الاستدلال والبرهان

الاستدلال والبرهان

بنيت برامج التعليم المتوسط على كفاءات ينتظر تحقيقها من خلال حل مشكلات، ونشاط حل المشكلات يستدعي عدّة مهام، ينجزها التلميذ، ترتكز أساسا على ما يقوم به من استدلالات وتتمثل في:

- فهم المشكل (قراءة، ترجمة، ...).

- تخمين نتيجة.

- التجريب على أمثلة.

- التعليل.

- تحرير حل.

- تصديق نتائج.

- التبادل ( التبليغ ) حول الحل.

لذا يجب استغلال كل الفرص لتدريب التلاميذ على الاستدلال وتطوير قدراتهم على تقديم تخمينات وتبرير أجوبتهم والتعليلوتصديق أو عدم تصديق قضايا. ولا يتعلق الأمر بطبيعة الحال بمطالبة التلاميذ بتقديم (خطاب) رياضي صارم من البداية، إذْ سيأتي هذا تدريجيا، لكن ينبغي التمييز بين مرحلتين: أولاهما، وهي الأهم، وتتمثل في البحث وإنتاج حل، والثانية تنظيم وتحرير ما تم التوصل إليه.

ومن الأهمية أن نميّز بين الشرح والاستدلال والبرهان.

الشرح يكون من جهة المتكلم ويهدف إلى جعل نتيجة، مصدّقة من قبل المتكلم، مفهومة من طرف الغير.

الاستدلال كل انتقال من حكم إلى آخر من خلال مبادئ محددة للوصول إلى نتيجة أو خلاصة.

البرهان هو الاستدلال الذي نقر من خلاله حقيقة إثبات ما.

يمكن التمييز بين نوعين من الاستدلال في الميدان العلمي، وهما:

• الاستقراء، ويتمثل في الانتقال من معرفة حالات خاصة إلى القوانين (أو الخواص) التي تنظمها، من خلال دراسة عدّة أمثلة متجانسة.

• الاستنتاج، ويتمثل في النَّص، انطلاقا من قضية أو عدة قضايا تعتبر مقدّمات، على   قضية هي النتيجة الحتمية.

يمكن للأستاذ ملاحظة فيما إذا كان التلميذ يستدل أو لا، سواء كان المنتوج مكتوبا أو شفهيا، كما يمكنه تحديد نوع الاستدلال المستعمل ومنه مساعدة التلميذ على تطوير هذه الكفاءة.

البحث عن برهان وإنتاجه في الهندسة (هناك استراتيجيتان)

الاستراتيجية الأولى: تسلسل إلى الأمام

• ننطلق من المعطيات ونحاول استخلاص نتائج باستعمال الخواص الهندسية.

• تسمح هذه الاستراتيجية، في غالب الأحيان، باستخلاص عدّة نتائج، ولكنّننا لسنا متأكدين من أنّ إحداها يؤدي إلى حل المشكل.

الاستراتيجية الثانية: تسلسل إلى الخلف

• ننطلق من المطلوب ونحدّد قائمة الخواص الهندسية التي تؤدي إلى هذا المطلوب.

• نعيّن، من أجل كل خاصية، شروط استعمالها، كما نحدّد فيما إذا كان الشكل الموافق لها موجود في الرسم المنجز، ما يسمح باختيار خاصية من بين هذه الخواص.

• بعدها، يلزم إثبات شروط استعمال الخاصية المختارة، إذا لم تكن معطى من المعطيات.

• لإثبات شرط (أو شروط) الخاصية المختارة، يمكن استعمال التسلسل الخلفي من جديد، أو الارتكاز على بداية التسلسل الذي يمكن وضعه في بداية البحث (تسلسل إلى الأمام).

عادة ما نزاوج بين التسلسل إلى الأمام والتسلسل إلى الخلف، يظهر الأول مع تشفير الشكل أو النتائج المستنبط مباشرة من النص، أو الشكل، ويكون الثاني لجرد مختلف الطرائق للوصول إلى المطلوب. لكن في التحرير نستعمل التسلسل إلى الأمام فقط.

المخطط الأتي يوضح التسلسل إلى الخلف

التدريب على الاستدلال والبرهان

يعتبرتعلّم الاستدلال الاستنتاجي والبرهان من الأهداف الأساسية للتعليم المتوسط، ويمنح ميدان الأنشطة الهندسة أنسب فرصة لتحقيق ذلك.

حيث يشرع التلميذ بدءا من السنة الأولى في التدرّب على الاستدلال بصفة تدريجية وذلك من خلال التطرق إلى بعض الأنشطة التمهيدية ليواصل في السنوات التالية هذا التدرّب مع البدء في تعلّم البرهان الذي سيستمر خلال السنة الرابعة وبداية المرحلة الثانوية. إن ممارسة الاستدلال الاستنتاجي وكذا تعلّم البرهان يجب ألا يكون نشاطا خاصا أو مناسباتيا بل يجب يكون انشغالا دائما للتلميذ والأستاذ ويمارس من خلال الأنشطة المختلفة لمجالات المادة.

إن الانتقال من هندسة الملاحظة إلى الهندسية الاستنتاجية يتطلب انقطاعا في نمط استدلال التلميذ .كما أن الصعوبات المتعلقة بتعلّم وتعليم البرهان متعددة ومتنوعة وهي صعوبات تواجه التلميذ والأستاذ على السواء:

• صعوبات التلاميذ

تتمثل بعض هذه الصعوبات في:

1. الانطلاقةتكمن هذه الصعوبات في:

- عدم معرفة الإطار والإجراءات المستعملة في البرهان.

- كيفية استغلال الأدوات المتوفرة في النصّ وفي الشّكل، وكذا معارفهم الخاصة.

2. البحثعند البحث عن برهان، لا يعرف التلاميذ، في غالب الأحيان من أين وكيف يبدؤون، ولا يملكون منهجية البحث. كما يجدون صعوبات في استغلال الأدلة التي يوفرها النص والشكل.

3. الصياغة(التحرير)بعد مرحلة البحث، كثير من التلاميذ يجدون صعوبات في صياغة أفكارهم بصفة منسجمة وتكمن هذه الصعوبات خاصة في متابعة واحترام إطار الاستدلال الاستنتاجي (معطيات مبرهنة، خلاصة) وفي استعمال المصطلحات والتعابير الملائمة وأيضا في تنظيم القضايا المُشكّلة لنصّ البرهان.

• صعوبات الأساتذة

هذه الصعوبات هي من النوع التعليمي وتتمثل في:

- نقص المعالم التي يجب إعطاؤها للتلاميذ: إن أغلبية البراهين تعطى دون شرح الإطار والإجراءات والعناصر المشكلة لها. هذه العناصر غالبا ما تكون ضمنية ولا يمكن لكلّ التلاميذ فهمها واستيعابها.

- نقص الأنشطة الوجيهة التي يمكن اقتراحها للتلاميذ: في غالب الأحيان، يُعلّم البرهان في وقت واحد دون الأخذ بعين الاعتبار صعوبات التلاميذ المذكورةأعلاه.

كما لا تعطى أنشطة ملائمة للتلاميذ ليدركوا من خلالها هذه الصعوبات والقدرات والكفاءات المستهدفة.

- اختيار التوزيع(الملائم) لتعليم البرهان: يكون هذا الاختيار صعبا نظرا إلى كثافة الكفاءات المتعلقة بالبرهان وإلى التباين في المكتسابات القبلية للتلاميذفي هذا الميدان.

- عدم تشخيص الصعوبات التي تواجه التلاميذ في هذا الميدان يُصعّب للأستاذ اقتراح التعديلات المناسبة.

وقصد مساعدة التلاميذ والأساتذة على تخطئ كل هذه الصعوبات، فمن الضروري التدرب والعمل على الأنشطة التي تسمح بجعل التلميذ يدرك المراحل المختلفة التي يجب اجتيازها لتأسيس مبادئ الاستدلال الاستنتاجي ومنه تعلّم البرهان في الرياضيات.

 المرحلة الأولى:جعل التلاميذ يدركون ضرورة البرهان

عندما نقول " نرى..." أو "يبدو ..." أو " أقيس ..."، فإننا نضع تخمينا. ينبغي أن نعلم أنّ:

- القياس يعطي دائما نتيجة تقريبية.

- لا يمكن تأكيد صحة نصّ بملاحظات مرئية على رسم.

مثال:هل الخطوط الكبيرة في الشكل المرفق متوازية ؟

ينبغي إذن العمل على تحسيس التلميذ بضرورة البرهان،

ويمكن تحقيق ذلك من خلال أنشطة، مثل:

- مشكلة أو شكل يُطلب انجازه يؤدي إلى وضع تخمين خاطئ

 نحسس التلميذ بذلك على عدم الوثوق بالملاحظات المُسجلة على الشّكل.

مثال: وحدة الطول هي السنتيمتر.

      1. أنشئ الشّكل التالي باحترام الأبعاد المقترحة.

      2. هل النقط ، ،  على استقامة واحدة ؟

- مشكلات الإنشاءات الهندسية

مثال: هل يُمكن رسم الرباعي   بالمعطيات المفروضة ؟

- مشكلات مفتوحة

 متوزاي أضلاع أنشئ المستقيم   دون الخروج من الإطار.

 المرحلة الثانية:العمل على المعلومات

يُمثل العمل على المعلومات إحدى المراحل الأساسية التي تسمحبالانتقال من هندسة الملاحظة إلى الهندسية الاستنتاجية.

توجد عدة أنواع من الأنشطة التي تساعد هذا الانتقال:

- سرد قائمة المعطيات الموجودة في نصّ.

مثال1: مثلث قائم في . الضلعان   و  لهما نفس الطول. ضع هذه المعلومات على الشكل المرفق

مثال 2:

أنجز مثيلا للشّكل التالي:

- قراءة شكل مُشفّر

مثال:

 ، ، ،  هي 4 نقط من دائرة.

عيّن معطيات كلّ شكل من الأشكال الثلاثة الآتية:

- الانتقال من نصّ إلى شكل والعكس.

مثال 1:

أرسم مثلثا   قائما في  بحيث   و 

مثال 2:

أكتب نصا يسمح بإنشاء الشّكل التالي:            

-  كتابة برنامج إنشاء.

مثال:

     يمثل الرسم التالي شكلا منشئا بالمدور.

النقط ، ،  معطاة.

  المستقيم   يجزئ المستوي إلى نصفي مستوي P وQ.

  أكتب برنامج إنشاء هذا الشكل.

    

عند هذه المرحلة، ينبغي أن ندرك بأنّ بين أخذ المعلومات ومعالجتها توجد مستويات مختلفة من الكفاءات. فأمام شكل أو نصّ، يمكن أن نميّز:

- من جهة، التلاميذ الذين بإمكانهم ترتيب الخواص التي تؤدي إلى إنشاء الأشكال.

- ومن جهة أخرى، التلاميذ الذين بإمكانهم فقط التعرّف على المعلومات وتمييزها دون إدراك العلاقات الموجودة بينها.

ولمساعدة التلاميذ على تجاوز هذه الصعوبات، يمكن اقتراح عدة أنواع من النشاطات:

- الرسومات المملية (أي عن طريق الإملاء).

- تحويل نصوص تعطي وصفا عاما إلى نصوص تعطي مراحل الإنشاء

وبشكل عام، كلّ نشاط يتطلب الانتقال من إطار "النصوص" إلى إطار " الأشكال" والعكس يسمح بالعمل على المعلومات.

 المرحلة الثالثة: البحث في نصّ أو على شكل عن معلومات ضرورية ينبغي أخذها بعين الاعتبار لاستبدالها بخاصية (مبرهنة، تعريف)

كثير من التلاميذ يكون في متناولهم المبرهنة المطلوبة ولا يعرفون استعمالها بكيفية سليمة. هذه الصعوبات التي تعترض التلاميذ الذين يحفظون دروسهم ولا يكون بوسعهم استثمارها، يمكن تذليلها وذلك بالتدخل على مستويين:

- على مستوى الدروس: بتمييز طبيعة الشروط في المبرهنة ذاتها.

مثال:

بالنسبة إلى مبرهنة المنتصفين، يمكن العمل بكيفيتين:

إما أن نعمل على شكلين

وإما أن نميّز على نفس الشكل المعطيات والنتيجة

بالأسود، الفرضيات

بالأحمر، النتيجة

- على مستوى التمارين: هل الأشكال أو النصوص تتضمّن المعلومات الضرورية لتطبيق خاصية معينة؟

مثال 1:

ما هي المعلومات التي يتضمنها الشكل؟

  ما هي المبرهنات التي يمكن تطبيقها؟   

    

مثال 2:

       باستعمال التشفيرات الموجودة على الشّكل والمعطيات، ما هي المبرهنات التي يمكن استعمالها؟

(DC)  //  (AB)

                  و

(BC)  //  (AD)

 المرحلة الرابعة: فهم "الخطوة الاستنتاجية" بتشكيلها الثلاثي (المعطيات، الخاصية، الخلاصة).

لتجاوز هذه المرحلة، على التلميذ أن يكون قادرا على عزل معطيات هي بمثابة مفاتيح في محيط مركب قصد تطبيق مبرهنة معينة.

مثال 1:

  مثلث،  منتصف ،   نظيرة   بالنسبة إلى  .  لتكن   نظيرة   بالنسبة إلى .

برهن أنّ 

- نتعرف في المحيط المركب للرسم على معطيات مجسدة في شكل تسمح بتطبيق قاعدة معينة.

- نطبق القاعدة، ونستخلص.

    

 المرحلة الخامسة: التحرير

هذهالمرحة الأخيرة مهمة ولكن يجب آلا تطغي على الخطة الرياضية (الإجراء المستعمل) خاصة عند تقويم عمل التلاميذ.

إنّ النصوص المحررة من طرف التلاميذ غالبا ما تعكس الصعوبات التي يواجهونا أمام تعلّم البرهان كما هي مؤشرات قوية لفهم ما يتعلق بالخطط المتبعة وطرق البحث والإجراءات المستعملة قصد تعديلها وتحسينها. ينبغي على الأستاذ تجنب البحث على نمذجتها من البداية وهو ما يمكن أن يحد من روح المبادرة لدى التلاميذ كما يجب أن يمنهم متسعا من الوقت لامتلاك المعارف.

نجعلالتلميذ يصل تدريجيا إلى صياغة برهان بصفة دقيقة بتعويده على تقديم نصوص براهين مهيكلة ومنطقية تحترم مخططا وأسلوبا معينين:

 مخطط البرهان

 نسمي " برهانا بسيطا" (أو خطوة استنتاجية) كل برهان يتطلب استعمال مبرهنة واحدة. وحسب ما سبق، يتشكل هذا البرهان من ثلاثة أجزاء:

1. المعطيات: نُحدّد كلّ المعلومات المعطاة في المسألة كفرضيات نعتمد عليها لتحديد المبرهنة المناسب تطبيقها للإجابة عن السؤال المطروح.

2. المبرهنة (الخاصية): تُذكر المبرهنة بتسميتها المتداولة ( مثل: مبرهنة طالس، مبرهنة المنتصفين...) أو تحرّر كاملة إذا لزم الأمر ( مثال: إذا كان الرباعي متوازي الأضلاع فإن قطريه متناصفان).

3.الخلاصة: هي خاتمة الخطوات السابقة تتضمن الإجابة عن السؤال المعني باعتباره نتيجة للمعطيات المقدمة.

 الصياغة

يجب أن يصاغ البرهان بصفة واضحة تبرز فيها الأجزاء الثلاثة المذكورة أعلاه، لذا يجب احترام بعض القواعد.

القاعدة الأولى: الانتقال إلى السطر عندما نغيّر جزء البرهان ( مثلا عند الانتقال من المعطيات إلى المبرهنة.

القاعدة الثانية: استعمال مصطلحات وتعابير الانتقال (مثل لكن، إذن، منه...) تسمح بفهم تمفصل البرهان.

 هناك ثلاثة أنواع من المصطلحات:

o مصطلحات تسمح بإدخال المعطيات: نعلم أنّ، لدينا،...

o مصطلحات تسمح بإدخال مبرهنة أو خاصية: لكن، حسب،...

o مصطلحات تسمح بتقديم الخلاصة: إذن، فإنّ...

القاعدة الثالثة: لا نسجل إلا المعطيات الملائمة والضرورية.

القاعدة الرابعة: إبراز الخلاصة(النتيجة) التي تنهي البرهان.

• أمثلة من البراهين البسيطة

مثال1:

إليك الشكل المقابل.

أحسب BC.                      

 نعلم أن المثلث قائم في . 

  حسب مبرهنة قيثاغورث، فإن  .

منه 

   ونستخلص

مثال2:

إليك الشكل المقابل.

هل المثلث   قائم؟

نقارن بين  و 

نلاحظأن 

حسب عكس مبرهنة فيثاغورث فإن  المثلث  قائم في .

مثال3:

هل المثلث   قائم؟

    

نقارن بين  و 

نجد                         

نلاحظأن 

لكن لو كان المثلث   قائما فنحصل على مساواة وفق مبرهنة فيثاغورث،

إذنالمثلث   غير قائم. فإن  المثلث  غير قائم.

مثال لبرهان مركب يحتوي على عدة خطوات استنتاجية (براهين بسيطة)

لمساعدة التلميذ في معالجة تمرين هندسي يتطلب برهانا مركبا يمكنتدريبه على انتهاج المخطط

مثال:

  مثلث قئم في  . الارتفاع الذي يشمل  يقطع الضلع   في .

النقطة   هي منتصف القطعة   و النقطة   هي منتصف القطعة  .

برهن أنّ المستقيمين  و   متعامدان.

1. تحليل النصّ

إنجاز رسم يجسد الوضعية

 الفرضيات:

               -   مثلث قئم في 

-   ارتفاع

               -   منتصف   و منتصف   .

الخلاصة (المطلوب):   و   متعامدان.

 التفكير في طرق الحلّ:

         للبرهان على تعامد المستقيمين  و  يمكن إثبات أن  هو ارتفاع في المثلث  . لهذا يمكن البرهان أن  هو أيضا ارتفاع في المثلث  وبما أنّ في مثلث الارتفاعات تتقاطع في نقطة واحدة فيكن استنتاج أن  هو ارتفاع.للبرهان أنّ  هو ارتفاع في المثلث    يمكن أن نبرهن أن  يوازي  و بما أنّ يعامد  فسنستنتج أنّ يعامد .

2. الصياغة

تقديم الطريقة المختارة

المرحلة الأولى: نبين أن  يوازي 

المرحلة الثانية: نبين أن  ارتفاع في المثلث . 

المرحلة الثالثة: نبين أن  ارتفاع في المثلث . 

 الحلّ:

المرحلة الأولى:

    لدينا  منتصف  و  منتصف .

  حسب المبرهنة: إذا كان مستقيم يشمل منصفي ضلعي مثلث فإنه يوازي الضلع الثالث

إذن  يوازي .

المرحلة الثانية:

بمأن  مثلث قائم في  فإن يعامد . لكن برهننا أن  يوازي  إذن يعامد  ومنه نستنتج أن  ارتفاع في المثلث .

المرحلة الثالثة:

  و  هما ارتفاعان في المثلث  ويتقاطعان في .

حسب المبرهنة: في المثلث الارتفاعات تتقاطع في نفس النقطة.

إذن المستقيم  هو الارتفاع الثالث في المثلث .

3.الخلاصة:

بما أن  ارتفاع في المثلث 

إذن  و  متعامدان.