السبت، 16 مايو، 2015

شروط استخدام البرمجة الخطية



شروط استخدام البرمجة الخطية:
1-       إمكانية تحديد المشكلة موضوع البرمجة تحديداً رياضياً دقيقاً.
2-       محدودية الموارد الاقتصادية الخاضعة للبرمجة (رأسمال، عمل، طاقة إنتاجية) .
3-       وجود استخدامات بديلة تنافسية للموارد موضوع البرمجة.
4-       إمكانية التعبير عن المتغيرات بصورة كمية رقمية.
5-       أن تكون العلاقة التي تربط متغيرات الدراسة علاقة خطية.
ولحل البرنامج الخطي العديد من الطرق من أهمها الطريقة البيانية، طريقة السمبلكس، طريقة التخصيص أو التعيين، طريقة كارماركر. وإن كان استعراض هذه الطرق ليس ضمن مجال دراستنا، إنما نعرض مثالاً مبسطاً للبرمجة الخطية في التالي:
مثال
مصنع لصنع العباءات و الثياب التقليدية لديه 20 م2من القماش القطني، و30 م2 من قماش الحرير، و18 م2 من قماش الشيفون. يحتاج الثوب الواحد إلى:2 م2 من القماش القطني، و 1 م2 من قماش الحرير، و 1 م2 من قماش الشيفون. وتحتاج العباءة الواحدة إلى 2 م2 من القماش القطني، و3 م2 من قماش الحرير1 م2 من قماش الشيفون. فإذا كان ربح الثوب 40 ريال و ربح العباءة 30 ريال. فما عدد الأثواب و العباءات الذي يعظم أرباح المشغل؟
بفرض أن عدد الأثواب X  ، عدد العباءات Y. تكون دالة الهدف تعظيم أرباح المنتج من بيع العباءات والأثواب، وهذا الهدف مقيد بعدد الأمتار المتاحة من كل نوع من الأقمشة اللازمة للإنتاج، وعلى أن يكون إجمالي عدد الأثواب والعباءات موجب.
دالة الهدف:Max.  π    =   40 X    +    30 Y                                            

القيود:
1- قيد القماش القطني: 2 X  + Y    20  
2- قيد قماش الحرير: X  + 3 Y    30   
3- قيد قماش الشيفون:  X   +  Y    18  
 

قيد اللاسالبية:               X  ,  Y  > 0            


نمثل المتغير X على المحور السيني والمتغير Y على المحور الصادي، ونرسم خط لكل متباينة من متباينات القيود ( نعطي X القيمة صفر ونحدد Y ثم نعطى Y القيمة صفر ونحدد  X، ونوصل النقطتين). يتضح لنا من الرسم أن منطقة الحلول الممكنة هي ABCD.  نحدد إحداثيات النقاط الطرفية في منطقة الحل مع تعويض قيم الإحداثيات  ( X , Y )في دالة الهدف، ونحصل على الجدول التالي:
النقاط
X
Y
R
C
0
10
40(0) + 30(10) = 300
B
6
8
40(6) + 30(30) = 480
A
10
0
40(10) + 30(0) = 400

يتبين من الجدول أن أعظم ربح يتحقق عند النقطة  B وهي نقطة الحل الأمثل:-
 .. r  =  480                  X = 6                     Y = 8                      
بمعنى أنه يتعين على المشغل إنتاج 6 أثواب و8 عباءات حتى يحصل على أقصى ربح ممكن وهو 600 ريال.

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق