الأربعاء، 6 مايو، 2015

مبدأ الاستنتاج الرياضي



       مبدأ الاستنتاج الرياضي



يستخدم الإستقراء الرياضي ( مبدأ الاستنتاج الرياضي ) لبرهان الكثير من العبارات المتعلقة بمجموعة الأعداد الطبيعية ، وتعتمد هذه الطريقة في البرهان على الخاصية التالية :
إذا كان س  ط وتحقق الشرطين :
(1)            1 س    (2) م س  م+ س
   فإن س = ط
مبدأ الإستقراء الرياضي :
لتكن ق(ن) جملة رياضية ، وكان (1) ق(1) صائبة  ، (2) ق(م) صائبة   ق(م+) صائبة . فإن ق(ن) صائبة لكل الأعداد الطبعية .
لكي نثبت أن ق(ن) صائبة لكل الأعداد الطبيعية نتبع الخطوات التالية :
(1)           نتحقق أن العبارة صحيحة عند ن = 1
(2)           نفرض أن العبارة صحيحة عند ن = م ( أو أي رمز آخر )
(3)           نثبت أن العبارة صحيحة عند ن = م + 1
( ذلك باضافة الحد الذي ترتيبه (م+1) أي بوضع (م+1) بدلاً من ن في الحد الأخير وإضافة الناتج للطرفين ونكمل الاثبات )
مثـال (1) :ـ
ن ( 5ن + 3 )
2
 
مستخدماً مبدأ الاستنتاج الرياضي أثبت أن : ـ
4 + 9 + 14 + ....................... + ( 5ن – 1 ) =                 ن ط
الحل
1 ( 5 + 3 )
2
 
أولاً : نتحقق أن العبارة صحيحة عند ن = 1
الطرف الأيمن = 4 ( قيمة الحد الأول ) ، الطرف الأيسر =                  = 4
العلاقة صحيحة عند ن = 1
ثانياً : نفرض صحة القضية عند ن = م ، أي نفرض صحة :
م ( 5م + 3 )
2
 
4+ 9 + 14 + ....................... + ( 5م – 1 ) =                  
م ( 5م + 3 )
2
 
ثالثاً : نثبت صحة العبارة عند ن = م + 1 ، أي نفرض صحة
 4+ 9 + 14 + ....................... + ( 5م – 1 )  +( 5م +  4 ) =             + ( 5م + 4 )
2 + 3م + 10م + 12
2
 
م ( 5م + 3 ) +2( 5م + 4 )
2
 
الطرف الأيسر =                            =
( م + 1 ) ( 5م + 8 )
2
 
2 + 13م + 12
2
 
=                      =
تذكره
 ** نعلم مما سبق دراستة أن مجموعة الأعداد الطبيعية مغلقة تحت عملية الجمع والضرب والقوى الطبيعية ، أي أنه إذا كان :
ل ط ، ن ط فإن :
ق(ن)
4
 
ل + ن ط ، ل × ن ط ، ل ن ط
*** إذا كان المقدار ق(ن) يقبل القسمة على العدد 4 فإن         ط
اي أن : ق(ن) = 4ك حيث : ك ط .


مما تقدم نستطيع إثبات قابلية القسمة باستخدام الإستقراء الرياضي :
9 ن – 5 ن
4
 
أثبت أن :              ط لجميع ن ط
( أي أن المقدار 9 ن – 5 ن يقبل القسمة على 4 )
أولاً نثبت صحة القضية عند ن = 1
المقدار = ( 9 – 5 ) ÷ 4 = 1 ط  ، ق(1) صائبة
9 م – 5 م
4
 
ثانياً : نفرض صحة القضية عند ن = م
               ط لجميع م ط ، أي أن :


9 م – 5 م
4
 
 
                = ك   ، حيث ك ط     9 م – 5 م = 4ك
أي أن : 9 م = 5 م + 4ك
9 م+1 – 5 م+1
4
 
ثالثاً : نثبت صحة القضية عند ن = م + 1  ،  أي نثبت أن :
9 ( 4ك + 5 م) – 5 م × 5
4
 
9 م × 9 – 5 م × 5
4
 
                 =                      =    








36ك +4 × 5 م
4
 

4( 9ك + 5 م )
4
 


36ك +9 × 5 م – 5 م × 5
4
 

 
                         =                     =
= 9ك + 5 م   ط
لأن ط مغلقة تحت عملية الجمع والضرب واالقوى الطبيعية
اكمل :
(أ‌)               يستخدم الاستنتاج الرياضي لبرهان الكثير من العبارات والقواعد الرياضية المتعلقة بـ
......................... ط
(ب‌)          أكتب نص مبدأ الاستنتاج الرياضي ؟
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
(ج) إذا افترضنا أن س  ط تحقق الخاصيتين .
(i)                 ........................................................................................................................................
(ii)               ........................................................................................................................................
 فإن  س = ط
(د) لكي نثبت ان القضية المفتوحة ق(ن) صحيحة لأي عدد طبيعي ن باستخدام الاستنتاج     الرياضي نقوم بما يلي :
(i)                          نتحقق أن .................................................................................................................
(ii)نثبت صحة الإقتضاء .................................................................................................
(هـ) مبدأ الاستنتاج الرياضي ينص على الآتي :
إذا كان ق(ن) جملة رياضية تعتمد على (ن) في صحتها  وخطئها حيث ن ط وكان :
(i)                             ..................................................................................................................................
(ii)                           ..................................................................................................................................
فإن ق(ن) صحيحة ن ط
مسائل : ـ
ن ( ن + 1 )
2
 
مستخدماً مبدأ الاستنتاج الرياضي أثبت كل من الآتي حيث ن ط .
(1)            1 + 2+ 3+ ....................... + ن =
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
ن ( ن + 1 )
2
 
مستخدماً مبدأ الاستنتاج الرياضي أثبت أن مجموع الأعداد الطبيعية الأولى حتى ن يساوي
( نفس المسألة السابقة بشكل مختلف "لفظي" )



                                                                                                                                                                                           
( 2) 2 + 4 + 6 + ............................. + 2ن = ن( ن + 1 )
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
مستخدماً مبدأ الاستنتاج الرياضي أثبت أن مجموع الأعداد الزوجية الأولى والتي عددها ن يساوي
ن ( ن + 1 ) حيث ن ط
( نفس المسألة السابقة بشكل مختلف )
 4 + 8 + 12 + .................... +  4ن = 2ن( ن + 1 )
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................


( ن + 1 )     2
 
 
3 + 6 + 9 + ...................... +  3ن =
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................


ن ( ن - 1 )
2
 
 
0 + 1 + 2 + 3 + ........................ + ( ن – 1 ) =
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
3 + 5 + 7 + ...........................  +(2ن+1) = ن2 + 2ن
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
2 + 6 + 10 + ........................... + ( 4ن -2) = 2ن2
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
5 ن+1 - 5
4
 
5 + 25 + 125 + .................... + 5 ن =
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
   2 ر – 1   = 1 + 2+ 4+ .............. + 2 ن – 1  = 2 ن – 1
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
   ( 2ر+3) = ن(ن + 4)
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

7 ن - 4 ن
3
 
باستخدام مبدأ الاستنتاج الرياضي  برهن أن :
                   ط . ن ط
................................................ ............................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
باستخدام مبدأ الاستنتاج الرياضي  برهن أن :
9ن – 2 ن يقبل القسمة على 7 .  ن ط
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
باستخدام مبدأ الاستنتاج الرياضي  برهن أن :
9ن – 1 يقبل القسمة ÷ 8   ن ط
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
مستخدماً مبدأ الاستنتاج الرياضي اثبت أن :
5ن – 1  عدد زوجي .   ن ط
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
باستخدام مبدأ الاستنتاج الرياضي  أثبت أن :
3 + 7 مضاعف للعدد 8 حيث ن ط
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق