتعتمد على استخدام مستطيلات اما رأسية او أفقية متباعدة تكون قواعدها متساوية كما تتناسب اطوالها مع القيم المتناظرة للظواهر المختلفة .

وتكون قواعد المستطيلات في حالة الاعمدة الرأسية مثلا على المحور الأفقي ( محور السينات ) كما تناظر أطوالها القيم على المحور العمودي ( محور الصادات)

مثال : اذا كان الراتب الشهري لموظف 400 دينار فاذا كانت مجالات انفاق الراتب لهذا الموظف كما في الجدول المجاور مثل هذا الجدول بيانيا بالاعمدة

مجالات الانفاق مقدار النفقات

الطعام  120

المسكن 80

الملابس         60

الدواء   30

السفر   40

التوفير 70

الحل: 

*نرسم محورين متعامدين (الافقي والرأسي).

 * نقسم المحور الافقي الى اقسام متساوية لتمثيل مجالات الانفاق

* نقسم المحور العمودي الى اقسام متساوية لتمثل النفقات

*نرسم المستطيلات الممثلة لمجالات الانفاق وقيم الانفاق المناظرة منها كما في الشكل المجاور

         مجالات الانفاق

ثانيا: التمثيل بالاعمدة المزدوجة:

تستخدم هذه الطريقة لتمثيل جداول تحوي ظاهرتين في آن واحد مثل جدول يحوي اسماء خمسة طلاب واوزانهم واعماهم او جداول يحوي اسماء ستة طلاب ونتيجة كل منهم في مبحثي الرياضيات والعلوم

مثال: القى كل من الطلبة : لؤي وامل وخالد وسعاد وسليم قطعة نقدية معدنية 100 مرة وسجل كل منهم عدد مرات ظهور الصورة وعدد مرات ظهور الكتابة وكانت النتيجة كما في الجدول الآتي :

الطالب عدد مرات ظهور الصورة       عدد مرات ظهور الكتابة

لؤي     56     44

امل     42     58

خالد     50     50

سعاد    54     46

سليم    40     60

مثل هذه النتائج بيانيا بالأعمدة المزدوجة

الحل:

نتبع خطوات الحل نفسها عند تمثيل البيانات بالأعمدة ، ولكن يكون لكل طالب في هذا المثال على المحور الافقي عمودان متلاصقان احدهما ليمثل عدد مرات ظهور الصورة والآخر عدد مرات ظهور الكتابة كما في الشكل المجاور . 

                        

اسم الطالب

ثالثا: التمثيل بالقطاعات الدائرية Pie Chart    :

تستخدم هذه الطريقة لتمثيل ظواهر غير مبوبة كما هو الحال في الأعمدة . والقطاع الدائري هو

جزء من دائرة محصور بين قطرين وقوس فيها وتعتمد هذه الطريقة على قسمة الدائرة الى

قطاعات دائرية بعدد الظواهر نفسها في الجدول ، ويكون ذلك بقسمة الزاوية المركزية للدائرة

وقياسها 360 الى زوايا مركزية بقدر عدد الظواهر بحيث يكون قياس الزاوية المركزية لكل قطاع دائري متناسبا مع التكرار أما الظاهرة .

اي أن قياس الزاوية المركزية للقطاع الدائري الذي يمثل ظاهرة ما = تكرار الظاهرة     × 360

                        مجموع التكرارات

لاحظ أن مجموع قياسات الزوايا المركزية لجميع القطاعات الدائرية = 360

أما بالنسبة المئوية للزاوية المركزية للقطاع فتساوي  :  تكرار الظاهرة     × 100%

                                 مجموع التكرارات

ويكون مجموع النسب المئوية للزوايا المركزية لجميع القطاعات الدائرية = 100% = 1

مثال:

تحوي مدرسة اساسية في قرية ستة صفوف فاذا كانت اعداد الطلبة في تلك الصفوف

كما في الجدول التالي:

الصف  عدد الطلبة

الأول الأساسي  36

الثاني الأساسي 34

الثالث الأساسي 32

الرابع الأساسي 30

الخامس الأساسي        23

السادس الأساسي         25

المجموع        180

1)      مثل اعداد هذه الصفوف بيانيا بالقطاعات الدائرية

2)      أوجد النسب المئوية لزوايا القطاعات الدائرية واثبت ان مجموعها = 100% .

الحل:

قياس الزاوية المركزية لقطاع الصف الاول الاساسي= عدد طلبة الصف     ×360

                                                                          عدد طلبة المدرسة

         = 36  × 360 = 72

            180

وكذلك قياس الزاوية المركزية لقطاع الصف الثاني الاساسي = 34     × 360 = 68

                 180

وبالمثل يمكن ايجاد  قياسات الزوايا المركزية لقطاعات الصفوف الأربعة الباقية وهي على

الترتيب : 64، 60،  46،   50     ( بين  ذلك ) .

ثم نرسم دائرة ونرسم أي نصف قطر منها ثم نقيس بواسطة المنقلة زاوية قياسها 72 فيكون

القطاع الناتج هو القطاع الممثل لعدد طلبة الصف الاول الأساسي .

ثم نرسم بجانب القطاع الاول قطاعا ثانيا وبزاوية مركزية قياسها 68 لتمثيل طلبة الصف الثاني الأساسي وهكذا بالتتابع .

                      

 توزيع الطلبة في مدرسة اساسية في احدى القرى

2) النسبة المئوية لزاوية قطاع الصف الاول الأساسي = 36    × 100% = 20%

                                                                      180

النسبة المئوية لزاوية قطاع الصف الثاني الأساسي = 34   × 100% =9, 18

                                                                180

وهكذا لبقية زوايا القطاعات .

تمارين ومسائل:

1)      باعت احدى المزارع كميات من الخضار والفواكه بالمبالغ المذكورة ازاء كل منها بالدنانير كما في

 الجدول التالي :

النوع   البندورة          الخيار  التفاح   البرتقال          الليمون

قيمة المبيعات  130   60     150   210   170

أ)  مثل هذا الجدول بيانيا بالأعمدة                                      ب)مثل هذا الجدول بيانيا بالقطاعات الدائرية

2)      يمثل الشكل المجاور مجالات نفقات احدى الشركات العاملة في مدينة الخليل بالدنانير سنويا. اعتمادا

على هذا الشكل أجب عن الأسئلة التالية :

أ‌)       ماذا يمثل المحور الأفقي؟

ب‌)     ماذا يمثل المحور العمودي؟

ت‌)     ما اكبر مجالات الانفاق في الشركة. وما مقداره بالدنانير؟

ث‌)     ما مقدار النفقات الخاصة بالنقليات؟

ج‌)      ما مجموع النفقات في جميع المجالات ؟

: تمثيل الجداول التكرارية بالمنحنياتFrequency Curves:

أولا: التمثيل بالمنحنى التكراري:

              لرسم المنحنى التكراري نتبع خطوات رسم المضلع التكراري نفسها والاختلاف الوحيد يكون في

      الخطوة الاخيرة حيث يتم التوصيل بين كل نقطة والنقطة التي تليها بمنحنى متصل املس باليد بدلا من القطع المستقيمة بالمسطرة.

مثال: كانت علامات 40 طالبا في أحد الصفوف في فحص التاريخ كما في الجدول التالي .مثل

الجدول بيانيا بالمنحنى التكراري:

فئات العلامات  التكرار( عدد الطلبة)    مراكز الفئات( العلامات)

المجموع        40    

علامات 40 طالبا في فحص التاريخ

         عدد الطلاب

التكرار

                 مراكز الفئات ( العلامات)

ثانيا: التمثيل بالمنحنى المتجمع الصاعدCumulative frequency Curve :

تلاحظ في المثال السابق ان التركيز كان محصورا في عدد من المفردات ( التكرار) الواقعة بين حدي الفئة

الواحدة .ولكن قد يكون من الضروري معترفة المفردات الذي يقل أو يزيد عن قيمة معينة

ففي المثال السابق قد يرغب المعلم معرفة عدد الطلاب الذين تقل علاماتهم عن العلامة 45 اوعدد الطلاب الذين

تزيد علاماتهم عن العلامة 72 ويساعد في ذلك جدول جديد يسمى الجدول التكراري المتجمع الصاعد كما يلي:

الجدول المتجمع الصاعد لعلامات 40 طالبا

الحدود العليا للفئات      التكرار المتجمع الصاعد

اصغر من 40  3

أصغر من48   8

أصغر من 56  14

أصغر من64   22

أصغر من 72  31

أصغر من 80  36

اصغر من 88  40

ويلاحظ ان التكرار المتجمع الصاعد الاكبر هو 40 ويساوي مجموع التكرارت

وتلاحظ أن عدد الطلبة الذين تقل علاماتهم عن العلامة 40 هو 3 طلاب

وان عدد الطلبة الذين تقل علاماتهم عن العلامة 48هو 3+5=8 طلاب

وان عدد الطلبة الذين تقل علاماتهم عن العلامة56 هو 3+5+6=14 طالبا .....وهكذا .

وكذلك اذا أردنا معرفة عدد الطلبة الذين علاماتهم 80 فما فوق فانها = مجموع الطلبة – عدد الطلبة الذين

علاماتهم أقل من 80 أي أنها = 40-36 = 4

وكذلك عدد الطلبة الذين علاماتهم 64 فما فوق 40- 22 = 18 .

ولرسم المنحنى المتجمع الصاعد بيانيا من الجدول المتجمع الصاعد نقوم بما يلي:

1)      نرسم محورين متعامدين ونقسم المحور الافقي الى أقسام متساوية لتمثيل الحدود العليا للفئات عليه .

2)      نقسم المحور العمودي الى أقسام متساوية لتمثيل الاعداد المتجمعة الصاعدة

3)      نضع فوق كل حد اعلى نقطة تبعد عنه رأسيا مسافة تمثل العدد المتجمع الصاعد المناظر لها.

4)      نضيف حدا أعلى سابقا وتكراره صفر لاغلاق المنحنى المتجمع الصاعد

5)      نصل بين هذه النقاط بمنحنى املس كما في الشكل .

المنحنى التكراري المتجمع الصاعد لعلامات 40 طالب

التكرار المتجمع الصاعد

الحدود العليا للفئات

تمارين ومسائل :

1)      كانت أوزان 60 قطعة ذهبية كما يأتي بالغرام :

فئات الأوزان   40-    45-    50-    55-    60-    65-    70-

عدد القطع       5       8       11     12     11     8       5

مثل هذا الجدول بيانيا بالمنحنى التكراري.

2)      صنفت ليلى علامات طالبات صفها في امتحان الرياضيات في الجدول التالي:

فئات العلامات  40-    50-    60-    70-    80-    90-

عدد الطالبات   5       8       6       9       6       5

مثل هذا الجدول بالمنحنى التكراري الصاعد ، ومن الرسم أجد عدد الطالبات اللواتي حصلن على علامة تزيد

عن 70 .